Hệ phương trình tuyến tính giải thuật gauss

Hệ phương trình tuyến tính & giải thuật Gauss Đặt vấn đề Trong thực tế, để giải toán nhiều cần phải tính định thức ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo,… Giải hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số x1, x2, x3, …, xn hệ có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Hệ phương trình tuyến tính viết dạng ma trận: 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 với 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 ma trận hệ số 𝐴 = , ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑥1 𝑏1 𝑥2 𝑏 x vector biến b vector vế phải 𝑥 = ⋮ , 𝑏 = ⋮ 𝑥𝑛 𝑏𝑛 Hệ phương trình tuyến tính xảy m=n Hệ vng Số phương trình số ẩn Thường có nghiệm mn Hệ dư Số phương trình nhiều số ẩn số Hệ thường vơ nghiệm Giải hệ phương trình tuyến tính Bước Lập ma trận bổ sung Ghép cột b sau ma trận A Bước Biến đổi sơ cấp dòng Chuyển ma trận bổ sung thành ma trận bậc thang Bước Thế ngược Tìm nghiệm ● ● Lập ma trận bổ sung ● ● Viết hệ số x dạng cột, cho cột đầu Viết hệ số y dạng cột, cho cột thứ Như hết biến Vẽ đường thẳng viết số vế phải Ví dụ: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = ቐ 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = Ma trận bổ sung: −1 −1 ቮ6 −3 Biến đổi sơ cấp dòng Phương pháp Gauss: sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận bổ sung 𝐴ҧ thành ma trận bậc thang dòng 𝐴ഥ′ Các phép bến đổi dòng Đổi chỗ với hàng khác Nhân hàng với số Thêm tích hàng nhân với số vào hàng khác Cách thực Phương trình phải có hệ số đầu Trao đổi hàng nhân với số cần Các phần tử cột thứ nhất, hàng thứ trở biến thành cách sử dụng phép biến đổi hàng Tiếp theo làm cách tương tự với hàng thứ Nếu hàng chứa tất số để Điều kiện nghiệm 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴ഥ′ ) 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴ഥ′ = 𝑛 Hệ vô nghiệm Hệ có nghiệm 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴ഥ′ = 𝑟 < 𝑛 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n-r ẩn tự Thế ngược tìm nghiệm Bắt đầu từ dòng cuối khác ngược lên phương trình để tìm nghiệm hệ phương trình Ví dụ 1: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = Hệ phương trình ቐ2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 + 𝑡 = 3𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = −1 Lập ma trận bổ sung −5 ቮ2 −4 Chuyển ma trận bổ sung dạng bậc dung phương pháp Gauss: −1 𝑅2 →𝑅2 −2𝑅1 −1 𝑅3 →𝑅3 −3𝑅1 −5 ቮ2 −1 −7 ቮ0 −4 3 −4 −1 𝑅3 →𝑅3 −𝑅2 −1 −1 −7 ቮ0 −1 −7 ቮ0 −1 −7 0 0 0 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = (1) −𝑦 − 7𝑧 + 3𝑡 = Chọn x, y làm ẩn sở; z, t làm ẩn tự Tìm giá trị biến y từ phương trình hệ (1): 𝑦 = −7𝑧 + 3𝑡 Tìm giá trị biến x từ phương trình hệ (1): 𝑥 = − 2𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = − −7𝑧 + 3𝑡 − 𝑧 + 𝑡 = + 13𝑧 − 5𝑡 𝑥 = + 13𝑧 − 5𝑡 𝑦 = −7𝑧 + 3𝑡 Kết quả: 𝑧=𝑧 𝑡=𝑡 1+13𝑧−5𝑡 Nghiệm tổng quát: −7𝑧+3𝑡 với 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ Hệ phương trình tương đương ቊ 𝑧 𝑡 Ví dụ 2: 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = Hệ phương trình ቐ4𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 2𝑡 = 2𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 = −1 −3 −1 Lập ma trận bổ sung −2 ቮ −1 −1 Chuyển ma trận bổ sung dạng bậc dung phương pháp Gauss: −4𝑅1 1 −3 −1 𝑅𝑅2 →𝑅 −3 −1 𝑅3 →𝑅3 −𝑅2 −3 −1 →𝑅 3 −2𝑅1 −3 −2 ቮ 13 −5 ቮ 13 −5 ቮ7 13 −5 −5 0 0 2 −1 −1 Ta nhận hệ phương trình tương đương, tỏng hàng 0 0ȁ2 cho ta phương trình 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 + 0𝑡 = Phương trình vơ nghiệm, suy hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: 1𝑥 + 1𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 3𝑥 − 1𝑦 − 1𝑧 − 2𝑡 = −4 Hệ phương trình 2𝑥 + 3𝑡 − 1𝑧 − 1𝑡 = −6 1𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 1𝑡 = −4 1 3 −1 −1 −2 −4 Lập ma trận bổ sung −1 −2 −6 −1 −4 Chuyển ma trận bổ sung dạng bậc dung phương pháp Gauss: 1 3 −1 −1 −2 −4 −1 −2 −6 −1 −4 𝑅2 →𝑅2 −3𝑅1 𝑅3 →𝑅3 −2𝑅1 𝑅4 →𝑅4 −𝑅1 0 −4 −7 −5 1 −11 −7 −7 −8 −4 −5 −1 )𝑅2 −1 𝑅4 →𝑅4 −( )𝑅2 𝑅3 →𝑅3 −( 0 −7 −11 −7 −4 27 39 39 − − − 4 27 27 − − − 4 −11 −7 1 −7 𝑅4 →𝑅4 − 𝑅3 39 39 −4 27 − − 0 − 4 17 17 0 − − 3 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = −4𝑦 − 7𝑧 − 11𝑡 = −7 27 39 39 Hệ phương trình tương đương − 𝑧− 𝑡=− − −17 𝑡=− 17 Tìm giá trị biến t từ phương trình hệ (1): 𝑡 = Tìm giá trị biến z từ phương trình hệ (1): z = Tìm giá trị biến y từ phương trình hệ (1): y = -1 Tìm giá trị biến x từ phương trình hệ (1): x = -1 −1 −1 Nghiệm tổng quát 𝑥 = Thanks CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics & images by Freepik and illustrations by Storyset ... để giải tốn nhiều cần phải tính định thức ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo,… Giải hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương. .. Thường có nghiệm mn Hệ dư Số phương trình nhiều số ẩn số Hệ thường vô nghiệm Giải hệ phương trình tuyến tính Bước Lập ma trận bổ sung... 39 39 Hệ phương trình tương đương −