Các tia AC và AD lần lượt cắt tiếp tuyến Bt của đường tròn ở E và F a, Chừng minh rằng hai tam giác ABD và BFD đồng dạng b, Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp c, Gọi D1 đối xúng với D qua [r]
(1)ĐỀ SỐ x x x x 1 x x 1 x x x x : x Bài Cho biểu thức: P = a) Tìm ĐKXĐ P b) Rút gọn P c) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên Bài Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 x2 = 50 Bài Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km ; cùng lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dũng nước là km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô Bài Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn , B là trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; trên tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H a) Chứng minh BMD BAC , từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2 Bài 1 Cho hai số a và b khỏc thỏa mãn: a b Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = ========================= (2) ĐỀ SỐ a) ĐKXĐ: : x 0; x 1 x x 1 x z : x x x b) Rút gọn P = x1 x 1 x1 <=> P = ( x 1) x 1 1 x1 x1 c) Ta có: P = Để P nguyên thì x 1 2( x 1) x U (2) 1; 2 x 2 x x x 2 x x 0 x 0 x 3 x 9 x 1( Loai ) Vậy với x= 0;4;9 thì P có giá trị nguyên a) ĐK để phương trình có hai nghiệm âm là: 25 2m 1 m m 0 ( m 2)(m 3) m x1 x m m x x 2m m m Vậy với thì PT có hai nghiệm âm b) Ta có: x1 x2 m 2 (m 3) 50 =50 5(3m 3m 7) 50 m m 0 1 m1 m 2 2 Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian ca nô thời gian bè nứa: (h) Gọi vận tốc ca nô là x (km/h) (x>4) 24 24 24 16 2 2 x4 x Theo bài ta có PT: x x x 0 x 40 x 0 x 20 Vậy vận tốc thực ca nô là 20 km/h - Hình vẽ đúng: (3) a) Ta có BC BD (GT) BMD BAC (2 góc nội tiếp chắn cung * Do BMD BAC A, M nhìn HK dười góc MHKA nội tiếp BD BC b) Do BC = BD (do ), OC = OD (bán kính) là đường trung trực CD CD AB (1) 0 băng nhau) C D OB O Xét MHKA: là tứ giác nội tiếp, AMH 90 (góc nt chắn nửa B H đường tròn) HKA 180 90 90 (đl) HK AB (2) Từ 1,2 HK // CD c) Chứng minh OK.OS = R2 M K A S Đáp án và hướng dẫn chấm đề thi thử vào lớp 10 Môn Toán x ax b 0 (*) ( x ax b)( x bx a ) 0 x bx a 0 (**) Ta có: (*) 4b , Để PT có nghiệm a 4b 0 a 4b (**) b 4a Để PT có nghiệm thì b 4a 0 1 a b (3) 1 b a (4) 1 1 Cộng với ta có: a b a b 1 1 1 1 1 1 4a 4b 4a b (luôn luôn đúng với a, b) a b ĐỀ SỐ Bài 1: Cho biểu thức; P= a) Rút gọn P a3 a (1 a ) a : a . 1 a 1 a a a Xét dấu biểu thức M = a.(P - ) b) Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m: mx y 2m 4 x my 6 m Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không chứa nước dự kiến 4giờ thì đầy bể Nhưng thực tế hai vòi cùng chảy đầu Sau đó vòi thứ hai chảy mình đầy bể Hỏi chảy riêng thì vòi chảy trongbao lâu đầy bể ? Bài 4: Cho đường tròn tâm O và điểm A trên đường tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB (4) a) CM tứ giác QBOA nội tiếp b) Gọi E là trung điểm QO, Q chuyển động trên Ax thì E chuyển động trên đường nào c) Hạ BK Ax , BK cắt QO H CM tứ giác OBHA là hình thoi Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 8x x Ax = với x > HD: Bài3: Xem bể là đơn vị; hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên chảy 1/4 bể ; 2giờ chảy 2.1/4=1/2 bể Còn 1/2 bể vòi hai phải chảy giờ.Do vòi hai chảy đầy bể mất12 Gọi thời gian vòi chảy mình đầy bể là x; vòi là y,thì vòi chảy x bể;vòi chảy 1 bể Mỗi hai vòi cùng chảy x y bể vì chảy đầy bể nên ta có 1 1 ( x y ).4 = Suy hai vòi cùng chảy thì ( x y ).2 = 1/2 bể Vì vòi phải 1 chảy đầy bể nên ta có y = HD:Bài 4: y (5) a) A B 180 R EF OA 2 không đổi Nên E Ey b) EF là đường trung bình c) AO // HB; AL // QB vì H là trực tâm OH // OB; OA OB