Đang tải... (xem toàn văn)
www.VNMATH.com ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề... BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY [r]
(1)www.VNMATH.com ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2009 NGÀNH: TOÁN HỌC Môn thi: GIẢI TÍCH Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC QUY NHƠN ðỀ CHÍNH THỨC Câu a) Tính giới hạn lim ( x + y ) x2 y x →0 y →0 b) Chứng minh hàm số f xác ñịnh trên ℝ cho ñây liên tục không khả vi ( 0, ) : xy 2 f ( x, y ) = x + y 0 Câu ( x, y ) ≠ ( 0, ) ( x, y ) ≠ ( 0, ) a) Cho dãy số {an } và hàm số f : [ 0,1] → ℝ xác ñịnh 1 <x≤ an f ( x) = n +1 n 0 x = a Chứng minh tồn α ∈ ( 0,1) cho αn hội tụ thì f khả tích Lebesgue trên n [ 0,1] Từ ñó xét tính khả tích Lebesgue f trên [ 0,1] trường hợp an = n trên [ 0,1) 1− x là dãy các ánh xạ co từ không gian mê-tric ñầy ñủ X vào chính nó b) Xét tính khả tích và tính tích phân Lebesgue (nếu có) f ( x) = Câu a) Giả sử { fn } hội tụ ñều ánh xạ f trên X , và các hệ số co α n f n thỏa mãn sup n α n < Chứng minh f là ánh xạ co b) Cho f : X → X là ánh xạ liên tục từ không gian mê-tric compact ( X , d ) vào chính nó thỏa mãn ñiều kiện d ( f ( x), f ( y ) ) < max {d ( x, y ) , d ( x, f ( x) ) , d ( y, f ( y ) )} , ∀x, y ∈ X , x ≠ y Chứng minh f có ñiểm bất ñộng Câu Cho không gian vec-tơ C [ −1,1] các hàm số có ñạo hàm liên tục trên [ −1,1] Xét ánh xạ : C1 [ −1,1] → ℝ cho x =: x ( ) + max x ' ( t ) , ∀x ∈ C1 [ −1,1] t∈[ −1,1] a) Chứng minh ( C [ −1,1] , ) là không gian Banach b) Xét các ánh xạ fε , f : C [ −1,1] → ℝ , với < ε < , cho x ( ε ) − x ( −ε ) ; f ( x ) = x ' ( ) 2ε i) Chứng minh fε , f là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C [ −1,1] và tính fε ( x ) = fε , f0 ii) Chứng minh fε hội tụ ñơn giản không hội tụ theo chuẩn f ε → HẾT -Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2)