Bài giải: Vì Hoàng và Hùng góp số vở của mình với số vở của Sơn, rồi chia đều cho nhau, nên tổng số vở của ba bạn là một số chia hết cho 3.. Số vở của Hoàng và Hùng đều chia hết cho 3 nê[r]
(1)Bài tập toán nâng cao lớp - Phần Bài 1: Có thùng đựng đầy dầu, thùng còn nửa thùng dầu và vỏ thùng Làm có thể chia cho người để người có lượng dầu và số thùng ? Bài giải: Gọi thùng đầy dầu là A, thùng có nửa thùng dầu là B, thùng không có dầu là C Cách 1: Không phải đổ dầu từ thùng này sang thùng Người thứ nhận: 3A, 1B, 3C Người thứ hai nhận: 2A, 3B, 2C Người thứ ba nhận: 2A, 3B, 2C Cách 2: Không phải đổ dầu từ thùng này sang thùng Người thứ nhận: 3A, 1B, 3C Người thứ hai nhận: 3A, 1B, 3C Người thứ ba nhận: 1A, 5B, 1C Cách 3: Đổ dầu từ thùng này sang thùng Lấy thùng chứa nửa thùng dầu (4B) đổ đầy sang thùng không (2C) để thùng đầy dầu (2A) Khi đó có 9A, 3B, 9C và người nhận là 3A, 1B, 3C Bài 2: Chiếc bánh trung thu Nhân tròn Hãy cắt lần Thành 12 miếng Nhưng nhớ điều kiện Các miếng Và lần cắt nào Cũng qua bánh Bài giải: Có nhiều cách cắt các bạn đề xuất Xin giới thiệu cách Cách 1: Nhát thứ chia đôi theo bề dầy bánh và để nguyên vị trí này cắt thêm nhát (như hình vẽ) Lưu ý là AM = BN = DQ = CP = 1/6 AB và IA = ID = KB = KC = 1/2 AB Các bạn có thể dễ dàng chứng minh 12 miếng bánh là và nhát cắt qua đúng tâm bánh Cách 2: Cắt nhát theo đường chéo để miếng chồng miếng này lên cắt nhát để chia miếng thành phần (lưu ý: BM = MN = NC) (2) Cách 3: Nhát thứ cắt cách và để nguyên vị trí này để cắt thêm nhát hình vẽ Lưu ý: AN = AM = CQ = CP = 1/2 AB Bài 3: Mỗi đỉnh bìa hình tam giác đánh số là 1; 2; Người ta chồng các tam giác này lên cho không có chữ số nào bị che lấp Một bạn cộng tất các chữ số nhìn thấy thì kết là 2002 Liệu bạn đó có tính nhầm không? Bài giải: Tổng các số trên ba đỉnh hình tam giác là + + = Tổng này là số chia hết cho Khi chồng các hình tam giác này lên cho không có chữ số nào bị che lấp, tính tổng tất các chữ số nhìn thấy phải có kết là số chia hết cho Vì số 2002 không chia hết cho nên bạn đó đã tính sai Bài 4: Một đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi môn Văn, Toán, Ngoại ngữ thành phố tổ chức đạt 15 giải Hỏi đội tuyển học sinh giỏi đó có bao nhiêu học sinh? Biết rằng: Học sinh nào có giải Bất kỳ môn nào có ít học sinh đạt giải Bất kỳ hai môn nào có ít học sinh đạt giải hai môn Có ít học sinh đạt giải môn Tổng số học sinh đạt giải, giải, giải tăng dần Bài giải: Gọi số học sinh đạt giải môn là a (học sinh) Gọi số học sinh đạt giải môn là b (học sinh) Gọi số học sinh đạt giải môn là c (học sinh) Tổng số giải đạt là: x a + x b + c = 15 (giải) Vì tổng số học sinh đạt giải, giải, giải tăng dần nên a < b < c Vì môn nào có ít học sinh đạt giải môn nên: - Có ít học sinh đạt giải môn Văn và Toán - Có ít học sinh đạt giải môn Toán và Ngoại Ngữ (3) - Có ít học sinh đạt giải môn Do b= Giả sử a = thì b bé là 3, c bé là 4; đó x + x + = 16 > 15 (loại) Do đó Ta có: x + x b + c = 15 suy ra: Nếu b = thì c = 12 x Nếu b = thì c = 12 - x = (loại vì trái Vậy có bạn đạt giải, bạn đạt giải, Đội tuyển đó có số học + + = 10 (bạn) Văn và Ngoại Ngữ tổng số giải bé là: a < 2, nên a = x b + c = 12 = (đúng) với điều kiện b < c) bạn đạt giải sinh là: Bài 5: 20 Giỏ dưa hấu Trí và Dũng giúp bố mẹ xếp 65 dưa hấu nặng 1kg, 35 dưa hấu nặng 2kg và 15 dưa hấu nặng 3kg vào 20 giỏ Mọi người cùng làm việc, Trí chạy đến bàn học lấy giấy bút ghi ghi và Trí la lên: “Có xếp nào nữa, chúng ta luôn tìm giỏ 20 giỏ này có khối lượng nhau” Các bạn hãy chứng tỏ là Trí đã nói đúng Bài giải: Tổng khối lượng dưa là: x 65 + x 35 + x 15 = 180 (kg) Giả sử khối lượng dưa giỏ khác thì tổng khối lượng dưa 20 giỏ bé là: + + + + 19 + 20 = 210 (kg) Vì 210 kg > 180 kg nên chắn phải có ít giỏ 20 giỏ có khối lượng Vậy Trí đã nói đúng Bài 6: Hoàng mua vở, Hùng mua Hai bạn góp số mình với số bạn Sơn, chia cho Sơn tính mình phải trả các bạn đúng 800 đồng Tính giá tiền vở, biết ba bạn mua cùng loại Bài giải: Vì Hoàng và Hùng góp số mình với số Sơn, chia cho nhau, nên tổng số ba bạn là số chia hết cho Số Hoàng và Hùng chia hết cho nên số Sơn là số chia hết cho Số Sơn phải ít vì số Sơn nhiều số Hoàng (6 quyển) thì sau góp lại chia Sơn không phải trả thêm 800 đồng Số Sơn khác (Sơn phải có mình thì góp chung với các bạn chứ!), nhỏ và chia hết cho nên Sơn có Số bạn sau chia là: (6 + + 3) : = (quyển) Như Sơn các bạn đưa thêm: - = (quyển) Giá tiền là 800 đồng (4) Bài 7: Hai bạn Huy và Nam mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan Huy đưa cho cô bán hàng tờ 100000 đồng và trả lại 72000 đồng Nam nói: “Cô tính sai rồi” Bạn hãy cho biết Nam nói đúng hay sai? Giải thích sao? Bài giải: Vì số 18 và số 12 chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo phải là số chia hết cho Vì Huy đưa cho cô bán hàng tờ 100000 đồng và trả lại 72000 đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo là: 100000 x 72000 = 128000 (đồng) Vì số 128000 không chia hết cho 3, nên bạn Nam nói “Cô tính sai rồi” là đúng Bài 8: Có hai cái đồng hồ cát phút và phút Có thể dùng hai cái đồng hồ này để đo thời gian phút không? Bài giải: Có nhiều cách để đo phút: Bạn có thể cho cái đồng hồ cát cùng chảy lúc và chảy hết cát lần Khi đồng hồ phút chảy hết cát lần (4 x = 12(phút)) thì bạn bắt đầu tính thời gian, từ lúc đó đến đồng hồ phút chảy hết cát lần thì vừa đúng phút (7 x - 12 = 9(phút)); cho hai đồng hồ cùng chảy lúc, đồng hồ phút chảy hết cát lần (7 phút), đồng hồ phút chảy hết cát lần (16 phút) Khi đồng hồ phút chảy hết cát ta bắt đầu tính thời gian, từ lúc đó đến lúc đồng hồ phút chảy hết cát lần là vừa đúng phút (16 - = (phút)); Bài 9: Một đồng hồ hoạt động bình thường, kim và kim phút không trùng Hỏi sau đúng 24 (tức ngày đêm), hai kim đó trùng bao nhiêu lần? Hãy lập luận để làm đúng sáng tỏ kết đó Bài giải: Với đồng hồ hoạt động bình thường, trôi qua thì kim phút quay vòng, còn kim quay 1/12 vòng Hiệu vận tốc kim phút và kim là: 1/12 = 11/12 (vòng/giờ) Thời gian để hai kim trùng lần là: : 11/12 = 12/11 (giờ) Vậy sau 24 hai kim trùng