LTDH Cap Toc Luong Giac GV Doan Van Tinh

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.. Phƣơng trình bậc nhất đối với s[r]

Chuyên đề LƢỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC Hệ thức LG sin   cos   tan   sin  cos  tan  cot          k    cot       tan   1    k  2 cos    Công thức LG thường gặp sin  a  b   sinacosb  sinbcosa cos  sin    k    cot     k  sin  Công thức cộng: cos  a  b   cos a cos b  sinasinb tan  a  b   tana  tanb  tanatanb sin 2a  2sin a.cos a cos 2a  cos a  sin a  cos a    2sin a Công thức nhân: cos 3a  cos3 a  3cos a sin 3a  3sin a  4sin a tan 3a = Tích thành tổng: Tổng thành tích: Công thức hạ bậc: tan a  tan a  tan a cosa.cosb = [cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb = [cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb = [sin(ab)+sin(a+b)] ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 ab a b cos a  cos b  2cos cos 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b cos2a = (1+cos2a) sin2a = (1cos2a) LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đoàn Văn Tính(0946069661) \ Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan sin a  a 2t 1- t 2t ; cos a  ; tan a  2 1 t 1 t 1 t2 Phương trìng LG u  v  k 2 * sinu=sinv   u    v  k 2 * cosu=cosvu=v+k2 * tanu=tanv  u=v+k * cotu=cotv  u=v+k  k  Z  Một số phương trình LG thường gặp Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai hàm số lƣợng giác: a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình phương trình LG b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: là phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t hàm số LG Phƣơng trình bậc sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a  b2  c2 b c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a đặt  tan  , ta được: sinx+tancosx= cos  a a ñaë t c c  sinx cos  + sin  cosx= cos   sin(x+  )= cos   sin  a a Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a  b2 , ta được: a b c sin x  cos x  a  b2 a  b2 a  b2 a b Đặt:  cos  ;  sin  Khi đó phương trình tương đương: 2 a b a  b2 ñaët c c hay sin  x     cos  sin x  sin  cos x   sin  a  b2 a  b2 x Cách 3: Đặt t  tan Phƣơng trình bậc hai sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*)   k + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0     tan x   x   k  Chú ý: 2 cos x   Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc Phƣơng trình đối xứng sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx cosx Điều kiện  t   Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x      Lưu ýcác công thức : sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4       sin x  cos x  sin  x     cos  x   4    LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đoàn Văn Tính(0946069661) Phần 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Ví dụ 1: Giải phương trình : sin x(cot x  tan x)  4cos2 x (1)   x  k  sin x   Điều kiện:     cos x  x   k    cos x sin x cos x cos x  sin x sin x cos x    Ta có: cot x  tan x  sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x (1)  2sin x cos x  4cos x sin x cos x cos2 x   2cos2 x  cos2 x(1  2cos x)  cos x   x   k   cos x    cos x  /   x     k  Vậy,phương trình có nghiệm: x  Ví dụ 2: Giải phương trình:   k , x    sin x  cos4 x    k  cos4 x (1) tan(  x) tan(  x) 4      sin(  x)cos(  x)  sin(  x)  Điều kiện:    cos x     sin(  x)cos(  x)  sin(  x)    4    tan x  tan x tan(  x) tan(  x)  1 4  tan x  tan x (1)  sin x  cos4 x  cos4 x   2sin 2 x cos2 x  cos4 x 1   sin x  cos4 x   (1  cos2 x)  cos 4 x 2  2cos4 x  cos2 x    cos2 x     cos2 x   sin x   x  k Vậy,phương trình có nghiệm: x  k LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh  GV: Đoàn Văn Tính(0946069661) Ví dụ 3: Giải phương trình : sin8 x  cos8 x  2(sin10 x  cos10 