CongthucToan

CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BÀI TOÁN 2 : Viết PTTT của đồ thị C y=fx khi biết hệ số góc của tiếp tuyến là.. Khi đó PTTT có dạng :.[r]

CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CÔNG THỨC TOÁN HỌC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHƯƠNG TRÌNH THPT 10 11 12 ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ PHẠM ĐỨC QUANG TRƯỜNG THPT_NGUYỄN TRUNG TRỰC –RẠCH GIÁ –KIÊN GIANG TEL : 0988.700.444 HỌ VÀ TÊN HỌC SINH : ………………………………………………………………………………………….……….…… LỚP : ……………………… PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PHẦN I _ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH TAM THỨC BẬC HAI - BẤT ĐẲNG THỨC 1) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU CĂN - DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ñk : A  A A2  A    A ñk : A  A  B A B ñk : B   A  B B  A B A  B B   A  A B A  B A  B A  B   A  B A  B  A  B3 2) BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU CĂN - DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI B   A  B  A   A  B2  A  A B A  B  B   th1 :   A  A  B   B   th :   A  B B   A  B  A  B  A  B  A  B  A  B3 A  B A B  A  B 3) TAM THỨC BẬC HAI Cho tam thức : f ( x )  a x  b x  c , a  a    a  b) Điều kiện để : f (x)  , x  R     a) Điều kiện để : f (x)  0, x  R   c) Điều kiện để : f ( x)  d) Điều kiện để : f ( x)  có hai nghiệm trái dấu là : có hai nghiệm cùng dấu là : a c      a c     e) Điều kiện để : f ( x )  có hai nghiệm phân biệt cùng dương :  x  x   S  P   f) Điều kiện để : f ( x)     có hai nghiệm phân biệt cùng âm : x  x    S  P   b   Với : S  x1  x2   , a  g) Điều kiện để : f ( x)  P  x1.x2  có hai nghiệm phân biệt thỏa : c  a x1  i  x2 PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 là : a f i   CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 4) BẤT ĐẲNG THỨC: CÔSI (Cauchy) a) Cho hai số không âm : b) Cho ba số không âm : a b  a.b ; Dấu ‘ = ‘ xảy : a=b a bc  a.b.c a  0, b  0, c  , ta có bđt : a  0, b  , ta có bđt : Dấu ‘ = ‘ xảy : a=b=c PHẦN II - CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC CỘNG CÔNG THỨC HẠ BẬC BẬC sin a  cos a  cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b sin a   cos2 a  2 cos a   sin a sin a tan a  ,cos a  cos a cos a cot a  ,sin a  sin a tan a.cot a  1   tan2 a cos a   cot2 a sin a tan a  cot a cot a  tan a cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b CÔNG THỨC NHÂN NHÂN sin2a  2sin a.cos a sin a.cos a  sin 2a sin3a  3sin a  4sin3 a cos2 a  sin2 a  cos2a  2cos2 a  1  2sin2 a  cos3a  4cos3 a  3cos a 2tan a tan 2a   tan2 a 1  cos2a  cos2 a  1  cos2a   cos2a tan2 a   cos2a sin3 a   3sin a  sin3a  cos3 a   3cos a  cos3a  sin2 a  1  cos2a  2.cos2 a 1  cos2a  2.sin2 a *sin a  cos4 a   sin2 2a *sin6 a  cos6 a   sin2 2a BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH BIẾN TÍCH THÀNH TỔNG ab ab cos 2 ab ab cos a  cos b  2sin sin 2 ab ab sin a  sin b  2sin cos 2 ab ab sin a  sin b  2cos sin 2 cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b       cos  a      sin a  cos a       2.sin  a   4    3    cos  a      sin a  cos a       2.sin  a   4   cos a  cos b  2cos PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN   sin   a   cos a 2    sin   a   cos a 2    cos   a   sin a 2    tan   a   cot a 2    cos   a    sin a 2    tan   a    cot a 2  cos  a  k2   cos a sin   a   sin a tan  a  k2   tan a cos   a    cos a cot  a  k 2   cot a tan   a    tan a   cot   a   tan a 2  tan a  tan b tan  a  b    tan a.tan b tan a  tan b tan  a  b    tan a.tan b    tan a tan   a   4   tan a   cot   a    tan a 2  BỎ SỐ CHẴN LẦN sin  a  b  cos a.cos b sin  a  b  tan a  tan b  cos a.cos b tan a  tan b  sin  a  k2   sin a  cot    a    cot a sin  a    sin a sin   a    sin a cos  a   cos a cos   a    cos a tan  a    tan a tan    a   tan a cot  a    cot a cot   a   cot a    tan a an   a   4   tan a BỎ SỐ LẺ LẦN  BẢNG GIÁ TRỊ GÓC ĐẶC BIỆT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN VÀ ĐẶC BIỆT u  v  k2  sin u  sin v   u    v  k2 u  v  k2  cos u  cos v   u  v  k2 sin u   u   /  k2   sin u  1  u   /  k2 sin u   u  k   tan u   u   /  k    tan u  1  u   /  k  tan u   u  k   tan u  tan v  u  v  k  cot u  cot v  u  v  k cos u   u  k 2   cos u  1  u    k 2 cos u   u   /  k  cotu   u   /  k   cotu  1  u   /  k cotu   u   /  k  Đk : k  Z; k   2, 1,0,1,2, PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN GIẢI PTLG KHI GẶP GIÁ TRỊ KHÔNG ĐẶC BIỆT  x  arcsin  a   k2 1) sin x  a    x    arcsin  a   k2 3) tan x  a  x  arctan  a   k  x  arccos  a   k2 2) cos x  a    x   arccos  a   k2 4) cot x  a  x  arc cot  a   k PHẦN III - HÌNH HỌC PHẲNG 1_PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1)Phương trình tổng quát  Daïng : A x  B y  C  ;  PVT : n  A, B Caùch vieát : Ñt ( D) ñi qua M0  x0 , y0   vaø coù PVT : n  A, B   VTPT : n  ( D )  VTCP : u // ( D ) ,   VTPT n  VTCP u , Daïng : A.