Chuyen de tuyen sinh 10

LÍ THUYẾT CẦN NHỚ: * Lưu ý: Học sinh muốn học tốt chủ đề này thì phải nhớ được các công thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông bất kì, biết xác định thành thạo cạnh đối, cạnh [r]

Chủ đề : CĂN BẬC HAI - RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC I KIẾN THỨC CƠ BẢN: √A §iÒu kiÖn tån t¹i : A≥0 Cã nghÜa ⇔ √ A =|A| Hằng đẳng thức: Bảy hằng đẳng thức đã học ở lớp ( theo thứ tự ): 1) Bình phương một tổng : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 2) Bình phương một hiệu : ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 3) Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b ) 4) Lập phương một tổng : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lập phương một hiệu : ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) Tổng hai lập phương : a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 ) 7) Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 ) Biết vận dụng nó để đưa những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp (theo thứ tự ) viết dưới dạng có dấu :  1) a  ab  b   2) a  a   a b  a1  2  a    b   a  b   4) a a  b b  a    b  ( a  5)1  a a  1   a  (1  a )   3) a  b  3 3 a b   b ) a  a a ab  b   6) a b  b a  ab ( a  b ) 7) a  a  a ( a  1) Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng: √ A B= √ A √ B √ Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a §a thõa sè ngoµi dÊu c¨n - Víi hai biÓu thøc A, B mµ B  0, ta cã + NÕu A  vµ B  th× + NÕu A < vµ B  th× b §a thõa sè vµo dÊu c¨n ( A≥0; B≥0) A √A = B √B A2 B  A B ( A≥0; B>0 ) , tøc lµ A B A B A2 B  A B + NÕu A  vµ B  th× A B  A B + NÕu A < vµ B  th× A B  A B c Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n - Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B  vµ B  0, ta cã d Trôc c¨n thøc ë mÉu A AB  B B - Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã A A B  B B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A  B , ta cã C C ( A B )  A  B2 A B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, B 0 vµ A B , ta cã C ( A  B) C  A B A B II CÁC DẠNG BÀI TẬP: Tìm điều kiện xác định Nhớ: Điều kiện có nghĩa số biểu thức:  1) A(x) là đa thức ⇒ A(x) luôn có nghĩa ¿ 3) 2) A ( x) B( x) có nghĩa ⇔ B(x) √ A( x) A ( x) 4) √ B( x ) có nghĩa ⇔ A(x) ¿ có nghĩa ⇔ B(x) > Bài tập: Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định ( có nghĩa): a) x  ; f) 2x  l) √ −5 x +6 b)  x ; g) c)  x2 m) √ h) 1−2 x  3x  ; √ x+2 √ x−2 n) √ d) x ; i)  2x e) x k) 2x −3 x+5 x ; d) x 0 ; e) x < 0; f) ; g) x  R ; ĐS: a) x  ; b) x  R ; c) 5 x x x ; k) x 0 ; l)không có giá trị x nào ; m) ; n) h) x 0 và x 4 ; i) x Tính 25 ; 289  25  2 225 ;  ;  ( 6) ;  16 ; ; 12  27 ; 10 40 ; 45 ; 18 2,5.14, ; 0, 09  0, 64  0,81; 162 ; 90.6, ; 18 98 ; ; HD: có thể thực đưa thừa số ngoài ( vào trong) dấu căn, liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n (chia) vµ phÐp khai ph¬ng để tính biểu thức trên * Bài tập bổ sung giành cho học sinh khá, giỏi Tính: a) ( √19−3)( √19+3) ; b) 20   4  c) 3 5  5 ; HD: Câu a) đưa đẳng thức