OBHA là hình thoi Bài 8x 2 x Lời giải:Ta có Ax = = 8x + x Ta thấy 8x và x là hai đại lượng lấy giá trị dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và x ta có: 2 2 x 2 16 8 x 8x + x dấu = xẩy 8x = x = > x = Vậy GTNN Ax = với x = ĐỀ SỐ Bài 1) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 2 x y 2) Giải hệ phương trình: x y 7 3) Rút gọn biểu thức A ( 10 2) Bài 2 Cho phương trình (ẩn số x): x x m 0 * 1) Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 x1 Bài Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km Lúc xe máy từ A để tới B Lúc 30 phút cùng ngày, ô tô từ A để tới B với vận tốc lớn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng đường đã cho) Hai xe nói trên đến B cùng lúc Tính vận tốc xe Bài Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O’) Đường thẳng BO cắt (O) điểm thứ hai là D (6) a) Chứng minh tứ giác CO’OB là hình thang vuông b) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng c) Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E là tiếp điểm) Chứng minh DB = DE Bài Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = 1 1 xy xz Chứng minh -Hướng dẫn bài 5: Vì x + y + z = nên suy x = – (y + z) 1 1 1 1 1 1 x x y z y z Mặt khác: xy xz x dương (*) Thay x = – (y + z) vào (*) ta có : 1 1 4 y z y z 0 y z y z y y z z 0 Luôn đúng với x, y, z dương, dấu xảy và : y = z = 1, x = A ( 10 2) = ( 1) = ( 1) ( 1) = ( 1)( 1) = Cho phương trình (ẩn số x): x x m 0 * 2 16 4m 12 4m 4 0; m Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 x1 Theo hệ thức VI-ET có :x1.x2 = - m2 + ;x1+ x2 = 4; mà x2 x1 => x1 = - ; x2 = Thay x1 = - ; x2 = vào x1.x2 = - m2 + => m = 2 h b) Xe máy trước ô tô thời gian là : 30 phút - = 30 phút = Gọi vận tốc xe máy là x ( km/h ) ( x > ) Vì vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 15 km/h nên vận tốc ô tô là x + 15 (km/h) 90 ( h) Thời gian xe máy hết quãng đường AB là : x (7) 90 ( h) Thời gian ô tô hết quãng đường AB là : x 15 Do xe máy trước ô tô và hai xe tới B cùng lúc nên ta có phương trình : 90 90 x x 15 B Bài 5: C O A O’ E D 1) Theo tính chất tiếp tuyến ta có OB, O’C vuông góc với BC tứ giác CO’OB là hình thang vuông 2) Ta có góc ABC = góc BDC góc ABC + góc BCA = 900 góc BAC = 900 Mặt khác, ta có góc BAD = 900 (nội tiếp nửa đường tròn) Vậy ta có góc DAC = 1800 nên điểm D, A, C thẳng hàng 3) Theo hệ thức lượng tam giác vuông DBC ta có DB2 = DA.DC Mặt khác, theo hệ thức lượng đường tròn (chứng minh tam giác đồng dạng) ta có DE2 = DA.DC DB = DE ĐỀ SỐ Bài Rút gọn các biểu thức sau: a) A 2 45 b) B 12 3 500 Bài 12 Hai người cùng làm chung công việc thì xong Nếu người làm mình thì người thứ hoàn thành công việc ít người thứ hai là Hỏi làm mình thì người phải làm bao nhiêu thời gian để xong công việc? Bài Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – =0 ( m lµ tham sè) a) Gi¶I ph¬ng tr×nh m = 2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 16 Bài (8) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K là hình chiếu H trên AB a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ACM ACK c) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân C Bài 5 2 Chứng minh : a b a b a b , biết a b 0 -Hướng dẫn bài Ta có: a5 b a 3b a 2b3 a b5 a 3b a 2b3 0 a (a b ) b3 (a b ) 0 (a b )(a b ) 0 (a b) ( a b)( a b ab) 0 (a b) 0 (với a, b R ) a b 0 ( theo giả thiết) 2 a b ab 0 ( với a, b R ) 5 2 Nên bất đằng thức cuối đúng Vậy a b a b a b với a b 0 (đpcm) Vì : 12 B 3 8 2(4 3) 3 2 2( 1)2 31 2 2 a, Thay x = vào phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - = và giải phương trình: x2 - 4x + = nhiều cách và tìm nghiệm x1 = 1, x2 = b, Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - = , ta có: x1 x2 2(m 1) x1.x2 m và x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = 16 Thay vào giải và tìm m = 0, m = -4 Bài IV: (3,5 điểm) (9) 1) Ta có HCB 90 ( chắn nửa đường tròn đk AB) HKB 900 (do K là hình chiếu H trên AB) HCB HKB 1800 => nên tứ giác CBKH nội tiếp đường tròn đường kính HB 2) Ta có ACM ABM (do cùng chắn AM (O)) và ACK HCK HBK (vì cùng chắn HK đtròn đk HB) ACM ACK Vậy 3) Vì OC AB nên C là điểm chính cung AB AC = BC và sd AC sd BC 90 Xét tam giác MAC và EBC có MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và MAC = MBC vì cùng chắn cung MC (O) MAC và EBC (cgc) CM = CE tam giác MCE cân C (1) 0 Ta lại có CMB 45 (vì chắn cung CB 90 ) CEM CMB 45 (tính chất tam giác MCE cân C) Mà CME CEM MCE 180 (Tính chất tổng ba góc tam giác) MCE 90 Từ (1), (2) tam giác MCE là tam giác vuông cân C (đpcm) (2) ĐỀ SỐ Bài 1) Tìm giá trị x để các biểu thức có nghĩa: 2x 3x ; 2) Rút gọn biểu thức: A (2 3) 2 Bài Cho phương trình: mx2 – (4m -2)x + 3m – = (1) ( m là tham số) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị m 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = 2mx – 2m + (m là tham số) a) Tìm toạ độ các điểm thuộc (P) biết tung độ chúng (10) b) Chứng minh (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt với m Bài Một đội thợ mỏ phải khai thác 260 than thời hạn định Trên thực tế, ngày đội khai thác vượt định mức tấn, đó họ đã khai thác 261 than và xong trước thời hạn ngày Hỏi theo kế hoạch ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu than? Bài Cho đường tròn O Từ A là điểm nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AM và AN với (O) ( M; N là các tiếp điểm ) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO 2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B và C (B nằm A và C ) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh I thuộc đường tròn đường kính AO 3) Gọi K là giao điểm MN và BC Chứng minh AK.AI = AB.AC - A b) (2 3) 2 (2 3) (2 (2 3) 3)(2 3) (2 3)(2 2 3) 22 32 1 * Nếu m = thì (1) x 0 x 1 nguyên Suy ra: Với m = pt có nghiệm nguyên * Nếu m # thì ph (1) là pt bậc ẩn x Từ ý ta có: pt có nghiệm: 2m m 1 x1 m x 2m m 3m m m Để pt (1) có nghiệm nguyên thì nghiệm x2 phải nguyên 3m 2 Z Z ( m 0) m m m hay m là ước m = {-2; -1; 1; 2} Kết luận: Với m = { 1; 2;0 } thì pt có nghiệm nguyên Theo tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính O tiếp điểm ta có : AMO ANO 90 AMO vuông M A, M , O thuộc đường tròn (11) đường kính AO ( Vì AO là cạnh huyền) ANO vuông N A, N, O thuộc đường tròn đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền) Vậy: A, M, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO Hay tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn đường kính AO Vì I là trung điểm BC (theo gt) OI BC (tc) AIO vuông I A, I, O thuộc đường tròn đường kính AO (Vì AO là cạnh huyền) Vậy I thuộc đường tròn đường kính AO (đpcm) Nối M với B, C Xét AMB &AMC có MAC chung MCB AMB sđ MB AB AM AB AC AM AMB ~ACM (g.g) AM AC (1) Xét AKM &AIM có MAK chung AIM ANM AIM AMK cùng chắn AM (Vì: và AMK ANM ) AMK ~AIM (g.g) AK AM AK AI AM AM AI (2) Từ (1) và (2) ta có: AK.AI = AB.AC (đpcm) ĐỀ SỐ Bài Cho biểu thức A = ( x −1√ x + √ x1−1 ) : (√√xx−1+1) ❑ a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A b) Tim giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - √ x Bài Hai đội công nhân cùng đào mương Nếu họ cùng làm thì xong công việc Nếu họ làm riêng thì đội A hoàn thành công việc nhanh đội B 12 Hỏi làm riêng thì đội phải làm bao nhiêu xong việc? Bài Cho ba đờng thẳng(d1): y= 2x+1; (d2): y = 3; (d3): y= kx+5 a) Xác định toạ độ giao