Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết đưa ra quan niệm về không gian, trí tưởng tượng không gian thông qua các khả năng đặc trưng. Đặc biệt, trong bài viết, tác giả nhấn mạnh vai trò của việc phát triển trí tưởng tượng không gian đối với việc nhận thức hình học. Một số thể hiện của trí tưởng tượng không gian trong học toán và trong thực tế.
NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN Trí tưởng tượng khơng gian vai trị giáo dục tốn học Đào Tam Trường Đại học Vinh 182 Lê Duẩn, Vinh, Nghệ An, Việt Nam Email: daotam.32@gmail.com Đậu Anh Tuấn Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An 389 Lê Viết Thuật, Vinh, Nghệ An, Việt Nam Email: dauanhtuancdsp@gmail.com TÓM TẮT: Bài viết đưa quan niệm khơng gian, trí tưởng tượng không gian thông qua khả đặc trưng Đặc biệt, viết, tác giả nhấn mạnh vai trò việc phát triển trí tưởng tượng khơng gian việc nhận thức hình học Một số thể trí tưởng tượng khơng gian học tốn thực tế Theo tác giả viết, trí tưởng tượng khơng gian có vai trị quan trọng giáo dục tốn học cho học sinh, khơng giải tốn tốn học mà cịn có nhiều ứng dụng giải vấn đề thực tế TỪ KHĨA: Khơng gian; trí tưởng tượng khơng gian; giáo dục; toán học Nhận 30/11/2017 Nhận kết phản biện chỉnh sửa 25/12/2017 Đặt vấn đề Giáo dục tốn học giới xem trí tưởng tượng khơng gian (TTTKG) lực quan trọng nhận thức hình học nhận thức thực khách quan Ở Việt Nam, tư tưởng phát triển TTTKG nhiều tác giả quan tâm như: Nguyễn Văn Thiêm [1], Bùi Văn Nghị [2], Lê Thị Hoài Châu [3], Nguyễn Mạnh Tuấn [4]… Tuy nhiên, việc thống cách hiểu không gian đặc biệt việc đưa thành tố đặc trưng TTTKG chưa tường minh Bài viết nhằm khắc phục tồn nêu bước đầu khai thác tư tưởng phát triển lực người học đổi giáo dục toán học trường phổ thông Nội dung nghiên cứu 2.1 Sơ lược trí tưởng tượng khơng gian 2.1.1 Khái niệm không gian Khái niệm “không gian” đề cập viết không gian Euclide hai chiều, ba chiều giáo trình trung học phổ thơng (dựa biểu tượng không gian thực mà người cảm thụ - khơng gian vật lí) Trong biểu tượng mà trí tưởng tượng khơng gian (TTTKG) vận hành phản ánh tính chất (hoặc dấu hiệu) đặc tính khơng gian Trên sở đó, cho không gian hiểu cấu trúc bao gồm: Các hình hình học, vật thể; Các tính chất định tính: Hình dạng hình, vị trí tương đối hình, vật thể, phương, hướng; Các quan hệ trước sau, phải trái; Các yếu tố lượng: Khoảng cách, chu vi, diện tích, thể tích hình, khối, … Việc vận hành biểu tượng không gian phụ thuộc vào hệ thống định hướng không gian hay hệ quy chiếu (sơ đồ vật thể, vào vị trí người quan sát), khả di chuyển từ hệ quy chiếu sang hệ quy chiếu khác, lựa chọn tùy ý (các yếu tố trừu tượng điểm, đường thẳng, ), khơng ý đến vị trí người quan sát Trong trình hoạt động (vui chơi, học tập, lao động), người tách khỏi tương quan không gian, phản ánh 50 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM Duyệt đăng 25/02/2018 chúng thành khái niệm hay biểu tượng, bảo đảm tri giác tương quan không gian có, biến đổi chúng óc, sở đó, xây dựng biểu tượng khơng gian 2.1.2 Khái niệm trí tưởng tượng Các nhà tâm lí học quan niệm: “Tưởng tượng trình nhận thức phản ánh chưa có kinh nghiệm cá nhân cách xây dựng hình ảnh sở biểu tượng có” dẫn theo [5], biểu tượng “hình thức nhận thức, cao cảm giác, cho ta hình ảnh vật cịn giữ lại đầu óc sau tác động vật vào giác quan ta chấm dứt” [6] Tưởng tượng có đặc điểm sau: - Về nội dung phản ánh, tưởng tượng phản ánh mới, chưa có kinh