a Khảo sát thực tế của đề tài: Qua quá trình bồi dưỡng học sinh mũi nhọn môn toán 6 ở các năm thì tôi đã nhận thấy một điều là các em khi bắt gặp dạng toán chứng minh phân số tối giản th[r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là môn khoa học coi là chủ lực, trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác , tính hệ thống ,tính khoa học và tính lôgíc…, vì chất lượng dạy học và học toán nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại , giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung và đổi phương pháp dạy và học toán nói riêng trường THCS là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy và phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát và giải vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong đó việc nâng cao chất lượng mũi nhọn là vấn đề quan trọng để đánh giá chất lượng dạy học Yếu tố quan trọng để đánh giá chất lượng là phải có “nguồn” Đó chính là học sinh có tư chất , lực tốt, cùng với niềm đam mê học hỏi Có “nguồn” đó muốn phát huy thì cần phải có hoa tiêu dẫn đường tin cậy Không khác, để làm điều đó chính là người thầy giáo Từ năm đầu còn non trẻ phân công bồi dưỡng học sinh giỏi toán tôi đã luôn cố gắng tìm tòi đưa các dạng bài tập để nâng cao kiến thức cho các em Các bài tập đó thường lấy từ bài khó sách giáo khoa hay sách bài tập và góp nhặt từ các tài liệu tham khảo khác Bước đầu đã có kết còn khiêm tốn, nên tôi cảm thấy không hài lòng Do đó tôi đã nhận thấy để nâng cao chất lượng giảng dạy thì người thầy giáo cần thực phải luôn tìm tòi, học hỏi, đúc rút kinh nghiệm để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ để đưa nhiều phương pháp , biện pháp giúp cho học sinh hiểu thấu đáo các kiến thức sách giáo khoa, việc phân dạng, phân loại bài tập, hướng dẫn học sinh cách tìm tòi lời giải là việc làm quan trọng là việc giúp cho học sinh có lời giải đúng Sau vài năm đựơc phân công trực tiếp tham gia bồi giỏi học sinh lớp , tôi đã không ngừng học hỏi, tìm tòi để phân loại, phân dạng bài tập Mỗi dạng bài tập đưa cách giải cụ thể thì tôi cảm thấy hiệu đã tăng lên rõ rệt so với các năm trước (2) Chính vì thế, việc giúp đỡ các em nhận định dạng bài tập và tìm tòi cách giải, hiểu rõ chất bài toán là cần thiết , để từ đó các em biết huy động kiến thức mình để giải bài toán và đặc biệt là từ bài toán các em đã biết khai thác sâu bài toán có liên quan Từ đó rèn luyện cho học sinh khả sáng tạo việc giải toán Tôi nghĩ đó là việc làm cần người giáo viên Với phạm vi hạn hẹp , tôi xin trình bày số kinh nghiệm thân đã tìm tòi, đúc rút dạy học sinh giải bài tập liên quan đến phân số tối giản với đề tài: “ Giải các bài toán liên quan đến phân số tối giản ” Xin đưa để các đồng nghiệp tham khảo và góp ý ************************ B Giải vấn đề I) CƠ SỞ THỰC TIỄN: Trong nhiều năm qua từ việc học tập, nghiên cứu thay đổi chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy học theo hướng tích cực, đồng thời qua thực tế dạy học , băn khoăn trăn trở, tôi đã rút cho thân mình nhiều bài học bổ ích Có nhiều cách dẫn dắt song với phương pháp đổi sách