Đang tải... (xem toàn văn)
Qua O vẽ đường thằng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) 2 x 1 x x x 3x x 1 : x Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức P = a Rút gọn P b Tìm x Z để P có giá trị nguyên c Tìm x để P Câu 2(4,5 điểm): a Giải phương trình: x3 – 6x2 – x + 30 = x 2x x x 1 1 3 b Giải bất phương trình sau: x c Cho biết x2 x 1 x2 Hãy tính giá trị biểu thức: Q = x x Câu 3(5,0 điểm): a Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = b Cho a, b, c Z, thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a5 + b5 + c5 M30 1 1 1 a b c a b c a b c , đó a, b, c là c Chứng minh rằng: b c a các số thực không nhỏ Câu 4(4,5 điểm): Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b BH.BE + CH.CF = BC2 BC AD.HD c d Gọi I, K, Q, R là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cùng nằm trên đường thẳng Câu 5(2,0 điểm): Cho tam giác ABC Trên tia đối các tia BA, CA lấy theo thứ tự các điểm D, E cho BD = CE = BC Gọi O là giao điểm BE và CD Qua O vẽ đường thằng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng này cắt AC K Chứng minh: AB = CK Hết Họ và tên thí sinh:: SBD (2) Giám thị 1: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA Câu Câu a) ĐKXĐ: x 0, x 1 (4đ) x 1 Giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Hướng dẫn x P ( x 1) 3x x 3x x 1 x Ta có 2x 2 x 2 3x 3x x x 2x P x Vậy: P 2 Z x b) Ta có Điểm 0,25 0,75 0,75 0,25 0,25 x 1 Ư(2)= 1; 2 2;0;3; 1 0,25 0,25 2;3 Kết hợp với ĐKXĐ x 0,25 2x 2x x 1 1 0 0 x x x c) Mà x – < x + nên x – < và x + x và x Kết hợp với ĐKXĐ x và x 0 a) Ta có x3 – 6x2 – x + 30 = (x – 3)(x + 2)(x – 5) = x-3=0 x+2=0 x-5=0 x=3 x= -2 x=5 0,5 Từ đó suy x P 1 Câu (4,5đ) Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-2; 3; 5} x 2x x 1 6x-6-2x+2 6x+9+2x-6 3 b) 4x -7 x x 1 7 x / x 4 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = x c) Từ x x x2 x 1 x 0 , đó x 2 1 25 21 x 1 x x 1 1 x 4 x x x4 x2 1 Lại có x 2 1 21 x 1 x x x 0,5 0,75 0,5 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 (3) x2 Suy Q = x x = 21 a) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = Câu 25x2 + 25y2 + 40xy + 10y –10x +10 = (5,0đ) (5x + 4y -1)2 + 9(y + 1)2 = Do (5x + 4y -1)2 0 và 9(y + 1)2 với x, y Nên (5x + 4y -1)2 = 9(y + 1)2 = Suy x = 1, y = -1 b) Ta có a5 – a = a(a2-1)(a2+1) = a(a2-1)(a2-4+5) = (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5(a-1)a(a+1) Do (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, và , đó chia hết cho 30 Lại có (a-1)a(a+1) chia hết cho nên 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 30 Từ đó suy a5 – a chia hết cho 30 Tương tự b5 – b chia hết cho 30 và c5 – c chia hết cho 30 Từ đó suy ra: (a5 + b5 + c5) – (a + b + c) = (a5 – a) + (b5 – b) + (c5 – c) chia hết cho 30 Mà a+b+c =0 nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 30 1 1 a b c a b c c) b c a a b c (ab 1)(bc 1)(ca 1) (a 1)(b 1)(c 1) a2b2c2-abc(a+b+c) + (ab+bc+ca) a2b2c2 +a2+b2+c2- (a2b2+b2c2+c2a2) 2(a2b2+b2c2+c2a2)- 2abc(a+b+c) 2(a2+b2+c2)- 2(ab+bc+ca) (ab-bc)2 + (bc-ca)2 + (ca-ab)2 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 (a-c)2(b2-1) + (b-a)2(c2-1) + (c-b)2(a2-1) 0 (đúng với a,b,c 1) Câu (4,5đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (ab 1)(bc 1)(ca 1) ( a 1)(b 1)(c 1) abc abc 0,5 0,5 0,5 0,5 A E F H C B D a) Ta có AEB : AFC (g.g) 0,5 AE AB AF AC Từ đó suy AEF : ABC (c.g.c) 0,5 (4) BD BH BH BE BC.BD BE BC b) BDH : BEC (g.g) (1) CD CH CH CF BC.CD CDH : CFB (g.g) CF BC (2) Từ (1) và (2) suy BH.BE + CH.CF = BC.BD + BC.CD = BC2 c) Chứng minh DBH : DAC (g.g) Lại có: Do đó d) DC DB DC.DB AD.HD DH DB DH DA DC.DB DC DA BC 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 BC 0,25 A I E K F H Q C B D R Từ giả thiết suy EI//CF, EK//BC, EQ//AB, ER//AD Áp dụng định lý Ta-let ta có: AI AE AK * AF AC AD IK//DF (3) BF BH BD * BI BE BR IR//DF (4) CR CE CQ * CD CA CF RQ//DF (5) 0,25 0,25 0,25 Từ (3), (4) và (5) suy bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng Câu (2,0đ) 0,5 0,25 A K B 1 C O M E D Vẽ hình bình hành ABMC AB=CM (1) 0,5 (5) ¶ 1 C ¶ CBM · B 1 · 2 Ta có nên BO là tia phân giác CBM · Tương tự CO là tia phân giác BCM · BMC Do đó MO là tia phân giác Suy OM song song với tia phân giác góc A, suy K, O, M thẳng hàng 1· ¶ BMC · ¶ M BAC K 1 2 Ta có nên tam giác KMC cân C CK CM (2) Từ (1) và (2) suy CK = AB Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình vẽ hình sai thì không chấ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (6)