Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm phương trình chính tắc của elip biết hai tiêu điểm cùng với hai đỉnh trên trục bé xác định một hình vuông và phương trình hai đường chuẩn là: x = ±8.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014 TỈNH QUẢNG TRỊ Môn: TOÁN; Kh ối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề THI THỬ LẦN PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu Lời giải vắn tắt 1a(1 đ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = - x + x - x + Điểm Txđ: R Giới hạn: lim y = -¥; lim y = +¥ x ®+¥ x ®-¥ y ' = -3 x + 12 x - 0,25 y ' = Û x = 1Ú x = Bbt x y' y -¥ - + +¥ - +¥ -3 0,25 -¥ Hs đồng biến trên khoảng (1;3) , nghịch biến trên các khoảng (-¥;1), (3; +¥) Hàm số đạt cực đại x = 3; yCD = , cực tiểu x = 1; yCT = -3 Điểm uốn đồ thị I (2; -1) Đồ thị: Đi qua 0,25 (0;1), (4; -3) CĐ O -3 1b(1 đ) CT 0,25 Tìm m để đường thẳng D : y = ( m - 9) x + cắt (C) ba điểm A, B, C cho x A < xB < xC và AC = AB PTHĐGĐ: éx = - x + x - x + = ( m - 9) x + Û x éë x - x + m ùû = Û ê 2 ë x - x + m = 0; (1) D cắt (C) điểm phân biệt thì (1) phải có nghiệm phân biệt khác Þ - m > Þ -3 < m < , m ¹ Khi đó(1)có hai ngiệm phân biệt dương nên x A = 0, xB và xC là hai nghiệm (1) Để AC = AB thì xC = xB ì ïï xB = ìï xB + xC = ì4 xB = 3 Theo Vi-et ta co í Þí Þí Þm=± 2 î3 x B = m îï xB xC = m ï 27 = m ïî 0,25 0,25 (2) 0,50 3 thỏa mãn tan x + cos x Giải phương trình: = - sin x p Điều kiện: cos x ¹ Û x ¹ + kp Thử lại m = ± 2(1 đ) tan x + cos x sin x (1 + cos x ) - cos x (1 + cos x ) = Û = Û = - sin x cos x - sin x - sin x - sin x Û (1 + cos x ) éë1 - cos x - (1 + sin x) ùû = é x = p + k 2p é cos x = -1 ê Û Û êê æ p ö 1- ê sin x + cos x = - sin ç x + ÷ = ê êë 6ø 2 ë è é ê x = p + k 2p ê p 1- Û êê x = - + arcsin + k 2p ; k Î Z Đối chiếu điều kiện nghiệm thỏa mãn ê 5p 1- ê êë x = - arcsin + k 2p 3(1 đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 ì x + y - 3( x + y ) = - 3( x + y ) Giải hệ phương trình: í î xy ( x - 2)( y - 2) = ìï( x - 1)3 + ( y - 1)3 = ì x + y - 3( x + y ) = - 3( x + y ) Ta có: í Ûí 2 î xy ( x - 2)( y - 2) = ïî( ( x - 1) - 1)( ( y - 1) - 1) = 4 (1 đ) 0,25 ìy = 2- x ìy = - x ï ïì y = - x Ûí Û í é ( x - 1) - = Ûí 2 î( x - 1) = ïî( ( x - 1) - 1) = ïê î ë ( x - 1) - = -2(vn) 0,5 ìï x = + ìï x = - Ûí Úí îï y = - ïî y = + 0,25 Tính : I = -6 Đặt t = I= dx x+6 ò x-7 x + Þ x = t - 6, dx = 3t dt 0,25 dx t dx t dx = = ò ò0 t - 7t - ò0 (t - 3)(t + 1)(t + 2) = -6 x - x + 0,25 = (8ln - ln ) 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , SO vuông góc với đáy, SA = a Các mặt phẳng ( SAB ), ( SBC ) hợp với đáy góc 450 và 