HD: Tính thể tích khối chóp S.ABC - Gọi O là hình chiếu vuông góc của S trên mpABC ; O thuộc AH... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=.[r]
(1)Đề LTĐH năm học 2014 ĐỀ THI THỬ SỐ 22 Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: y = x − ( m − 1) x − ( m3 − m − 2m − 1) x (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với b Tìm tất các giá trị m hàm số (1) có cực đại và cực tiểu x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ Từ đó tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P = x13 + x23 + x1 x2 ( x1 + x2 ) + x1 x2 Câu 2: (1,0 điểm) Giải các phương trình tan x − tan x = ( sin x + sin x ) xy 2 x + y + x + y = 16 (1) Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x + y = x2 − y (2) Câu 4: (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I = ∫ sin x ( x + cos 2013 x ) dx π = 600 , tam Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, ABC giác SAB Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên BC Hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mp(ABC) là điểm nằm trên đường thẳng AH Tính thể tích khối chóp S.ABC và góc hai m ặt phẳng mp(SAC) và mp(ABC) Câu 6: (1,0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= bc a b +a c 2 + ca b a+b c 2 + ab c a + c 2b Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-2; 1), cạnh BC = 4, điểm M(1; 3) nằm trên đường thẳng BC và điểm I(-1; 3) là tâm đường tròn ngo ại tiếp tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC Câu 8: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1;2;4) và đường thẳng d: x −1 y + z = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt và đồng thời vuông góc với d −1 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d cho diện tích tam giác AMB nhỏ n Câu 9: (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x khai triển 1 + x + x ===================================== Đáp số: Câu 1: Pmax = 16 m = , Pmin = −144 m = −2 Câu 3: (–3; 7); (2; 2) Câu 6: Pmin = Câu 8: Câu 4: I = π2 2011 − 2.2015 n− biết : Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) Câu 2: x = kπ , k ∈ Z Câu 5: VS.ABC = a3 2 ϕ = arctan Câu 7: S = ±3 + 3 x = y = z = x −1 y − z − −12 38 ; ; = = , M 13 −4 7 Câu 9: 8085 ~1~ (2) Đề LTĐH năm học 2014 HƯỚNG DẪN Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: y = x − ( m − 1) x − ( m3 − m − 2m − 1) x (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với b Tìm tất các giá trị m hàm số (1) có cực đại và cực tiểu x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ Từ đó tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P = x13 + x23 + x1 x2 ( x1 + x2 ) + x1 x2 HD: Hàm số (1) có cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 ≤ m ≥ m ( m2 − 4) ≥ ∆ ' ≥ −2 ≤ m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ −2 ≤ m ≤ ⇔ 2 ≤ m ≤ x1 + x2 ≤ m ≤ 2 ( m − 1) ≤ Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = ( m − 1) , x1 x2 = −m3 + ( m + 1) suy P = ( x1 + x2 ) + x1 x2 = ( m − 1) − 8m3 + ( m + 1) = −16m2 + 40m 3 Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P = −16m + 40m với m trên tập D = [ −2; ] ∪ [ 2;3] Ta thấy P là hàm số b ậc hai (ẩn m) Bảng biến thiên m -2 16 P -144 -24 T b ảng biến thiên ta được: Pmax = 16 m = , Pmin = −144 m = −2 Câu 2: (1,0 điểm) Giải các phương trình tan x − tan x = ( sin x + sin x ) HD: π π x ≠ +k cos2 x ≠ , k, l ∈ Z Điều kiện : ⇔ ( ) cos x ≠ x ≠ π + lπ sin x.cos x − cos x.sin x Pt ⇔ = ( sin x + sin x ) cos x.cos x ⇔ 6sin x = cos x.cos x.sin x ( cos x + 1) sin x = ⇔ x = kπ ( t / m) ⇔ 2cos x.cos x ( cos x + 1) = ( *) (*) ⇔ (1 + cos x ) cos x ( cos x + 1) = ⇔ cos3 x + 3cos 2 x + cos x − = ⇔ cos x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z Vậ y pt có nghiệm x = kπ , k ∈ Z xy 2 x + y + x + y = 16 (1) Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x + y = x2 − y (2) HD: ~2~ (t / m) (3) Đề LTĐH năm học 2014 ĐK: x + y > * (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) ⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = ⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = ⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = (3) x + y − = ⇔ 2 x + y + 4( x + y ) = (4) T (3) ⇒ x + y = 4, thay vào (2) ta được: x = −3 ⇒ y = x2 + x – = ⇔ x2 + x – = ⇔ x = ⇒ y = (4) vô nghiệm vì x2 + y2 > vì x + y > Vậ y hệ có hai nghiệm là: (–3; 7); (2; 2) Câu 4: (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I = ∫ sin x ( x + cos 2013 x ) dx π HD: I = ∫ sin x ( x + cos 2013 x ) dx = ∫ x sin x.dx + ∫ sin x.cos 2013 x.dx = I1 + I2 π π π du = x.dx u = x Đặt: ⇒ dv = sin x.dx v = − cos x 0 (+) I1 = ∫ x sin x.dx π 2 0 π − x cos x π2 = + ∫ x.cos x.dx ⇒ I1 = + ∫ x.cos x.dx 0 du = dx u = x Đặt: ⇒ du = cos x.dx v = sin x π π π x.sin x 12 π π2 π2 π2 Ta có: I1 = x + − sin x dx = + cos = + ( − − 1) = − 2 2 ∫0 8 0 π π π π2 π2 2011 cos 2015 x (+) I2 = −2 ∫ cos x.d (cos x) = −2 Vậy: I = − + = − 2= 2015 2015 2015 2.2015 0 = 600 , tam Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, ABC π 2014 giác SAB Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên BC Hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mp(ABC) là điểm nằm trên đường thẳng AH Tính thể tích khối chóp S.ABC và góc hai m ặt phẳng mp(SAC) và mp(ABC) S HD: Tính thể tích khối chóp S.ABC - Gọi O là hình chiếu vuông góc S trên mp(ABC) ; O thuộc AH - Tam giác ABC có : AB = a ; BC = 2a ; AC = = 600 ⇒ BAH = 300 ; - Tam giác ABH có ABH AB a a a = ; AH = a − = 2 - AO và BO là hình chiếu vuông góc SA, SB BH = ~3~ a a a M ϕ A C 300 O a 600 a 2a H (4) Đề LTĐH năm học 2014 trên mp(ABC), mà SA = SB ⇒ OA = OB = 300 ⇒ OBH = 30 ⇒ ∆AOB cân O ⇒ ABO a - Tam giác BHO có : OH = BH tan 300 = ; a OA = OB = 2OH = ( Suy O nằm A và H) SO = AB2 − OB2 = a − - Tam giác SAO có : a2 =a 3 1 a3 VS.ABC = SO.S(ABC) = AB.AC.SO = a.a 3.a = (đvtt) 6 Tính góc hai mặt phẳng mp(SAC) và mp(ABC) - Hạ OM ⊥ AC = M (1) ; AC ⊥ SO , suy AC ⊥ mp(SOM) ⇒ AC ⊥ SM (2) Từ (1), (2) ⇒ góc ϕ hai mp(SAC) và mp(ABC) chính là góc SM và MO Tam giác SMO vuông O ⇒ ϕ = SMO = a sin 600 = a = a - Trong tam giác AOM có : OM = AO sin OAM 3 2 a SO = ⇒ ϕ = arctan Vậy : tan ϕ = = a MO 3 Câu 6: (1,0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= bc a b +a c 2 + ca b a+b c 2 + ab c a + c 2b HD: P= bc a (b + c) Đặt x = + ca b (a + c) + ab c (a + b) 1 , y= , z= a b c Ta có P = x2 y+z + y2 z+x + 1 1 2 2 2 + b + c = a + b + c b+c a+c a+b 1 1 1 + + + bc ac ab b c c a a b = a Do abc = ⇒ xyz = và a,b,c d ương suy x,y,z d ương z2 x+y Áp dụng b ất đẳng thức Côsi, ta có ⇒P+ x2 y+z + y+z ≥x, z2 x+y y2 z+x + ≥z + ≥y, z+x x+y x+y+z x+y+z 33 ≥ x+y+z ⇒P≥ ≥ xyz = 2 2 Dấu “=” xảy x = y = z = hay a = b = c = Vậy Pmin = x = y = z = Câu 7: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-2; 1), cạnh BC = 4, điểm M(1; 3) nằm trên đường thẳng BC và điểm I(-1; 3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC HD: ~4~ (5) Đề LTĐH năm học 2014 Câu 8: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1;2;4) và đường x −1 y + z thẳng d: = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt và đồng thời vuông góc với d −1 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d cho diện tích tam giác AMB nhỏ HD: (∆) * Đường thẳng d có vectơ phương là ud = ( −1;1; ) Gọi C là giao điểm (∆) và (d) => C(1-t; -2+t; 2t) A Ta có AC = ( −t ; −6 + t; 2t − 2) u Do đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d (d) C ⇒ u d AC = ⇔ t + t − + 2(2t − 2) = ⇔ 6t − 10 = ⇔ t = −2 −1 10 Suy ra: C ; ; và AC = − ( 5;13; −4 ) 3 3 Đường thẳng (∆) cần tìm qua A(1; 4; 2) và có x −1 y − z − vectơ phương là v = ( 5;13; −4 ) nên có pt: = = 13 −4 b M ∈ d => M(1- t; -2+t; 2t) Ta có AM = ( −t; −6 + t ; 2t − 2) AB = ( −2; −2; 2) ⇒ AM , AB = ( 6t − 16; −2t + 4; 4t − 12 ) 1 2 Ta có: S AMB = AM , AB = ( 6t − 16 ) + ( −2t + 4) + ( 4t − 12 ) = 56t − 304t + 416 2 304 19 Vì hàm số: 56t - 304t + 416 là hàm số bậc hai nên SAMB nhỏ t = = Lúc đó 112 −12 38 M ; ; 7 n Câu 9: (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x khai triển 1 + x + x HD: ~5~ n− biết : Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) (6) Đề LTĐH năm học 2014 ĐK: n ∈ N (1) ⇔ (n + 4)! (n + 3)! − = 7(n + 3) ⇔ (n + 4)(n + 2) − (n + 1)(n + 2) = 42 ⇔ n = 12 (n + 1)!3! n !3! + Với n = 12 ⇒ (1 + x) + x = C100 (1 + x)10 + C10 (1 + x)9 x + C102 (1 + x)8 x + 10 Ta có: C100 (1 + x)10 = C100 C100 + C10 x + C102 x + C103 x3 + C104 16 x + C90 + C91 x + C92 x + x 2C101 (1 + x)9 = x 2C10 x C102 (1 + x)8 = x C102 C80 + Vậ y hệ số số hạng chứa x là : C100 C104 16 + 3C10 C92 + 9C102 C80 = 8085 ~6~ (7)