b Trên mảnh đất đó ,người ta làm hai đường đi có chiều rộng bằng nhau, tim của mỗi đường tương ứng là đường trung bình của hình thang và trục đối xứng của nó.. Xác định chiều 1 rộng của [r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2012 Môn: TOÁN Lớp: Cấp THCS Thời gian thi: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 10/3/2012 ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI Các giám khảo (Họ, tên và chữ kí) SỐ PHÁCH (Do Chủ tịch Hội đồng thi khu vực ghi) Bằng số Bằng chữ Chú ý: - Đề thi gồm 05 trang,06 bài Thí sinh làm bài trực tiếp vào đề thi này - Nếu đề bài không có yêu cầu riêng thì kết làm tròn đến chữ số thập phân Bài (5 điểm) : x98 + x 97 + x 96 + + x + Câu : Tính giá trị biểu thức: A = 32 31 30 Khi x = x + x + x + + x + Câu : Rút gọn : B= 1 1 1 + + + + + + 1+ 2+ 5+ + 10 2009 + 2013 2010 + 2014 (kết làm tròn đến chữ số thập phân) Tóm tắt cách giải Kết : A = Tóm tắt cách giải Kết : A = Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (2) Bài (5 điểm) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các điểm A và B cùng thuộc đồ thị hàm số y = x − , các điểm B và C cùng thuộc đồ thị hàm số y = x − , các 3 điểm C và A cùng thuộc đồ thị hàm số y = − x+4 Câu : Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC Câu : Tính số đo các góc B , C tam giác ABC theo “ độ , phút , giây ” Kết quả: Kết : Bài (5 điểm) : Câu Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt điểm O đường trung trực d đoạn thẳng AB điểm H cắt BD điểm M và cắt AC điểm N Biết NA = a , MB = b Tính diện tích S hình thoi ABCD a = 2603,1931cm , b = 26032,012cm Câu Một mảnh đất phẳng có dạng hình thang cân và chiều dài hai đáy là 40m và 100m còn chiều cao hình thang đó là 35m a) Tính độ dài cạnh bên mảnh đất b) Trên mảnh đất đó, người ta làm đường có chiều rộng nhau, tim đường tương ứng là đường trung bình hình thang và trục đối xứng nó Xác định chiều diện tích mảnh đất rộng đường đi, biết diện tích đường chiếm 25 Tóm tắt cách giải Kết S = Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (3) a) Kết : b) Tóm tắt cách giải Kết : Bài (5 điểm) Cho dãy số {U n } với n là số tự nhiên khác , có U1 = , U2 = ,U3= và Un+3 = 2Un+2 – 3Un+1 + 2Un Câu Viết quy trình bấm máy để tính Un+3 tính U19 , U20 , U66, U67 ; U68 Câu Viết quy trình bấm máy để tính tổng 20 số hạng đầu tiên dãy số đó Viết quy trình bấm máy Kết Viết quy trình bấm máy Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (4) Kết Bài (5 điểm) Câu Khi chia đa thức P ( x) = x81 + ax 57 + bx 41 + cx19 + x + cho (x –1) số dư là và chia P(x) xho ( x – 2) số dư là – a) Hãy tìm các số thực A , B biết đa thức Q( x) = x81 + ax57 + bx 41 + cx19 + Ax + B chia hết cho đa thức x − 3x + b) Với giá trị A và B vừa tìm , hãy tính giá trị đa thức R ( x) = Q( x) − P( x) + x81 + x 57 − x 41 + x19 + x + x = 1,032012 Câu Tìm hai số dương a , b cho phương trình x3 − 17 x + ax − b = Có nghiệm nguyên x1 , x2 , x3 Biết phương trình bậc Ax + Bx + Cx + D = có nghiệm x1 , x2 , x3 thì B x1 + x2 + x3 = − A C x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = A D x1 x2 x3 = − A a) Tóm tắt cách giải Kết : b) Kết : Tóm tắt cách giải Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (5) Bài ( điểm) Một vải hình chữ nhật có chiều rộng 1,2m , chiều dài 350m và cuộn chặt xung quanh lõi hình trụ có đường kính là 10cm liên tục hết, cho mép vải theo chiều rộng luôn song song với trục hình trụ Cho biết độ dày cuộn vải đó sau cuộn hết vải , biết vải có độ dày là 0,15mm ( kết tính theo xăng- ti- mét và làm tròn đến chữ số thập phân ) Tóm tắt cách giải Kết : Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (6) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL NĂM 2012 Môn: Toán Lớp Cấp THCS ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài (5 điểm) Nội dung Viết tóm tắt cách giải và kết A = 73 786 976 303 428 141 057 Viết tóm tắt cách giải và kết B = 21,8325 Điểm 2,5 2,5 Bài (5 điểm) Nội dung Điểm Tìm tọa độ điểm : A( 4,48622 ; 0,11482 ) ; B = (3,65028 ; –0,27924) ; C ( 4,34410 ; 0,23790) ≈ 110 27'35'' ; C ≈ 1020 24' 26'' B 2,5 2,5 Bài (5 điểm) Nội dung Viết tóm tắt cách giải và kết S = 314 454,712 cm2 a) Kết : 46,09772 m b) Viết tóm tắt cách giải và kết chiều rộng lối 0,94178 m Điểm 2,5 0,5 2,0 Bài (5 điểm) Nội dung Viết đúng quy trình và tính U19 = 315 ; U20= – 142 U66 = 777 450 630 ; U67= –3 447 965 925 ; U68 = –9 002 867 182 Viết quy trình đúng và tính S20 = 272 Điểm 2,5 2,5 Bài (5 điểm) Nội dung 1.a) Viết tóm tắt cách giải và kết A = 11 ; B = –13 b) Viết tóm tắt cách giải và kết : Điểm 1,5 a = 80 a = 80 a = 90 a = 88 ; ; ; b = b = 10 b = 12 b = 12 2,5 Bài (5 điểm) Nội dung Viết tóm tắt cách giải và kết 8,865cm Điểm 5,0 Ghi Chú : Các cách giải khác đúng thì giám khảo cho điểm theo câu , ý Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (7) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CUỘC THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL NĂM 2012 Môn: Toán Lớp Cấp THCS HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ Bài (5 điểm) : x98 + x 97 + x 96 + + x + Câu : Tính giá trị biểu thức: A = 32 31 30 Khi x = x + x + x + + x + Câu : Rút gọn : B= 1 1 1 + + + + + + 1+ 2+ 5+ + 10 2009 + 2013 2010 + 2014 kết làm tròn đến chữ số thập phân Tóm tắt cách giải A= ( x − 1)( x 98 + x97 + x96 + + x + 1) x99 − ( x33 − 1)( x 66 + x33 + 1) = 33 = = x 66 + x33 + ( *) 33 32 31 30 ( x − 1)( x + x + x + + x + 1) x − x −1 Thay x = vào (*) ta có : A = 266 +233 + = (233)2 + 233 + = 85899345922 + 8589934592 + =(85899.105 + 34592)2 + 8589934592 + =858992.1010 +2.85899.34592.105 + 345922 + 8589934592 + 858992.1010 2.85899.34592.105 345922 345922 A 7 8 0 1 9 6 0 0 0 0 0 7 3 Kết : A = 73 786 976 303 428 141 057 Ta có : B= 1 1 1 + + + + + + = 1+ 2+ 5+ + 10 2009 + 2012 2010 + 2014 1 1 1 = + + ++ + + + + 5+ 2009 + 2013 + 6 + 10 2010 + 2014 1+ 1 =− − + − + 2009 − 2013 − − − + 10 + + 2010 − 2014 4 =− − 2013 + − 2014 = 21,83246658 ( ( ) ( ) ) Kết : A = 21, 8325 Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (8) Bài (5 điểm) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các điểm A và B cùng x − , các điểm B và C cùng thuộc đồ thị hàm số y = x − , các thuộc đồ thị hàm số y = 3 điểm C và A cùng thuộc đồ thị hàm số y = − x+4 Câu Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC Câu Tính số đo các góc B , C tam giác ABC theo “ độ , phút , giây ” Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (9) x−2 y = 2x − 3y = + Tọa độ diểm A là nghiệm hệ pt ⇔ 3x + 2y = y = − x + x ≈ 4, 486216354 Giải hệ pt