Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.. Híng dÉn chÊm C©u..[r]
(1)Kú thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn N¨m häc 2012-2013 M«n thi : to¸n Sở giáo dục và đào tạo Thêi gian lµm bµi: 150 phót Ngµy thi 28 th¸ng n¨m 2012 (§Ò thi gåm: 01 trang) §Ò thi chÝnh thøc C©u I (2.5 ®iÓm): 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x y2 xy 3 xy 3x 4 2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có ít nghiệm nguyên: 4x 4mx 2m 5m 0 C©u II (2.5 ®iÓm): 1) Rót gän biÓu thøc: x2 x A x2 2) Cho tríc sè h÷u tØ m cho x víi x 2 m là số vô tỉ Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: a m b m c 0 C©u III (2.0 ®iÓm): 1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hÖ sè cña x lµ mét sè nguyªn d¬ng vµ biÕt f(5) f(3) 2010 Chøng minh r»ng: f(7) f(1) lµ hîp sè P x 4x x 6x 13 2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: C©u IV (2.0 ®iÓm): Cho tam gi¸c MNP cã ba gãc nhän vµ c¸c ®iÓm A, B, C lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M, N, P trªn NP, MP, MN Trªn c¸c ®o¹n th¼ng AC, AB lÇn lît lÊy D, E cho DE song song víi NP Trªn tia AB lÊy ®iÓm K cho DMK NMP Chøng minh r»ng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ đó suy điểm M là tâm đờng tròn bàng tiếp gãc DAK cña tam gi¸c DAK C©u V (1.0 ®iÓm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí các điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh : Sè b¸o danh : Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ : .Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 2: Híng dÉn chÊm C©u PhÇn néi dung §iÓm (2) c©u I 1) 2,5 ®iÓm 1,5®iÓm x y2 xy 3 (1) (2) xy 3x 4 3x y x , thay vµo (1) ta cã: Từ (2) x Từ đó 0.25 3x2 3x2 x2 x 3 x x 7x 23x 16 0 x 1 hoÆc x = Giải ta đợc 16 16 7 x x y 7 Tõ x 1 x 1 y 1 ; 4 5 7 4 7 ; ; 7 7 VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1); ; Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ' 0 2) 1,0®iÓm c©u II 1) 2,5 ®iÓm 1,5®iÓm 0.25 0.25 0.25 0.25 m 5m 0 (m 2)(m 3) 0 V× (m - 2) > (m - 3) nªn: x ' 0 m 0 vµ m 0 m 3, mµ m Z m = hoÆc m = Khi m = x ' = x = -1 (tháa m·n) 0.25 Khi m = x ' = x = - 1,5 (lo¹i) VËy m = 0.25 0.25 (a, b 0) §Æt a x; b x a b 4; a b 2x ab a b3 ab a b a b ab A ab ab ab a b ab A ab a b ab A 2ab a b a b2 2ab a b a b a b A a b 2x A x 1,0®iÓm 0.25 A 2 2) 0.25 a m b m c 0 (1) Gi¶ sö cã (1) b m c m am 0 (2) 2 Tõ (1), (2) (b ac) m (a m bc) 2 NÕu a m bc 0 m a m bc b ac lµ sè h÷u tØ Tr¸i víi gi¶ thiÕt! 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (3) b ac 0 a m bc 0 b3 abc bc am 3 3 m b a lµ sè h÷u tØ Tr¸i víi gi¶ b a m b a m NÕu b 0 th× thiết! a 0;b 0 Từ đó ta tìm đợc c = Ngợc lại a = b = c = thì (1) luôn đúng Vậy: a = b = c = c©u III 1) ®iÓm 1,0®iÓm 2) 1,0®iÓm Theo bµi f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d víi a nguyªn d¬ng Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3 V× a nguyªn d¬ng nªn 16a + 2010>1 VËy f(7)-f(1) lµ hîp sè P x 2 12 x 3 Ta chứng minh đợc: x x 3 OA x 2 12 , OB 12 x 3 22 x 3 0,75®iÓm K B C N E A 0.25 0.25 0.25 Ta dÔ dµng chøng minh tø gi¸c MBAN néi tiÕp MAB MNB , MCAP néi tiÕp CAM CPM M D 0.25 OB VËy Max P 26 x = ®iÓm 0.25 0.25 2 26 OA OB AB MÆt kh¸c ta cã: DÊu “=” x¶y A thuéc ®o¹n OB hoÆc B thuéc ®o¹n OA x x 7 x 3 Thö l¹i x = th× A(5; 1); B(10; 2) nªn A thuéc ®o¹n 1) 0.25 25 26 x 2 c©uIV 0.25 0.25 22 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) AB 0.25 P L¹i cã BNM CPM (cïng phô gãc NMP) CAM BAM (1) Do DE // NP mÆt kh¸c MA NP MA DE (2) Tõ (1), (2) ADE c©n t¹i A MA lµ trung trùc cña DE MD = ME 0.25 0.25 0.25 (4) 2) 1,25®iÓm M K B C D N E P A Do DE//NP nªn DEK NAB , mÆt kh¸c tø gi¸c MNAB néi tiÕp nªn: DEK 1800 NMB NAB 1800 NMB Theo gi¶ thiÕt DMK NMP DMK DEK 180 Tø gi¸c MDEK néi tiÕp Do MA lµ trung trùc cña DE MEA MDA MEA MDA MEK MDC V× MEK MDK MDK MDC DM lµ ph©n gi¸c cña gãc CDK, kÕt hîp với AM là phân giác DAB M là tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK cña tam gi¸c DAK c©u V 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 A' ®iÓm B' B O C A D' D Kh«ng mÊt tæng qu¸t gi¶ sö:AB AC Gäi B’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB' CB' ABC Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BA AB BC CA ' Ta cã: B 'BC B ' AC B 'CA (1) ; B'CA B 'BA 180 (2) B'BC B 'BA ' 1800 (3);Tõ (1), (2), (3) B 'BA B 'BA ' Hai tam gi¸c A’BB’ vµ ABB’ b»ng A 'B ' B 'A Ta có B' A B'C B'A ' B'C A'C = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy B trùng với B’ Hoµn toµn t¬ng tù nÕu gäi D’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung ADC th× ta còng 0.25 0.25 0.25 0.25 (5) cã AD’ + CD’ AD + CD DÊu “=” x¶y D trïng víi D’ Chu vi tø gi¸c ABCD lín nhÊt B, D lµ c¸c ®iÓm chÝnh gi÷a c¸c cung AC đờng tròn (O) Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng cho điểm tối đa (6)