Chú ý 2: Nếu sinx hoặc cosx bậc lẻ ta tách thành một sinx hoặc cosx nhân phần mũ chẵn, và áp dụng sin2x + cos2x = 1 3 Phương pháp nguyên hàm từng phần: + Các dạng bài tập sau sử dụng phư[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM–TÍCH PHÂN–ỨNG DỤNG TG: LÂM THỊ THANH TUYỀN PHẦN 1: NGUYÊN HÀM A Các nguyên hàm thường gặp: dx x C ax C adx 1 xdx ln x C ax bdx a ln ax b C x 1 x dx C 1 , (ax b) 1 ( ax b ) dx C a 1 , axb axb e dx a e C a x x a dx C lna sin(ax b).dx a cos(ax b) C cos(ax b).dx a sin(ax b) C 1 cos2(ax b) dx a tan(ax b) C 1 sin2(ax b)dx a cot(ax b) C x x e dx e x a dx C ax C lna cosx C sinxdx sinx C cosxdx cos x dx tanx C sin x dx cot x C MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP cos2x = 2cos2x – = – sin2x = cos2x – sin2x sin2x = 2sinxcosx −cos x 1+cos x sin2x = cos2x = 2 1 [ cos(a− b)+cos (a+b) ] [ cos( a− b)− cos (a+b) ] cosa.cosb = sina.sinb = 2 a+b a−b cos [ sin(a − b)+ sin(a+ b)] sina.cosb = cosa + cosb = 2.cos 2 a+b a −b a+b a−b sin cos cosa – cosb = – 2.sin 10 sina + sinb = 2.sin 2 2 a+b a −b sin 11 sina – sinb = 2.cos 2 B Các phương pháp tính nguyên hàm : 1) Dùng tính chất và bảng nguyên hàm: Ví dụ : 6 5x 3 5x 3 5x 3 dx 5 C 30 C a x4 x2 b. x3 3x 7 dx ln x 7x C x 2x 3x dx ln2 ln3 C c d x x 1 x x 1 76 32 dx dx ( x x ) dx x x C x x x e tan xdx cos x 1 dx tanx x C 2) Phương pháp đổi biến số: (2) / Để tính f [u(x)]u (x)dx ta thực các bước sau: t u x dt u x dx Bước : Đặt Ta có / Bước : f [u(x)]u (x)dx f (t)dt f t Bước : Tìm nguyên hàm hàm số theo biến t t u x f t Bước : Thế vào nguyên hàm hàm số Ví dụ: Dùng phương pháp đổi biến số hãy tính : x dx a) I = x ( đặt u = x2 + 1) du du 2x.dx xdx + Đặt u = x2 + x du 1 1 dx du ln u C ln x2 C u 2 u 2 + Khi đó : I = x ecosx sinxdx b) I = (đặt u = cosx) + Đặt u = cosx du sinx.dx sinx.dx du ecosx sinxdx eu du eu du eu C ecosx C + Khi đó: I = x2 x3 2.dx c) I = ( đặt u = x ) 2udu x3 u2 x3 2udu 3x2.dx x2.dx + Đặt u = x + Khi đó: I= d) I = x 2 x 2 2udu 2 x 2 dx 1du u C C C u 3 3 2 x 1 x2 dx ( đặt u = 1 x ) 2 2x.dx xdx udu + Đặt u = 1 x u 1 x 2udu 2 2 Mà u =1 –x x = – u x + Khi đó: I = 1 x2dx x2 1 x2 xdx = 1 x2 1 x2 u u 1 u2 u udu u4 u2 du C C 5 cos3x.dx e) I = cos3xdx cos2 x.cosxdx 1 sin2 x cosxdx Ta có I = + Đặt t = sinx dt = cosx dx t3 sin3 x 1 t dt t C sinx C + Khi đó: I = Chú ý 1: Các dạng bài tập sau thường dùng phương pháp đổi biến số DẠNG CÁCH ĐẶT a.u ' x u x dx n u(x) a.u ' x Đặt u = u(x) ( hay ) dx n u x (3) u x e a.u ' x dx u x a.u ' x dx Đặt u = u(x) n u x n Đặt u = u(x) ( hay .a.u ' x dx n u(x) ) Chú ý 2: Nếu sinx (hoặc cosx) bậc lẻ ta tách thành sinx (hoặc cosx) nhân phần mũ chẵn, và áp dụng sin2x + cos2x = 3) Phương