1 Tóm tắt lý thuyết 1.1 Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa 1.1 Ta kí hiệu K ⊂ R là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng.. Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải[r]
(1)KHẢO SÁT HÀM SỐ (ÔN THI ĐẠI HỌC) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Châu Trần Duyên Anh Ngày 25 tháng năm 2015 Tóm tắt lý thuyết 1.1 Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa 1.1 Ta kí hiệu K ⊂ R là khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f (x ) xác định trên K Ta nói i) Hàm số y = f (x ) đồng biến (tăng) trên K với x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 ta luôn có f (x1 ) < f (x2 ) ii) Hàm số y = f (x ) nghịch biến (giảm) trên K với x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 ta luôn có f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến trên K gọi chung là hàm số đơn điệu trên K Chú ý 1.2 Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị lên từ trái sang phải Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị xuống từ trái sang phải 1.2 Các định lý áp dụng vào bài tập Định lý 1.3 Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên K i) Nếu hàm số đồng biến trên K thì f ′ (x ) ≥ với x ∈ K ii) Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f ′ (x ) ≤ với x ∈ K Định lý 1.4 Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm trên K i) Nếu f ′ (x ) ≥ với x ∈ K và f ′ (x ) = hữu hạn điểm trên K thì f đồng biến trên K ii) Nếu f ′ (x ) ≤ với x ∈ K và f ′ (x ) = hữu hạn điểm trên K thì f nghịch biến trên K Chú ý 1.5 Nếu f ′ (x ) = với x ∈ K thì f là hàm số trên K Châu Trần Duyên Anh (2) Trong định lý 1.4, K là đoạn nửa khoảng thì cần có thêm điều kiện f liên tục các đầu mút Điều kiện f ′ (x ) = hữu hạn điểm trên K định lý 1.4 là để đảm bảo f không là hàm số trên K Do đó, khẳng định f không phải là hàm số thì có thể bỏ qua điều kiện này Các dạng bài tập 2.1 Tìm các khoảng biến thiên hàm số Để tìm các khoảng biến thiên hàm số y = f (x ), ta vận dụng qui tắc sau Qui tắc 2.1 Tìm tập xác định hàm số Tình đạo hàm f ′ (x ) Tìm các điểm xi mà đó đạo hàm không xác định Kẻ bảng biến thiên, xếp các xi theo thứ tự tăng dần, xét dấu f ′ (x ) Dựa vào bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến Ví dụ 2.2 Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = x − 2x + 3x + Giải Tập xác định D = R Ta có y ′ = x − 4x + y ′ = ⇔ x − 4x + = ⇔ x = x =3 Bảng biến thiên x −∞ y ′ (x ) y + −∞ % +∞ − 10 + +∞ &2% Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3) Ví dụ 2.3 Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = Giải Tập xác định D = R \ {1} Ta có y ′ = Bảng biến thiên x −3 <0 (x − 1)2 x +2 x −1 ∀x 6= −∞ y ′ (x ) − − +∞ y +∞ & −∞ & Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞) Châu Trần Duyên Anh (3) Ví dụ 2.4 Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = x − x + x − Giải Tập xác định D = R Ta có y ′ = 4x − 4x + x = x (4x − 4x + 1) = x (2x − 1)2 y ′ = ⇔ x (2x − 1)2 = ⇔ x = x= Bảng biến thiên x −∞ y ′ (x ) y − + +∞ & −3 % +∞ + +∞ 143 − % 48 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên (0; +∞) Chú ý 2.5 Trong ví dụ 2.4, vì y ′ ≥ ∀x ∈ (0; +∞) và y ′ = x = nên theo định lý 1.4 hàm số đã cho đồng biến trên (0; +∞) Ví dụ 2.6 Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = x − sin2 x trên 0; π π π π ′ Ta có y = − sin x cos x = − sin2x ≥ 0, ∀x ∈ 0; và y ′ = x = π Vậy hàm số đã cho đồng biến trên 0; Giải Xét trên khoảng 0; 2.2 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định khoảng cho trước Ví dụ 2.7 Tìm m để hàm số y = 2x + (m + 3)x + 6m x + đồng biến trên R Giải Tập xác định D = R Ta có y ′ = 6x + 2(m + 3)x + 6m Vì y không là hàm số trên R nên