( x  x0 )  B.( y  y0 )   u  ( D)   n  A ,B   u (  B ,A ) 2) Phương trình tham số chính tắc  Ñt ( D) ñi qua M0  x0 , y0  coù VTCP : u  a, b   x  x0  a t ; T.s :   y  y0  b t C.t : x  x0 y  y0  a b 4) Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M0  x0 , y0  đến 3) Đặc biệt Cho ñt ( D) daïng toång quaùt : A x  B y  C  đường thẳng ( D) : A x  B y  C  a.( D1 ) //( D)  ( D1 )coù pt : A x  B y  m  ; m  C laø : d  M0 ,( D)   A x0  B y0  C A B 5)Vị trí tương đối  Cho ñt ( D) : A x  B y  C   PVT : n A, B  ( D') : A' x  B' y  C'   PVT : n' A', B' A B   ( D)caét( D') A' B' A B C    ( D) //( D') b Neáu : A' B' C' A B C    ( D)  ( D') c Neáu : A' B' C' a Neáu : b.( D2 )  ( D)  ( D2 )coù pt :  B x  A y  n  6) Góc   PVT : n  A, B  ( D ') : A' x  B' y  C '   PVT : n' A ', B ' Cho ñt ( D) : A x  B y  C  kí hieäu :    D, D '     / n.n'/ cos  / cos n, n ' /     n n'   / A A' B B '/ A  B2 A'2  B '2 Chú ý : Có thể lấy góc hai đường thẳng thông qua VTCP PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2_PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 2 Daïng :  x  a    y  b   R coù taâm : I  a, b  , baùn kính : R Daïng : x  y  a x  a y  c   tìm taâm ? laáy heä soá x , y chia cho:    coù taâm : I   a,  b  , b k : R  a  b  c Tiếp tuyến Đường thẳng ( D) : A x  B y  C  là tiếp tuyến đường tròn : d  I ,  D   R 3_PHƯƠNG TRÌNH ELÍP Elíp : 2 x y  1 a b2  b2  a  c2  ñk :  a, b, c döông  a  b Các yếu tố (E) .Tiêu cự : F1 F2  c .Tieâu ñieåm : F1   c,  , F2  c,  .Trục lớn : A1 A2  a .Truïc nhoû : B1 B2  b  baùn kính qua tieâu: MF1  a  ex, MF2  a  ex 4_PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL Tiêu cự : Hypebol : Tieâu ñieåm : b2  c2  a2 2 x y    đk : a, b, c dương Trục thực : a2 b2 a  c Truïc aûo :  Tiếp tuyến PTTT taïi ñieåm M0  x0 , y0    H  coù daïng : x x0 y  y 02  a b .Ñænh : A1  a, 0 ; A2  a, 0 ; B1  0, b ; B2  0, b Taâm sai : e c a .Đường chuẩn : x   a2 c Tiếp tuyến PTTT taïi ñieåm M0  x0 , y0    E  coù daïng : x x0 y  y 02  a b F1 F2  c F1   c,  ; F2  c,  A1 A2  a B1 B2  b Ñænh : A1   a ,  ; A2  a ,  c T a âm sa i : e  a a2 Ñ ö ô ø n g c h u a ån : x   c b T ie äm c a ä n : y   x a PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 5_PHƯƠNG TRÌNH PARABOL Parabol y2  p.x p  Tieâu ñieåm F , 0 2  , p0 .đường chuẩn:x   Tiếp tuyến PTTT taïi ñieåm M0  x0 , y0    P  p .Baùn kính qua tieâu: MF  x  coù daïng : y y0  p  x  x0  p Chú ý : Điều kiện để đường thẳng : ( D) : A x  B y  C  là tiếp tuyến Côníc laø tt cuûa ( E) : A2 a2  B2 b2  C laø tt cuûa ( H) : A2 a2  B2 b2  C2 laø tt cuûa (P) : p.B2  A.C PHẦN IV - GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.Hoán vị: Một thứ tự gồm n phần tử  n  1 tập hợp A gọi là hoán vị Số hoán vị là : Pn  n!  n  n  1 n   3.2.1 ñk:  n  N 2.Chỉnh hợp: Cho tập họp A gồm n phần tử , thứ tự gồm k phần tử (  k  n ) n phần tử gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử  k,n  N n!  Số chỉnh hợp là : A k  ñk:  k  k=n  A kn =Pn =n! n  n  k ! n  k  Cho tập họp A gồm n phần tử , tập gồm 3.Tổ hợp : phần tử gọi là tổ hợp chập k n phần tử  k ,n  N n ! Ak  k Số tổ hợp là: C n  ñk:  k  C nk  n k !  n  k ! k! n  k  4.Các tính chất ! = ; C 0n = ; C nn = ; C 1n = n 5.Nhị thức Newton: a  b  C nk  C nn  k n n   C k n k ; phần tử (  k  n ) n C nk  C nk   C nk 11 .a nk b k k0  a  b n  Cn0 an b0  Cn1 an1b1  Cn2 an2 b2   Cnk ank bk   Cnn1a1bn1  Cnn a0 bn , (1)  Trong công thức có (n +1) số hạng  Tổng số mũ a và b số hạng số mũ nhị thức  Hệ số nhị thức cách số hạng đầu và số hạng cuối vì: C nk  C nn  k  Số hạng tổng quát khai triển là : Tk1  Cnk an k bk Nó đứng vị trí thứ ( k +1 ) khai triển PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 6.Sự đặc biệt công thức (1) (1)  Cn0  C1n  Cn2  Cn3   Cnn1  Cnn a  b  1: 2n  k n a  , b  1: (1)  Cn0  C1n  Cn2  Cn3    1 Cnk    1 Cnn  a  , b  x : (1)  1 x a  , b  x : (1)  1 x n n  Cn0  C1n x1  Cn2 x2  Cn3 x3   Cnk xk   Cnn xn k (2) n  Cn0  Cn1 x1  Cn2 x2  Cn3 x3    1 Cnk xk    1 Cnn xn  1 Sử dụng tìm hệ số khai triển nhị thức : 2x  ???  x 8.Tam giác Pascal: n=0 n=1 n=2 + n=3 3 n=4 n=5 n=6 1 6 10 15 10 20  15 PHẦN V - XÁC SUẤT BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN BIẾN CỐ Số phần tử tập hợp A : Nếu A A và nA A  B   thì : A  B  A  B Nếu A , B A B  A : A : A : A đối , A xảy A không xảy ra: A   \ A ; hai biến cố đối thì luôn xung khắc A  B là giao A hai biến cố A và B , xảy tùy ý thì : A  B  A B A và B đồng thời xảy ra., Kí hiệu : A.B A là biến cố A là biến cố không A là biến cố chắn A  B là hợp A hai biến cố A và B, xảy A xảy B xảy Xác suất biến cố A : Trong đó : A  B   đó A, B xung khắc , không cùng xảy P  A  n  A  A  n    n(A)  A số phần tử A, hay kết thuận lợi cho A ; n      , là số kết không gian mẫu Ta có : P     0, P     1,  P     Nếu A ; A đối thì :   P A   P  A Công thức cộng xác suất : A, B xung khắc thì xác suất biến cố : C  A  B là : P C   P  A  B   P  A  P  B  