nghiệm cá nhân xã hội - Về phương thức phản ánh, tưởng tượng tạo từ biểu tượng có thể chủ yếu hình thức hình ảnh cụ thể - Về chế sinh lí, tưởng tượng có sở sinh lí phân giải hệ thống liên hệ thần kinh tạm thời có kết hợp thành hệ thống vỏ não - Tưởng tượng q trình tâm lí, có nguồn gốc xã hội, hình thành phát triển lao động, có người mà Theo [7], “khi người đứng trước hồn cảnh có vấn đề - nguồn gốc hoạt động, có hai hệ thống phản ánh trước ý thức kết hoạt động đó: Hệ thống tổ chức chặt chẽ hình ảnh hệ thống tổ chức chặt chẽ khái niệm Khả lựa chọn kết hợp hình ảnh sở tưởng tượng, khả kết hợp khái niệm theo cách sở tư Thường hoạt động diễn lúc hai “tầng”, hai hệ thống hình ảnh khái niệm có liên quan mật thiết với nhau, ví dụ lựa chọn phương thức hoạt động thực phán đoán logic gắn liền với biểu tượng sáng rõ hoạt động thực nào” Đào Tam, Đậu Anh Tuấn Vậy đứng trước hồn cảnh có vấn đề, ta tư duy, ta tưởng tượng? Điều tùy thuộc vào tính bất định (khơng xác định, khơng rõ ràng) hồn cảnh có vấn đề nhiều hay Nếu tài liệu khởi đầu nhiệm vụ, ví dụ vấn đề khoa học rõ ràng, sáng tỏ trình giải nhiệm vụ chủ yếu tuân theo quy luật tư Cịn hồn cảnh có vấn đề mang tính chất bất định lớn, tài liệu khởi đầu khó phân tích cách xác, trình giải nhiệm vụ diễn theo chế tưởng tượng Có thể kết luận: “tưởng tượng hoạt động giai đoạn nhận thức mà tính bất định hoàn cảnh lớn” Thống với quan điểm trên, [5] nêu: “Giống với tư tưởng tượng phản ánh mới, chưa có kinh nghiệm cá nhân, tình có vấn đề gây nên Cho nên, tưởng tượng thuộc trình độ nhận thức lí tính thực chất q trình sáng tạo (mới thân loài người) Nhưng khác với tư duy, tình có vấn đề tưởng tượng mang tính chất khơng xác định phương thức phản ánh thực khách quan tưởng tượng thơng qua biểu tượng hình thức biểu tượng Trong [5] nêu: “Giá trị tưởng tượng chỗ: Nó cho phép ta đến định tìm lối hồn cảnh có vấn đề khơng có đủ tri thức cần thiết để tư duy, cho ta nhảy cóc qua vài giai đoạn tư mà hình dung kết cuối Nhưng chỗ yếu tưởng tượng chỗ Giải vấn đề tưởng tượng thường khơng có xác, chặt chẽ cách đầy đủ” 2.1.3 Trí tượng tượng khơng gian Theo quan điểm trí tượng tượng vừa nêu, hiểu TTTKG thuật ngữ tâm lí học, đó: - Tưởng tượng q trình nhận thức phản ánh chưa có kinh nghiệm cá nhân cách xây dựng hình ảnh sở biểu tượng có - Đối tượng trí tưởng tượng không gian, nghĩa biểu tượng trình tưởng tượng, biểu tượng khơng gian Như vậy, TTTKG hoạt động trí óc thể q trình biến đổi biểu tượng khơng gian có nhằm kiến tạo biểu tượng không gian Trong [1] có nêu: “TTTKG q trình biến đổi óc biểu tượng không gian có, tức biểu tượng tính chất quan hệ khơng gian, biến đổi cách tự do, có chủ đích nhiều lần, theo nhiều chiều hướng khác nhau, không dựa trực tiếp vào tài liệu trực quan xuất phát, nhằm xây dựng biểu tượng khơng gian mới, có tính chất sáng tạo riêng, đáp ứng nhiệm vụ giải vấn đề đặt ra” Cấu trúc hoạt động trí óc với biểu tượng diễn trình độ tri giác trình độ biểu tượng Khi hình thành hình tượng cảm tính, hoạt động thực q trình biến đổi tích cực chủ thể Những hành động tiến triển cách động, phụ thuộc vào nội dung toán tri giác, tính chất đối tượng trình độ nhận thức chủ thể Kết hành động biểu tượng thiết lập Hoạt động trí óc với biểu tượng lên hoạt động trí óc độc lập, hoạt động tưởng tượng thực chủ yếu khơng dựa vào tri giác có cấu trúc phức tạp (bao gồm hành động nhằm ghi nhớ óc hình ảnh ban đầu hình thành, ấn định biểu tượng biến đổi khác hình ảnh đó, có u cầu tốn) nhằm