pháp nguyên hàm phần: + Các dạng bài tập sau sử dụng phương pháp nguyên hàm phần để tính nguyên hàm, Dạng x P( x).e dx P( x).cos xdx Cách u P(x) đặt dv exdx + Công thức nguyên hàm phần: P( x).sin xdx P( x).ln xdx P(x) cosxdx P(x) sinxdx lnx P(x)dx u.v vdu udv Ví dụ : lnxdx a) Tính A= u lnx du dx x dv dx v x + Đặt: lnx.dx x.lnx x x.dx x.lnx 1.dx x.lnx x C + Khi đó: A= x.cosxdx b) Tính B= u x + Đặt: dv cosxdx du dx v sinx x.cosxdx x.sinx sinxdx x.sinx cosx C + B= xe xdx c) Tính C = u x du dx x x + Đặt: dv e dx v e xe xdx xe x exdx xe x ex C + C= x.sin2xdx d) Tính D= du dx u x dv si n2xdx v cos2x + Đặt: x x x.sin2xdx cos2x cos2xdx cos2x sin2x+C 2 + D= Tìm nguyên hàm hàm số thỏa điều kiện cho trước: * Phương pháp giải: + Tìm họ nguyên hàm hàm số đã cho + Dựa vào điều kiện đã cho tìm C + Thay C vào họ nguyên hàm Þ nguyên hàm cần tìm * Vận dụng: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) = + sin3x biết F( )= (4) 1 sin3x dx x + Gọi F(x) = cos3x C cos C 0 C 6 + Do F( )= cos3x x thỏa F( )= + Vậy F(x) = C BÀI TẬP: BÀI TẬP TRÊN LỚP Bài tập 1: Tìm họ các nguyên hàm các hàm số sau: x cos2x 2 a f(x) = x2 – 3x + x ; b f(x) = x ; c f(x) = sin x.cos x d f(x) = 2ax + 3x Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) các hàm số: x2 5x f x f x x 4x , biết F(1) = x , biết F(0) = a b Bài tập 3: Tìm nguyên hàm sau: dx dx 2 5 2xdx (2x 1) xdx (x 5) x dx x 1.xdx x(1 x )2 a (3 2x) b c d e f sinx dx cotxdx g cos x h dx tanxdx m sinx n Bài tập 4: tìm các nguyên hàm sau: x sin2xdx (x 1)cos2xdx xe xdx lnxdx x lnxdx e xdx a b c d e f BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập 1: Tìm họ các nguyên hàm các hàm số sau: 2x4 e x ) 2 2 a f(x) = x b f(x) = sin x.cos x c f(x) = ex(2 + cos x d f(x) = 4x + 3x Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) các hàm số: x 10 f x f x x 5x , biết F(2) = x 5x , biết F(0) = -1 a b Bài tập 3: tìm các nguyên hàm sau 3x x dx x2 1 dx xe dx x x 5 a e f exdx tanxdx dx etgx dx sin x cosxdx cos2 x tanxdx ex p cos2 x q 1 x dx g h m cosx n o Bài tập 4: tìm các nguyên hàm sau lnxdx (2x 3).sinxdx x cosxdx ln xdx x2 cos2xdx x a b c d e dx 2x b (2x 1) xdx c (x 5) x dx d PHẦN 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NẮM: I Định nghĩa và tính chất tích phân: b * ĐN: f ( x ) dx=F ( x ) ¿ba=F ( b ) − F ( a ) a * Tính chất: a + f ( x ) dx=0 a b + a f ( x ) dx=− f ( x ) dx a b b + b k f ( x ) dx=k f ( x ) dx a a (5) b + c b ❑ ❑ f ( x ) dx= f ( x ) dx+ f ( x ) dx , ( a< c< b ) a b a c b b + [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx= f ( x ) dx ± g ( x ) dx a a a II Các phương pháp tính tích phân: 1 Phương pháp đổi biến số: b * Đổi biến số dạng 1: I = f ( u ( x ) ) u❑ ( x ) dx=? a + Đặt: t=u ( x ) ⇒ dt=u ( x ) dx + Đổi cận: x=b ⇒ t=u ( b ) x=a ⇒ t=u ( a ) ❑ u (b ) I = f ( t ) dt =F ( t ) ¿uu ((ba ))=? + Khi đó: u (a ) * Đổi biến số dạng 2: Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa: + + + + π π ; 2 a ❑ π π ❑ x= ,t∈ − ; 2 ❑ Đặt: x −a ⇒ 2 cos t ❑❑ ❑ π π 2 x=a tan t , t∈ − ; Đặt: x +a ⇒ 2 ❑ ❑ ❑ π π x 2+ a2 ⇒ Đặt: x=a tan t , t ∈ − ; √ √ √ ❑ a − x ⇒ Đặt: 2 ❑❑ [ x=a sin t , t ∈ − ( ] ) ( ( ) ) b 2 Phương pháp tính tích phân phần: * Công thức: b b a I = u dv =u v ¿ − v du a a * Các dạng tích phân phần thường gặp: b P x sin xdx a b P x cos xdx a b x P x e dx a b P x a x dx / u P x du P x dx P x a Dạng 1: Ta đặt: ( : là đa thức ) b P x ln xdx a ❑ u=ln x ⇒du=( ln x ) dx b ln x n dx x P x a Ta đặt: Dạng 2: ( : là đa thức ) B BÀI TẬP: BÀI TẬP TRÊN LỚP Bài tập 1: Tính các tich phân sau: a Tính I cos2 xdx 0 I sin3x.cos5xdx b Tính c Tính I (x2 x )dx x2 3x x I cosx dx I dx I dx x x x 1 d Tính e Tính f Tính (6) Bài tập 2: Tính a (2x 1) dx b x 1 xdx c a 1 x xe dx (x 1)e2dx b 1 x 1 xe x x dx x e dx f g g BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài tập 1Tính các tích phân sau: 0 a.Tính x2 3x I dx x 1 20 .dx b sinx e .cosxdx x.ln(2x 1)dx (x 2)e x a /2 e x(x sinx)dx /2 e i e g /2 1 x2 x I dx x c Tính f Tính I x x2 1dx .dx d 1 3lnx.lnx dx x h d (2x 7)ln(x 1)dx g 0 1 x dx xe /4 ln(3x 1)dx c 1 4sinx.cosdx 1 f x(2 cos x 1)dx (3x 2)cosxdx h (x cosx)sinxdx 1 (x x)lnxdx x x2 sin dx b dx 2x x c e f Bài 3: Tính các tích phân sau : h 1 x2 dx 0 I cos2x.cos3xdx x x cos 2dx 2x cos xdx e 3x I dx x x e Tính 2x (x 1)e dx d /2 1 .dx d Tính Bài tập 2: tính x2 1 xe x sinxdx b Tính 0 /2 lnx dx c x I sin xdx (1 2x) h a g cosx 1 3sinx dx e x x (2e 1) e dx e d ln2 x dx x e f Bài 3: Tính các tích phân sau: sin xdx cos x sinxdx e j x ln(x 1)dx PHẦN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NẮM: Diện tích hình phẳng: a Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và trục hoành: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng b x=a , x=b tính theo công thức: S=|f ( x )| dx a b Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong: ❑ Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y=f ( x ) , y =f ( x ) b x=a , x=b tính công thức: S=|f ( x ) − f ( x )|dx a * Chú ý: Để tính diện tích trên ta làm sau: + Giải PT : f ( x ) − f ( x )=0 trên đoạn (a; b) và hai đường thẳng (7) + Giả sử PT có nghiệm đúng hai nghiệm là c1 , c2 (a; b), c1 c2 c1 b + Khi đó: c2 b S f1 x f x dx f1 x f x dx f1 x f x dx f1 x f x dx a a c1 f1 x f x dx a c1 c2 c2 b f1 x f x dx f x f x dx c1 c2 Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường: y=f ( x ) , trục