a2-b2; câu b và c nhân vô và đưa đẳng thức a2-b2 3.Trục thức mẫu 3 3 3; ; 20 ;  ; 2 2 ; 3 2 3 ; 2 ; 10  1 ; 15  2 ; Rút gọn biểu thức dạng đơn giản Bài √ 12+5 √ 3−√ 48 √12−4 √27+5 √48 √ 20−2 √ 45+4 √5 1) 4) 2) √ 5+ √20−3 √ 45 3) √ 32+4 √ 8−5 √ 18 √ 12+ √75−√ 27 ( √ 2+2 ) √2−2 √ 6) √ 18−7 √2+ √162 5) 8) 9) ( √ 28−2 √ 14+ √ 7) √ 7+7 √ 7) HD: vận dụng các phép biến đổi đơn giản biểu thức dấu để đưa các số hạng biểu thức các số hạng chứa giống để rút gọn Bài 2: 2 1) ( √14−3 √ 2) +6 √ 28 4) √(1−√ 2)2 +√( √ 2+3)2 ) x+ √( x−12 )2( x≥2) 2) ( √ 6−√ ) − √ 120 5) 3) (2 √3−3 √ ) +2 √ 6+3 √ 24 √( √ 3−2 )2+√( √ 3−1)2 6) √( √ 5−3 )2+√( √5−2)2 HD: Câu 1,2,3 khai triển các đẳng thức sau đó trở rút gọn giống bài tập  A neu A 0 A   A neu A  Câu 4, 5, 6, áp dụng : Bài 3: Giành cho học sinh khá giỏi a) √ 8+2 √15 - √ 8−2 √ 15   d) b) 11  - √ ( 5+2 √6 ) 94 ; + e) 8 60 c)   ; f) 14   14  HD: Để rút gọn được bài toán này ta phải viết các biểu thức : A 2 B dạng bình phương một tổng một hiệu để khai phương dấu lớn 2 - Viết A 2 B a 2ab  b (a  b) =>vấn đề đặt là tìm a và b hợp lí Cách làm: - Thường thì ta tách HĐT: B =a.b và cho A=a2 +b2 => a và b à số cần tìm Chú ý: Làm nào đó biến đổi trước dấu nhỏ phải có thừa số và nhớ  a  ab  b  a b  Hướng dẫn cụ thể bước cho một biểu thức: 8 Ví dụ : Biến đổi cho được: Ta có: 60 8  15 (  3) 2 B = 15  mà ( 5)  ( 3) 8  A nên suy a= và b= Từ đó suy ra:  15 ( 5)   ( 3) (  3)    2.2  (2 2)  (1  2) 1  2 Ví dụ: Rút gọn biểu thức hữu tỷ có chứa Phương pháp chung:  Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc) T×m §KX§ cña biÓu thøc: lµ t×m TX§ cña tõng ph©n thøc råi kÕt luËn l¹i Quy đồng, gồm các bớc: + Chän mÉu chung : lµ tÝch c¸c nh©n tö chung vµ riªng, mçi nh©n tö lÊy sè mò lín nhÊt + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nh©n nh©n tö phô víi tö – Gi÷ nguyªn mÉu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng Ph©n tÝch tö thµnh nh©n tö ( mÉu gi÷ nguyªn) Rót gän Lưu ý : Trong bài toán rút gọn có PHÂN THỨC chia làm hai dạng : CHỮ và SỐ + Để có kỹ rút gọn trên ta cần nhắc lại số kiến thức toán - - để giải các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời số kiến thức trước giải: → Thừa số chung không? ( xem lại các cách tìm và đặt thừa số chung lớp ) → Có hằng đẳng thức không? ( xem lại hẳng đẳng thức đáng nhớ lớp ) → Liên hợp không? ( xem lại phương pháp rút gọn bài toán lớp ) → Quy đồng không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu lớp 8) Dạng Rút gọn biểu thức có phân thức dạng số Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau:  5 A=   5   5 5 2   5      5  5 5 2  3   3    6 5 5     1 1 2 3 6 : 6 : 6 : 6  :  2 2  2 2 2(  1) B=   C    2  3 2 2  2    2 2 3 3  2  3 3   8  2   3   1  8 3 5     1   51  7  51  Bài tập: Rút gọn các biểu thức: a) 3 3 7 b)  35  1 c) √6−√ + 3+6 √3 −13 1−√ √3 √ 3+4 6 d) f) 21  10  15   14  15      : 1 1   e)  3 √7+ √5 + √ 7− √5 √7−√ √ 7+√ 2 − g ) 4−3 √ +3 √ Dạng 2.Rút gọn biểu thức có phân thức dạng chữ Lưu ý: Tìm điều kiện xác định ẩn x rút gọn hay thay biểu thức 1giá trị xác định Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: ( Ta có thể quy đồng tìm và đặt nhân tử chung bước đầu) x x  x  x  x  x  x 1 x  A   1   1   x 1  x 1  x    x  x 1 x  x 1   x 1 x1  ĐKXĐ: x 0, x 1   x 1 x 1  x1 x1 x  x 1 x1    x 1  x  x  x2  x 2x  x A 1  x  x 1 x Ví dụ 2: Cho biểu thức (Với x>0) Rút gọn A Giải x  x  1   A  1  x  x 1 Bài tập: Rút gọn Bài 1:   a b (a, b  0; a b) a b b)   x x 1 x x   x    x  x  x x yy x a a b b  ab xy a  b a) (x > 0; y > 0) c) (a > o; b > 0)  a a  a a  a b b a       : a , b  0; a  b a  a    a 0; a 1   ab a b  d) e)  x  x 1 1   ( x 0; x 1) x1 f) g) x  x  x  ( x 0; x 4 ) Bài 2: Một số bài tập đề thi tuyển sinh 10-Bình Phước x x x  x 1 Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G (Đề năm 2014) a) Cho G = x  x 6 x 9 x   x 3 x  Tìm x để T có nghĩa và rút gọn T (Đề năm 2013) b) Cho T = 2( x  1) x   x  với x>0 và x≠4 Rút gọn D sau đó tính giá trị T x=4 c) Cho D = x  (Đề thi năm 2015)  x x   x x  M    :    x     x   d) Rút gọn biểu thức : với x0 và x≠1 (Đề năm 2012) *Dành cho học sinh khá giỏi rèn luyện thêm   1   A1     :   1 x 1 x   1 x 1 x  1 x kq:  a a  a a 1  a  A2    :  a a a a  a  x   A3    :  x     2a  kq: a   x   x  x x  x  x   x  x 1 x1 kq:  x    A4     :    x  x  x   x 1 x   A5  x x x kq: x a a b b b :  a  b  a b a b a  ab  b a b kq:   a a   a a a A6     :    a  b b  a   a  b a  b  ab  kq: a b a( b  a)  a  a   a  a  1 a A7   1   : a    a  a 1   x 1 x 5 x A8    4 x x x 2 A8  voi x 0; x 4 kq x  x 2  , x=16 a) Rút gọn P b) Tìm x để P =  x x   1 x A9     x  x  x 1  x x kq Tính giá trị biểu thức Phương pháp: + Thu gọn biểu thức (nếu có thể) + Thu gọn giá trị biến (nếu có thể) + Thay giá trị thu gọn biến vào biểu thức đã thu gọn +) Lưu ý: - Nếu biếu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị biến chứa căn, ta biến đổi giá trÞ cña biÕn vÒ d¹ng H§T - NÕu gi¸ trÞ cña biÕn chøa c¨n ë mÉu, ta trôc c¨n thøc ë mÉu tríc thay vµo biÓu thøc x Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: Giải: Ta có: A x  3x y  2y tại 1 ; y 5 94 A x  3x y  2y x  x y  2x y  2y  x x  x Ta có:     y  y x y  x  5 2  5  2  x  y    2   y  5 2 y 5.2    9 5    81  16.5 94 94 9    5    5  y 5  y   vào A ta có:       4   Thay: x   ;  A  2         4  Bài tập: x 1 1, Cho biÓu thøc P = x  x x a) Rót gän biÓu thøc sau P b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = x+1 HD a) §KX§ : x > ; x  P = 1−x b) Víi x = th× P = - – 2, Cho biÓu thøc : A = b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x = √x b 4 f HD: a ; Tính:  0.4 100  g 36  : 11  b ; HD: a 0,3 3* Tính: a  2 b – b 42 HD: a  b  4* Tính giá trị biểu thức: a A = 5 3 h   36  : 25  c ; d ; b  ( 2,5) a 0,3 c 29  12 b) Víi x = √ x−1 HD: a) §KX§ : x  0, x  A = III BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Tính: 25  16 x √ x +1 x −1 − x−1 √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc sau A a √2 e -7 ; c  f ; d d 2) e  25  16 b B = ; e  2a e  15 f 13  12 e  6 h  e (2a  4) với a  21 28  10 d  HD: a A = b B =  Trục thức ở mẫu (rút gọn biểu thức): g ; (1  d 3 c 11  d 16  81 c (  1) c th× A = - f 12   12  18   a 2 2 1 b c  d  e  1 53 HD: a b c d  e ( 1).