vận hành tự nhiều lần hình tượng Hoạt động theo [4] đặc trưng bởi: - Điều kiện đặc biệt xây dựng hình ảnh bên (tách khỏi sở trực quan); - Nội dung hoạt động (biến đổi biểu tượng có); - Trình độ thực hoạt động (biến đổi óc theo biểu tượng nhiều lần, có hệ thống hồn chỉnh) Như vậy, theo chúng tôi, TTTKG thuộc phạm trù trực giác hình học đặc trưng khả sau đây: - Khả hình dung hình khơng gian qua hình biểu diễn; - Khả xác định vị trí tương đối đối tượng hình học, hình hình học; - Khả xác lập mối quan hệ phụ thuộc hình hình học; - Khả hình dung mặt cắt, giao hình khơng gian; - Khả ước lượng kích thước hình khơng gian; - Khả chuyển hóa quan hệ, mối liên hệ vào mơ hình hình học biết thuận tiện cho việc giải vấn đề; - Khả chuyển đổi từ ngơn ngữ hình học sang hình học khác để trực quan hóa mơ hình nghiên cứu; - Khả khai triển hình thuận tiện cho việc tính tốn; - Khả sơ đồ hóa, tọa độ hóa để xác định vị trí, kích thước, khoảng cách hình; - Khả mơ hình hóa tượng thực tiễn ngơn ngữ kí hiệu hình học; - Khả xác lập đối tượng không gian sở đối tượng khơng gian có Với cách hiểu trên, TTTKG có mức độ: Mức độ 1: Giúp hiểu sâu sắc đối tượng hình học, ý nghĩa hình học biểu thức hình thức diễn đạt theo ngôn ngữ đại số (ngôn ngữ véc tơ, tọa độ) Mức độ 2: Giúp kiến tạo đối tượng hình học sở biến đổi đối tượng quan hệ có 2.2 Thể trí tưởng tượng khơng gian học toán thực tiễn 2.2.1 Thể việc phát triển trí tưởng tượng khơng gian hoạt động nhận thức hình học Trên sở nghiên cứu nội dung hoạt động nhận thức toán học, đề cập số thể TTTKG hoạt động nhận thức hình học sau đây: Số 02, tháng 02/2018 51 ghiệm xem xéthai hình có khơng phải lànhau, hìnhcơ biểu diễn hai hình chéo ộii dạy giúpchủ HS đề hình dung cácsau hình gian qua hình biểu đường thẳng chéo cho họcdiễn sinh (HS) a/ Tạo hội giúp HS hình dung hình khơng gian qua hình biểu diễn đề hai đường thẳng chéo nhau, cho học sinh (HS) ải giúp nghiệm xem xét hình sau có phải hình biểu diễn hai hình chéo Ví dụ 1: Khi dạy chủ đề hai đường thẳng chéo nhau, cho học sinh (HS) ội HS hình dung hình khơng gian qua hình biểu diễn c trảithẳng nghiệm xem xét sauhọc có phải (HS) hìnhcbiểu=nhau diễn hai hình chéonhau iét dạy chủ đề hai đường chéo nhau, cho sinh Rchéo nhau, học sinh hình sau có phải hình biểu diễn haihình hình chéo Ví dụphải 1:chéo Khi dạybiểu chủ đềnhau hai đường thẳng cho o hình ội giúp HS hình dung hình khơng gian qua diễn R = sau có phải hình biểu diễn hai hình trải nghiệm xem xét hình sau có hai chéo Cho SAB có AB = c; === == SBA SAB Cho Cho SAB SAB có có AB AB = = c; c; sin( 180 − ) SBA SBA SAB SAB Cho SAB có AB = c; = = Tính bán kính đường iét dạy chủ đề hai đường thẳng chéo nhau, cho học sinh (HS) SBA SAB NGHIÊN LÍtrải LUẬN ahình hình sau có phảiCỨU hình biểu diễn của= hai chéo đường sin 2hình nghiệm xem xét hình sau có phải biểu diễn hai hình chéo nha Cho SAB có AB c; = = Tính bán kính trịn ngoại tiếp SBA SAB i dạy chéodiễn nhau, cóhai thểhình cho học sinh SAB SAB a chéo SAB ét chủ hìnhđề sauhai cóđường phải làthẳng hình biểu nhau.