trên máy Do đó A( 4,48622 ; 0,11482 ) ≈ y 0,11482267 x−2 y = 2x − 3y = + Tọa độ diểm B là nghiệm hệ pt ⇔ 5x − 3y = y = x − x ≈ 3, 65028154 Do đó B = (3,65028 ; –0,27924) Giải hệ pt trên máy y ≈ −0, 279240779 x −3 y = 5x − 3y = + Tọa độ diểm C là nghiệm hệ pt ⇔ 3x + 2y = y = − x + x ≈ 4,344098806 Do đó C ( 4,34410 ; 0,23790) Giải hệ pt trên máy y ≈ 0, 237900077 Gọi α1 , α2 , α3 là góc tạo các đường thẳng y= x − 2, y = x −3, 3 x + với trục Ox 2 = α −α ; C = α −α Ta có : tan α1 = ; tan α = ; tan(1800 − α ) = Khi đó B 3 Quy trình bấm máy : SHIFT tan-1 ( ÷ SHIFT STO A y=− SHIFT tan-1 ( ÷ SHIFT STO B ÷ SHIFT STO C ≈ 110 27'35,36' ) ALPHA B – ALPHA A = o, , , ( B ≈ 1020 24' , 26.5' ) ALPHA C – ALPHA B = o, , , ( C 180 o, , , – SHIFT tan-1 ( = 110 27'35'' ; C = 1020 24' 26'' Kết B Bài (5 điểm) : Câu Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt điểm O đường trung trực d đoạn thẳng AB điểm H cắt BD điểm M và cắt AC điểm N Biết NA = a , MB = b Tính diện tích S hình thoi ABCD a = 2603,1931cm , b = 26032,012cm Câu Mảnh đất phẳng có dạng hình thang cân và chiều dài hai đáy là 40m và 100m còn chiều cao hình thang là 35m a) Tính độ dài cạnh bên mảnh đất Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu (10) b) Trên mảnh đất đó ,người ta làm hai đường có chiều rộng nhau, tim đường tương ứng là đường trung bình hình thang và trục đối xứng nó Xác định chiều rộng đường đi, biết diện tích đường chiếm diện tích mảnh đất 25 Tóm tắt cách giải B ∆ AHN ∼ ∆MBH (g.g) H AN HN a a a ⇒ = = ⇒ HN = HB = HA (1) ( Do HA =HB) N MB HB b b b C O A AH HN * ∆ AHN ∼ ∆AOB (g.g) ⇒ = AO OB D OB HN HN a a ⇒ = = = ⇒ OB = OA OA AH HB b b * ∆AHN vuông H ⇒ HN + HA2 = AN2 ( 2) M a2 a2 2 2 Từ ( 1) và ( 2) ⇒ HA + HA = a ⇒ HA + = a b b ⇒ HA2 = a 2b 4a 2b 2 ⇒ AB = HA = a2 + b2 a2 + b2 a2 4a 2b 2 OA = b2 a + b2 a 2b 2ab a 2ab 2a 2b ⇒ OA = ⇒ OA = và OB = = (a + b ) a + b2 b a + b2 a2 + b2 2ab 2a 2b 8a 3b3 Vậy SABCD = OA.OB = 2 = = a + b a + b (a + b ) Kết qủa S =5314454,712 cm2 * ∆AOB vuông O ⇒ OA2 + OB2 = AB2 ⇒ OA2 + 352 + 302 ≈ 46,09772229 Kết : độ dài cạnh bên : 46,09772 m b) Gọi chiều rộng lối đường là x ( m ) ĐK < x < 35 a) ta có : Diện tích đường dạng hình chữ nhật: 35x Diện tích đường dạng hình thang : 70x ( đường trung bình x chiều cao) Diện tích hai đường là : 35x +70x –x2 Diện tích hình mảnh đất : 70.35 = 2450 2450 25 30m x ≈ 0,94178048 ⇔ x2 – 105x + 98 = ; giải phương trình ta có : x ≈ 104, 0582195 Kết x = 0,94178 m Theo đề bài ta có phương trình : 40m x x 35m 35x +70x – x2 = 100m 30m Bài (5 điểm) Cho dãy số {U n } với n là số tự nhiên khác , có U1 = , U2 = ,U3= và Un+3 = 2Un+2 – 3Un+1 + 2Un Câu Viết quy trình bấm máy để tính Un+3 tính U19 , U20 , U66 , U67 ; U68 Câu Viết quy trình bấm máy để tính tổng 20 số hạng đầu tiên dãy số đó Viết quy trình bấm máy tính U19 , U20 , U67 ; U68 SHIFT STO Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu A 10 (11) SHIFT STO B SHIFT STO C SHIFT STO D ( biến đếm ) D = D + 1: A = 2C–3B + 2A : D = D+1: B = 2A–3C +2B : D = D +1: C= 2B–3A + 2C = = = Kết U19 = 315 ; U20 = –142 ; U66 = 777 450 630 U67 = –347 965 925 ; U68= -9 006 867 182 Viết quy trình bấm máy SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO C SHIFT STO D ( biến đếm ) SHIFT STO E ( tổng số hạng