giáo khoa nay, để tạo cho học sinh ‘luồng’ kiến thức có liên quan cách logíc, có sức thuyết phục, dễ nhớ dễ hiểu và phát huy tính sáng tạo học sinh Trên sở các bài tập đơn giản tường minh phân số tối giản sách giáo khoa , thì bài toán đưa không có qui tắc giải tổng quát mà bài toán có với số liệu riêng nó đòi hỏi cách giải phù hợp Điều đó có tác dụng cho học sinh tư toán học linh hoạt và sáng tạo.Nhưng học sinh tiếp cận với các bài tập các dạng khác cao so với sách giáo khoa , đó học sinh lúng túng , chính vì bồi dưỡng học sinh khá giỏi giáo viên phải tìm tòi, góp nhặt sáng cung cấp cho học sinh các dạng toán thường gặp chứng minh phân số tối giản (có tử và mẫu là biểu thức chứa chữ) nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn II) THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: (3) a) Khảo sát thực tế đề tài: Qua quá trình bồi dưỡng học sinh mũi nhọn môn toán các năm thì tôi đã nhận thấy điều là các em bắt gặp dạng toán chứng minh phân số tối giản thì hầu hết các em đã biết đưa phân số đó dạng mà tử và mẫu nó không thể rút gọn , còn bắt gặp bài toán mà phân số cho dạng tử và mẫu là biểu thức chứa chữ (tham số )với yêu cầu chứng minh phân số đó là phân số tối giản tìm giá trị thích hợp tham số để phân số đã cho trở thành phân số tối giản …thì hầu hết các em gặp khó khăn, các em có biết cách giải thì chưa rèn kỹ giải toán dạng này Hơn các em có thể mắc sai lầm giải loại tóan đó Khi chưa áp dụng đề tài này quá trình bồi dưỡng thì tôi nhận thấy : Số HS không giải Số HS giải đem kết Số HS giải đúng sai 35% 25% 40% b) Phân tích nguyên nhân : * Học sinh không giải : - Do các em chưa hiểu khái niệm dạng toán chứng minh phân số tối giản mà tử và mẫu là biểu thức chứa chữ tìm giá trị thích hợp tham số để phân số đã cho trở thành phân số tối giản - Có hiểu khái niệm song chưa nắm bắt các dạng toán * Học sinh giải dem kết sai: - Do mắc số sai lầm thường gặp hiểu khái niệm chứng minh phân số tối giản tìm giá trị thích hợp tham số chưa logíc, chưa đầy đủ III) ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP Khi giải toán dạng này giáo viên cần cung cấp cho học sinh nắm vững kiến thức : (4) - Nắm các kiến thức có liên quan - Từ các kiến thức đó phát triển thành sơ đồ nhờ gợi mở giáo viên và suy luận học sinh - Các dạng toán thường gặp IV) NỘI DUNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1)Giúp học sinh nắm các kiến thức có liên quan và kiến thức bổ sung - Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn - a (a, b Z , b 0) a ; b 1 Phân số b là phân số tối giản ƯCLN - Mọi phân số có thể đưa dạng phân số tối giản - a b Phân số b là phân số tối giản thì a là phân số tối giản - Tổng (hiệu) số nguyên và phân số tối giản là phân số tối giản 5 ; 1 Ví dụ: 13 là phân số tối giản vì ƯCLN 12 là phân số chưa tối giản vì ƯCLN (2;8) = 1 13 12 Và đó là phân số tối giản còn phân số là phân số chưa tối giản 13 2 là phân số tối giản Phân số là phân số tối giản 2) Các dạng bài tập áp dụng (5) Với các kiến thức trên thì học sinh đã dễ dàng nhận phân số đã cho là phân số tối giản hay chưa song không