(HS) SAB a biểu diễn c SAB a/ Tạo hội giúp HS hình dung hình khơng gian qua hình c/ Cho phép HS tưởng tượng phân tích chuyển hd Việc đối Việc Việc giải giải bàitoán toán toán nàytương tương tương đối đốidễ dễ dễdàn dà đốigiải dễ dàng: ét hình sau có phải chéo a hình biểuadiễn hai hình Việc Rbài = tốn này.tương a giải ađềtốn tươngthẳng đốiÁp dễbộ dàng: 2lísin 2thể Áp dụng định lílí số tatatacó: Ví dụ 1: KhiViệc dạygiải chủbài hainày đường chéo nhau, có cho học sinh (HS) phận hình khơng khác nhằm đưa vấn đ Áp dụng dụng định định líhàm hàm hàm số sốsin sin sin có: có: dụng định hàm số sin taÁp có: a gian a Tạo cơcơ hộihội giúpgiúp HS hình dung dung hình khơng gian quakhơng c Cho phép HShình tưởng tượng phân tích chuyển hóa hình a/ Tạo HS hình hình gian qua biểu diễn a Áp dụng định lí hàm số sin ta có: b trảihình a b nghiệm xem sau có làdung hìnhthuộc biểu diễn củasang hai chéo giankhơng bộhình phận hình khơng gian a/xét Tạocác cơhình hội HSphải hình hình gian qua hình biểu diễn c/nhau, Cho phép HS tưởng tượng phân tíchkhác chuyển hó agiúp b Ví biểu adiễn bkhông dụ 1: Khi dạy chủ đề hai đường thẳng chéo cho học sinh ccc (HS) c b a b Hình Hình Ví dụ 1: Khi dạy chủ đề hai đường thẳng chéo nhau, nhằm đưa vấn đề cần giải dạng quen thuộc = R = = 2 R R a/ Tạo hội giúpVí HS dụ hình dung hình khơng gian qua diễn phận = 2hình R o o o thức a trảiHình bchủ dụ 3: Sau học cơng tính tíchvấn đề tứ 1: Khi dạy đềlàhình haibiểu đường thẳng chéo nhau, cho sinhthể(HS) o không gian nhằm đưa csau sin( 180 −−khác 2−2 )) )của sin( sin( 180 180 2học 1dụ 1:sinh 2(HS) bVíhọc axét bVí nghiệm xem có phải diễn hình chéo 180 −3: 2 ) hai cho trải nghiệm xem xét có Hình phải Ví dụ Sau học cơng thức tính thể tích tứ diện V, Khi (HS) dạy chủ đề haibhình đường thẳng chéo thể hình cho họcbiểu sinhsin( =nhau, 2hình R cósau Hình Hình o a b a tạobiểu 180 −nhau 2biểu ) 2diễn bcác a hìnhcóchéo bchéo trải nghiệm xét hình phải làchướng hình diễn củalớn hai trảilà nghiệm xem hình sauxem có phải Hình hình sau hai thuộc hình biểu hai hình chéo tốn chướng chohình HS Hình 2sin( Hình 1xétdiễn Hình 2c ngại rabài lớn ngại cho HS ccc a b Hình R = RRHình == R= 22 “Tính c Hình ba 22sin 2B M 2sin sin 2 a Ví dụ học cơng thức tính thể tích tích củatứ tứ sin 23: Sau y R = Hình a sin a Hình =hóa BD =bphân AD ax HS tưởng tượng c/c/c/Cho tưởng tượng tíc Cho Chophép phép phép HS HSAC tưởng tưởng tượng tượng phân phân tí c/chướng Cho phép phân chuyển hình khơng atíchHS a b b a ngại lớn cho HS a c/ Cho aphép HS tưởng b a b tượng phân tích chuyển hóa hình không gian sang Nmột Chướng ngại thể hi phận gian khác nhằm bộ phận phận của mộthình hình hình khơng khơng gian gian khác khác nhằm nhằ a a không phận A hình gian khác nhằm đưakhơng vấn đề cần giải quyế aHình HìnhHình a M y B “Tính thể tích tứ Bvấn phận hình Hình khơng gian khác nhằm đưa đề cần giải dạng quen ađược đường cao vẽd thuộc thuộc thuộc thuộc B a a bb b a B = BD =b và1AD xz C AC thuộc B a Q khơng tính đtht b a b Ví dụ 3: Sau học thức tính th Ví Ví dụ dụ 3: 3: Sau Sau khi học họccơng cơng cơng thức thức tính a Ví dụ 3: Sau học cơng thức tính thể tích tứ diện Vđược =tính Bh B B b Hình Hình a 1N b A Chướng ngại thể hiệ B Ví dụ 3: Sau học cơng thức tính thể tích tứ diện2V = Bh tốn tạo B b Hình a rararachướng ngại b Hình chướng chướng ngại ngạilớn lớn lớncho cho choHS HS HS chướng ngại lớn cho HS B B Hình đường cao vẽ b Hình a P D b chướng ngại lớn cho HS M yyycủa tứ diện BBBABCD “Tính M M thể tích “Tính “Tínhthể thể th B MHình y B “Tính biế b Hình b Hình 4= CD z C Q khơng tính độ M Hình 3yHình B “Tính thể tích tứ diện ABCD biết AB =a; a x AC = AC x AC biết = BD =AD = BC c”.