số lần là : 24 : 12/11 = 22 (lần) Bài 10: Có ba người dùng chung két tiền Hỏi phải làm cho cái két ít bao nhiêu ổ khoá và bao nhiêu chìa để két mở có mặt ít hai người? Bài giải: Vì két mở có mặt ít hai người, nên số ổ khoá phải lớn a) Làm ổ khoá + Nếu làm chìa thì có hai người có cùng loại chìa; hai người này không mở két (5) + Nếu làm nhiều chìa thì ít có người cầm chìa khác loại; cần người này đã mở két Vậy không thể làm ổ khoá b) Làm ổ khoá + Nếu làm chìa thì cần phải có đủ ba người mở két + Nếu làm chìa chìa thì ít có hai người không mở két + Nếu làm chìa (mỗi khoá chìa) thì người cầm hai chìa khác thì cần hai người là mở két Vậy ít phải làm ổ khoá và ổ khoá làm chìa Bài 11: Một phân xưởng có 25 người Hỏi phân xưởng đó có thể có 20 người ít 30 tuổi và 15 người nhiều 20 tuổi không? Bài giải: Vì có 25 người, mà đó có 20 ít 30 tuổi và 15 người nhiều 25 tuổi, nên số người điểm lần là: (20 + 15) 25 = 10 (người) Đây chính là số người có độ tuổi ít 30 tuổi và nhiều 20 tuổi (từ 21 tuổi đến 29 tuổi) Số 25 Số 25 Số 10 Số 10 người người người + người + từ 30 20 từ 20 15 ít 10 nhiều tuổi = tuổi = = = trở trở 10 30 20 20 15 lên là: (người) xuống là: (người) tuổi là: (người) tuổi là: (người) Vậy có thể có 20 người 30 tuổi và 15 người trên 20 tuổi; đó từ 21 đến 29 tuổi ít có hai người cùng độ tuổi Bài 12: Tìm số tự nhiên liên tiếp có tích là 3024 Bài giải: Giả sử số là 10 thì tích là 10 x 10 x 10 x 10 = 10000 mà 10000 > 3024 nên số tự nhiên liên tiếp đó phải bé 10 Vì 3024 có tận cùng là nên số phải tìm không thể có tận cùng là Do đó số phải cùng bé 5, cùng lớn Nếu số phải tìm là 1; 2; 3; thì: x x x = 24 < 3024 (loại) Nếu số phải tìm là 6; 7; 8; thì: x x x = 3024 (đúng) Vậy số phải tìm là 6; 7; 8; (6) Bài 13: Có loại que với số lượng và các độ dài sau: 16 que có độ dài cm 20 que có độ dài cm 25 que có độ dài cm Hỏi có thể xếp tất các que đó thành hình chữ nhật không? Bài giải: Một hình chữ nhật có chiều dài (a) và chiều rộng (b) là số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thì chu vi (P) hình đó phải là số chẵn: P = (a + b) x Tổng độ dài tất các que là: x 16 + x 20 + x 25 = 131 (cm) Vì 131 là số lẻ nên không thể xếp tất các que đó thành hình chữ nhật Bài 14: Thi bắn súng Hôm Dũng thi bắn súng Dũng bắn giỏi lắm, Dũng đã bắn 11 viên, viên nào trúng bia và trúng các vòng 8;9;10 điểm Kết thúc thi, Dũng 100 điểm Dũng vui Còn các bạn có biết Dũng đã bắn bao nhiêu viên và kết bắn vào các vòng không? Bài giải: Số viên đạn Dũng đã bắn phải ít 13 viên (vì Dũng bắn 13 viên thì Dũng số điểm ít là: x 11 + x + 10 x = 107 (điểm) > 100 điểm, điều này vô lý) Theo đề bài Dũng đã bắn 11 viên nên số viên đạn Dũng đã bắn là 12 viên Mặt khác 12 viên trúng vào các vòng 8, 9, 10 điểm nên ít có 10 viên vào vòng điểm, viên vào vòng điểm, viên vào vòng 10 điểm Do đó số điểm Dũng bắn ít là: x 10 + x + 10 x = 99 (điểm) Số điểm hụt so với thực tế là: 100 99 = (điểm) Như có viên không bắn vào vòng điểm mà bắn vào vòng điểm; có viên không bắn vào vòng điểm mà bắn