Công thức cộng xác suất : A, B cùng liên quan phép thử : P  A  B   P  A   P  B   P  A  B  PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Xác suất biến cố giao_ công thức nhân_ A, B độc lập : P  A.B   nA  B  P  A  P  B  n   Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc : Biến ngẫu nhiên : X   x1, x ,x , , x n  có xác suất : P  x k   pk với k  1, 2, 3, ,n x1 p1 X P KÌ VỌNG : x3 p3 x2 p2 E  X   x 1p  x p  x p   x np n  xn pn … … n  xp i i i 1 PHƯƠNG SAI : V  X    x1  E p1   x  E p2   x  E p3    xn  E pn  2 2 n x  E p i i i1 n V  X    x 12 p1  x 22 p  x 23 p   x n2 p n   E   x i2 p i  E i1 ĐỘ LỆCH CHUẨN : s X   V  X PHẦN V - CÁC PHÉP BIẾN HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN :  x'  x  a Tu  M   M ' , u  a, b  : M  x, y   M '  x ', y '   y '  y  b PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, TRỤC OX : x '  x Ñ0 X  M   M ' : M  x, y   M '  x ', y '    y '  y PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC , TRỤC OY : x'  x Ñ0 Y  M   M ' : M  x, y   M '  x ', y '    y '  y PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM O(0,0) : x '  x ÑO  M   M ' : M  x, y   M '  x ', y '    y '  y x ' x  a   b  y ' y  PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM I( a, b ) : ÑI  M   M ' : M  x, y   M '  x ', y '  PHÉP VỊ TỰ TÂM O(0,0) :  x '  k.x VO,k   M   M ' : M  x,y   M'  x',y'     y '  k.y PHÉP VỊ TỰ TÂM I( a, b ) :  x ' a  k. x  a   x '  a 1  k   kx V I ,k   M   M ' : M  x,y   M'  x',y'     y ' b  k. y  b   y '  b   k   ky Trong đó : I , O là tâm vị tự , và k là tỉ số vị tự PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PHẦN VII — GIẢI TÍCH 1)ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM Cho hàm số y= f(x) có TXĐ D , x0 f  x + Δx  - f  x  =L Δx→0 Δx  D thì ĐẠO HÀM là kết giới hạn: y'  x  = f'  x  = lim 2) CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM c ' = c  c '=   x  x2 c  v' '= c  v  v u ' v  v ' u  u   '=  v  v  a d  c b  a x + b   '=   c x + d  c x + d         x ' =    x ' = x  x  ' = n x x ' = 2x n   x '= n 1 1 s in x ' = c o s x s in u ' = u ' c o s u c o s x ' =  s in x c o s u ' =  u ' s in u x u + v  ' = u ' + v ' u - v  ' = u '  v '  c u  ' = c u '  u v  ' = u '.v  v '.u   1 u n ' = n u n  1.u ' 12  u  ' = u u ' 3) VI PHÂN : s in x u' 2 c o t u ' =  s in u t a n x ' = cos 2x u' t a n u ' = c o s 2u c o t x ' = Vi phân hàm số y = f(x)  kí hiệu : dy và :  e a a   ' = u '.e  ' = a ln a  ' = u '.a ln a 25 e x ' = e x u x u u x u x u'  ln u  ' = u u' ln u ' = u  ln x  ' =   x ln a u' 3  lo g a u  ' = u ln a u' lo g a u ' = u ln a  lo g a x  ' =   dy = df(x) = f ‘(x) dx CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN Cho hàm số : y =f(x) có đạo hàm với x trên tập xác định D a Nếu :f '(x)  x  D  y=f (x) đồng biến trên D b Neáu :f '(x)  x  D  y=f (x) nghòch bieán treân D    Dấu “ = “ xảy hữu hạn điểm Hàm số đồng biến và nghịch biến gọi là hàm số đơn điệu Vậy muốn xét tính đồng biến , nghịch biến ta phải xét dấu : f '( x )  f '( x )  ? CỰC TRỊ  ( DẤU HIỆU ) : Nếu x0 là điểm cực trị hàm số thì : f '( x0 )  và y’ đổi dấu qua x0  Hàm số : y = f(x) có n điểm cực trị f '( x )  có n nghiệm phân biệt PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 10 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  ax  bx  c , coù CÑ-CT pt: y'= coù nghieäm phaân bieät dx  e a  Khi đó : y '   mx  nx  p  có nghiệm phân biệt     Caùc haøm soá: y  ax  b.x  cx  d ; y   Hàm số y  ax  b.x  c có cực trị y'= có nghiệm phân biệt: y '   4.ax  2b.x  x  x   b   2x.2.ax  b    Vậy có cực trị :    (b).(2a)  2.ax2  b   x2   b 2a   2a  ( DẤU HIỆU ) : Cho hàm y=f(x) có đạo hàm tới cấp x  D và :  Bài toán :  f '( x0 )  *Neáu:   thì hàm số đạt CĐ x  f ''( x0 )   f '( x0 )   thì hàm số đạt CT x *Neáu:   f x ''( ) 0  Cho hàm số : y= f(x, m) Tìm m để hàm số đạt cực CĐ C.tiểu * Tính: f '(x)  ?  f '(x0 )   m  ? *m  ? x0 ? (ñk tham soá) thay vaøo : y '  f '( x)  Laäp baûng bieán thieân vaø kieåm tra theo caâu hoûi ? GTLN_GTNN  x  D : a Soá M goïi laø GTLN cuûa h.s neáu :    x0  D : Kí hieäu : M = max f ( x ) f ( x)  M f (x0 )  M D  x  D : f ( x)  m b Soá m goïi laø GTNN cuûa h.s neáu :    x  D : f ( x0 )  m Kí hieäu : m= m in f ( x ) D  BÀI TOÁN : Tìm GTLN_GTNN hàm số trên đoạn  a, b  ? * Tìm nghieäm y'=0 treân [a, b]: Tính y '  ?  y '   x1, x2, x3 * Tính giaù trò :f (a); f (b); f (x1 ) f (x2 ) * So saùnh caùc giaù trò treân  max ; ?  BÀI TOÁN : Tìm GTLN_GTNN hs trên khoảng:  a, b   a, b  ;  a,   ;  , b  ; a,   ;  , b  ? * Ta lập bảng biến thiên ; có cực trị: * Nếu là CĐ thì đó là :GTLN-max * Nếu là CT thì đó là :GTNN-min PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 11 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐIỂM UỐN  Tìm điểm uốn :  y '  y ''   x0 ?  y ?  