(  2(3  3) g 3 f  5  g  (  3) 2) f Rút gọn các biểu thức sau: a A 1  4 4 b B 5  5 5 5 b B = 15 HD: a A =  5   5 3 C   1 :         c c C =  15 a b a  b3 M  a  b a  b  ab với a 0; b 0 và a b Rút gọn biểu thức: HD: M = b P x 1 x 25 x   4 x x x 2 Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tìm x để P = HD: a) ĐK: x  0; x 4 b) P x x 2 c) x = 16   a 1  Q     : a1 a   a   Cho biểu thức: a 2  a   a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q b) Tìm a để Q dương a  0; a 4; a 1; Q  a a b) a  ( a  b )  ab a b  b a A  a  b ab 10 Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị A không phụ thuộc vào a HD: a) HD: a) a  0; b  0; a b b) Rút gọn ta : A  b  A không phụ thuộc vào a  x 1    x3 x B      x  x  1  x x    11 Cho biểu thức: a) Rút gọn B ; b) Tìm x để B 3 HD: a) B  x  ;  x   với x 0 và x 1 b) x 16  x x    x 1  C     :   x  x   x  x x   12 Cho biểu thức: với a  và x 9 a) Rút gọn C ; b*) Tìm x cho C   C HD: a) 3 x  x 2  b) x  16 ;  BÀI TẬP LUYỆN THÊM CHO HỌC SINH GIỎI ( P= 1+ Bµi Cho biÓu thøc: a Rót gän P √a : a+1 b Cho )( 2√ a − √ a−1 a √ a+ √ a−a−1 a=19−8 √ ) TÝnh P a+ √ a+1 24−9 √ P= 3−√3 √a−1 ; b Híng dÉn: a x √ x+26 √ x−19 √ x √ x−3 P= − + x +2 √ x−3 √ x−1 √ x +3 Bµi Cho biÓu thøc P= a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P P= Híng dÉn: a P= Bµi Cho biÓu thøc a Rót gän P x+16 √ x+3 P= b b Tìm các giá trị x để P= -1 Híng dÉn: a P= Bµi Cho biÓu thøc ( 4x √ x−3 x= b )( a Rút gọn P b Tìm các giá trị x để P= Bµi Cho biÓu thøc 16 √ x−1 − + √ x : 1− √ x−2 √ x−1 √ x +1 x−1 √ x +1 P= Híng dÉn: a 103+3 √ 22 ( 2−2+ √√xx + 2+√ √x x − x +2x −4√ x−4 ): ( 2−2√ x − 2√√xx+3−x ) P= P= x=7−4 √3 ( ) P= Híng dÉn: a 2√x √x − : 1+ x+1 x √ x−x+ √ x−1 √ x−1 )( ) x+ √ x √ x−1 Rót gän P 1−√ x 1+ √ x +x ( P= 1− Bµi Rút gọn biÓu thøc √ x : √ x +3 + √ x +2 + √ x +2 √ x+1 √ x−2 3−√ x x−5 √ x +6 )( x−2 √ x+1 P= √ Híng dÉn: a P= Bµi Cho biÓu thøc a Rót gän P b T×m gi¸ trÞ cña P P= Híng dÉn: a ( √ x +1 + √ x + √ x : √ x +1 + 1− √ x √ x−1 √ x +1 1−x √ x−1 √ x +1 2−√ x= x+1 √x )( ) ) x=4 ; b 25 P= Bµi Cho biÓu thøc Híng dÉn: a P=( 1−a ) ( 1−a √ a 1+a √ a +√ a − √a 1−√ a 1+ √ a )( P= Bµi Rút gọn biÓu thøc P= Híng dÉn: ) Rót gän P √ x−9 √ x+3 √ x +1 − − x−5 √ x +6 √ x−2 3−√ x √ x+1 √ x−3 P= Bµi 10 Cho biÓu thøc x +1 √ x−1 √x + − :( − ( √√x−1 ) √ x+1 √ x +1 1−√ x x−1 ) P= a Rót gän P b Tìm các giá trị x để Chủ đề : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG – GIẢI TAM GIÁC VUÔNG I LÍ THUYẾT CẦN NHỚ: * Lưu ý: Học sinh muốn học tốt chủ đề này thì phải nhớ được các công thức cạnh và đường cao tam giác vuông bất kì, biết xác định thành thạo cạnh đối, cạnh kề một góc và cạnh huyền Biết công thức nào để tìm cái cần tính công thức Sau đây là một số lý thuyết liên quan đến các công thức học sinh cần học thuộc tỉ số lượng giác góc nhọn vuông: AC , b a.b 1) sin α = BC AB c a.c, 2) cos α = BC C a b  c B AC H a.h b.c 3) tan α = AB AB h b, c, 4) cot α = AC 1 Nhận xét:   h2 b2 c2 + Tỉ số lượng