==BB “Tính thể tích AB=b = CD a; AC = =AC b Hình Hình Hình 4a tứ diệnxxABCD Hình 3 Hình x =BD BD AD =N3, c”.4 HS dễ dàng thấy hình 1, hình 2Hình có gặp khó khăn hình hình Hình A Chướng Việc khắc phục sử dụng mối liên =b=b và AD = BC =BC c” N Chướn Chướ A=ABnhờ AAC Chướng ngại thể hiệnhệ chỗ HStứkhd 34thể Hình NN ahình HS dễHS dàng thấy hình 1, hình gặp khó khăn hình 3, a Hình Ađược N Chướng ngại thể ởhiện chỗ khơng xác định dễdàng dàng thấy Hình 1,2 Hình gặp khó Chướng ngại thểcó chỗ HS khơng xác định HS dễ dàng thấy hình hình thểởHS gặp khó khăn ởcác hình 3,cạnh hình đư dễ thấy hình 1, hình gặp khó khăn hình 3, thể hình được đ P 1, D viên sẽđược địnhHS hướng tưởng tượng được: xây dựng từ tứ diện cách qua đối đường cao vẽ cặp từ đỉnh nà bHS thấy hình 1,hướng hình 24 gặp khó ởHS hình 3, hình aviên Hình 4khăn viên định đểđể cho HS tưởng tượng được: hình 1, Giáo hình 2ởsẽ Hình gặp khó khăn hình 3, hình khăn 3, Hình Giáo định hướng đường cao vẽ từ đỉnh Từ khơng tính độ iáo viên định hướng cho HS tưởng tượng được: HS dễ dàng thấy hình 1, hình gặp khó khăn hình 3, hình B đường cao vẽ từ đỉnh Từ zzztrong C không CCkhông Q đường không khôn Giáo viên định hướng HS tưởng tượng được: z nằm C Q tính đượcmặt độQQ dài song chứa cạnh đó; bakhó cặp phẳng song - Đốiđược vớitưởng hình ta hai đường thẳng chéo theo phương nằm thấy 1,hình hình gặp khó khăn hình 3, hình 4.theo - Đối với3, 3,chiếu ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương tượng được: dài đường caohình a,2b,đường c hướng HS tưởng tượng được: HS dễ dàng thấy hình 1, gặp khăn hình 3,cah B z C Q khơng tính độ dài cao theo a, b, c ho HS tưởng tượng được: Đối với hình 3, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằm Giáo viên định hướng HS tưởng tượng được: b thấy hình gặp khó khăn hình 3, hình mặt phẳng song1, songhình với hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; - hai Đối với hình 3, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằm ngoại tiếp tứ diện nhờ xem xét mối liên hệhệtrên thúd Việc khắc phục nhờ sử dụng mối liên tứ hẳng song song với hai thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; - Đối với Hình ta chiếu đường thẳng chéo theo Việc khắc phục sử dụng mối liên hệ tứ diện vàgiữa hướng HS tưởng tượng được: Hình 3ta3,đường Hình 4nhờ ình 3, tađường chiếu hai đường thẳng chéo phương nằm Giáo viên định hướng HS tưởng tượng được: -hình Đối song với hình 4,chéo chiếu hai đường thẳng chéo nhautheo theo phương song song b thấy 1, hình gặp khó khăn hình 3, hình P D P P D D hiếu hai thẳng theo phương nằm ặt phẳng song với hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; Đối với hình 3, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằm P D phương nằm mặt phẳng song song với haivới đường thẳng hình hộp; hình hộp điều xây dựng từphẳng tứ qua diện hướng cho HS tượng được: mặt phẳng song song haiphương đường thẳng chéo lên mặt chiếu; tượng, hoạt ứng để cấubằng trúccách lại qua toán, từd với chiếu hai đường thẳng lên mặt phẳng chiếu thểtađối xây dựng từ tứđộng diện cách cặp cạnh đối - Đối với hình 4,tưởng ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương song song ình 3, để ta hai đường thẳng chéo theo nằm P D ng với hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; Đối với hình 3, chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằm chéo lên mặt phẳng chiếu; cặp cạnh đối dựng cặp mặt phẳng song song hướng HS tưởng tượng được: b/ Giúp chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua việc phân đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; Đối với hình 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương song song mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; Hình 