U  x0 , y    f ''(x0 )  Điểm : M ( x0 , y0 ) gọi là điểm uốn đồ thị khi:   f ( x0 )  y TIỆM CẬN a Tiệm cận đứng Neáu : lim y    lim y   x  x0 x  x0 Neáu : lim y    lim y   x  x0 * Với hàm số : y  thì ñ.thaúng: x  x0 laø TCÑ x  x0 a.x  b d , muốn tìm TCĐ ta cho mẫu: c.x  d   x   c.x  d c là TCĐ b Tiệm cận ngang Neáu lim y  lim y  k thì ñ.thaúng: y  k laø TCN x * Với hàm số: y  x  ax  b ax  b a ax  b a Ta vieát: lim = ; lim  x cx  d x cx  d cx  d c c thì TCN laø : y  a c c Tiệm cận xiên Với hàm số: y  ax  bx  c r Ta chia đa thức  y  m x  n  dx  e px  q Trong đó : ( mx+n ) là phần nguyên phép chia , và Ta vieát : lim [y  (mx  n )]  lim x   x   lim [y  (mx  n )]  lim x  x   r là phần dư px  q r 0 px  q r   TCX: y  m x  n px  q BÀI TOÁN SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ  C  : y  f  x , Cho hai đồ thị có phương trình :  C ' : y  g  x, m  Tìm điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc với nhau?  f  x   g  x  có nghiệm  f '  x   g '  x  Giải : Hai đồ thị tiếp xúc với hệ phương trình :  … ta phải tìm cách giải hệ: Giải phương trình sau đó vào phương trình (hoặc cách rút ,thế ….) suy điều kiện cần tìm ? BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN BÀI TOÁN : Viết PTTT đồ thị (C) y=f(x) Giải : điểm M0  x0 , y0  thuộc đồ thị (C) Tìm hệ số góc cuả tiếp tuyến là : k  y '  x0   f '  x0   ? Khi đó PTTT có dạng : y  f '( x0 )  x  x0   y0 PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 12 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BÀI TOÁN : Viết PTTT đồ thị (C) y=f(x) biết hệ số góc tiếp tuyến là :k Ta tìm tiếp điểm M0  x0, y0  từ phương trình : y '  k  x ?  y ?  M ( x0 , y ) Giải : Khi đó PTTT có dạng : y  k  x  x0   y0 CHÚ Ý : Cho hai đường thẳng :  D  : y  a.x  b có hệ số góc : a  D ' : y  a '.x  b ' 1) có hệ số góc : a’ D // D '  a  a ' 2) D  D '  a a '   BÀI TOÁN : Viết PTTT đồ thị (C) y=f(x) biết tiếp tuyến đó qua điểm M  x , y0  Giải : ( Phải tìm hệ số góc tiếp tuyến là k = ? ) * Gọi hệ số góc đường thẳng (D) qua M0 là : k * Khi đó phương trình (D) có dạng : y  k  x  x0   y0  f ( x)  k  x  x0   y0  f '( x)  k * Để (D) là tiếp tuyến (C ) thì hệ :  * Giải hệ : (2) vào (1)  x ?  k ? (1) (2) : Khi đó PTTT có dạng : phải có nghiệm y  k  x  x0   y0 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO Bài toán Bài toán x x Bài toán Cho hàm số : y  f  x  , có đồ thị ( C) a Khảo sát vẽ đồ thị (C ) b Dựa vào đồ thị ( C),hãy biện luận theo m số nghiệm pt : 1 : f  x, m   Giải :  Điều quan trọng là ta biến đổi phương trình (1) cho nó xuất đồ thị ( C) và gì còn dư ta đẩy sang bên kia…  f  x   g  m  (2)   Nhìn vào đồ thị vừa vẽ ta cho đường thẳng g(m) dao động song song với trục hoành và cắt đồ thị Đường thẳng g(m) cắt đồ thị bao nhiêu điểm thì phương trình có nhiêu nghiệm PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 13 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Cho hàm số : y  f  x  , có đồ thị ( C) và đường thẳng (Dm) : y  g  x, m  ( có thể là đường cong) Bài toán Tìm m để đường thẳng (Dm) cắt đồ thị ( C) điểm , điểm , điểm phân biệt … Gải :  Số giao điểm hai đồ thị là số nghiệm pt:  f ( x )  g( x , m ) (1)  Sắp xếp , biến đổi phương trình (1) theo dạng bậc , bậc 3…  Nếu là pt bậc : Phaûi bieän luaän soá nghieäm cuûa pt (1) : (D  ?; D  0; D  0; D  0?) *Neáu pt(1) khoâng coù nghieäm  (C) khoâng caét (Dm ) *Neáu pt(1) coù nghieäm  (C) caét (Dm ) taïi ñieåm   *Neáu pt(1) coù nghieäm  (C1 ) caét ( Dm ) taïi ñieåm Nếu là pt bậc ta phải tìm nghiệm nguyên chia đa thức …Sau đó tùy yêu cầu bài toán mà ta biện luận số nghiệm phương trình … S… PHẦN VIII-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC  a m a n  a m  n a n  a a.a a  n _ soá a am  n  a mn a a = 1 a = -n a n -n  a   b     =    b   a  n  a m  a    b n n  n n  a m n n   a  bn   a b   a n b n n  a a m m a  m n n an.k  ak n m a   n  n a b  n a n b  a  / a/  n k a k  n a  e0 1 n a  b n n n  elna  a a b 1.Hàm số mũ –Lôgarít  x   y  log a x  ay  x; ñk :   y loge x lnx , e2,714   0  a   ln  y    y  ax  x  loga y; ñk :    0  a   ln e a  a log a a  a loga m loga  Đọc: y  log10 x  lg x  log x Đọc: e m loga x1.x2   loga x1 loga x2 Lôga.Nêpe x ln m Lốc x =m 10 lg m m  x1  log a    log a x1  log a x2  x   ln e   lg   lg  log a  xa   a log a x log ab x    b loga x loga b  log b a log a b  PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 log m b log m a 14 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2.PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ a  0  a   a x1  a x  x  x  a x1  a x2  x1  x2  a x1  a x2  x1  x2  a x  b  x  log a b  a x  b  x  log a b  a x  b  x  log a b a x  ; x  R 3.PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT A_PHƯƠNG TRÌNH  f  x  g x  loga f  x  loga g x       f  x  V g  x  loga x  b  x  ab B_BẤT PHƯƠNG TRÌNH : a1 Chú ý : số a>1 ? 0<a<1 ?  