Nếu 6 nam đã được xép vào 6 ghế thì có 6 khoảng trống để có thể xếp nhiều nhất một nữ vào đó.. Chọn 4 khoảng trống trong 6 khoảng trống để xếp mỗi khoảng trống một nữ vào đó.[r]
(1)www.VNMATH.com TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN THỨ NHẤT Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số: y x x (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Tìm k để đường thẳng y k ( x 1) cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt Chứng minh rằng, đó hoành độ ba điểm này lập thành cấp số cộng 9 x 5cos x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình (3sin x sin 3x) cos 2 Câu (1,0 điểm) Chứng minh rằng, hệ phương trình sau có nghiệm x 0, y x x x x2 x y2 y y2 1 2014 ( x , y ) 2014 x dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I y x4 1 Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất các cạnh a M là trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với CB' cắt các cạnh BC, CC', AA' N, E, F Xác định N, E, F và tính thể tích khối chóp C.MNEF Câu (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z cho x + y + z + = xyz Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức x y z II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho parabol y x và điểm A(1; 2) Các điểm 900 Chứng minh đường thẳng BC luôn luôn B và C thay đổi trên parabol cho BAC qua điểm cố định Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua M(2; 3; -1), vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình x y z 20 và 3x y z Câu 9.a (1,0 điểm) Có bao nhiêu cách xếp bạn nữ và bạn nam vào 10 ghế thành hàng ngang cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng chứa đường chéo AC là x y Xác định tọa độ các đỉnh hình chữ nhật đã cho biết diện tích hình chữ nhật đó , đường thẳng CD qua điểm N (2;8) , đường thẳng BC qua điểm M(0; 4) và đỉnh C có tung độ là số nguyên Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua M(2; 3; -1), vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình x y z 20 và 3x y z Câu 9.b (1,0 điểm) Có bao nhiêu cách xếp bạn nữ và bạn nam vào 10 ghế thành vòng tròn cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) www.VNMATH.com ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU Câu (2.0đ) ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014 LẦN THỨ NHẤT Môn: TOÁN; Khối A và khối A1 (Đáp án - Thang điểm này có 06 trang) ĐÁP ÁN ĐIỂM a) 1.0đ TXĐ: 0,25 Giới hạn: lim ( x3 x 2) , lim ( x x 2) x 0,25 x Bảng biên thiên: y ' 3x x y ' x 0, x Bảng biên thiên: 0 - x + y - + + + 0,25 y' - -2 Đồ thị: y f(x)=x^3-3x ^2+2 1- -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 2 1+ O x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 0,25 b) 1.0đ Phương trình cho biết hoành độ điểm chung(nếu có): x x k ( x 1) ( x 1)( x x 2) k ( x 1) x 1 x 1 x 2x k x 2x k (*) 0,25 0,25 (3) www.VNMATH.com Đường thẳng y = k(x - 1) cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt khi phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác ' k k 3 3 k Câu (1.0đ) 0,25 Ba giao điểm có hoành độ theo thứ tự tăng là k , 1, k Thấy đó là cấp số cộng Phương trình đã cho tương đương: 2sin x sin x 5sin x 2sin x 5sin x sin x 0,25 0,25 s inx = - (sinx + 1)(2sin x 3s inx - 2) 2sin x 3s inx - sinx = - x = - Câu (1.0đ) k 2 (1) x k 2 sinx 2 (VN) 2sin x 3s inx - sinx x k 2 2 Kết hợp (1) và (2), ta có: x k ĐK: x 1 x , y 1 y Theo giả thiết x > 0, y > suy x > 1, y > Từ hệ phương trình đã cho: x x y y (1) 2 x 1 x 1 y 1 y2 1 x x Xét hàm số f ( x) , x (1; ) x 1 x2 1 f '( x) 0, x (1; ) ( x 1) x ( x 1) x Suy f nghịch biến, liên tục trên (1; ) (1) f ( x) f ( y ) x y Suy x x 1 Xét hàm số g ( x) x (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 2014 x 1 x x 1 x 2014 x 1 0, x (1; ) ( x 1) x ( x 1) x Suy g nghịch biến, liên tục trên (; 1) (1; ) Ta có g '( x) 0,25 0,25 (4) www.VNMATH.com Mặt khác lim g ( x) , lim g ( x) 2012 x x 1 Suy đpcm Câu (1.0đ) I x 0,25 x dx x 1 = 1 0 = x ( x x ) dx = x x 1dx x dx 0,25 1 x 1d ( x 1) x dx 40 0,25 = 12 ( x 1) x x 4 0 0,25 1 1 2 6 0,25 Hình vẽ Câu (1.0đ) A' C' B' E J F 0,25 A C M N B I *) Xác định N, E, F: Gọi I, J là trung điểm BC, CC' Khi đó mp(AIJ) B'C Suy mp(P) qua M và song song mp(AIJ) Do đó MN//AI, NE//IJ, EF//AJ là góc mặt *) Thể tích khối chóp C.MNEF: Thấy ENC phẳng (P) và mp(ABC) Tứ giác MNCA là hình chiếu vuông góc tứ giác MNEF trên mp(ABC) Suy dt (MNEF ) dt ( MNCA) cos ENC = , dt ( ABC ) a Ta có ENC 0,25 a2 a2 dt ( ABC ) dt ( BMN ) 32 6a Suy dt (MNEF ) 32 cos a 2a Mặt khác d(C,mp(MNEF)) = Gọi V là thể tích khối chóp C.MNEF, ta có: 0,25 (5) www.VNMATH.com 6a 2a 3a3 V 32 128 Câu (1.0đ) 0,25 Ta có: + 2(x + y + z) + (xy + yz + zx) = + (x + y + z) + (xy + yz + zx) + x + y + z + = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + ( x 1)( y 1)( z 1) ( x 1)( y 1) ( y 1)( z 1) ( z 1)( x 1) 1 1 x y z 1 1 1 1 1 1 1 2 x 1 y 1 z x 1 y 1 z 1 x y z 1 2 2 1 x y z 1 1 1 1 x y z 1 Ta có 9 y z x 1 x 1 z y 1 1 1 1 1 1 1 y z x y z x 1 Thấy rằng, x = y = z =2 thì x y z 1 1 Vậy x y z Câu 7a(1.0đ) b2 c2 B ( P) B ; b , C ( P) C ; c , A(1; 2) , đó 8 b c, b 2, c 2 b c Suy AB 1; b 2 , AC 1; c 2 8 90 AB AC BAC b c (b 2)(b 2) 2 b c b c 1 1 1 8 2 2 b c 1 1 b 2 c 2 64 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 72 2(b c) bc (*) c b cb ; c b vuông góc với n 1; Ta có BC 0,25 Suy phương trình đường thẳng BC: x (b c) y bc (**) 0,25 Từ (*) và (**) thấy ngay, đường thẳng BC qua M (9; 2 2) cố định 0,25 Câu 8a(1.0đ) Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng (6) www.VNMATH.com 5x y 3z 20 0,3x y z Hai mặt phẳng này có véc tơ pháp tuyến là u , v thì u , v là véc tơ pháp tuyến (P) u (5; 4;3), v (3; 4;1) u , v (8; 4; 8) 0,25 0,25 Suy ra, phương trình (P): 0,25 0,25 8( x 2) 4( y 3) 8( z 1) x y 2z Câu 9a(1.0đ) Câu 7b(1.0đ) Nếu nam đã xếp vào ghế thì có khoảng trống để có thể xếp nhiều nữ vào đó Chọn khoảng trống khoảng trống để xếp khoảng trống nữ vào đó Có 6! cách xếp nam Có A74 cách xếp nữ Số tất các cách xếp: 6! A74 = 120.7! (AB) kí hiệu đường thẳng AB (AC): x y C (9 2c; c) CM CN và C có tung độ nguyên C (1;5) M(0;4) (CM ) : x + y - =0 N(2;8) (CN ) : x y 0,25 0,25 0,25 0,25 CD CD ; 2 Suy ( AB) : x y C 0,( AD) : x y D A CD C D C 3D 18 D4 C 6 d (M , ( AD) , d ( N , ( AB) 2 A ( AC ) 0,25 Diện tích hình chữ nhật 6, suy ra: ( D 4)(C 6) 12 ( D 4)(3D 12) 12 ( D 4)2 D 6 D 2 i) D 6 C A(3;3) 0,25 ( AB ) : x y (CM ) : x y B(2; 2) ( AD) : x y (CN ) : x y D(0;6) ii ) D 2 C 12 A(5;7) 0,25 ( AB ) : x y 12 (CM ) : x y B (4;8) ( AD) : x y (CN ) : x y D (2; 4) 0,25 Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng Câu 8b(1.0đ) 5x y 3z 20 0,3x y z Hai mặt phẳng này có véc tơ pháp tuyến là u , v thì u , v là véc tơ pháp tuyến (P) u (5; 4;3), v (3; 4;1) u , v (8; 4; 8) 0,25 Suy ra, phương trình (P): 0,25 8( x 2) 4( y 3) 8( z 1) 0,25 (7) www.VNMATH.com x y 2z Câu 9b(1.0đ) 0,25 Nếu nam đã xép vào ghế thì có khoảng trống để có thể xếp nhiều nữ vào đó Chọn khoảng trống khoảng trống để xếp khoảng trống nữ vào đó Có 5! cách xếp nam Có A64 cách xếp nữ Số tất các cách xếp: 5! A64 = 60.6! Hết 0,25 0,25 0,25 0,25 (8)