Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC.. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD.[r]
(1)GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG Web: http://violet.vn/vanlonghanam ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn Toán Thời gian 180 phút Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x x , có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) và đường thẳng d : y x Câu (1,0 điểm) a Giải phương trình : sin x.sin x cos x b Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (2 i)(1 i) z 2i Tính môđun z Câu (1,0 điểm) a Giải phương trình log 52 x log 0,2 (5 x ) b.Trong hộp kín có 50 thẻ giống đánh số từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất lấy đúng hai thẻ mang số chia hết cho Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ( x cos x) sin xdx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD 2a và góc tạo đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E (2;3) thuộc đoạn thẳng BD , các điểm H ( 2;3) và K (2; 4) là hình chiếu vuông góc điểm E trên AB và AD Xác định toạ độ các đỉnh A, B , C , D hình vuông ABCD Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3; 2) , đường thẳng x 1 y z d: và mặt phẳng ( P) : x y z Tìm tọa độ giao điểm d với (P) và 1 2 viết phương trình mặt cầu (S) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) x y x x x y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 y ( x 1) y( x 2) y ( x, y ) Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 1 2 x 1 2, y 0, z và x y z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 2 ( x y) ( x z ) ( y z) HẾT (2) Câu Câu (2,0 điểm) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 1) Tập xác định : D 2) ý: a, Giới hạn : b, Bảng biến thiên: Hàm số đb-nb- cực trị 3) Đồ thị: b) (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 x Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d là x 3 x 1 x 0,25 x 1 Câu (1,0 điểm) Suy giao điểm là A 3;1 , B 1; 1 , C 1; 3 Phương trình tiếp tuyến A 3;1 là y x 26 Phương trình tiếp tuyến B 1; 1 là y 3x Phương trình tiếp tuyến C 1; 3 là y x KL: Các phương trình tiếp tuyến là: y x 26 ; y x ; y 3x a) (0,5 điểm) Pt 2(cos x cos x) cos x cos x 0,25 0,25 b) (0,5 điểm) Đặt z a bi , ( a, b ), đó z a bi Theo bài ta có 0,25 (2 i)(1 i ) a bi 2i a (1 b)i 2i Câu (0,5 điểm) 0,25 0,25 5 x k 36 a a b b 0,25 Do đó z 3i , suy z 12 32 10 0,25 a Đk: x>0 Pt (1) log52 x log (5 x) log 52 x log x log x x 125 KL: Vậy tập nghiệm pt (1) là T 1/ 25;125 log x x / 25 b n C503 19600 0,25 0,25 0.25 Gọi A là biến cố “ Trong thẻ lấy có đúng hai thẻ mang số chia hết cho 8”Từ đến 50 có số chia hết cho 8; n A 660 ; P A Câu (1,0 điểm) 660 33 19600 980 0,25 I x sin xdx cos x sin xdx Đặt I1 x sin xdx, I cos2 x sin xdx 0 u x du dx Đặt I1 x cos x dv sin xdx v cos x cos xdx sin x 1 0,25 0 cos x I cos x sin xdx cos xd (cos x) 3 0 0.25 0,25 0,25 Vậy I (3) Câu (1,0 điểm) Gọi H là trung điểm AB Suy S SH ( ABCD) 30 và SCH Ta có: SHC SHD SC SD 2a Xét tam giác SHC vuông H ta có: K A D I H 0,25 SH SC.sin SCH SC.sin 300 a B C HC SC.cos SCH SC.cos 300 3a 4a Vì tam giác SAB mà SH a Vậy, VS ABCD S ABCD SH 3 0,25 Vì BA 2HA nên d B, SAC 2d H , SAC Gọi I là hình chiếu H lên AC và K là hình chiếu H lên SI Do đó: HK SAC 0,25 2a 66 11 AH : x Ta có: EH : y EK : x AK : y 2 Giả sử n a; b , a b là VTPT đường 0,25 Vậy , d B, SAC 2d H , SAC 2HK Câu (1,0 điểm) a Có: ABD 450 nên: a b A 2; thẳng 0,25 BD 0,25 a b Với a b , chọn b 1 a BD : x y EB 4; 4 E nằm trên đoạn BD (thỏa mãn) ED 1;1 Khi đó: C 3; 1 0,25 Với a b , chọn b a BD : x y EB 4; B 2; ; D 1; EB ED E ED 1;1 Vậy: A 2; 4 ; B 2; 1 ; C 3; 1 ; D 3; Câu (1,0 điểm) nằm ngoài đoạn BD (L) 0,25 x 1 2t d có phương trình tham số y t z 2t Gọi B d ( P) , B d nên B (1 2t; t; 2t ) 0,25 Do B ( P) nên 2(1 2t ) 2(4 t ) 2t t B(7;0; 8) 0,25 Gọi I là tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I (1 2a; a; 2a) Theo bài thì (S) có bán kính R IA d ( I , ( P)) (2 2a )2 (a 1) (2 2a )2 9a 2a 2(1 2a ) 2(4 a ) a 22 2 12 0,25 a 16 9(9a 2a 9) (4 a 16)2 65a 110a 175 a 1; a 35 13 +) Với a I (1; 3; 2), R ( S ) : ( x 1)2 ( y 3) ( z 2)2 16 +) Với a 35 116 83 87 70 I ; ; ; R 13 13 13 13 13 0,25 (4) 2 83 87 70 13456 (S ) : x y z 13 13 13 169 Câu (1,0 điểm) Điều kiện: x y 2 Gọi hai phương trình là (1) và (2) (2) x y x y y y y 3( y 1) ( x y )3 x y ( y 1)3 3( y 1) 0,25 (3) Xét hàm số f (t ) t 3t có f '(t ) 3t 0, t Do đó (3) f ( x y ) f ( y 1) x y y 1, ( y 1) Thế vào (1) ta x y x x y 0,25 x ( y 1) x y ( x y 1)2 x y nên x 1 x 1 0.25 1 1 1 1 Với x y y 2 2 1 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) ; ; , ( x; y ) 2 1 1 1 Ta có P 2 2 (1 z ) (1 y ) (1 x) (1 y ) (1 z ) (1 x) Với x Câu (1,0 điểm) Ta chứng minh Thật vậy: 0,25 1 2 (1 y ) (1 z ) yz 1 (1 yz )[(1 z ) (1 y ) ] [(1 z )(1 y )]2 2 (1 y ) (1 z ) yz (1 yz )(2 z y z y ) (1 zy z y ) 0,25 2( z y )(1 zy ) 2(1 yz ) (1 zy )( y z ) zy (1 yz ) (1 zy ) 2( z y )(1 zy ) ( z y )2 (1 zy )( y z ) yz y z (1 yz ) ( y z )2 yz yz ( y z )2 (1 yz ) (hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy y z yz (1 x )2 (1 x )2 yz yz yz 4 1 1 Do đó (1 y )2 (1 z ) yz (1 x)2 (1 x)2 1 4 P (1 x)2 ( x 1) Ta lại có 0,25 Do 1 2 x 1 2 nên ( x 1)2 [0;8) Đặt t (1 x )2 t [0;8) và P Xét f (t ) 4t 8t 4 3t 72t 240 với t [0;8) f '(t ) 4t 8t (4 t )2 (8 t )2 (4 t )2 (8 t ) 0,25 f '(t ) 3t 72t 240 t 4; t 20 (loại) (1 x)2 x 3 3 Do đó P f (t ) và P y z 4 x y z 1 y z Vậy P x 3, y z HẾT -4 0,25 (5)