Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của một elip, bán kính đường nội tiếp hình thoi bằng.. Viết phương trình chính tắc của elip E, biết tâm[r]
(1)Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương Trường THPT Kinh Môn Đề chính thức ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ III NĂM HỌC 2013-2014 Khối A-A1-B Môn: Toán học Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) xm y x (C) Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m 1 d : x y 0 cắt (C) hai điểm A và B cho tam Tìm số thực dương m để đường thẳng giác OAB có diện tích đó O là gốc tọa độ Câu II.( điểm)1 Giải phương trình + cosx - = 2tanx.sin+ Giải bất phương trình sau x x x x x 4 cos x.ln(1 sin x ) I dx sin x Câu III.(1 điểm)Tính tích phân Câu IV ( điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A, AB a , AC a , hình chiếu vuông góc A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC và góc AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC) Câu V ( điểm)Cho các số thực dương a,b,c cho 3(a4 + b4 + c4 ) – 15(a2 + b2 +c2 ) + 36 = a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ S = b 2c c 2a a 2b II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu Via ( điểm).1.Cho hình chữ nhật ABCD có AB AD Biết phương trình đường AC: x – y + = và M( 1;1) là trung điểm AB Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật, biết A có hoành độ dương x − y +3 z −3 = = Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : và hai mặt phẳng −1 ( P):2 x+ y −2 z +9=0 ,(Q): x − y + z +4=0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo đường tròn có chu vi π z 1 1 z 2i 2 z i Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z cho và B Theo chương trình nâng cao Câu VIb.( điểm)1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đỉnh trùng với các đỉnh elip, bán kính đường nội tiếp hình thoi Viết phương trình chính tắc elip ( E), biết tâm sai elip là 0,5 x y z 1 : I (3;4;0) 1 Viết Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 12 Câu VII.b( điểm) Giải hệ phương trình log y x log y 1 2 x y 25 ( x, y ) ~~~~~~~~ Hết~~~~~~~~ Họ và tên thí sinh Số báo danh Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A,A1,B – NĂM 2014 Nội dung (1.0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số… Câu I (2.0 điểm) y x 1 x2 * m 1 thì * TXĐ: D = R\{ } * Tiệm cận đứng x , tiệm cận ngang y y ' * x 2 , nên hàm số nghịch biến trên khoảng xác định ’ y y 0.25 0, x D Bảng biến thiên x 2 0.25 + - - 0.25 + -1 Điểm -1 Giao Ox: y 0 x 1 Giao Oy: Đồ thị x 0 y 0.25 (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng … Phương trình hoành độ giao điểm: xm x x2 2 2 x x 2m 0 * x 0.25 (d) cắt I điểm phân biệt và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác g g 0 1 4.2 2m 8 2m 0 17 m 16 m 0.25 Với điều kiện trên giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm có hoành độ 1 ; x A xB m x A xB Ta có D(O; AB) = d(O; d) = 2 1 2 SOAB d O; AB AB xB x A yB y A xB x A 1 4 47 xB x A x A xB 16 m 1 16 m 16 ( loại) x A xB II.1 (1 điểm ) Giải phương trình: + cosx – = 2tanx.sin + Điều kiện cosx ≠ (*) 0.25 0.25 (3) (*) + cosx – = 2tanx – cos(x + ) + cosx – = (1 + cosx) cosx(1 + cosx) – (1 – 2sinx) = sinx(1 + cosx) cosx + cosx – + 2sinx – sinx – sinxcosx = cosx – + cosx + sinx – sinxcosx = - sinx + sinx + cosx – sinxcosx = sinx(1 – sinx) + cosx(1 – sinx) = (1 – sinx)(sinx + cosx) = ( Do cosx ≠ nên sinx ≠ 1) 0,25 0,25 0,25 tanx = - = tanx x = - + k (k Z) So điều kiện nhận họ nghiệm x = - + k (k Z) Vậy phương trình có họ nghiệm là x = - + k (k Z) 0,25 Giải bất phương trình sau x x x x x 4 0,25 0,25 II.2 (1điểm) 0,5 III ( điểm) Tính tích phân cos x.ln(1 sin x ) I dx sin x 0,25 Đặt t sin x dt cos xdx x t ; x t 1 2 Khi đó ln(1 t ) I dt t (4) Đặt: dt du 1 t v t u ln(1 t ) dt dv t Ta có 1 2 0,5 dt 1 I ln(1 t ) ln ln dt t t t 1 t (t 1) 2 ln 3ln ln t 1 ln t 1 3ln ln ln Gọi M là trung điểm BC Từ giả thiết ta có : 2a BC 2a, AG AI ; A ' AG 600 3 2a A ' G AG.t an600 Thể tích V khối lăng trụ tính bởi: V S ABC A ' G AB AC A ' G 2a a.a a 3 (đvtt) 27 16 0,25 A' C' B' N 0,5 A H C G I B M K IV ( 1điểm) BC GI BC GH (2) BC A ' G Dựng GH A’I H (1) Do: Từ (1) và (2) GH (A’BC) Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) N là trung điểm AB’ Từ đó d [ B ', ( A ' BC )] d [ A, ( A ' BC )] 3d [G, ( A ' BC )] 3GH 2a a 3 A ' G.GI A ' G.GI 6a 2a 51 3 A' I 17 51 A ' G GI 12a 3a 36 V điểm 2 Từ giả thiết suy a b c 12 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có a b c a b 2c b c 2a c a 2b c 2a a 2b b 2c a2 b2 c2 2 a (b 2c) b (c 2a ) c ( a 2b) b 2c c 2a a 2b S => a b2 c a (b 2c) b (c 2a ) c ( a 2b) 0,5 0,25 0,25 (5) 2 2 2 Chứng minh a (b 2c) b (c 2a) c ( a 2b) ( a b c)(a b c ) a b2 c a2 b2 c S 1 a b c => Vậy mín = a = b = c = 0,25 0,25 Giải Gọi I là giao AC và DM Ta có AI IM AM IC ID CD AC AB AD AD AI 9 2 DM AD AM AD IM 9 AIM CID 0,25 Xét tam giác AIM có AI IM VIa.1 AD AD AD AM => tam giác AIM vuông I hay AC DM AC DM nên phương trình đường thẳng DM là : x + y – = Gọi I là giao AC và DM => I(0;2) => IM = AI AB AIM ABC IM BC => AI = Gọi A(x;x+2) thuộc đường thẳng AC , với x > =>AI2 = x2 + x2 = => x A( 2; 2) Do IC 2 AI C 2; 2 VIb.2 0,25 Vì Mlà trung điểm AB => B(2 2; 2) Có 0,25 CD BA D ( 2; 4) I∈d Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > Vì nên I ( −t+ 1; t −3 ; t +3) |2− 2t | Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên R=d (I ;(P))= (1) |11 − 2t| Ta có d ( I ; (Q))= Chu vi đường tròn giao tuyến π r =2 π ⇒r=1 √3 11 −2 t ¿2 ¿ Suy (2) ¿ 2 R =d ( I ;(Q))+r =¿ 0,25 0,25 0,25 (6) 2− 2t ¿ ¿ 11 −2 t ¿2 ¿ ¿ 3+1 ⇔ ¿ t=4 ¿ Từ (1) và (2) suy 23 t= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ * Với t =4 I ( −3 ; ; 7), R=2 Suy mặt cầu 21 29 ; 20 ; , R=7 Suy phương trình mặt cầu 2 21 ( 29 ) x+ + y −20 + z − =49 2 z 1 1 z 2i 2 Tìm số phức z thỏa mãn và z i Giả sử z x yi, ( x, y ) Từ giả thiết ta có: z 2i 2 ( x 2) ( y 2)i 2 ( x 2) ( y 2) 8 * Với t= 23 ta có z − ¿2=4 y − 5¿ 2+ ¿ x+3 ¿ 2+ ¿ ¿ ta có ( ( VII.a VI.b.1 ) I − ) z 1 1 ( x 1) yi x (1 y )i z i ( x 2) ( y 2) 8 y x Ta hệ: Vậy z 4 4i; z 0 ( 0,25 0,25 ) 2 0,25 ( x 1) y x (1 y ) x y 0,25 ( x 2) 4 x 4, y x 0, y 0 y x Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đỉnh trùng với các đỉnh elip, bán kính đường nội tiếp hình thoi Viết phương trình chính tắc elip (E), biết tâm sai elip là 0,5 Gọi phương trình chính tắc Elip (E) có dạng + = ( đó a > b > và a = b + c ) (E) có tâm sai là 0,5 = 2c = a 4(a - b) = a 3a = 4b (1) Gọi R = là bán kính đường tròn nội tiếp hình hình thoi Ta có: + = = (2) Thay a = vào (2) ta được: + = b = a = Vậy (E): + = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (7) M (1;2; 1) u Gọi H là trung điểm AB Ta có qua và có (1;1; 4) u , MI IH d ( I ; ) 3 u VI.b.2 Ta có 2S 2.12 AB IAB 8 IH Suy AB AH 4 R AH IH 25 Do đó 2 Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là ( x 3) ( y 4) z 25 Đk: y > x , y > VII.b x 3y Từ pt(1) => Thay vào phương trình (2) ta y 4 So sánh điều kiện ta có nghiệm hệ là (3;4) Thí sinh giải theo cách khác mà đúng cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (8)