điểm hai đờng thẳng d1 và d2 b) Tìm k để ba đờng thẳng trên đồng quy Bài Cho đường tròn tâm O,đường kính AB, C là điểm cố định trên đường tròn khác A và B Lấy D là điểm nằm cung nhỏ BC Các tia AC và AD cắt tiếp tuyến Bt đường tròn E và F a, Chừng minh hai tam giác ABD và BFD đồng dạng b, Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp c, Gọi D1 đối xúng với D qua O và M là giao điểm AD và CD chứng minh số đo góc AMC không đổi D chạy trên cung nhỏ BC (12) Bài Cho x.y =1 vµ x >y x2 + y2 x− y Chøng minh √2 -Hướng dẫn bài 2 x +y ⇒ x2+y2 √ v× :x y nªn x- y √ ( x-y) x− y ⇔ x2+y2+2- √ x+ √ y -2 ⇒ x2+y2- √ x+ √ y 2 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 ⇔ x +y +( √ ) - √ x+ √ y -2xy Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh ⇒ (x-y- √ ) a) Điều kiện x 1 A Với điều kiện đó, ta có: b) Để A = Vậy x x1 x thì thì A = c) Ta có P = A - x 1 x : x1 x 1 x1 x1 x x x (thỏa mãn điều kiện) √x x1 = x x 1 x x x Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: Suy ra: P Đẳng thức xảy Vậy giá trị lớn biểu thức P x x x x x ABD và BFD có : ADB= BDF = 900 BAD = DBF ( Cùng chắn cung BD) => BFD ABD Có : E = (SdAB- SdBC): ( Góc ngoài đường tròn) 2 x x 6 (13) = SdAC: = CDA => Tứ giác CDFE nội tiếp Dễ dàng chứng minh tứ giác ADBD1 là hình chữ nhật Có : AMC = AD1M + MAD1 ( Góc ngoài tam giác AD1M) = (SdAC: 2) + 900 Mà AC cố định nên cung AC cố định=> AMC luôn không đổi D chạy trên cung nhỏ BC ĐỀ SỐ Bài x x 1 1) Giải phương trình x 3 0 3x y 11 2) Giải hệ phương trình Bài 1 a +1 P= + : 2- a a-2 a 2 a -a Rút gọn biểu thức với a > và a 4 Bài Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông kém 7cm Tính độ dài các cạnh tam giác vuông đó Bài y = x2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x - m +1 và parabol (P): 1) Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 3) 2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) cho x1x y1 + y 48 0 Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC < BC (C A) Các tiếp tuyến B và C (O) cắt điểm D, AD cắt (O) E (E A) 1) Chứng minh BE2 = AE.DE 2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB H, DO cắt BC F Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp 3) Gọi I là giao điểm AD và CH Chứng minh I là trung điểm CH Bài (14) 1 2 Cho số dương a, b thỏa mãn a b Tìm giá trị lớn biểu thức 1 Q 2 a b 2ab b a 2ba 2 2 2 Với a 0; b ta có: (a b) 0 a 2a b b 0 a b 2a b 2 2 1 (1) a b 2ab 2ab a b a b 2ab 2a b 2ab 1 2 b a 2a b 2ab a b (2) Tương tự có Q Từ (1) và (2) ab a b 1 1 Q 2 a b 2ab 2(ab) Vì a b mà a b 2 ab ab 1 1 Q Vậy giá trị lớn biểu thức là Khi a = b = thì Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (điều kiện 0< x < 15) => độ dài cạnh góc vuông còn lại là (x + )(cm) Vì chu vi tam giác là 30cm nên độ dài cạnh huyền là: 30–(x + x +7)= 23–2x (cm) 2 x + (x + 7) = (23 - 2x) Theo định lí Py –ta- go ta có phương trình x - 53x + 240 = (1) Giải phương trình (1) nghiệm x = 5; x = 48 Đối chiếu với điều kiện có x = (TM đk); x = 48 (không TM đk) Vậy độ dài cạnh góc vuông là 5cm, độ dài cạnh góc vuông còn lại là 12 cm, độ dài cạnh huyền là 30 – (5 + 12) = 13cm Vì (d) qua điểm A(-1; 3) nên thay x = -1 và y = vào hàm số y = 2x – m + ta có 2.