Bài 42: Biết các số phức biểu diễn bởi ba đỉnh nào đó của một hình bình hành trong mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diễn bởi đỉnh còn lại... Số phức – phạm ngọc chuyên.[r]
(1)Số phức – phạm ngọc chuyên BÀI TẬP SỐ PHỨC Định nghĩa số phức Số phức z là biểu thức có dạng z = a + bi, đó a và b là các số thực, i là số thỏa mãn i² = –1 a là phần thực; b là phần ảo; i là đơn vị ảo Tập hợp các số phức kí hiệu là C Đặt biệt: Số phức z = a có phần ảo coi là số thực Số phức z = bi có phần thực gọi là số ảo Số phức z = vừa là số thực, vừa là số ảo Số phức Hai số phức a = a + bi và z’ = a’ + b’i phần thực và phần ảo chúng tương ứng a a ' a bi a ' b 'i b b ' Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Mô đun số phức Môđun số phức z = a + bi là số thực không âm kí hiệu z = a +b2 Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z = a + bi là số phức z a bi Cộng, trừ, nhân, chia số phức Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Cộng hai số phức: (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i Trừ hai số phức: (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i Nhân hai số phức: (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i Chia hai số phức: a bi aa ' bb ' ab ' a 'b i a ' b 'i a '2 b '2 a '2 b '2 Căn bậc hai số thực âm Căn bậc hai số thực a < là i a Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = với hệ số thực a, b, c và a ≠ Khi Δ < phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 b i Δ 2a Dạng lượng giác số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) là dạng lượng giác số phức z = a + bi, z ≠ a cos φ r Trong đó r a b2 là mô đun z; φ là acgumen z thỏa b sin φ r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos φ + i sin φ), z ' r ' cos φ ' isin φ ' thì * z.z ' r.r ' cos φ φ ' i sin φ φ ' * z r cos φ φ ' i sin φ φ ' z' r' Công thức Moivre: n là số nguyên dương thì r cos φ i sin φ r n cos nφ i sin nφ n Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) là φ φ φ φ r cos i sin và r cos i sin 2 2 Bài tập THPT Quỳnh Lưu 4/6/2014 (2) Số phức – phạm ngọc chuyên Bài 1: Tìm mô đun số phức z = + 4i + (1 – i)³ Bài 2: Cho hai số phức z1 5i ; z2 i Tính z z1 và z2 z2 Bài 3: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình: z² + 2x + 10 = Tính giá trị biểu 2 thức A = z1 z Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z i 10 và z.z 25 z z2 z Bài 6: Giải phương trình: z 2z (1 5i)2 Bài 5: Cho số phức z = – 3i Tìm Bài 7: Tìm bậc hai số phức z 3 i 2 Bài 8: Tìm các bậc hai số phức: z = 21 – 20i Bài 9: Giải phương trình: z² – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = Bài 10: Giải phương trình trên tập C: z4 2z3 z2 2z Bài 11: Giải phương trình trên tập C: 2z4 2z3 z2 2z Z1 Z2 3i 2 Z1 Z2 4i Bài 12: Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z 4i Bài 14: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i z z 2i Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z 5i Bài 16: Viết số phức sau dạng đại số: z ( i)9 (1 i)5 Bài 17: Viết dạng lượng giác số phức z 3i Bài 18: Viết dạng lượng giác tính: (1 + i)2014 Bài 19: Tìm dạng lượng giác số phức sau: z 1 i 3 i Bài 20: Tìm phần thực và phần ảo số phức: z Bài 21: Cho số phức z = a + bi a, b a z z 2 z2 z b zz 6i 2008 5 sin isin 2009 Các số sau đây là số thực hay số ảo Bài 22: Tìm phần thực và phần ảo số phức z = 21014i2013 + 2013i2014 Bài 23: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z2 1 2i z 8i Bài 24: Tính z + z và z z với a) z = + 3i b) z = –5 + 3i Bài 25: Tìm phần thực và phần ảo các số phức sau a) (1 + i)² – (1 – i)² b) (2 + i)3 – (3 – i)3 c) i i 1 i i Bài 26: Tính THPT Quỳnh Lưu 4/6/2014 (3) Số phức – phạm ngọc