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và góc AC với SB = 5(1 đ) æ 16 ö + dt = ln t 5ln( t + 1) + 16 ln( t + 2) = ( ) | ç ÷ 20 ò0 è t - t + t + ø 20 0,25 0,25 (3) Gọi M, N là trung điểm AB và AC S = 600 nên Dễ thấy SMO = 450 ; SNO SO Ta có: SA2 = SO + OA2 = SO + MO + MA2 = OM = SO, ON = I B M A N C O 7.SO æ SO ö = SO + SO + ç = ÷ è 3ø 2 Þ SO = D AB = NO = Vậy: VS ABCD 0,25 a ; 2a 2a ; BC = MO = 7 1 2a 2a a 4a = AB.BC.SO = = 3 7 7 0,25 0,25 Gọi I là trung điểm SD ta có SB / / OI nên ( SB, AC ) = ( OI , AI ) 12 a + a2 AD + SA SD a 31a a 2a , AI = OI = SB = , AO = = = 2 4 28 2 a 31a 4a + 2 AO + OI AI 28 = - AOI = = cos 2a a AO.OI Þ cos ( SB, AC ) = Þ ( SB, AC ) » 67 48' 6(1 đ) 2 0,25 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x - y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 y2 + + xy y x2 2 æ x2 - y2 ö æ x yö x2 y2 Ta có: P = + + xy = = ç - ÷ + + xy = ç ÷ + + xy = 2 + xy + x y y x èy xø è xy ø 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 + xy + = 2 + xy + xy + ³ + = x y x y 0,5 ì 1+ ïx = 2 ìx - y = ï Đẳng thức xãy í Ûí î xy = ï -1 + ïy = î 0,25 Vậy GTNN P là 7a (1 đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D : x + y + = A(2; -3) và cắt đường thẳng D ' : x - y - 11 = hai điểm B, C cho tam giác ABC có diện tích 7, biết tâm đường tròn (C ) có tung độ dương Gọi I ( a; b) , ( b > ) là tâm đường tròn (C ) ta có: uur uur 3(b + 3) AI ^ uD Þ (a - 2).4 - (b + 3).3 = Þ a - = (1) 0,25 (4) S DABC = = 14 BC.d ( A, D ') Þ BC = = 10 d ( A, D ') 2 æ BC ö æ 3a - 4b - 11 ö 2 d ( I , D ') = R - ç ÷ = AI - 25 Û ç ÷ = (a - 2) + (b + 3) - 25 è ø è ø 2 Û ( 3( a - 2) - 4b - ) = 25 ( ( a - 2) + (b + 3) - 25 ) , (2) 337 288 Do b > nên I (5;1) Þ R = Þ (C ) : ( x - 5) + ( y - 1) = 25 Từ (1) và (2) suy ra: b = Ú b = - 8a(1 đ) 0,25 0,25 0,25 Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ): x + y + z + = và đường thẳng: x y z+2 Gọi j là góc hợp đường thẳng a và mặt phẳng ( P ) Tính cos j và lập = = -2 phương trình mặt phẳng (Q ) chứa a cho góc mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng (Q ) j uur uur nP = (4;3; 2); ua = (1; 2; -2) , a qua I (0;0; -2) a: ( uur uur æ ö ÷ = 29 è 29 ø ) Ta có: cos j = - sin j = - cos nP , ua = - ç (Q ) chứa a nên (Q ) qua I (0;0; -2) Gọi m là giao tuyến (P) và (Q), vì góc mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng (Q ) j nên a^m uur uur uur um = éë nP , u a ùû = ( -10;10;5) uur uur uur nQ = éëua , u m ùû = (30;15;30) a a' m P 0,25 0,25 0,25 Q Vậy mp (Q) có phương trình: x + y + z + = 9a(1 đ) æ n ( ) n-k k æ ö ç ÷ biết ba hệ số đầu tiên lập è è2 x ø thành cấp số cộng Tìm n và