3đườngđóthẳng Hình 4thẳng ình 3, ta chiếu haithẳng chéo theo nằm Thể tích tứchứa diện thể tích hình hộp trừ tổng thể -lên Đối với hình 4, ta phương chiếu hai đường chéo theo phương song song song cạnh đó; ba cặp phẳng song ột hai đường thẳng mặt phẳng chiếu ng với hai đường chéo lên mặt phẳng chiếu; tích, tách cácvới bộdễ phận phẳng hình khơng gian liên quan đến điều phương kiện toán đề Việc khắc phục nhờ sử dụng liên - Đối Hình 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo chứa cạnh đó; mặt phẳng song song tạo thành HS dàng thấy hình 1, hình gặp khó khăn ởViệc hình 3,song hình 4.mặt Việc khắc khắc phục phục nhờ nhờ sử sử dụng dụng mối mối liên liê nh 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo song song mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; Việc khắc phục nhờbaphương sửcặp dụng liên hệ tứ diện vàmối hình hộ Hình Hình 4mối ình 3, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằm iếu hai đường thẳng chéo theo phương song song Đối với hình 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo song ới hai đường thẳng lên mặt phẳng chiếu ng với hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; giảiphương toán phẳng quen thuộc với hai đường thẳng lên mặt phẳng chiếu song song với hai đường thẳng lên mặt hình hộp ngoại tiếp tứ diện Nhờ xem xét mối liên hệ Việc khắc phục nhờ sử dụng mối liên hệ tứ diện hình hộp; hình hộp có ngoại tiếp tứ diện nhờ xem xét mối liên hệ thú b/ Giúp chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua việc phân nh 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương song song thể xây dựng từ tứ diện cách qua cặ thể thể xây xây dựng dựng từ từ tứ tứ diện diện bằng cách cách qua qua các cm thểtượng xây diện cách quachéo cặp cạnh đối dựng cặp Giáo định hướng đểđáy-cho HS tưởng được: Đối với hình 4, tadựng chiếu hai đường thẳng theo phương song thẳng mặt phẳng chiếu Víviên dụ 2:lên Cho hình chóp S.ABC có ABC mặt tam giác vuông C; AB = c,từ tứ 2 ng với hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; gđường đóvới lên mặt phẳng chiếu b/ta Giúp chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua việc phân hai đường thẳng lên phẳng chiếu phẳng chiếu thúc đẩy hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động điều HS dễ dàng thấy hình 1, hình gặp khó khăn hình 3, hình + = x y a nh 4, chiếu hai đường thẳng chéo theo phương song song thể xây dựng từ tứ diện cách qua cặp cạnh đối dựng cặp mặt phẳng song b/3,chiếu chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua việc phân song chứa cạnh đó; ba cặp mặt song song lần lượt chứa chứa các cạnh cạnh đó; đó; ba ba cặp cặp mặt mặ Giúp cạnh bên nghiêng với đáy hình góc Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếplần hình chóp chứa tượng, hoạt động điều ứng để cấu trúc lại toán, từ ách bộtốn phận phẳng khơng gian liên quan đến điều kiện tốn đề đường thẳng lên mặt phẳng song lượt cạnh đó; ba cặp mặt phẳng song song tạo - khơng Đối với hình ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằm giải yểntách gian tốn phẳng thơng qua phân với hai đường thẳng lên mặt phẳng chiếu 4toán, 1khăn b.Giúp Giúp chuyển toán khơng gian tốn phẳng ứng để cấu trúc lại từ tìm hướng HS dễ dàng thấy hình 1,đối hình 2việc gặp khó hình 3, hình 2 nh 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương song song S.ABC Việc chuyển toán phẳng dựa phân tích sau: án khơng gian tốn phẳng thơng qua việc phân ch, phận phẳng hình