phải bài toán cho dạng tường minh mà bài toán còn cho nhiều dạng khác Bài 1: Chứng tỏ phân số đã cho là phân số tối giản? ?Vậy để giải dạng toán này ta làm nào? HS: Ta phải chứng tỏ giá trị tuyệt đối tử và mẫu phân số đã cho là cặp nguyên tố cùng ? Vậy trọng tâm bài toán này là kiến thức nào HS: Đó là ước chung lớn (ƯCLN) Từ kiến thức chính là ƯCLN đó giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ thông qua hệ thống câu hỏi vấn đáp giáo viên cùng học sinh hoàn thành sơ đồ: NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU Dùng thuật toán Ơclide ƯCLN (a,b)=1 Dùng tính chất chia hết tổng, hiệu Phản chứng BỘI VÀ ƯỚC SỐ NGUYÊN Các dấu a b có q Z chia(a,b) 1) a=b.q Thuật toán Euclide tìmhiệu ƯCLN cho hết a)Nếu a b thì ƯCLN (a,b) =b Các tính chất chia hết Tổng hiệu số nguyên chia hết cho số b)Nếu a b thì giả sử a=b.q + c thì ƯCLN (a,b) = ƯCLN(b,c) (6) c) Thuật toán Euclide: Giả sử a= b.q + r với < r < b b = r 1.q1 r2 với < r2 < r r = r2 q2 r3 với < r2 < r3 ……………… rn rn 1.qn rn với 0< rn < r n r n = r n qn Thuật toán Euclide phải kết thúc vơi số dư r n1 = Như theo b) ta c ó: ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b, r ) = ƯCLN(r , r ) =….= ƯCLN(r n , rn )= rn ( theo a) 2) Chứng minh phản chứng Giả sử d = ƯCLN (a,b) với d 1 đó kết hợp với các điều kiện đã cho bài toán dẫn đến điều vô lí thì suy ƯCLN (a,b) = 1 Bài 2: Chứng tỏ phân số n tối giản với n Z , n 0 Đến đây tất các học sinh dễ dàng nhận thấy ƯCLN (1,n)=1với n Z,n 0 2007 Bài 3: Chứng minh phân số 2009 là phân số tối giản Ở bài này HS cần nhận định rõ phương pháp và kiến thức cần sử dụng Rõ ràng đây là bài toán cần tìm trực tiếp ƯCLN (2007,2009) Từ đó học sinh thấy cách làm là sử dụng kiến thức phần b) thuật toán Ơclide Vì 2009 = 2007.1 +2 nên ƯCLN ( 2007, 2009) = ƯCLN ( 2007; 2) Mà là số nguyên tố và vì 2007 không chia hết cho Nên ƯCLN (2007,2) =1 2007 Do đó 2009 là phân số tối giản n 1 Bài 4: Chứng minh với số tự nhiên n thì phân số n phân số tối giản (7) Đến đây giáo viên hướng dẫn học sinh xác định các cách giải khác để các em thấy phong phú việc giải toán Cách 1: Ta có : n + = (n+1)*1 +1 Theo thuật toán Euclide thì ƯCLN( n+2, n+1)= ƯCLN(1,n+1)=1 n 1 Do đó n là phân số tối giản Cách 2: Giả sử ƯCLN( n+2,n+1) = d đó (n+2) d và (n+1) d tức là (n+1)+1 d và n+1 d d (theo tính chất chia hết tổng) n 1 Vậy d = thì n là phân số tối giản Cách 3: Gọi d= ƯCLN ( n+2; n+1) với d N; d 1) Khi đó n+2 d và n+1 d n+2- n- =1 d d =1 n 1 Như phân số n là phân số tối giản với số tự nhiên n 21n Bài 5: Chứng minh phân số 14n là phân số tối giản với n Z Ở bài này theo cách giải bài thì các em đã bắt đầu tìm hướng giải theo các cách khác Tuy nhiên với bài toán này với cách suy nghĩ đơn điệu và máy móc thì các em gặp khó khăn Để tháo gỡ khó khăn này các em cần gợi mở giáo viên để các em có thể đưa mẫu và tử dạng A+1 và A đó các em giải bài toán theo cách Như cần huy động kiến thức a d thì n.a d ( n Z ) Giải: Cách1: Gọi d là ước nguyên dương (21n+4) và (14n+3) Khi đó 2(21n+4) d và 3(14n+3) d hay 42n + - 42n – =1 d d=1 (8) 21n Như phân số 14n là phân số tối