f  x  a b    log a f  x  b       f  x  0  a 1  f  x  g  x   log a f  x  log a g  x     g  x   f  x  ab    log a f  x  b    f  x    f  x  g  x  log a f  x  log a g  x     f  x  Chú ý Phương trình mũ dạng bậc hai … Dạng m.a f ( x)  n.a f ( x)  p  (1) Cách giải : Đặt : t  a f (x) ; t  (1)  m.t  n.t  p   t  x? Phương trình Lôgarít dạng bậc hai… Dạng m.log2a f  x  n.loga f  x  p  ,(1) Cách giải : Đặt : Đk : f  x   t  log a x , tR (1)  m.t  n.t  p   t  x? Phương trình mũ : Dạng m a f ( x )  n. a.b  Cách giải : Chia hai vế phương trình cho : f ( x)  p.b f  x  (2) b f (x) PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 15 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN a f ( x ) a f ( x ) b f  x  2   m f x  n f x  p  b b a  m   b  Đặt : f x  a  n.  b  a   b  t  f x  p  0,  *  f (x) ; t Vậy ta có phương trình : (*)  m.t  n.t  p   t  x ? PHẦN VIII - NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN mxn e c m n 1 x 1 mxn 2,  x n dx   c ; n  1 a 11,  amxn dx  c n 1 m ln a dx dx 3,   ln x  c 12,   ln ax  b  c x a x  b a 4,  e x dx  ex  c 13,  sin  ax dx   cos  ax  c a a x  c 5,  a x dx  ln a 14,  cos  ax  dx  sin  ax   c a 6,  sin xdx   cos x  c dx  tan( ax)  c 15,  ,  cos xdx  sin x  c a cos  ax  dx 8,  dx   cot x  c 16,  sin2  ax   a cot(ax)  c sin x 9,  dx  tan x  c 1 n n1 17,   ax  b dx  cos x  ax  b  c a n 1 (n  1) 1,  dx  xc 10,  e mxn dx  18,  a f (x)dx  a f (x)dx 19,   f (x)  g x  dx  f (x)dx   g(x)dx b a 20,  f (x)dx  f (x)dx a b a 21,  f (x)dx  a b c b 22,  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx;c a; b a a c b 23, f (x)  0/  a; b   f (x)dx  0/  a; b a CT : Newton - leibniz b b  f  xdx  F x a  F b  F a a CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN A.Tích phân phần b Công thức :  u.dv  u.v -  v.du  u d v  u v b a b - a  v d u a Chú ý : Tích phân phần dùng để tính các tích phân có dạng : Dạng I   p(x).e xdx, x  p(x).a dx,  p(x).sin xdx,  p(x).cos xdx PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 16 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN   2x  1.sin xdx,  x cos2xdx,   2x Ví duï :  3 e3xdx, x  (x).5 dx; Loại t.p này phải đặt :  u  p x   x  du  2 x  1'.dx  2.dx   …  dv  sin x  v   sin x.dx   cos x Dạng J=  p ( x).ln x.dx  3x :   ln xdx,  x log xdx Loại t.p này phải đặt :   u  p  x   ln x  du  ln x '.dx  dx x    …  dv  x    v  3 x  1.dx  x  x     B.Phương pháp đổi biến : Đặt t = u(x) Loại tích phân có chứa hai hàm số : u(x) và u’(x) cùng phải đặt : t = u(x) K   sin x.cos xdx, ñaët : t  sin x; H   cos x  tan x  tan x  dx, L  N   5 x x  1.xdx ,  3 2009 M =  x 3x2  dx, ñaët :t= x  ñaët :t=  x   .xdx, ln x  d x , x sin x.cos x Q dx, sin x  10 P ñaët : t  tan x ñaët :t=  ln x  ñaët :t= sin x  10  /2 Ví dụ : Tính A  sin x  1.cos x.dx Đặt : t  Đổi cận s in x   t  s in x  x  t d t  c o s x d x 2td t   c o s x d x t A   2  t 2t d t 2   t d t  t3  3 PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 17 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN C.Phương pháp đổi biến : Đặt x = u(t) 2 I    x dx, J x2 22  x dx ñaët : x  2.sin t D.Tích phân hàm hữu tỷ mẫu vô nghiệm x2 K dx, H=  dx , ñaët : x  2.tan t x  22 ( x  22 ) E.Tích phân hàm hữu tỷ mẫu có nghiệm Chú ý : Mẫu số có nghiệm : ax2  bx  c và phân tích thành :  px  q  dx  e  I m.x  n m x  n dx   dx   bx  c  px  q  dx  e   ax  A ? B ?    px  q  dx  e  dx Vấn đề chỗ ta phải tìm A=? , B = ? Bằng cách đồng đa thức ….? ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A_DIỆN TÍCH 1) a Cho hình phẳng ( D) giới hạn hai đồ thị y=f(x) ; y= g(x) và hai đường thẳng : x = a ; x = b : b  y  f ( x ) , y  g  x   SD  (D)   x  a , x  b  f ( x )  g ( x ) dx a b Cho hp ( D) giới hạn hai đồ thị y=f(x) ; y=0 (trục hoành) và hai đường thẳng : x = a ; x = b :  y  f (x) , y  (D)   SD   x  a, x  b b  f ( x)  dx a Chú ý Ta phải sử lý dấu cách giải p trình : f(x) – g(x) =0 tìm nghiệm : x =  ;   [ a ; b ] Khi đó tích phân ban đầu tách thành nhiều tích phân , và trên khoảng nó mang dấu đó ta đưa dấu ngoài tích phân và tính tích phân cách bình thường b  b  b  SD   f ( x)  g( x) dx   f ( x)  g( x) dx   f ( x)  g( x) dx   ( f ( x)  g( x))dx   ( f ( x)  g( x))dx  a a a   c Diện tích chiếu xuống trục oy : (D) gồm các đồ thị : x=g(y) , trục tung : x=0, và hai đường thẳng : y=a, y=b  x  g (y) , x  (D )   SD   y  a, y  b b  g ( y )  dy a PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 18 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN B_THỂ TÍCH 1.Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục 0x : b  y  f ( x) , y  (D )   Vox     f ( x)  dx  x  a, x  b a 2.Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục 0y : b  x  g ( y) , x  (D )   Voy     g ( y ) dy  y  a, y  b a PHẦN IX - TRƯỜNG SỐ PHỨC : ĐỊNH NGHĨA  Số phức là biểu thức có dạng : z = a + b i  Trong đó a là phần thực , b là phần ảo  Biểu diễn hình học là điểm M (a; b ) trên Oxy thì z là số thực  z=a  z = b.i thì z là số ảo  3.