x)  cos x  sin8 x(1  2sin x)  cos8 x(2cos2 x  1)  cos x  sin8 x cos x  cos8 x cos x  cos x  4cos x(cos8 x  sin8 x)  5cos x   4cos x(cos4 x  sin x)(cos4 x  sin x)  5cos x   4cos2 x(cos2 x  sin x)(cos2 x  sin x)(cos4 x  sin x)  5cos2 x   4cos x(cos2 x  sin x)(1  sin 2 x)  5cos x   4cos2 x(1  sin 2 x)  5cos x   4cos x(4cos x  2cos x sin 2 x  5)   4cos x[4cos x  2cos x(1  cos2 x)  5]     4cos x(2cos3 x  2cos x  5)   cos2 x   x   k Ví dụ Giải phương trình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1) Giải  cos x  cos x  cos x  cos8 x Phương trình (1) tương đương với:    2 2  cos2x+cos4x+cos6x+cos8x =  2cos5xcosx+2cos5xcos3x =  2cos5x(cos3x+cosx) =  4cos5x.cos2x.cosx = π kπ π    x  10  5 x   kπ cos x    π π lπ    cos x   x   kπ   x   , ( k , l , n  )   cos x     x  π  nπ  x  π  kπ   2 6 8 Ví dụ Giải phương trình: cos x+sin x = ( cos x+sin x) (2) Giải Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2 x)  cos2x(sin6x–cos6x) =  cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) =  cos2x =  2x  π π kπ  kπ  x   , (k ) Ví dụ 6: Giải phương trình: cos6 x  2 sin3 x sin 3x  cos x 1  (3) Giải LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đoàn Văn Tính(0946069661) Ta có: (3)  2 cos3 x(4 cos3 x  3cos x)  2 sin x sin x    cos x.2 cos x cos 3x  2sin x.2sin x sin x3 x   (1  cos x)(cos x  cos x)  (1  cos x)(cos x  cos x)   2(cos x  cos x cos x)   cos x(1  cos x)   cos x.cos 2 x   cos x  2 π  x    kπ , (k  ) Ví dụ Giải phương trình lượng giác: sin8 x  cos8 x  17 32 (4) Giải Ta có (4) 4 17   cos x    cos x  17      32  (cos x  cos x  1)  32 2      t  17 13 2 Đặt cos 2x = t, với t[0; 1], ta có t  6t    t  6t     4 t   13  1 cos x 1 Vì t[0;1], nên t   cos 2 x    2 2 π π π cos4x =  x   kπ  x   k , (k ) Ví dụ Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + – cos2x + cosx – =  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] =  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = cos x   x  k 2π, (k  )   2sin x  2cos x  2sin x cos x   (*) Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | , đó phương trình (*) trở thành: t  π 2t + t2 – + =  t2 + 2t =    sin x  -cos x  x    nπ , (n  ) t  2 (lo¹i) π Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x    nπ ; x  k 2π, ( n, k ) BÀI TẬP Giải các phƣơng trình sau: cos3x+cos2x+2sinx–2 = ĐS: x  k 2 ; x    n2 tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) ĐS: x   HD: Chia hai vế cho sin2x   k ; x     n2 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đoàn Văn Tính(0946069661) ĐS: x   ĐS: x  k |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) ĐS: x    ;x    12  n ; x  7  m 12  k 2 ; x    n2 ; x      l 2 ; với sin    ĐS: x      sin  3x    sin x.sin  x   4 4   3 sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x ĐS: x     k k   ĐS: x  k HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x  sin x k  sinx4sin3x+cosx =0  12    x   k   ĐS:  x   k    x  5  k   7   sin   x 3     sin  x     10 sin3 x  cos3 x  sin x cos2 x  sin x cos x ĐS: x =  HD: Chia hai vế cho cos3x 11 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx ĐS: x  HD: Đưa cung x đặt thừa số    k  x    k , x     k 2  k 2 (k  ) 12 sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1) 13 2sinx+cotx=2sin2x+1 14 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0  cos x  sin x    ĐS : x    k 2  k   tan x  cot x cot x  4 sin x  cos x   tan x  cot x  ĐS:vô nghiệm 16 Giải phƣơng trình: sin x   17 Giải phƣơng trình: 2sin  x    2sin x  tan x 15 Giải phƣơng trình lƣợng giác:  HD  (1–sin2x)(cosx–sinx) = 4 18 Giải phƣơng trình: sin x  cos x  3  3cos3 x  3cos2 x    cos x  sinx  3    x   k  ,k  ĐS:   x  k 2   19 Giải phƣơng trình: cosx=8sin3  x   ĐS: x  k 6   cos x  sin x    20 Giải phƣơng trình lƣợng giác: ĐS: x    k 2  k    tan x  cot x cot x  21 Giải phƣơng trình: cos x   2(2  cos x)(sin x  cos x) LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đoàn Văn Tính(0946069661)  x    k 2 ĐS:  (k  Z )  x    k 2  22 Giải phƣơng trình: 2cos3x +  k ĐS: x =  (kZ) 3 sinx + cosx = 23 Giải phƣơng trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 23 ĐS: x    16 k  ,k Z : PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A cos 3x  sin 3x   Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) phương trình:  sin x    cos x   2sin x    5 ĐS: x  ; x  3 cos x Giải phương trình: cot x    sin x  sin x  tan x   ĐS: x     k , x        sin x ĐS: x    18 k 2 ,  k   (1  sinx  cos x) s in( x  Giải phương trình ( A_2005) ( A_2006) ( A_2007)  k 2 , x  k 2  k    7   sin   x 3     sin  x       5 ĐS: x   k , x   k , x   k ,  k   8 1  sin x  cos x Giải phương trình:  1  sin x 1  sin x  ( A_2003)   k  k   Giải phương trình: cos2 3x cos x  cos2 x  k ĐS: x   k   2 cos6 x  sin x  sin x cos x 0 Giải phương trình:  2sin x 5 ĐS: x   k 2  k   Giải phương trình:  sin x cos x   cos2 x sin x   sin x ĐS: x  ( A_2002)  t anx ( A_2008) ( A_2009)  )  cos x  sin x  cos2 x  sin x sin x  cot x 10 Giải phương trình sin2x+cos2x=2cosx-1   11 Giải phương trình  tan x  2 sin  x   4  Giải phương trình LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh (A-2010) (A-2011) (A-2012) (A-2013) GV: Đoàn Văn Tính(0946069661) KHỐI B 12 Giải phương trình sin 3x  cos2 x  sin 5x  cos2 x ĐS: x  k  ;x k  ,  k   13 Giải phương trình cot x  tan x  4sin x   sin x ( B_2003)  k ,  k   14 Giải phương trình 5sin x   1  sin x  tan x ĐS: x    ( B_2004) 5  k 2 ,  k   6 15 Giải phương trình  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  ĐS: x   k 2 ; x  x  16 Giải phương trình: cot x  sin x 1  tan x tan   2   5 ĐS: x   k ; x   k ,  k   12 12 17 Giải phương trình: 2sin 2 x  sin x   sin x  2 5 2 ĐS: x   k ;x  k ,  k   18 18 18 Giải phương trình sin3 x  cos3 x  sin x cos2 x  sin x cos x   k  ;x  2k   , x    2k ,  k   20 Giải phương trình (sin 2x  cos2x) cos x  cos2x  sinx=0 21 Giải phương trình sin2x cos x+sinxcosx=cos2x+sinx  cos x 42 ( B_2007) ( B_2008) ( B_2009)  22 Giải phương trình 2(cos x  sin x) cos x  cos x  sin x  23 Giải phương trình sin 5x  2cos2 x  KHỐI D 24 Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0  3 5 7 ĐS: x  ; x  ;x  ;x  2 2 x x  25 sin    tan x  cos     (B-2010) (B-2011) (B-2012) (B-2013) (D_2002) ( D_2003)   k ,  k   26 Giải phương trình  2cos x  1 2sin x  cos x   sin x  sin x ĐS: x    k 2 , x   ĐS: x   ( B_2006)   k ,  k   19 Giải phương trình: sin x  cos xsin x  cos3 x 2 cos x sin x  ĐS: x  ( B_2005) 2  k 2  k   ĐS: x   ĐS: x  ( B_2002)  k 2 , x    ( D_2004)  k ,  k       27 Giải phương trình: cos4 x  sin x  cos  x   sin  3x     4    LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh ( D_2005) GV: Đoàn Văn Tính(0946069661)   k ,  k   28 Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 2 ĐS: x    k 2 ,  k   x x  29 Giải phương trình  sin  cos   cos x  2 2  ĐS: x   ( D_2006) (D_2007)   k 2 ,  k   30 Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 2  ĐS: x    k 2 , x   k ,  k   31 Giải phương trình cos 5x  2sin 3x cos x  sin x  ĐS: x    k 2 , x     18 k ,x k ( D_2009)  ,  k   32 Giải phương trình sin2x  cos2 x  3sin x  cos x   sin2x  2cos x  s in x  33 Giải phương trình 0  t anx ĐS: x  (D_2008) 34 Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x (D-2010) (D-2011) (D-2012) 35 Giải phương trình sin 3x  cos 3x  2sin x  4 2 ĐS: x   k 2 , x  k ,  k   15 36 Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx  5 ĐS: x   k , x   k ,  k   12 12 Hết “Chúc các em thành công “ LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh GV: Đoàn Văn Tính(0946069661)