giản 21n 14n n n 1 1 14n 14n Cách 2: Ta có: 14n 21n 7n Để phân số 14n là phân số tối giản thì phân số 14n là phân số tối giản ( sử dụng kiến thức tổng , hiệu số nguyên và phân số tối giản là phân số tối giản) Thực chất cách làm này là thuật toán Euclide trình bày góc độ nhận thức học sinh lớp khiến các em tiếp thu cách nhẹ nhàng và thoải mái Trên đây là số bài toán cùng dạng nêu từ mức độ thấp đến cao dần phù hợp với trình tự nhận thức học sinh, vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng toán vừa gây hứng thú , lôi tìm tòi các em , đồng thời là cách để khai thác sâu bài toán chứng minh phân số tối giản Với nắm bắt cách chắn dạng toán điển hình này để làm cho việc khai thác các bài toán có liên quan khác với nhiều hình thức câu hỏi khác 18n Bài toán 1: Tìm tất các số tự nhiên n để 21n là phân số tối giản Giải: Ta có: 18n 3 6n 1 21n 7 3n 1 Nếu ƯCLN( 3,7) =ƯCLN(3,3n+1)= ƯCLN(6n+1,3n+1)=1 18n Để 21n tối giản thì ƯCLN (6n+1;7) =1 Mà 6n+1 =7n-n+1=7n-(n-1) ƯCLN(6n+1,7) =1 ƯCLN(7n-(n-1);7)=1 Tức là ƯCLN(n-1;7) = n 7k +1 (k Z) n 13 Bài toán 2: Tìm tất các số tự nhiên n để phân số n là phân số tối giản (9) Đây là bài toán liên quan trực tiếp dạng toán “ Chứng minh phân số tối giản” mà người giáo viên cần khai thác và giúp học sinh khai thác n 13 n 15 15 1 (n 2) n n Ta có : n n 13 15 Để phân số n là phân số tối giản thì phân số n là phân số tối giản Muốn 15 và n-2 phải là hai số nguyên tố cùng Vì 15 có ước khác 1; 15 đó là và n-2 không chia hết cho và Tức là n-2 3k và n-2 5k hay n 3k + và n 5k + 2( k N , k 0) Bài toán 3: (Tổng quát bài toán 1và bài toán 2) 8n 193 Tìm số tự nhiên n để phân số A = 4n a) Có giá trị là số nguyên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào n khoảng từ 150 170 thì phân số A rút gọn Đến đây thì HS có thể áp dụng bài toán và bài toán để gải HDẫn : a) 8n 193 187 2 4n 4n 8n 193 187 Để 4n có giá trị nguyên thì phân số 4n có giá nguyên tức là 187 4n +3 hay 4n+3 Ư(187) n=2, n=46 8n 193 Vậy với n= 2, n=46 thì phân số 4n có giá trị nguyên 8n 193 187 b)Để phân số 4n là phân số tối giản thì phân số 4n phải tối giản (10) n 11k +2 ; n 17m + 12 (k, m N) c)Các số tự nhiên từ 150 đến 170 có dạng 11k + 17m +12 là: 156, 165, 167 131 Vậy với n = 156 thì A = 57 ; 89 với n = 165 thì A = 39 ; 139 với n=167 thì A = 61 a a b Bài toán 4: Cho phân số b tối giản Chứng minh phân số b tối giản Giải: a b a b a 1 b b b Cách 1: Ta có b a a Mà b tối giản nên 1+ b tối giản a b Vậy b là phân số tối giản Cách 2: Dùng phương pháp phản chứng a b Giả sử b không tối giản ƯCLN( a+b,b)= d 1 a+ b d và b d nên a b hay ƯCLN (a,b) = d 1 a Như trái với bài b là tối giản a b Vậy b là phân số tối giản Từ bài toán 1, ta có thể chuyển bài toán : “Cho a,b nguyên tố cùng Chứng minh a + b và ab nguyên tố cùng nhau” Bài toán 5: Chứng minh rằng: (2n +1)(3n+1) và 5n+2 nguyên tố cùng (11) (Đề thi HS Giỏi tỉnh năm 2003 – 2004) Hdẫn : Ta có 2n +1 +3n +1 = 5n + ta đưa bài toán gốc trên ( chứng minh 2n +1 và 3n+ nguyên tố cùng nhau) n 2n Bài toán 6: Chứng minh A = n 3n tối giản với n N Giải : Gọi ƯCLN tử và mẫu là d ( d N d 