hoành, b quay quanh trục Ox tính công thức: V =π f ( x ) dx x=a , x=b a 3) Ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x, (P2) : y= x2 + và các đường thẳng x = ; x=2 Giải + Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1 + Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1 –2 x -1 = x = -1/2 (loại) 2 2x 1dx 1 2x dx x x 2 22 0 02 6 + Vậy S = Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + và các đường thẳng x = -1 ; x=2 Giải + Tính f(x) - g(x) = x2 –2 x – (x2 + 1) = -2x -1 + Giải phương trình: x2 –2 x = x2 + 1 –2 x -1 = x = -1/2 (nhận) 1 2 S 2x 1dx 2x 1dx x x2 1 1 1 x x2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 25 26 13 6 4 4 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x3 – x và (P2) y= x - x2 Giải + Tính f(x) - g(x) = x3 – x – (x - x2) = x3 + x2 -2x x 2 n x 0 n x 1 n + Giải phương trình: x + x -2x = + 0 1 x4 x3 x4 x3 37 S x x 2x dx x x 2x dx x2 x2 2 12 12 2 Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Giải: Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là : (8) x 18 V x2 2x dx x4 4x3 4x2 dx ( x x ) 1 1 1 = = (đvtt) Ví dụ 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau x ; y = ; y = sinx nó quay xung quanh trục Ox: x =0 ; V ( ) (đvtt) Đs: 2 B BÀI TẬP: BÀI TẬP TRÊN LỚP Bài 1: Tính diện tích hình phẳng : y x3 x2, y = 0, x = 0, x = 3 a b y x 3x ,và trục Ox c y x 2x và trục Ox 2x y , x trục Ox, x=1 d 2 e y x 2x, y = 4x - x f y lnx, y = 0, x = e y x 1 g y x x và 3 A 1; 2 h y x và tiếp tuyến với y x điểm Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng (H) nó quay quanh trục Ox x 1 y , y = 0, x = 0, x = - x a b y 2x x , y = x 2, y = 0, x = 0, x = c y xe d y = x(4 – x), y = e y = cosx, y = 0, x = 0, x = f y = lnx , y = 0, x = 1, x = 2 g y 2 1 x , y 0, x 1, x 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tính diện tích hình phẳng a y x 3x và trục Ox b y x 1, x + y = y x4 2x2 2 và trục Ox c c y x 2, y = 3x d y x x x 1, y x e y 1 lnx ,y 0, x 1,x e x (9) f (C ): y x 3x 6x và tiếp tuyến ( C ) điểm có hoành độ Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng (H) nó quay quanh trục Ox 2x y , x trục Ox, x=1 a b y 2x x ,y 0 c y = x3 – x2, y = 0, x = 0, x = y sinx, y 0, x , x 2 d x e y x.e , y 0, x 1, x 2 f y x 1, y 0, x 4 g y = sin2x ; y = ; x = ; x = PHẦN 4: MỘT SỐ ĐỀ THI TN ( TỪ NĂM 2010 ĐẾN 2015 ) 1) TNTHPT năm 2010: Tính tích phân sau: e 2) TNTHPT năm 2011: Tính tích phân sau: I x x 1 dx I 5ln x dx x ln 3) TNTHPT năm 2012: Tính tích phân sau: I e x 1 e x dx 4) TNTHPT năm 2013: Tính tích phân sau: I x 1 cos xdx 5) TNTHPT năm 2014: Tính tích phân sau: I xe x dx 6) TNTHPT-QG năm 2015: Tính tích phân sau: I x 3 e x dx (10)