(-1) – m +1 = -1 – m = m = -4 Vậy m = -4 thì (d) qua điểm A(-1; 3) x 2 x m 1 Hoành độ giao điểm (d) và (P) là nghiệm phương trình x x 2m 0 (1) ; Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt ' 2m m Vì (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ giao điểm (d) và (P) nên x1; x2 là nghiệm phương trình (1) và y1 = x1 m , y = x2 m x x y +y 48 0 Theo hệ thức Vi-et ta có x1 + x = 4, x1x = 2m-2 Thay y1,y2 vào có x1x 2x1 +2x -2m+2 48 0 (2m - 2)(10 - 2m) + 48 = m - 6m - = m=-1(thỏa mãn m<3) m=7(không thỏa mãn m<3) Vậy m = -1 thỏa mãn đề bài VìBD là tiếp tuyến (O) nên BD OB => ΔABD vuông B Vì AB là đường kính (O) nên AE BE Áp dụng hệ thức lượng ΔABD ( ABD=90 ;BE AD) ta có BE2 = AE.DE Có DB= DC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau), OB = OC (bán kính (O)) OD là đường trung trực đoạn BC => OFC=90 (1) Có CH // BD (gt), mà AB BD (vì BD là tiếp tuyến (O)) (15) CH AB => OHC=90 Từ (1) và (2) ta có OFC + OHC = 180 => tứ giác CHOF nội tiếp Có CH //BD=> HCB=CBD (hai góc vị trí so le trong) mà ΔBCD cân D => CBD DCB nên CB là tia phân giác HCD d o CA CB => CA là tia phân giác góc ngoài đỉnh C ΔICD AI CI = AD CD (3) AI HI = Trong ΔABD có HI // BD => AD BD (4) CI HI = Từ (3) và (4) => CD BD mà CD=BD CI=HI I là trung điểm CH Gọi thời gian người thứ hoàn thành mình xong công việc là x (giờ), ĐK Thì thời gian người thứ hai làm mình xong công việc là x + (giờ) 1 Mỗi người thứ làm x (cv), người thứ hai làm x (cv) x 12 (16) 12 12 1: Vì hai người cùng làm xong công việc nên hai đội làm = 12 (cv) Do đó ta có phương trình 1 x x 12 ĐỀ SỐ Bài 1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(2;1) và B(-1;5 ) Vẽ đường thẳng (d) trên mặt phẳng tọa độ Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai trục toạ độ và đường thẳng (d) Bài Cho phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Tìm hệ thức hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào m Bài Một phòng họp có 320 ghế ngồi xếp thành dãy và số ghế dãy Nếu số dãy ghế tăng tăng thêm và số ghế dãy tăng thêm thì phòng có 374 ghế Hỏi phòng có bao nhiêu dãy ghế và dãy có bao nhiêu ghế? Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt đường thẳng CA ë E Chøng minh tam gi¸c BEC c©n Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chứng minh BE là tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Bài y - 2012 x - 2011 z - 2013 y - 2012 z - 2013 Giải phương trình: x - 2011 Hướ ng dẫn bài Đặt x - 2011 a; y - 2012 b; z - 2013 c (với a, b, c > 0) Khi đó phương trình đã cho trở thành: a - b - c - 0 4 a a 4 b b 4 c c a2 b c (17) 2 1 1 1 0 a 2 b c a=b=c=2 Suy ra: x = 2013, y = 2014, z = 2015 * Giải: Gọi số dãy ghế phòng họp là x (dãy) ( x ) * Gọi số ghế dãy là y (ghế) ( y ) Vì phòng họp có 320 ghế ngồi xếp thành dãy và số ghế dãy nên ta có phương trình: xy 320 (1) Vì số dãy ghế tăng tăng thêm và số ghế dãy tăng thêm thì phòng có 374 ghế nên ta có phương trình: (x 1)(y 2) 374 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: xy 320 (x 1)(y 2) 374 320 y xy 320 xy 320 x 320 xy 2x y 374 2x y 52 2x 52 x 320 320 x=10 y y x x y 32 x 26x 160 0 x 26x 160 0 320 y x x 26x 160 0 x=16 y 20 Vậy phòng họp có 10 dãy ghế và dãy có 32 ghế Hoặc là phòng họp có 16 dãy ghế và dãy có 20 ghế AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2) Vì AB CE (gt), đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến BEC => BEC là tam gi¸c c©n => B1 = B2 Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH vµ BE AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED ĐỀ SỐ Bài 1 -2 m + x 3 1) Cho hàm hàn số y = f(x) = (18) a) Với giá trị nào m thì hàm số đã cho là hàm số y = ax2 b) Khi x > 0, với giá trị nào m thì hàm số đã cho đồng biến c) Khi m = 12 + Tính: f(-1); f(0); f( ) + Không tính giá trị, hãy so sánh f(1- ) và f(-1) + Vẽ đồ thị hàm số 2) Cho phương trình x2 + (2m - 1) x + m2 + = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương Bài Cho hàm số: y = ax2 có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d) a) Chứng minh (d) luôn qua điểm M cố định b) Tìm a để (P) qua điểm cố định đó