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình : Az + Bz + C = ; D = B - 4AC  D=0 nghiệm kép : B 2A -B ± D z1,2 = 2A z1 = z2 = -  D > hai nghiệm thực :  D < hai nghiệm phức : CÁC TÍNH CHẤT z = a + bi ; z' = a'+ b'.i z = z' Û a = a';b = b' z1,2 = Cho hai số phức :   z + z' = (a + a') + (b + b') i  z - z' = (a - a') + (b - b') i  z.z' = (a + bi) (a'+ b'i) ; nhân hai đa thức -B ± -D i 2A 4.DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC z = a + b.i  = r (c o s j + i.sin j ) đó :       z = a + bi = a - bi  z = z.z = a2 + b  z.z' = z z'  z + z' £ z + z' ìï r = z = a + b ; m odun ïï í ïï j acgum en ; sin j = b ; cos j = a ïïî r r z = a + bi = a + bi = z z + z' = z + z' z.z' = z.z' z.z = a2 + b  z.z' = r.r' éë cos (j + j ') + i sin (j + j ')ùû z = a2 + b  z  z-1 = = z  z æ z' ö z' z' z'  ççç ÷÷÷ = ; = è ø z z'  z z z r = éë cos (j-j ') + i.sin (j-j ')ùû z' r' z n = r n (cos n j + i sin n j ) z là bậc hai số phức w = a + bi Û z = w ; thì hai bậc hai w là hai số phức có dạng : z = x + y.i và z = -x - y.i , với : x , y thỏa hệ phương trình : ìïï x - y = a Þ x ; y =? í ï 2xy = b ïî PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 19 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PHẦN X - HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 1) Tọa độ vectơ và các tính chất      u  x.i  y j  z.k  u  x, y, z      OA  x.i  y j  z.k  A  x, y, z    Góc hai vectơ : Cho :u  x, y, z  , v  x ', y ', z '     u.v x.x' y.y ' z.z ' cos(u, v)     u.v x2  y2  z2 x'2  y '2  z '2 CHÚ Ý   Cho :u  x, y, z  , v  x ', y ', z '    u  v   x  x ', y  y ', z  z '   c.u  c. x, y, z    cx, cy, cz   u  x2  y  z  2 u  u  x2  y  z  u.v  x.x ' y.y ' z.z '    u  v  u.v  x  x'    u  v   y  y ' z  z '  :   00  u, v  1800   TÍCH CÓ HƯỚNG Cho hai vectơ có tọa độ  a x ,y, z  y z z x x y   a,b   ; ;   y ' z ' z ' x ' x ' y ' b x ', y ', z '      C aùc tính ch aát:       a , b cuøn g phöông   a , b    0, 0,         a , b, c đồn g p hẳn g   a , b  c =0         a , b   a ,  a , b   b          a , b   a b sin  ,  = a , b   2) Ứng dụng tích có hướng  Dieän tích tam giaùc ABC:    AB, AC  dt  ABC      Đườn g cao AH tam giác : AH= 2.dt  ABC  BC T heå tích khoái hoäp :ABCD.A'B'C'D'    VH   AB, AD  AA ' T hể tích khối tứ diện ABCD     AB, AC  AD VABCD     Đườn g cao AH tứ diện ABCD: AH  3.VABCD dt  BC D  PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 20 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 3) Tọa độ điểm và các tính chất Cho A  xA, yA, zA  , B xB, yB, zB  CHÚ Ý Neáu I laø trung ñieåm cuûa AB CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC xA  xB   xI   yA  yB   yI   z A  zB   zI   M chia AB theo tyû soá k ,  k  1 .AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2  (zB  zA )2   AB  CD  AB  CD    AB  CD  G laø troïn g taâm cuûa tam giaùc ABC G là trọng tâm tứ diện ABCD  AB   xB  xA, yB  yA, zB  zA  x A  x B  xC   xG   y y   A B  yC  yG   z A  z B  zC   zG   xA  xB  xC  xD  xG   yA  yB  yC  zD  yG   z z zC  zD    A B zG   xA  k.xB  xM   k  yA  k.yB  yM  1 k  zA  k.zB  zM   k  PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1) A Phương trình tổng quát mặt phẳng có có dạng: A.x  B.y  C.z  D   n  A, B, C  Trong đó VTPT : B CÁCH VIẾT i) Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm M  x0 , y0 , z0   A x  x0  B y  y0  C và có VTPT : n  A, B,C  có dạng:      z  z0   ii) Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm M  x0 , y0 , z0   a       VTPT : c  a, b    m, n, p  có dạng: và có cặp VTCP :   b   m  x  x0   n  y  y0   p  z  z0   PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 21 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN iii) Phương trình mặt phẳng chắn trên ba trục tọa độ : A(a,0,0) , B(0, b,0) , C(0,0, c) : coù daïng: x y z   1 a b c 2) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI – GÓC – KHOẢNG CÁCH CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng có pt  (P) : Ax  By  Cz  D   PVT : n A, B,C  (Q) : A' x  B' y  C' z  D'   PVT : n  A', B',C' KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) đến (P) :Ax  By  Cz  D  laø: A B C      thì hai mp caét A ' B'  C'  theo giao tuyến là đường thẳng có pt : d  M0 ,(P)   A.x0  B.y0  C.z0  D A2  B2  C • Neáu :  Ax  By  Cz  D  (D)  (P)  (Q):   A' x  B' y  C' z  D '  • A B C D Neáu :     (P)//(Q) A' B' C' D' • Neáu : A B C D     (P)  (Q) A ' B' C ' D ' GÓC Goùc cuûa hai maët phaún g  (P1 ) : coùVTPT n  A1 , B1, C1   (P2 ) : co ùVTPT n  A2 , B2 , C2  goïi  (P1 ),(P2 )  j, 0  j  90   n 1.n A1.A2  B1 B2  C1.C2 cos j     A12  B12  C12 A22  B22  C 22 n1 n PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ) PHƯƠNG TRÌNH Phương trình đườn g thẳn g Ñt (D) ñi qua ñieåm M ( x , y , z )  co ù VTCP u  a, b, c   x  x  at  •TS :  y  y  bt  z  z  ct  CT : x - x0 y - y z - z   a b c Đk: (a  0, b  0, c  0)  x - x0 y - y0  a  b Daïng CT  Toång quaùt :   x - x0  z - z0  a c (a  0, b  0, c  0) PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 22 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  D ạn g TQ đườn g thẳn g là