tìm các số hạng khai triển nhận giá trị hữu tỷ "x Î N * Cho khai triển: P ( x) = ç x + n ö k = ÷ å Cn x ø k =0 0,25 x Ba hệ số đầu tiên khai triển là Cn0 = 1; Cn1 n n(n - 1) æ1ö lập thành cấp số = và Cn2 ç ÷ = 2 è2ø cộng nên: 1+ én = n(n - 1) n = Û n - 9n + = Û ê ë n = 1, (l ) 0,25 0,25 ( n = thì khai triển chi có số hạng) 8- k Ck x Các số hạng khai triển có dạng: 8k k x4 ì(8 - k )M Số hạng nhận giá trị hữu tỷ "x Î N * ứng với í Þ k Î {0; 4;8} îk M C4 Vậy khai triển có số hạng luôn nhận giá trị hữu tỷ "x Î N * là: 1; 84 x và 2 x 0,25 0,25 (5) 7b(1 đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm phương trình chính tắc elip biết hai tiêu điểm cùng với hai đỉnh trên trục bé xác định hình vuông và phương trình hai đường chuẩn là: x = ±8 Hai tiêu điểm F1 (-c;0), F2 (c; 0) và hai đỉnh trên trục bé B1 (0; -b), B2 (0; b) xác định hình vuông nên b = c > a a2 = ± = ±8 e c 2 2 2 ìïb + c = a ìï 2c = a ìï2c = 8c ìc = 4, (c > 0) Nên ta có hệ: í Þí Ûí Ûí Þ b = 16 îa = 32 îïa = 8c îïa = 8c îïa = 8c Phương trình hai đường chuẩn Elips là x = ± x2 y + =1 32 16 Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( a ): x - y - z - = và hai đường thẳng: x - y - z -1 x y z+2 Chứng minh D nằm mặt phẳng (a ) D1 : = = ; D2 : = = -2 1 -2 và tìm phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc D1 , tiếp xúc với mặt phẳng (a ) điểm K Vậy phương trình chính tắc elips là 8b(1 đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 thuộc D Ta có hai điểm A(0; 0; -2), B( -1; -2;0) thuộc đường thẳng D và thuộc mặt phẳng (a ) nên đường thẳng D nằm mặt phẳng (a ) 0,25 Tọa độ tâm mặt cầu: I (1 + 2t ;3 - 2t :1 + t ) Î D1 Tọa độ tiếp điểm mặt cầu với (a ) là: K (k ; 2k ; -2 - k ) Î D uur 0,25 uur Ta có KI = I (1 + 2t - k ;3 - 2t - k ;3 + t + k ) cùng phương với na = (4; -5; -3) Nên ta có ìk = 1 + 2t - k - 2t - k + t + k = = Þí -5 -3 ît = - 0,25 Vậy I (-3;7; -1), bán kính mặ cầu: R = IK = d ( I , (a ) ) = nên phương trình mặ cầu cần tìm là: ( x + 3) + ( y - 7) + ( z + 1) = 50 9b(1 đ) 0,25 Cho các số phức z thỏa mãn: (2 - z )5 = z (1) Chứng minh z có phần thực æ 2- z ö Ta có z = 0; z = không thỏa mãn (1) nên (2 - z ) = z Û ç ÷ =1 è z ø 2- z 2- z ¹ nên đặt = r ( cos j + i sin j ) z z 5 0,25 æ 2- z ö Þç ÷ = r ( cos 5j + i sin 5j ) = = ( cos k 2p + i sin k 2p ) z è ø 2- z k 2p k 2p ö k 2p k 2p æ Nên = 1ç cos + i sin + i sin ¹0 ÷ Û = + cos z 5 ø z 5 è 2 Þz= = = k 2p k 2p kp æ kp kp ö + cos + i sin cos + i sin ç cos ÷ 5 è 5 ø kp kp kp kp cos cos - i sin - i sin 5 5 = - i tan kp = = kp kp æ kp 2 k p ö cos cos - i sin ç cos ÷ 5 è 5 ø Vậy z luôn có phần thực là 0,25 0,25 0,25 (6) (7)