c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P) Bài Trong tháng niên Đoàn trường phát động và giao tiêu chi đoàn thu gom 10kg giấy vụn làm kế hoạch nhỏ Để nâng cao tinh thần thi đua bí thư chi đoàn 10A chia các đoàn viên lớp thành hai tổ thi đua thu gom giấy vụn Cả hai tổ tích cực Tổ thu gom vượt tiêu 30%, tổ hai gom vượt tiêu 20% nên tổng số giấy chi đoàn 10A thu là 12,5 kg Hỏi tổ bí thư chi đoàn giao tiêu thu gom bao nhiêu kg giấy vụn? Bài Cho đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R Từ điểm E trên đoạn OA (E không trùng với A và O) Kẻ dây BD vuông góc với AC Kẻ đường kính DI đường tròn (O) a) Chứng minh rằng: AB = CI b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2 2R c) Tính diện tích đa giác ABICD theo R OE = Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : x y y z z x 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = x 2013 + y 2013 + z 2013 Bài Tõ gi¶ thiÕt ta cã : (19) x y 0 y z 0 z x 0 Cộng vế các đẳng thức ta có : 2 x 1 y 1 z 1 0 x x y y z z 0 x 0 y 0 z 0 x y z A x 2013 y 2013 z 2013 1 2013 1 2013 1 2013 VËy : A = -3 Gọi số kg giấy vụn tổ bí thư chi đoàn giao là x (kg) ( Đk : < x <10) Số kg giấy vụn tổ bí thư chi đoàn giao là y (kg) ( Đk : < x <10 ) x y 10 Theo đầu bài ta có hpt: 1,3 x 1, y 12,5 Giải hệ trên ta : (x; y ) = (5;5) Trả lời : số giấy vụn tổ bí thư chi đoàn giao là kg Số giấy vụn tổ bí thư chi đoàn giao là kg a) Chứng minh rằng: AB = CI Ta có: BD AC (gt) DBI = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BD BI Do đó: AC // BI AB CI AB = CI b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2 Vì BD AC AB AD nên AB = AD Ta có: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = AB2 + CD2 = AD2 + CD2 = AC2 = (2R)2 = 4R2 2R c) Tính diện tích đa giác ABICD theo R OE = 1 SABICD = SACD + SABIC = DE.AC + EB.(BI + AC) 2R R 2R 5R * OE = AE = và EC = + R = R 5R R R 5R * DE2 = AE.EC = = DE = Do đó: EB = R 4R * BI = AC – 2AE = 2R – = R R 4R R 16 R 8R Vậy: SABICD = 2R + ( + 2R) = = (đvdt) (20) ĐỀ SỐ 10 Bài 1: Cho phương trình: x 16 x 32 0 ( với x R ) x y 0 x 2y 0 Bài 2: 1) Giải hệ phương trình 2) Giải bất phương trình: 3( x 4) x 3) Cho hàm số bậc y =f(x) = 2012x +2013 a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? b) Cho x hai giá trị bất kì x1, x2 cho x1 < x2 Hãy chứng minh: f(x1) < f(x2) và Bài 3: 1) So sánh hai số: 2) Hãy xếp các tỷ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần, giải thích ? Cos470, sin 780, Cos140, sin 470, Cos870 3) Lập phương trình bậc hai nhận hai số và làm nghiệm Bài 4: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng 17 chục là và đổi chỗ hai chữ số cho thì ta nhận số số ban đầu Bài 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là điểm nằm trên đường tròn cho CA > CB Gọi I là trung điểm OA Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB I, cắt tia BC M và cắt đoạn AC P; AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp đường tròn Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng Các tiếp tuyến A và C đường tròn (O) cắt Q Tính QA BC = R Bài 6: xy A xy Cho x 0, y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 xy xy 1 xy 1 A A xy xy A xy xy Ta có 1 x 0, y A A 0 Amin Amax A A Vì đó 1 x y 0 x y 2 xy xy 1 xy Mặt khác (vì xy ) 1 1 2 Dấu “ = ” xảy x y Do đó A x 0, y x y x y 2 x y Từ (21) 2 A 2 A x y 1 Lúc đó Vậy a) Tứ giác BCPI nội tiếp (hs tự cm) b) Dễ thấy MI và AC là hai đường cao MAB P là trực tâm BP MA 1 MAB BP là đường cao thứ ba Mặt khác AKB 90 (góc nội tiếp chắn đường tròn) Từ (1) và (2) suy ba điểm B, P, Q thẳng hàng BK MA 2 2 c) AC AB BC R R R Khi BC = R dễ thấy tam giác OBC là tam giác suy CBA 60 Mà