chuyên a) i tan x i tan x b) a bi a bi c) 1 i 1 i 1 i 5 d) (1 i)7 Bài 27: Tính n i 3 1 i a) (với n là số nguyên dương) b) 1 i n 2 1 i 3 2 3 i , tính Bài 28: Giả sử z a) A= (a + b)(a + bz)(a + bz²) b) B = (a + bz + cz²)³ + (a + bz² + cz)³ Bài 29: Giải các hệ phương trình sau với x, y, z là số phức i x 2i y 6i 2i x 3i y 4i i x (2 i)y (3 2i)x (3 2i)y a) b) Bài 30: Tìm các phức mà số liên hợp với nó a) Bình phương chính nó b) Lập phương chính nó Bài 31: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R) Tìm phần thực và phần ảo các số sau a) z2 – 2z + 4i b) zi iz Bài 32: Giải các phương trình sau a) 2i 1 3i z 1 i 2i b) [(2 i)z i] iz 1 0 2i Bài 33: Giả sử zk i2k i 2k 1 với k là số nguyên dương Tính zk + zk+1 Bài 34: Thực các phép tính a) (2 i)3 (2 i)3 (2 i) (2 i) b) (2 – i)6 Bài 35: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Với điều kiện nào a, b, a’, b’ thì tổng z + z’ là số thực? là số ảo? Bài 36: Với điều kiện nào a, b thì z³ là số thực? số ảo? Bài 37: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) z = a + ai, a là số thực b) là số ảo z i Bài 38: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) z2 là số thực âm b) z i z i Bài 39: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R và thỏa mãn a) z x y x 0, y b) Bài 40: Chứng minh a) Bình phương hai số phức liên hợp là liên hợp b) Lập phương hai số phức liên hợp là liên hợp c) Lũy thừa bậc n số phức liên hợp là liên hợp Bài 41: Cho z = a + bi Chứng minh z a b Khi nào thì đẳng thức xảy Bài 42: Biết các số phức biểu diễn ba đỉnh nào đó hình bình hành mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diễn đỉnh còn lại Bài 43: Xác định tập hợp các điểm M mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi (x, y là số thực) thỏa mãn điều kiện z z THPT Quỳnh Lưu 4/6/2014 (4) Số phức – phạm ngọc chuyên Bài 44: A, B, C, D là bốn điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số: + 2i, + i , + – i, – 2i Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào? Bài 45: Tìm các bậc hai a) + 4i b) 2i Bài 46: Tìm các bậc hai a) –8 + 6i b) –8 – 6i Bài 47: Gọi z là bậc hai + i, z’ là bậc hai – i Tính z + z’ Bài 48: Tìm số phức z cho z³ = –i Bài 49: Tìm số phức z cho z4 = –1 Bài 50: Cho z = a + bi có các bậc hai là m ni Tìm các bậc hai –a – bi và a – bi Bài 51: Giải các phương trình bậc hai sau đây tập hợp các số phức C: a) z2 – z + = b) 2z2 – 5z + = (Tốt nghiệp THPT 2006) Bài 52: Giải các phương trình sau trên tập số phức a) z2 + z + = b) z2 z Bài 53: Giải phương trình x2 + 3ix + = Bài 54: Giải các phương trình C: a) z2 z b) (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = Bài 55: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là z1 = – 3i và z2 = i Bài 56: Giải các phương trình tập C: a) x4 – 3x2 + = b) x4 – 30x2 + 289 = Bài 57: Giải phương trình C: x3 + = Bài 58: Cho phương trình 3z4 – 5z3 + 3z2 + 4z – = a) Chứng tỏ + i là nghiệm phương trình b) Tìm các nghiệm còn lại Bài 59: Giải phương trình sau trên C: z4 + = và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức Bài 60: Viết dạng đại số số phức a) cos i.sin 4 b) cos 3 3 i.sin 4 Bài 61: Biểu diễn các số phức sau dạng lượng giác: b) i a) –1 + i Bài 63: Tìm số phức z thỏa : (1 – z)(1 + 2i) + (1 – iz)(3 – 4i) = + 7i Viết số phức z dạng lượng giác Bài 64: Tìm acgumen số phức a) z = sin icos b) z = sin i cos với (0 < φ < π/2) Bài 65: Viết dạng lượng giác các số phức: a) i tan b) cos isin (φ ≠ k2π, k là số nguyên) Bài 66: Khi nào thì môđun tổng hai số phức hiệu các môđun hai số Bài 67: Tìm hệ thức liên hệ hai acgumen số phức z1, z2 trường hợp sau: a) z1z2 = k, k < b) z1z2 = –i c) z1 = –3z2 Bài 68: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 