hàm số đã cho đồng biến trên R và y ′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ = (m + 3)2 − 36 ≤ (do a y ′ = > 0) ⇔ m − 30m + ≤ p p ⇔ 15 − 6 ≤ m ≤ 15 + 6 p p Vậy 15 − 6 ≤ m ≤ 15 + 6 thỏa đề bài Ví dụ 2.8 Tìm m để hàm số y = −x + 3x + 3m x − nghịch biến trên (0; +∞) Châu Trần Duyên Anh (4) Giải Hàm số đã cho có tập xác định D = R nên xác định trên khoảng (0; +∞) Ta có y ′ = −3x + 6x + 3m = 3(−x + 2x + m ) Vì y không là hàm số trên (0; +∞) nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞) và y ′ ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ −x + 2x + m ≤ 0, ⇔ m ≤ x − 2x , ∀x ∈ (0; +∞) ∀x ∈ (0; +∞) Xét hàm số g (x ) = x − 2x với x ∈ (0; +∞) Ta có g ′ (x ) = 2x − g ′ (x ) = ⇔ 2x − = ⇔ x = Bảng biến thiên x +∞ g ′ (x ) − + +∞ g (x ) & −1 % Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m ≤ −1 thỏa đề bài Ví dụ 2.9 Tìm m để hàm số y = x + (m − 1)x − (2m + 3m + 2)x đồng biến trên (2; +∞) Giải Hàm số có tập xác định D = R nên xác định trên (2; +∞) Ta có y ′ = 3x + 2(m − 1)x − (2m + 3m + 2) Vì y ′ có ∆′ = (m − 1)2 + 3(2m + 3m + 2) = 7(m + m + 1) > ∀m ∈ R nên y ′ luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Giả sử x1 < x2 , đó ta có bảng xét dấu x −∞ y′ x1 x2 +∞ + − + Hàm số đồng biến trên (2; +∞) và p p 7(m + m + 1) ≤ ⇔ 7(m + m + 1) ≤ m + y ≥ 0, ∀x ≥ ⇔ x1 < x2 ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ 6m − 3m − 18 ≤ 7(m + m + 1) ≤ (m + 5)2 ⇔− ≤m ≤2 ⇔ ⇔ ⇔ m > −5 m > −5 m +5>0 ′ 1−m + Vậy − ≤ m ≤ thỏa đề bài Nhận xét 2.10 Trong ví dụ 2.9, m không đồng bậc nên ta không thể cô lập m vế chuyển dạng g (x ) ≤ m g (x ) ≥ m Tình này phải sử dụng bảng xét dấu y ′ và kiến thức tam thức bậc hai để giải p Ví dụ 2.11 Tìm m để hàm số y = x − m x + (m + 36)x − nghịch biến trên khoảng có độ dài Châu Trần Duyên Anh (5) Giải Tập xác định D = R Ta có y ′ = 3x − 2m x + m + 36 là tam thức bậc hai có a y ′ = > và ∆′ = m − 3m − 108 Nếu ∆′ ≤ ⇔ −9 ≤ m ≤ 12 thì y ′ ≥ 0, ∀x ∈ R, trường hợp này hàm số luôn đồng biến trên R nên không có p khoảng nghịch biến có độ dài Nếu ∆′ > ⇔ m < −9 m > 12, trường hợp này y ′ có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ) Khi đó hàm số đã p cho nghịch biến trên khoảng (x1 ; x2 ) Theo đề bài thì | x1 − x2 |= tức là p p m − 3m − 108 =4 bình phương hai vế và rút gọn ta phương trình m − 3m − 180 = ⇔ m = −12 m = 15 ( thỏa điều kiện) Vậy m = −12 m = 15 thỏa đề bài Ví dụ 2.12 Tìm m để hàm số y = mx +4 đồng trên khoảng (1; +∞) x +m m2 − (x + m )2 Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và y ′ > ∀x ∈ (1; +∞), điều này tương đương với Giải Tập xác định D = R \ {−m } Ta có y ′ = m2 − > −m ≤ ⇔ m −2 m ≤ −1 m > ⇔m >2 Vậy m > thỏa đề bài Bài tập tự làm Bài Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số sau : y = x − 3x − 7x − ; y = x − 2x + ; y = 9x − 7x + x + 12 ; 3x y = ; x +1 p y = x + 2x + ; y = x − 2x + x − 6x + 11 ; y = x − 8x + x −5 Bài Chứng minh Hàm số y = (m + 1)x − (m + 1)x + 2x + đồng biến trên R với m ; Hàm số y = x + cos2 x đồng biến trên R ; Hàm số y = −x + p x + nghịch biến trên R Hàm số y = − sin2 x − sin2 (m + x ) − cos m cos x cos (m + x ) lấy giá trị không đổi trên R; Hàm số y = cos x + sin x tan Châu Trần Duyên Anh π π x lấy giá trị không đổi trên − ; 4 (6) Bài Tìm m để hàm số m +1 x + 2x + (m − 1)x nghịch biến trên R; y = y = x + (m + 1)x + (m − 5)x + đồng biến trên R; y = x + 3x − m x − nghịch biến trên (−∞; 0); m y = − (m − 1)x + 3(m − 2)x + đồng biến trên [2; +∞); 3 m x + (6m + 5)x − 2(1 − 3m ) y = nghịch biến trên [1; +∞); x +1 2x − 3x + m y = đồng biến trên (3; +∞) x −1 y = − x + (m + 1)x + (m + 3)x − đồng biến trên (0; 3); y = x + 3x + m x + m nghịch biến trên khoảng có độ dài Châu Trần Duyên Anh (7)