QAC CBA (góc tạo tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn AC ) đó QAC 600 Dễ thấy tam giác QAC cân Q (QA = QC) có QAC 60 nên là tam giác AQ AC R ĐỀ SỐ 11 Bài 1) Giải hệ phương trình , các phương trình sau đây: a) b) x y 43 3 x y 19 x 2 x 18 c) x 2011 x 8044 3 2) Cho phương trình: x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m + = (*) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm âm Bài x2 Cho parabol (P) : y = và đường thẳng (d): y = mx + a) Với m = -2, vẽ ( d) và (P) trên cùng mặt phẳng tọa độ b) Chứng tỏ với m đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài Hai tổ sản xuất cùng may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày thì hai tổ may 1310 áo Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ hai là 10 áo Hỏi tổ ngày may bao nhiêu áo? Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và AB = BD Tiếp tuyến (O) A cắt đường thẳng BC Q Gọi R là giao điểm hai đường thẳng AB và CD a) Chứng minh AQ QB.QC b) Chứng minh AQRC nội tiếp (22) c) Chứng minh AD // QR Bài Tìm hai chữ số tận cùng tổng: S = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 Hướng dẫn bài Ta có tính chất: Nếu a N và (a, 5) = thì a20 − 25 Dễ thấy, a chẵn thì a chia hết cho ; a lẻ thì a 100 − chia hết cho ; a chia hết cho thì a2 chia hết cho 25 Mặt khác, từ tính chất trên ta suy với a N và (a, 5) = ta có a 100 − 25 Vậy với a N ta có a2(a100 − 1) 100 Do đó S1 = 12002 + 22(22000 − 1) + + 20042(20042000 − 1) + 22 + 32 + + 20042 Vì hai chữ số tận cùng tổng S chính là hai chữ số tận cùng tổng + 22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 12 + 22 + + 20042 = 2005 4009 334 = 2684707030, tận cùng là 30 Vậy hai chữ số tận cùng tổng S1 là 30 ĐỀ SỐ 12 Bài 1) Rút gọn các biểu thức: 1+ sinx cosx A= sinx + cosx a) B = cotx + sinx 1+ cosx b) c) C = √ + √ ( √ 15 - √ ) + 5 − √5 5+ √ 2) Cho M = + - √ 10 5+ √ 5 − √5 Rút gọn M, chứng minh M < Bài Cho phương trình: x4 – 2x2 + m – = a) Giải phương trình m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài Hai cần trục bốc hàng cảng Quy Nhơn, cần trục thứ bốc nhiều cần trục thứ hai là hàng Tính xem mỗi cần trục bốc bao nhiêu hàng, biết cùng số lượng hàng 100 tấn, cần trục thứ bốc nhanh cần trục thứ hai Bài Cho tứ giác ABCD và có các góc ABC và ADB vuông; H là hình chiếu vuông góc D xuống AB Đường tròn tâm A bán kính AD cắt đường tròn đường kính AC M và N (M trên cung nhỏ AB) a) Chứng minh AM AH AB b) Chứng minh rằng: HAM ~ MAB c) Chứng minh N,H,M thẳng hàng Bài Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2 + xy + y2 - x2y2 = -Hướng dẫn bài Cách 1: (23) 16 0 Vì xyz - x y z => xyz(x+y+z) = 16 P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz Áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dương là x(x+y+z) và yz ta có P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz 2 xyz( x y z ) 2 16 8 ; dấu đẳng thức xẩy x(x+y+z) = yz Vậy giá trị nhỏ P là Cách 2: Vì xyz 16 16 0 x y z x yz xyz 16 16 x yz yz yz P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz = xyz 16 Áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dương là yz và yz ta có 16 16 16 yz 2 16 8 yz 2 yz yz yz yz P= ; dấu đẳng thức xẩy Vậy giá trị nhỏ P là Giải: a) Chứng minh AM AH AB Tam giác DAB vuông D, đường cao DH, ta có: AD2 AH AB AM AH AB v × AM = AD b) Chứng minh rằng: HAM ~ MAB Xét: HAMvµ MAB cã: A : gãc chung HAM ~ MAB c g c AM AB : AM AH AB AH AM c) Chứng minh N,H,M thẳng hàng Ta có: AM = AN AM AN B1 B2 : HAM ~ MAB AMH mµ: AMH B AMN M , H , Nth¼ng hµng s®AN l ¹i cã: AMN B 2 (24) Giải: a) Chứng minh AQ QB.QC Xét: QAB và QCA có: : gãc chung Q QAB ~ QCA g g C s®AB A 1 QA QB QA2 