khơng gian liên quan đến điều kiện tốn đề b/ chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua việc phân song chứa cạnh đó; ba cặp mặt phẳng song song tạo thành hình hộp Giáo viên định hướng HS tưởng tượng được: + zxét = ngoại tiếp tứ nhờ xem mối liên hệ xxem b = gian −ngoại =quan V xyz xyz xyz đường thẳng đóqua lên mặt phẳng chiếu ngoại tiếp tiếp tứ tứdiện diện diện nhờ nhờ xem xét xét mối mối liên liên hệ h tích, tách phận phẳng hình khơng liên đến điều kiện tốn đề ABCD ngoại tiếp tứ diện nhờ xem mối liên hệ với thúc đẩy hoạt Thể tích tứ diện thể tích hình hộp trừ thể ác tốn phẳng quen thuộc yểnbài tốn tốn thơng qua việc phân việc phân tích, tách phận phẳng hình Thể tích tứ diện bằngxét tích hộp trừ điđã tổng thểđi tíchtổng Từ giảkhơng thiết suyviên ragian H làvề hình chiếu SGiúp lênphẳng (ABC) điều H làchéo tâm đường trịn mặtthơng phẳng song song với hai đường thẳng lên mặt phẳng chiếu; thể 3hình hận phẳng hình khơng gian liên quan đến kiện tốn đề b/ chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua việc Giáo định hướng HS tưởng tượng được: đường thẳng lên mặt phẳng chiếu 2 ngoại tiếp tứ diện nhờ xem xét mối liên hệ thúc đẩy hoạt động biến đổi hình khơng gian liên quan đến điều kiện toán đề ải tốn phẳng quen thuộc tích, tách phận phẳng hình khơng gian liên quan đến điều kiện toán đề đối tượng, hoạt động điều ứng để cấu trúc lại đối đối tượng, tượng, hoạt hoạt động động điều điều ứng ứng để để cấu cấu trúc trúc lạ l -tiếpĐối với hình 3, tabài chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằmlạitrong đối tượng, hoạt động điều ứng để cấu trúc tốn, từy đó= tìm yển tốn khơng gianđến tốn phẳng thơng qua việc phân ngoại ABC c hướn gian khơng liênchóp quan điều kiện toán đề giải 4nhau hình chóp có thểC; tích giải phẳng quen thuộc z +điều Ví dụ 2: Cho hình S.ABC có đáy ABC tam giác vng AB =hướng c, hận phẳng hình khơng gian liên quan đến điều kiện tốn đề Đối với hình 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương song song hẳng quen thuộc tích, tách phận phẳng hình khơng gian liên quan đến kiện bàitrừ t đối tượng, hoạt động điều ứng để cấu trúc lại tốn, từ tìm giải Vì ABC vuông C H trung điểm AB Đối với hình 3, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằm Thể tích tứ diện thể tích hình Thể Thể tích tích tứ tứ diện diện bằng thể thể tích tích hình hình hộp hộp trừ tr yển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua việc phân tốn phẳng quen thuộc thuộc giải tốn phẳng quen thuộc Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng C;hình AB =dung c, Thể tích tứbài diện thểABC tích hộp trừ đivng tổng thể hộp hình ch mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng chiếu; 2 tích AB hận phẳng hình khơng gian liên quan đếnABC điều kiện tốn đề Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác C; = c, trục đường tròn ngoại tiếp ABC HS làđều d/ TTTKG giúp hình hình khai triển + = x y a ạnh bên nghiêng với đáy góc Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hẳng quen thuộc Thể tích tứ diện tích hình hộp trừ điAB tổng thể tích hình chópchiếu; tích với hai đường thẳng lên mặt phẳng chiếu Ví S.ABC dụtrong 2: Cho hìnhđáy chóp S.ABC cóbài đáythể ABC tam giác bằng nhau giải phẳng quen thuộc ho hình chóp có ABC làbằng tam giác vng C; = c, mặt phẳng song song hai đường thẳng chéo lên mặt phẳng phẳng hình khơng gian liên quan đến điều kiện toán đề Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp làS.ABC O với SH phận