1) thì n3 2n d và n 3n 1 d n 3n n n 2n d hay n 1 d 3 Do đó n(n +1) = n + n d , vì n + n - n - n = n d nên n d 2 Suy n +1 - n = d , Vậy d = phân số đã cho tối giản 3) Dưới đây là số dạng bài tập tương tự : Bài 1: Tìm tất các giá trị n nguyên cho phân số sau trở thành số nguyên: 17 n 3 n ; n ; 2n n 1 Bài 2: Chứng minh phân số 2n là phân số tối giản Bài 3: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản 3n a) 7n Bài 4: 2n b) 5n n 8 Tìm n N để phân số A = 2n a) Có giá trị nguyên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào n khoảng 65 thì A rút gän 2n Bài 5: Chứng minh B = n 5n tối giản n N C KÊT LUẬN (12) Qua nhiều năm áp dụng kinh nghiệm này để giảng dạy công tác bồi giỏi học sinh khối thì thân tôi nhận thấy khả tư các em đã nâng lên rõ rệt Các em đã hứng thú với học, đã mạnh dạn , chủ động việc lĩnh hội kiến thức , làm quen với các kỹ , các em hăng say việc chủ động thảo luận , chủ động học tập, gây nhiều hứng thú cho các em việc giải toán.Chỉ sau vài lần làm quen các em có thể tự mình tìm lời giải tự nhiên, và điều làm tôi tâm đắc là chất lượng học toán nói chung và chất lượng giải các bài có liên quan đến phân số tối giản nói riêng lớp tôi phụ trách ngày càng nâng lên rõ rệt Kết học tập các em năm gần đây mà tôi đã áp dụng kinh nghiệm này công tác giảng dạy Số HS không giải Số HS giải đưa kết sai Số HS giải đúng 5% 20% 75% Tôi không tham vọng gì nhiều các em , bước đầu thấy khả tiếp thu các em đã nâng lên rõ rệt và đã rèn luyện cho các em đựơc cái nhìn khái quát dạng toán này tạo niềm say mê hứng thú việc giải toán nói chung và giải các bài toán có liên quan đến phân số tối giản nói riêng , nên tôi đã mạnh dạn xin trình bày lại kinh nghiệm tôi “ Gióp HS giải các bài toán liên quan đến phân số tối giản” Cùng với trào lưu chung việc đổi cách dạy, cách học đòi hỏi giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ, trau dồi chuyên môn, tìm tòi cho mình cách dạy hay, kinh nghiệm hay đúc rút qua thực tế dạy học là điều quan trọng Trong chừng mực định điều suy ngẫm mình chưa thực là sáng kiến đặc sắc ít nhiều đó là điều bổ ích giúp học sinh hứng thú việc giải toán Với non trẻ tuổi đời và tuổi nghề chắn không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý chân thành các đồng chí và đồng nghiệp để tôi có cách làm tốt , đạt hiệu Xin chân thành cảm ơn ! Nam Kim, Ngày12 tháng 2năm 2014 MỤC LỤC (13) A Đặt vấn đề B Giải vấn đề I) Cơ sở thực tiễn II) Thực tiễn vấn đề a) Khảo sát thực tế đề tài b) Phân tích nguyên nhân III) Đề xuất giải pháp IV) Nội dung giải vấn đề 1) Giúp học sinh nắm các kiến thức có liên quan và kiến thức bổ sung 2) Các dạng bài tập áp dụng 3) Bài tập tương tự C Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Các dạng bài toán và phương pháp giải toán (tập 2) Tác giả: Tôn Thân, Vũ Hữu Bình (14) Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên 2) Toán nâng cao và các chuyên đề toán Tác giả: Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm 3) Nâng cao và phát triển toán (tập2 ) Tác giả: Vũ Hữu Bình 4) Toán và nâng cao THCS toán (tập 2) Tác giả: Vũ Thế Hựu (15)