đầu tiên ) D = D + 1: A = 2C – 3B + 2A: E = E +A : D = D+1: B = 2A–3C +2B: E = E + B : D = D+1: C = 2B – 3A + 2C : E = E + C = = = Kết : S20 = 272 Bài (5 điểm) Câu Khi chia đa thức P(x) = P ( x) = x81 + ax 57 + bx 41 + cx19 + x + cho (x –1) số dư là và chia P(x) xho ( x – 2) số dư là –4 a) Hãy tìm các số thực A , B biết đa thức Q( x) = x81 + ax57 + bx 41 + cx19 + Ax + B chia hết cho đa thức x − 3x + b) Với giá trị A và B vừa tìm , hãy tính giá trị đa thức R ( x) = Q( x) − P( x) + x81 + x 57 − x 41 + x19 + x + x = 1,032012 Câu Tìm hai số dương a , b cho phương trình x3 − 17 x + ax − b = Có nghiệm nguyên x1 , x2 , x3 Biết phương trình bậc : Ax + Bx + Cx + D = có nghiệm x1 , x2 , x3 thì B x1 + x2 + x3 = − A C x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = A D x x x = − A Tóm tắt cách giải a) P ( x) = x81 + ax 57 + bx 41 + cx19 + x + cho (x –1) số dư là ⇒ P (1) = + a + b + c + 2.1 + = ⇒a +b + c =1 + chia P(x) xho ( x – 2) số dư là – ⇒ P (2) = 281 + a 257 + b 241 + c 219 + 2.2 + = −4 ⇒ 281 + a 257 + b 241 + c 219 = −9 + Có Q( x) = x81 + ax57 + bx 41 + cx19 + Ax + B chia hết cho đa thức x − 3x + = ( x − 1)( x − 2) ⇒ Q(1) = = + a + b + c + A + B ⇒ A + B = −2 ( 1) Q(2) = = 281 + a 241 + b 219 + c 219 + A + B ⇒ 2 A + B = ( 2) Giải hệ phương trình ( 1) và (2) ⇒ A = 11 ; B = –13 Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu 11 (12) Kết : A = 11 ; B = –13 b) Kết : R(1,032012) = 13,57512 Tóm tắt cách giải Do a , b dương nên x3 − 17 x + ax − b < với x ≤ nên phương trình có các nghiệm nguyên thì các nghiệm đó là nguyên là số dương Ta có : x1 + x2 + x3 = 17 x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = a x1 x2 x3 = b vì x1 + x2 + x3 = 17 với 1 x1 x2 15 14 x3 x1 x2 x3 x1; x2 ; x3 là các số nguyên dương , ta có các khả xãy : 1 1 1 2 2 13 12 11 10 13 12 11 10 2 3 3 4 5 7 6 11 10 9 7 Kiểm tra trên máy : x1 x2 x3 = b Ta : ( a, b ) ∈ {(80,8);(80,10);(90,12);(88,12)} tương ứng với các nghiệm ( 1, 8, 8) ;(2, 5, 10) ;( 3, 6, 8) ; ( 4, 4, 9) a = 80 a = 80 a = 90 Kết : ; ; ; b = b = 10 b = 12 Bài ( điểm) Một vải hình chữ nhật có chiều rộng 1,2m , chiều dài 350m và cuộn chặt quanh lõi hình trụ có đường kính là 10cm liên tục hết, cho mép vải theo chiều rộng luôn song song với trục hình trụ Cho biết độ dày cuộn vải đó sau cuộn hết vải , biết vải có độ dày là 0,1 5mm ( kết tính theo xăng ti mét và làm tròn đến chữ số thập phân ) Tóm tắt cách giải Giả sử sau cuộn hết tấp vải ta n vòng, đó : Chiều dài vòng thứ cuộn vải là : 2πR1 = π.100mm Chiều dài vòng thứ cuộn vải là : 2πR2 = π.( 100 + 2.0,15) mm Chiều dài vòng thứ cuộn vải là : 2πR3 = π( 100 + 4.0,15) mm Chiều dài vòng thứ cuộn vải là : 2πR4 = π( 100 + 6.0,15) mm Chiều dài vòng thứ n cuộn vải là : 2πRn = π[100 +2(n –1).0,15] mm Tổng chiều dài n vòng cuộn vải là : Sn = π.100 + π.(100 + 2.0,15) + π( 100 + 4.0,15) + π(100 + 6.0,15) + + π[100 +2(n –1).0,15] = 350 000 ⇔ 100 π.n + 2.0,15.π ( + + + + + n -1) = 350 000 Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu 12 (13) n(n − 1) = 350 000 ⇔ 0,15π n2 + 99,85π n – 350 000 = ⇒ n ≈ 591,0178969 vòng Do đó chiều dày cuộn vải ( trừ lõi ) là : 591,0178969 0,15 = 8,865 cm ⇔ 100 π.n + 2.0,15 π Kết : 8,865 cm Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên - Lai Châu 13 (14)