vào vòng 10 điểm Nếu có viên Dũng không bắn vào vòng điểm mà bắn vào vòng 10 điểm thì tổng cộng có 10 viên vào vòng điểm và viên vào vòng 10 điểm (loại vì không có viên nào bắn vào vòng điểm) Vậy có viên không bắn vào vòng điểm mà bắn vào vòng điểm, tức là có viên vào vòng điểm, viên vào vòng điểm và viên vào vòng 10 điểm Bài 15: Tìm hai số biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng và tích chúng gấp 4008 lần hiệu chúng Bài giải: Coi hiệu hai số là phần thì tổng chúng là phần Do đó số lớn là (5 + 1) : = (phần) Số bé là : - = (phần) Tích hai số là : x = (phần), mà tích hai số là 4008 nên giá trị phần là : 4008 : = 668 Số bé là : 668 x = 1336 ; số lớn là : 668 x = 2004 (7) Bài 16: Trong kho đơn vị dân công còn lại đúng bao gạo chứa 39 kg gạo Bác cấp dưỡng cần lấy 11/13 số gạo đó Hỏi với cân loại cân đĩa và cân kg, bác cấp dưỡng phải làm nào để sau lần cân lấy đủ số gạo cần dùng Bài giải: Số gạo bác cấp dưỡng cần lấy là : 39 x 11/13 = 33 (kg) Số gạo còn lại sau bác cấp dưỡng lấy là : 39 33 = (kg) Cách thực cân sau : Lần 1: Đặt cân lên đĩa cân, đổ gạo vào đĩa cân bên đến cân thăng bằng, kg gạo Lần 2: Đặt cân sang đĩa có kg gạo vừa cân đổ gạo vào đĩa cân trống đến cân thăng bằng, kg gạo Lần 3: Đặt kg gạo cân hai lần trên vào đĩa cân, đĩa cân đổ gạo vào cân thăng bằng, bên kg gạo Như số gạo có sau ba lần cân là kg Số gạo còn lại bao chính là số gạo mà bác cấp dưỡng cần dùng Bài 17: Cho phép chia hai số tự nhiên có dư Tổng các số : số bị chia, số chia, số thương và số dư là 769 Số thương là 15 và số dư là số dư lớn có thể có phép chia đó Hãy tìm số bị chia và số chia phép chia Bài giải: Số dư phép chia là số dư lớn nên kém số chia đơn vị Ta có sơ đồ sau: Theo sơ đồ, gọi số chia là phần, thêm đơn vị vào số dư và số bị chia thì tổng số phần số chia, số bị chia và số dư (mới) gồm : 15 + + + = 18 (phần) Khi đó tổng số chia, số bị chia và số dư (mới) là : 769 - 15 + + = 756 Số chia là : 756 : 18 = 42 Số dư là : 42 = 41 Số bị chia là : 42 x 15 + 41 = 671 Bài 18: Số táo An, Bình và Chi là An cho 17 quả, Bình cho 19 thì lúc này số táo Chi gấp lần tổng số táo còn lại An và Bình Hỏi lúc đầu bạn có bao nhiêu táo? Bài giải: Nếu coi số táo Chi gồm phần thì tổng số táo An và Bình là 10 phần Số táo mà An và Bình đã cho là : 17 + 19 = 36 (quả) Vì số táo Chi gấp lần tổng số táo còn lại An và Bình nên số táo còn lại hai bạn gồm phần Như An và Bình đã cho số phần là : 10 - = (phần) Vậy số táo Chi là : (36 : 9) x = 20 (quả) Vì ba bạn có số táo nên bạn lúc đầu có 20 (8) Bài 19: Nếu đếm các chữ số ghi tất các ngày năm 2004 trên tờ lịch treo tường thì kết là bao nhiêu ? Bài giải: Năm 2004 là năm nhuận có 366 ngày Một năm có 12 tháng, tháng có ngày từ mùng đến mùng là ngày viết các số có chữ số Như số ngày viết số có chữ số là : x 12 = 108 (ngày) Số ngày còn lại năm viết số có chữ số là : 366 - 108 = 258 (ngày) Vậy đếm các chữ số ghi tất các ngày năm 2004 trên tờ lịch thì ta : x 108 + x 258 = 624 (chữ số) Bài 20: Cho: Hãy so sánh S và 1/2 Bài giải: (9)