giao hai m p co ù pt  Ax  By  Cz  D  (D ) :  A'x  B'y  C'z  D '  (P ) (Q ) ) GÓC Góc hai đường thẳn g  (D1 ) : co ùVTCP u a1, b1 , c1   (D ) : co ùVTCP u a2 , b2 , c2  Goùc cuûa ñt vaø mp :  (D) : coùVTCP u a, b, c  (P) : coùVTPT n  A, B, C goïi  ( D1 ),(D2 )  j,0  j  90 goïi  (D);(P)  j ;00  j  900   u u cos j     u1 u  u.n a.A  b.B  c.C sin j     a  b  c2 A  B2  C u n a1.a2  b1 b2  c1 c2 a12  b12  c12 a22  b22  c22 ) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI – KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG KHOẢNG CÁCH Vị trí tương đối hai đương thẳng qua M1 (x1, y1, z1 ) qua M2 (x2, y2, z2 )   (D) :  ;(D') :  VTCP u1  a,b, c VTCP u2  a ', b', c '  Xeùt M1M2 =  m, n, p a b c a  b c    ;   ;    (D)//(D') a ' b ' c' m  n p  a b c  a'  b'  c' b.Neáu :   (D)  (D') a  b  c  m n p a.Neáu : * Neáu khoâng xaûy hai khaû naêng treân thì    ta phaûi tính : u1, u2  M1M2  ???    a) Neáu : u1,u2 .M1M2  thì hai ñt caét    b)Neáu : u1,u2 .M1M2  thì hai ñt cheùo c)Neáu caâu hoûi : Cmr hai ñt cheùo ta    chứng minh: u1, u2  M1M2  Khoảng cách từ điểm A(x0, y0, z0 ) đến đt(D): x - x1 y - y1 z - z1 ñi qua:M1 (x1, y1, z1 )  ;   a b c coùVTCP : u  a,b, c   u, AM1    laø : d  A,(D)   u (D) : KHOẢNG CÁCH Khoảng cách hai đt chéo nhau: qua M1 (x1, y1, z1 ) qua M2 (x2, y2, z2 )   (D1 ) :  (D2 ):  VTCP u1  a1,b1,c1   VTCP u2  a2,b2, c2     u1,u2 .M1M2   laø : d  (D1 ),(D2 )    u1,u2    PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 23 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 4) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  Mp :(P) :Ax  By  Cz  D   PVT : n  A, B,C   Ñt (D) ñi qua ñieåm M0 (x0, y0 , z0 ) coùVTCP u  a, b, c   a)Neáu : n.u   ñt (D) caét mp (P) taïi ñieåm    n u   ( D ) //(P ) b)   M  ( P )    n u  c)   (D )  (P )  M  ( P ) MẶT CẦU 1) Phương trình mặt cầu dạng 1: Có tâm I a , b , c  , bán kính : R 2 S  : x  a    y  b   z  c   R 2) Phương trình mặt cầu dạng : S : x2  y  z2  2a.x  2b.y  2cz  d  Có tâm I  a ,  b ,  c  , bán kính R  a2  b2  c2  d 3) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Cho mf( P ) A.x  B.y  C.z  D  và mặt cầu tâm I a , b , c  , bán kính : R a) Neáu : d I,P   R thì :(P)  (S)   b) Neáu : d I,P   R thì :(P) laø tieáp dieän cuûa mc (S) c) Nếu : d I,P   R thì :(P) cắt mc (S) theo giao tuyến là đường tròn ( ) cóphương trình : Ax  By  Cz  D  Đường tròn giao tuyến : () :  x  a 2  y  b2  z  c2  R   Chuù yù : Tìm taâm H, b.kính : r = ? cuûa ñ.troøn : (  ) (hình veõ) Tính : d I,P   ?  r  R  d 2I,P  Vieát p.t.ñ.thaúng (D) qua I vaø (D)  (P)  Tìm taâm : H = (D)  (P) PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 24 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 4) TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU : Điều kiện để mặt phẳng : A.x  B.y  C.z  D  tiếp xúc với mặt cầu tâm I a , b , c  , bán kính R là : ĐIỀU KIỆN d I,P  R  A.a  B.b  C.c  D A  B2  C2 R Mặt phẳng lúc này gọi là tiếp diện mặt cầu 5) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng : (D) : x  x0 y  y z  z   ,mặt cầu tâm I a , b , c  , b.kính R m n p a) Neáu : d I,D   R thì :(D)  (S) =  b) Neáu : d I,D   R thì :(D) laø tieáp tuyeán cuûa mc (S) c) Neáu : d I, D   R thì :(D) caét mc (S) taïi ñieåm phaân bieät 6) TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU : Điều kiện để đường thẳng : (D) x  x0 y  y z  z   m n p tiếp xúc ( là tiếp tuyến ) với mặt cầu tâm I a , b , c  , bán kính R là :    IM,u  D    R , M  D   ĐK: d I,D  R  uD (dạng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng) PHẦN X - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A—THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN Tỷ số thể tích khối chóp tam giác VS.A 'B 'C ' SA '.SB '.SC ' = VS A B C SA SB SC Trong đó : A’ , B’, C’ tùy ý trên SA, SB,SC khác với S PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 25 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Thể tích khối chóp V = Thể tích khối lăng trụ B h B_diện tích đáy h_độ dài đ.cao V = B.h Thể tích khối hộp chữ nhật Thể tích khối lập phương V = a.b.c V = a3 B_diện tích đáy a,b,c là kích thước cạnh h_độ dài đcao a _là kích thước cạnh B—DIỆN TÍCH CÁC ĐA GIÁC Diện tích tam giác 1 1 1 S  a.h a  b.h b  c.h c S  a.b.sin C  b.c sin A  a.c.sin B 2 2 2 abc , S  p.r 4R  R; r  b.kính đường tròn ngoại ,nội tiếp  S Trong tam giác vuông trung tuyến Talét abc ½ BC S  A B A C cạnh huyền AM  2 ĐỊNH LÝ S  p p  a p  b p  c , p  ma2  Trung tuyến : b  c2 a  ( Thalès) Định lí cosin : Định lí sin : b2  c  a 2bc a b c    2R sin A sin B sin C cos A  Đường cao kẻ từ đỉnh vuông tam giác vuông PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 26 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Diện tích tứ giác Hình vuông cạnh a Hình bình hành cạnh a và đường cao h S  a2 S  a.h Hình chữ nhật cạnh a, b Hình thoi hai đường chéo a , b S  Hình thang có hai đáy a, b và đường cao h a b