Theo chương trình nâng cao Câu IVb 2,0 điểm: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và... 3 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng P..[r]
(1)ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2014 Môn thi: TOÁN − Đề số 03 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y= 2x + x- 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm trên (C ) có tung độ 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) và hai trục toạ độ Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: log0.5(x2 + 5) + 2log2(x + 5) = 2) Tính tích phân: I = ò x 1- xdx x 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = e (x - 2) trên đoạn [1;3] Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh · SA vuông góc với mặt đáy Góc SCB = 60 , BC = a, SA = a Gọi M là trung điểm SB 1) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC) 2) Tính thể tích khối chóp MABC II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần đây Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm A(- 1;1;1), B(5;1;- 1),C (2;5;2), D(0;- 3;1) 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Từ đó chứng minh ABCD là tứ diện 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm D, đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) song song với mp(ABC) Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức: z - 5z - 36 = Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) và x + y +1 z - = = 1 và mặt phẳng mặt phẳng (P) có phương trình : (P): x + 2y - z + = 1) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) 2) Tính góc đường thẳng d và mặt phẳng (P) (2) 3) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng d lên mặt phẳng (P) ìï 4- y.log x = ï í ïï log2 x + 2- 2y = Câu Vb (1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau : ïî Hết (3) BÀI GIẢI CHI TIẾT Câu I: Hàm số y= 2x + x- Tập xác định: D = ¡ \ {1} - y¢= < 0, " x Î D (x - 1) Đạo hàm: Hàm số luôn NB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị Giới hạn và tiệm cận: lim y = ; lim y = lim y = - ¥ ; lim y = +¥ x®- ¥ x®+¥ x®1- x®1+ Þ y=2 là tiệm cận ngang Þ x =1 là tiệm cận đứng Bảng biến thiên x – y¢ y + + + - ¥ +¥ y = 0Û x =- Giao điểm với trục hoành: cho Giao điểm với trục tung: cho x = Þ y = - Bảng giá trị: x –2 y –1 || Đồ thị hàm số hình vẽ bên đây: y0 = Û f ¢(x0) = 2x0 + x0 - 1 = Û 2x0 + = 5x0 - Û x0 = - =- (2 - 1)2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y - = - 3(x - 2) Û y = - 3x + 11 Diện tích cần tìm: S = ò1 - 2x + dx = x- = ( 2x + 3ln x - 1) - Câu II: ò 2x + dx = x- = 1- 3ln ò æ ö ÷ ç ÷ 2+ ç ÷dx ç è x - 1ø 3 = 3ln - 2 (đvdt) log0.5(x2 + 5) + 2log2(x + 5) = (*) ìï x2 + > ï Û x + 5> Û x > - í ïï x + > Điều kiện: ïî Khi đó, log0.5(x2 + 5) + 2log2(x + 5) = Û log2- (x2 + 5) + 2log2(x + 5) = Û - log2(x2 + 5) + log2(x + 5)2 = Û log2(x + 5)2 = log2(x2 + 5) Û (x + 5)2 = x2 + Û x2 + 10x + 25 = x2 + Û 10x = - 20 Û x = - 2(nhan) Vậy, phương trình có nghiệm nhất: x = - I = ò x 1- xdx Đặt t = 1- x Þ dt = - dx Þ dx = - dt và x = 1- t Đổi cận: x t (4) 5ö æ ç 2÷ 1 ÷ ç t t ÷ ÷ I = ò x 1- xdx = ò (1- t) t (- dt) = ò (t - t )dt = ç = ç ÷ ç è3 ø 15 Vậy, x x Hàm số y = e (x - 2) = e (x - 4x + 4) liên tục trên đoạn [1;3] x x x x ¢ ¢ ¢ x y = (e ) (x - 4x + 4) + e (x - 4x + 4) = e (x - 4x + 4) + e (2x - 4) = e (x - 2x) éx = Ï [1;3] (loai) y¢= Û ex (x2 - 2x) = Û x2 - 2x = Û ê êx = Î [1;3] (nhan) ê ë 2 f (3) = e3(3 - 2)2 = e3 f (2) = e (2 - 2) = ; f (1) = e (1- 2) = e và Trong các kết trên, số nhỏ nhất, số e lớn y = x = , max y = e3 x = [1;3] Vậy, [1;3] Câu III ìï BC ^ SA Ì (SAB ) ï Þ BC ^ (SAB ) í ïï BC ^ AB Ì (SAB ) î (do SA cắt BC) BC Ì ( SBC ) ( SBC ) ^ ( SAB ) Mà nên · Ta có, SB = BC tanSCB = a.tan60 = a AB = SB - SA2 = (a 3)2 - (a 2)2 = a SDMAB 1 a2 = ×SDSAB = × ×SA ×AB = 2 V = 1 a2 a3 ×B ×h = ×SD MAB ×BC = × ×a = 3 12 Thể tích khối chóp M.ABC: (đvdt) THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: A(- 1;1;1), B(5;1;- 1),C (2;5;2), D(0;- 3;1) Điểm trên mặt phẳng (ABC): A(- 1;1;1) uuur Hai véctơ: AB = (6;0;- 2) uuur AC = (3;4;1) æ0 - - 6 0ö uuur uuur ÷ r ç ÷ n = [AB, AC ] = ç ; ; = (8;- 12;24) ÷ ç ÷ ç 1 3 ÷ ç è ø Þ vtpt mp(ABC): PTTQ mp(ABC): 8(x + 1) - 12(y - 1) + 24(z - 1) = 8x - 12y + 24z - = Û 2x - 3y + 6z - = Thay toạ độ điểm D vào phương trình mp(ABC) ta được: 2.0 - 3(- 3) + 6.1- = Û 14 = 0: vô lý Vậy, D Î (ABC ) hay ABCD là tứ diện Mặt cầu (S) có tâm D, tiếp xúc mp(ABC) Tâm mặt cầu: A(0;- 3;1) R = d(D,(ABC )) = Bán kính mặt cầu: 2.0 - 3.(- 3) + 6.1- 22 + (- 3)2 + 62 = 14 =2 (5) 2 Phương trình mặt cầu (S) : x + (y + 3) + (z - 1) = Gọi (P) là tiếp diện (S) song song với mp(ABC) thì (P) có phương trình 2x - 3y + 6z + D ¢= (D ¢¹ - 1) Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ,(P )) = R Û 2.0 - 3.(- 3) + 6.1 + D ¢ 22 + (- 3)2 + 62 =2 é15 + D ¢= 14 éD ¢= - (loai) ê Û 15 + D ¢ = 14 Û ê Û ê15 + D ¢= - 14 êD ¢= - 29(nhan) ê ê ë ë Vậy, phương trình mp(P) cần tìm là: 2x - 3y + 6z - 29 = Câu Va: z - 5z - 36 = t = z2 , Đặt phương trình trở é ét = é êz = Û êz = ±3 t2 - 5t - 36 = Û ê Û êz2 = - êt = - êz = ±2i ê ê ê ë ë ë Vậy, phương trình đã cho có nghiệm: z = ±3;z = ±2i thành THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) và x + y +1 z - = = 1 và mặt phẳng mặt phẳng (P) có phương trình: (P): x + 2y - z + = 1) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (P) 2) Tính góc đường thẳng d và mặt phẳng (P) 3) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng d lên mặt phẳng (P) Câu IVb: ìï x = - + 2t ïï ïí y = - + t ïï ï z = 3+t Thay ptts d: ïî (1) vào pttq mp(P): x + 2y - z + = ta được: (- + 2t) + 2(- 1+ t) - (3 + t) + = Û 3t - = Û t = Thay t = vào (1) ta giao điểm d và (P) là: H (- 1;0;4) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mp(P), đó (Q) có vtpt æ1 1 2 1÷ ö r r r ç ÷ ç nQ = [ud , nP ] = ç ; ; ÷ ÷= (- 3;3;3) ç ç è2 - - 1 2÷ ø D là hình chiếu vuông góc d lên (P), chính là giao tuyến (P) và (Q), nên có vtcp æ2 - - 1 ö ÷ r r r ç ÷ uD = [nP , nQ ] = ç ; ; = (9;0;9) ÷ ç ÷ ç 3 3 3 ÷ ç è ø (6) r uD = (9;0;9) Vậy, hình chiếu D d lên (P) qua H, có vtcp ìï x = - + t ïï ïí y = (t Î ¡ ) ïï ï z = 4+t nên có ptts ïî ìï 4- y.log x = ìï 4- y.log x = ïìï uv = ï ï 2 Û Û í í í ïï log2 x + 2- 2y = ïï 4- y + log2 x = ïï u + v = î îï Câu Vb: îï (*) v = log2 x ) (với r u = (1;0;1) u = 4- y > và X - 4X + = Û X = X = Từ (*) ta suy ra, u,v là nghiệm phương trình: ìï ì ïï - y = log = ïïï x = ïì 4- y = ïí Û í 2Û í ïï log2 x = ïï ïï y = - x = = ïî ï ï î ïî Như vậy, ìï x = ïï í ïï y = - Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm nhất: ïïî (7)