giác góc nhọn luôn dương α < và < cos α < Trong đó: AB=c; AC=b; BC=a; AH=h, BH= c’; + < sin CH=b’ (b’,c’ là hình chiếu AC,AB trên BC)  hệ thức cạnh và đường cao A vuông ABC:   zÁp dụng định lí pytago vào: 1) vuông ABC: AB2 + AC2 = BC2 2) vuông ABH: AH2 + BH2 = AB2 3) vuông ACH: AH2 + CH2 = AC2  BH + HC = BC (H ¿ BC)   Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau:  hệ thức cạnh và góc tam giác α vuông: sin = cos 1) AC = BC sinB Nếu α +  = 900 thì 1) cgv = ch sin(góc đối) α cos = AB = BC sinC sin 2) AC = BC cosC 2) cgv = ch cos(góc kề) α tan = AB = BC cos cot B cot α = 3) cgv = cgv tan(góc đối) 3) AC = AB tanB tan AB = AC tanC Một số tính chất tỉ số lượng giác: 4) AB = AC cotB 4) cgv = cgv cot(góc kề) sin α AC = AB cotC tan α= cos α 2) 1) cos α cot α= sin α 3) sin α +cos α=1 4) tan α cot α=1 Đường trung tuyến ứng với cạnh A huyền: huyền nửa cạnh  Tính chất đường phân giác tam giác: A | B / M / AM = BC (AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC) Tỷ số lượng giác Sin  Cosin  tan   B C \ C D DB AB = DC AC (AD là đường phân giác ABC) 300 450 600 2 2 2 3 3 cot  3 II CÁC DẠNG BÀI TẬP A ÁP DỤNG MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG ĐỂ TÍNH CÁC YẾU TỐ CẦN TÌM Các dạng bài tập: Dạng 1: Biết cạnh huyền và cạnh góc vuông (hoặc hai cạnh góc vuông), tính các hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền và ngược lại * Phương pháp giải: Vận dụng hệ thức (1) b2=ab'; c2=ac' * Ví dụ minh hoạ: x y VD1: Tìm x và y hình Hướng dẫn giải:  Áp dụng hệ thức (1) c2=ac' x2=5.1 => x= Hình y2=5.4 => x= 20 VD2: Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định trên cạnh huyền Hướng dẫn giải: A Áp dụng định lí Pitago ta tính cạnh huyền 2 BC=  5 Áp dụng hệ thức: b2=ab' => b'=b2:a => b’=3,2 => c’=1,8 B ? ? ? C Hình 1   2 Áp dụng hệ thức: h2=b' c' a.h b.c h b c Tính h 2,  Dạng 2: các bài toán liên quan đến độ dài đường cao ứng với cạnh huyền *Phương pháp giải Vận dụng các hệ thức (2) h2=b'c' (3) bc=ah *Ví dụ minh hoạ: a) AC = 100 cm và Ĉ = 300AB = 50 cm và Ĉ = 450 B̂ = 350 và BC = 40 cm b) AB = 70 cm và AC = 60 cm c) AB = cm và B̂ = 600 d) AB = cm và BC = cm x y Hình Bài 10: Cho ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và AH = 12 cm ; BC = 25 cm a) Tìm độ dài BH; CH; AB và AC b) Vẽ trung tuyến AM Tìm số đo AM̂H c) (*)Tìm diện tích AHM Bài 11: Cho ABC có CH là chiều cao; BC = 12 cm , B̂ = 600 và Ĉ = 400 a) Tìm độ dài CH và AC b) (*)Tính diện tích ABC Bài 12*: Cho tam ABC vuông tại A có AB=a Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc với Tính AC và BC Bài 13*: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH Biết BC = 25cm, AB = 20cm a Tính độ dài cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH và CH b Kẻ từ H đường thẳng (d) song song với AB, đường thẳng (d) cắt cạnh AC tại điểm N Tính độ dài các đoạn thẳng HN, AN và CN Bài 14: Cho tam giác ABC, đường cao AH biết AB = 11cm, AC = 15cm, BC = 20cm a) (*) Chứng minh hệ thức: HC2−HB2=AC2+AB2 b) Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HC và đường cao AH