S   a  b  h S  ab C—THỂ TÍCH CÁC KHỐI TRÒN XOAY Diện tích mặt nón Diện tích hình nón Thể tích khối nón Sxq   r.l ST.p = Sxq + .r2 VN =  r h r, bán kính l, đường sinh h , đường cao Diện tích mặt trụ Sxq  2.r.l Diện tích hình trụ Thể tích khối trụ ST p  Sxq  2. r VKT   r2.h   r2.l r,bán kính l,đường sinh h,đường cao Diện tích mặt cầu SC  4 r Thể tích khối cầu PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 V   r 3 27 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN D—QUAN HỆ VUÔNG GÓC CHỨNG MINH GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Chú ý c  a  c  P   c  b   a   P , b   P , a  b  I  Khi xác định góc hai đường thẳng chưa cắt ta phải quy các đt cắt cách tìm các đt song song tương ứng với hai đường thẳng đã cho CHỨNG MINH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Vì  c   Q     c P      D '  la ø h ìn h c hieáu c uûa Q    P  1)   b  c   D  tr e ân  P    D ,  P    D , D '   CHÚ Ý: 1) Chứng minh đt v.góc mp  Q   P   Q   P   c   Q  , : A H  P  ??? GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG P  c  b 2) Chứng minh đthẳng v.góc với đthẳng  a   P   a b   b   P   P   Q   c   a  c b  c    P ,  Q     a , b     a   P , b   Q , a  b  I, I  c  PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 28 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Từ A kẻ AH vuông góc với đt(D) suy k/c cần tìm AH   D  d  A, D   AH Khoảng cách hai đường thẳng song song Lấy điểm A tùy ý trên (a) tính k/c đến đt (b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ A xác định AH vuông góc với mp(P) suy k/c cần tìm AH  a  AH   P  d  A, P   AH  AH b   Khoảng cách hai mặt phẳng song song (quy k/c từ điểm đến đường) Lấy điểm A tùy ý trên mp(P) tính k/c đến mp(Q), (quy k/c từ Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Lấy điểm A tùy ý trên đt(D) tính k/c đến mp(P), (quy k/c từ điểm đến mặt) điểm đến mặt)  a   P    Q   a  R   P  R , Q  R          PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 29 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU CÁCH : K/c chính là độ dài đoạn vuông góc chung  AB  a, AB  a  A   d  a, b   AB  AB  b, AB  b  B ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU Đoạn thẳng AB vừa vuông góc , vừa cắt hai đt a , b thì gọi là đoạn vuông góc chung CÁCH CÁCH Tìm mp(P) chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng đó quy k/c đt // mp Tìm hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó quy k/c hai mp song song b   P  d a,b  d  a, P   d  A, P   AH  a //  P , A a (quy k/c từ điểm đến mặt) K/c hai mp song song chứa hai đường quy k/c từ điểm đến mặt PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 30 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN E—QUAN HỆ SONG SONG CHỨNG MINH CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHĂNG ĐỊNH LÝ : Talét ( Thalès)  a // a '  a //  P   a '  P    AM AN MN    k  MN // BC AB AC BC CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG  a   Q , a / /  P    b  Q , b / /  P   a  b  I    P  //  Q   a //  Q   a  P    Q  / / P  TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHĂNG TÌM GIAO TUYẾN  Tìm điểm chung  Tìm đường song song nằm mặt   M   P , M   Q    a // b a  P , b  Q        P    Q   Mx, Mx // a, Mx // b …HẾT… PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 31 CÔNG THỨC TOÁN HỌC - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN MỤC LỤC NỘI DUNG CẦN TÌM Trang Phương trình - bất phương trình chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương trình bậc hai có nghiệm trái dấu , cùng dấu , âm , dương… Công thức lượng giác , bảng giá trị , phương trình lượng giác… 3,4 Hình học phẳng (Oxy-lớp 10) : Phương trình đường thẳng , góc , khoảng cách … Phương trình đường tròn , Elips , Hypebol, Parabol… Đại số tổ hợp: Hoán vị , Chỉnh hợp, Tổ hợp, Nhị thức Newton… 7,8 Xác suất Phép biến hình Lớp 11 Đạo hàm 10 Hàm số đồng biến , nghịch biến , cực trị … 10, 11 GTLN-GTNN ( max-min) , tiệm cận… 11,12 Tiếp tuyến , tương giao, giao điểm , tiếp xúc … 12,13,14 Mũ ,lũy thừa , hàm số mũ , logarít … 14 Phương trình , bất phương trình Mũ –Loogarit 15 Nguyên hàm , tích phân… 16 Các phương pháp tích phân Diện tích , thể tích 16,17,18 18,19 Số phức 19 Hình học giải tích (Oxyz) lớp 12 : Tọa độ điểm , vecto,tích vô hướng, có hướng 20 Diện tích tam giác , thể tích tứ diện, đồng phẳng … 20 Phương trình mặt phẳng 21 Vị trí tương đối hai mặt phẳng , góc , khảng cách … 22 Phương trình đường thẳng (Oxyz), góc , khảng cách , vị trí tương đối … 22,23 Mặt cầu , tiếp diện , tiếp tuyến mặt cầu … 24, 25 Tỷ số thể tích , thể tích khối đa diện… 25 , 26 Diện tích tam giác ,tính chất tam giác vuông , cân, … 26 Định lí : sin , cosin , trung tuyến, … 26 Thể tích , diện tích : Khối cầu , nón , trụ , diện tích tứ giác… 27 Hình học không gian 11 : Chứng minh song song, vuông góc , góc , khoảng cách … PHẠM ĐỨC QUANG ( @@ ) TEL: 0988.700.444 28,29,30… 32