z z Bài 69: Viết các số phức z1 và z2 dạng lượng giác tính z1z2 và a) z1 i ; z2 = + i z1 biết z2 b) z1 i ; z2 = – i THPT Quỳnh Lưu 4/6/2014 (5) Số phức – phạm ngọc chuyên Bài 70: Tìm vị trí điểm biểu diễn các số phức có agumen Bài 71: Tính a) cos i sin 75 75 25 12 1 3 b) i 2 c) (1 + i)16 Bài 72: Tính a) cos i sin i5 3i 3 10 1 i b) c) z 2000 1 z 2000 z biết z Bài 73: Viết dạng lượng giác các bậc hai số phức a) 1 i b) i c) i Bài 74: Tìm nghiệm phức phương trình: z4 – = i n 7i Bài 75: Với n nguyên dương nào thì số phức: là số thực, số ảo 3i Bài 76: Chứng minh 1 3 a) C1n C4n C7n 2n 2cos n 2 ; 1 3 b) C2n C5n C8n 2n 2cos n 4 Bài 77: Phân tích thừa số phức các biểu thức sau a) a² + b) 4a² + 9b² Bài 78: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện 2 a) z 2i b) 1 i z 1 i z c) log z i d) z z 26 Bài 79: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O, các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài Hãy xác định điều kiện a và b để điểm biểu diễn z: a) Nằm hình vuông b) Nằm trên đường chéo hình vuông Bài 80: Xác định tập hợp các điểm M trên mphẳng phức biểu diễn các số phức (1 i 3)z mà đó z Bài 81: Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) 2i 2z 2z b) 2iz z Bài 82: Giải các phương trình a) z2 – (3 – i)z + (4 – 3i) = b) 3ix2 – 2x – 4+ i = Bài 83: Tìm số phức B để pt bậc hai z2 + Bz + 3i = có tổng bình phương hai nghiệm Bài 84: Tìm điều kiện cần và đủ các số thực p, q để phương trình: z4 + pz2 + q = a) Chỉ có nghiệm thực b) Không có nghiệm thực c) Có nghiệm thực và nghiệm không thực Bài 85: Định a để phươnh trình z3 – az2 + 3az + 37 = có nghiệm –1 Tính các nghiệm z1 và z2 còn lại C Vẽ điểm A, M, N biểu diễn cho –1, z1, z2 Tính chất tam giác AMN là gì Bài 86: Chứng minh số phức z ≠ –1 mà mô đun 1, có thể đặt dạng: z = đó t là số thực nào đó Bài 87: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết acgumen THPT Quỳnh Lưu 4/6/2014 ti , ti zi z i (6) Số phức – phạm ngọc chuyên Bài 88: Xét các điểm mặt phẳng biểu diễn các số + i, + i để chứng minh tan a = 1/2, tan b = 1/3 với < a, b < π/2 thì a + b = Bài 89: Tính 1 a) 1 i 20 i b) 1 24 Bài 90: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình z² – 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức 2 A z1 z 2 3i 1 i Bài 91: Tính mô đun số phức z , biết: z 1 2i 2 Bài 92: Cho số phức z = + i Tính mô đun số phức z10 i i i3 i i5 Bài 93: Với i là đơn vị ảo i 1 Chứng minh i i5 Bài 94: Chứng minh 1 i 40 2020 1 1048576 Bài 95: Xác định mô đun số phức z, biết: z i 2i 1 i Bài 96: Xác định mô đun số phức z, biết z 1 i 2 Bài 97: Cho hai số phức z1 = – 4i và z2 = – 6i Tính giá trị A z1 z1 z z 2 SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Bài Giải phương trình 2x² – 5x + = trên tập số phức (TN THPT 2006) Bài Giải phương trình x² – 4x + = trên tập số phức (TN THPT 2007 – Lần I) Bài Giải phương trình x² – 6x + 25 = trên tập số phức (TN THPT 2007 – Lần II) Bài Tìm giá trị biểu thức sau: P (1 3i)2 (1 3i)2 (TN THPT 2008 – Lần I) Bài Giải phương trình x² – 2x + = trên tập số phức (TN THPT 2008 – Lần II) Bài Giải phương trình 8z² – 4z + = trên tập số phức (TN THPT 2009 – Cơ Bản) Bài Giải phương trình 2z² – iz + = trên tập số phức (TN THPT 2009 – Nâng Cao) Bài Giải phương trình 2z² + 6z + = trên tập số phức (TN 2010 – GDTX) Bài Cho hai số phức z1 = + 2i, z2 = – 3i Xác định phần thực và phần ảo số z1 – 2z2 (TN THPT 2010 – Cơ Bản) Bài 10 Cho hai số phức z1 = + 5i, z2 = – 4i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1z2 (TN THPT 2010 – Nâng Cao) Bài 11 a Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình z² + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức sau: A | z1 |2 | z |2 (DH A 2009) b Cho z1, z2 là các nghiệm phức phương trình 2z² – 4z + 11 = Tính giá trị biểu thức sau: A z1 z 2 z1 z 2 Bài 12 Tìm số phức z thỏa mãn | z (2 i) | 10 và z.z 25 (DH B 2009 – CB) Bài 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z (3 4i) | (DH D 2009) THPT Quỳnh Lưu 4/6/2014 (7) Số phức – phạm ngọc chuyên Bài 14 Cho số phức z thỏ mãn: (1 i) (2 i)z i (1 2i)z Xác định phần thực và phần ảo z (CĐ 2009 – CB) 4z 7i z 2i trên tập số phức (CĐ 2009 – NC) z i Bài 16 Tìm phần ảo số phức z, biết: z ( i)2 (1 2i) (DH A 2010 – CB) Bài 15 Giải phương trình Bài 17 Cho số phức z thỏa mãn: z (1 3i)3 Tìm môđun z iz (DH A 2010 – NC) 1 i Bài 18 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z i | | (1 i)z | (DH B 2010 – CB) Bài 19 Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | z | và z2 là số ảo (DH D 2010) Bài 20 Cho số phức z thỏ mãn: (2 3i)z (4 i)z (1 3i)2 Xác định phần thực và phần ảo z (CĐ 2010 – CB) Bài 21 Giải phương trình z² – (1 + i)z + + 3i = trên tập số phức (CĐ 2010 – NC) Bài 22 Tìm số phức liên hợp và tính mô dun số phức z, biết z = + 4i + 2i(1 – 3i) (TN GDTX 2011) Bài 23 Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = – 5i trên tập số phức (TN THPT 2011 – CB) Bài 24 Giải phương trình (z – i)² + = trên tập số phức (TN THPT 2011 – NC) Bài 25 Tìm phần thực phần ảo và mô dun số phức z = (2 + 3i)(1 – i) – 4i (TN GDTX 2012) 25i , biết z = – 4i (TN THPT 2012 – CB) z 9i Bài 27 Tìm các bậc hai số phức z = 5i (TN THPT 2012 – NC) 1 i Bài 26 Tìm các số phức 2z + z và Bài 28 Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)²z + z = 4i – 20 Tìm modun số phức z (CĐ 2011 – CB) Bài 29 Cho số phức z thỏa mãn z² – 2(1 + i)z + 2i = Tìm phần thực và phần ảo (CĐ z 2011 – NC) Bài 30 Tìm số phức z biết z 5i (DH B 2011 – CB) z 1 i Bài 31 Tìm phần thực và phần ảo số phức z = (DH B 2011 – NC) i Bài 32 Tìm số phức z biết z (2 3i)z 9i (DH D 2011 – CB) Bài 33 Tìm tất số phức z biết z² = z z (DH A 2011 – CB) Bài 34 Tính modun số phức z biết (1 + i)(2z – 1) + ( z + 1)(1 – i) = – 2i (DH A 2011 – NC) Bài 35 Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – 2i = (3 – i)z Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z 1 i mặt phẳng Oxy (CĐ 2012 – CB) Bài 36 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình z² – 2z + + 2i = Tính z1 z (CĐ 2012 – NC) Bài 37 Cho số phức z thỏa mãn 5(z i) = – i Tính modun số phức w = + z + z² (DH z 1 AA1 2012 – NC) Bài 38 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình z² – 2i z – = Viết dạng lượng giác z1 và z2 (DH B 2012 – NC) THPT Quỳnh Lưu 4/6/2014 (8) Số phức – phạm ngọc chuyên 2(1 2i) Bài 39 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + = + 8i Tìm modun số phức w = z + + i 1 i (DH D 2012 – CB) Bài 40 Giải phương trình z² + 3(1 + i)z + 5i = trên tập hợp các số phức (DH D 2012 – NC) Bài 41 Tìm số phức liên hợp số phức z biết z = 5i(1 – 2i) + – i (TN GDTX 2013) Bài 42 Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z – – 4i = Tìm số phức liên hợp z (TN THPT 2013 – CB) Bài 43 Giải phương trình z² – (2 + 3i)z + + 3i = trên tập số phức (TN THPT 2013 – NC) Bài 44 Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 – i)² = + i Tìm phần thực và phần ảo số phức w = (1 + z) z (CĐ 2013 – CB) Bài 45 Giải phương trình z² + (2 – 3i)z – – 3i = trên tập C số phức (CĐ 2013 – NC) Bài 46 Cho số phức z = + i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực và phần ảo số phức w = (1 + i)z5 (DH AA1 2013 – NC) Bài 47 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 + i)(z – i) + 2z = 2i Tính modun số phức w = z 2z z2 (DH D 2013 – CB) THPT Quỳnh Lưu 4/6/2014 (9)