QB.QC ®pcm QC QA b) Chứng minh AQRC nội tiếp Ta có: A v × ABCD néi tiÕp C 2 C2 s®BD s®BD mµ: A 2 A s®AB Lại có: ; mà AB BD ; nên: A1 C2 Tứ giác AQRC nội tiếp c) Chứng minh AD // QR Ta có: v × néi tiÕp cïng ch¾n AQ cña ®/trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AQRC R C s®AB C A s®BD C A 2 2 BD mµ: AB Lại có: (1) (25) Từ (1) và (2) R1 A2 AD // QR ĐỀ SỐ 10 Bài 1: Cho phương trình: x 16 x 32 0 ( với x R ) x y 0 x 2y 0 Bài 2: 1) Giải hệ phương trình 2) Giải bất phương trình: 3( x 4) x 3) Cho hàm số bậc y =f(x) = 2012x +2013 a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? b) Cho x hai giá trị bất kì x1, x2 cho x1 < x2 Hãy chứng minh: f(x1) < f(x2) và Bài 3: 1) So sánh hai số: 2) Hãy xếp các tỷ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần, giải thích ? Cos470, sin 780, Cos140, sin 470, Cos870 3) Lập phương trình bậc hai nhận hai số và làm nghiệm Bài 4: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng 17 chục là và đổi chỗ hai chữ số cho thì ta nhận số số ban đầu Bài 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là điểm nằm trên đường tròn cho CA > CB Gọi I là trung điểm OA Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB I, cắt tia BC M và cắt đoạn AC P; AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp đường tròn Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng Các tiếp tuyến A và C đường tròn (O) cắt Q Tính QA BC = R Bài 6: xy A xy Cho x 0, y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 xy xy 1 xy 1 A A xy xy A xy xy Ta có 1 x 0, y A A 0 Amin Amax A A Vì đó 1 x y 0 x y 2 xy xy 1 xy Mặt khác (vì xy ) 1 1 2 Dấu “ = ” xảy x y Do đó A (26) x 0, y x y x y x y 1 Từ 2 A 2 A x y 1 Lúc đó Vậy c) Tứ giác BCPI nội tiếp (hs tự cm) d) Dễ thấy MI và AC là hai đường cao MAB P là trực tâm BP MA 1 MAB BP là đường cao thứ ba Mặt khác AKB 90 (góc nội tiếp chắn đường tròn) Từ (1) và (2) suy ba điểm B, P, Q thẳng hàng BK MA 2 2 c) AC AB BC R R R Khi BC = R dễ thấy tam giác OBC là tam giác suy CBA 60 Mà QAC CBA (góc tạo tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn AC ) đó QAC 600 Dễ thấy tam giác QAC cân Q (QA = QC) có QAC 60 nên là tam giác AQ AC R ĐỀ SỐ 13 Bài a) Cho hệ phương trình : ìïï (a +1) x - y = í ïïî a.x + y = a Giải hệ phương rình a = - ax 2y 2 b) Biết hệ phương trình bx ay 4 có nghiệm ( ; - ) Xác định các hệ số a, b y x Bài Cho đường thẳng (d) Bµi a) Vẽ (d) trên mặt phẳng tọa độ b) Tính diện tích tam giác tạo thành (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Một đội xe theo kế hoạch cần vận chuyển 150 hàng Nhng đến lúc làm việc ph¶i ®iÒu xe ®i lµm nhiÖm vô kh¸c V× vËy sè xe cßn l¹i ph¶i chë thªm 10 tÊn hµng hết số hàng đó Hỏi đội có bao nhiêu xe ? Bµi Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : (27) a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài Một hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2cm 2, chu vi là 6cm và AB > AD Cho hình chữ nhật này quay quanh cạnh AB vòng ta hình gì? Hãy tính thể tích và diện tích xung quanh hình tạo thành -Hướng dẫn bài Hình tạo thành là hình trụ Số đo độ dài AB và AD là các nghiệm phương trình x2 - 3x + = Từ đó AB = 2cm và AD = 1cm Thể tích hình trụ là V = πAD2.AB = 2π (cm3) và diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 2πAD.AB = 4π(cm2) Ta có OMP = 900 ( vì PM AB ); ONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ) Như M và N cùng nhìn OP góc 900 => M và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM) Tam giác ONC cân O vì có ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => OMC NDC CM CO => CD CN => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M (28) (29)