S.ABC có đáy ABC tam vng C; AB =tạiphẳng c, ác cạnh bên nghiêng với đáy góc tốn Tính bán kính mặt cầu ngoại hình chóp Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy ABC làbài tam giác vng ABcầu =song c, tốn - Đối với hình 4, tagiác chiếu hai đường thẳng chéo theo phương song 4tiếp 1C;mặt hẳng quen thuộc 2 cạnh bên nghiêng với đáy góc Tính bán kính ngoại hình 2chóp Từ chuyển việc giải hình gian vng C; AB = c, cạnh bên nghiêng với đáy góc C Việc chuyển toán phẳng dựa phân tích sau: ho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C; AB = c, 2 +vuông =song ztiếp bkhông = − = V xyz xyz xyz với ++yA x2+ y2y (ASB) cắt mặt cầu ngoại đường tròn lớn b/ Giúp chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thông qua việc phân 2 x song ABCD + = x y a êng với đáy góc Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác tạixxC; Đối với hình 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương hẳng quen thuộc đáy góc Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABC Việc chuyển tốn phẳng dựa phân tích sau: cạnh bên nghiêng với đáy góc Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 với hai đường thẳng lên mặt phẳng chiếu Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Việc 4 1 ho chóp S.ABC đáy ABC làchuyển tam giác vng c, 1đường kính mặtcó cầu ngoại bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB Bán == 2 22 xtại 4=tâm quen thuộc S.ABC Việc toán phẳng phân tích sau: 2với xx2x + = AB yC; aHdựa 2= 2xyz dựa Từhình giảbài thiết suy rachất H làtiếp hình chiếu S khơng lên (ABC) êng với đáy góc giải Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp +++ zz z =2đề Vbán xyz ==+ xyz Vtròn VABCD xyz xyz xyz hìn = với zcầu yxyz cvới ABCD tích, tách phận phẳng hình gian liên quan điều kiện tốn ABCD +xyz =− bxyz z 2−−mặt =hình − Vtại xyz xyz xyz với =đến ển toán phẳng phân tích sau: cạnh bên nghiêng với đáy góc Tính ngoại tiếp xkính ABCD Vấn đề thực bàibài tốn hình học phẳng với hai đường thẳng lên mặt phẳng chiếu chuyển toán phẳng dựa phân tích sau: o hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C; AB = c, 6 3 2 án phẳng dựa phân tích sau: Từ giả thiết suy H hình chiếu S lên (ABC) H tâm đường trịn S.ABC Việc chuyển tốn phẳng dựa phân tích sau: b/ Giúp chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thông qua việc phân 2 22 êng với đáy góc Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A B C D Ví dụ 4: Cho hình lập phương ; Gọ ABCD + = x z b = − = V xyz xyz xyz với z + y 2thì Từ giả thiết suy ra(ABC) H tâm đường hình chiếu S lên (ABC) 1 zz1ztròn ABCD tiếp ABC bài ển vềra tốn phẳng dựa phân tích = qua cH Từ giả thiết suy raphẳng HS.ABC làsự hình chiếu lên giải tốn quen +++yyyc triển 6thuộc 3Ssau: suy H hình chiếu S lên (ABC) H tâm đường trịn Việc chuyển toán phẳng dựa phân tích sau: b/ Giúp chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng việc phân d/ TTTKG giúp hình dung hình khai 2 êng với đáy góc Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H làtích, hình chiếu Sphận lênngoại (ABC) Hhình tâm đường Từ giả thiết suy H chiếu Strịn thìtượng làkhơng tâm đường trịn goại tiếp ABC tách phẳng hình khơng gian đến kiện tốn +liên =quan z lên y d.(ABC) cAD Bđiều cạnh cho ;đề Gọi I,dung Jdung làhình tr AM = hình BN BH ển dựa sựStrung tích sau: tâm đường trịn tiếp ABC Trí tưởng gian giúp dung hình ngoại tiếp ABC 5phân Vì ABC CCho H điểm AB rabài suy nếuHtốn Hvng làphẳng hình chiếu lên (ABC) Hđáy làratâm đường trịn d/ TTTKG TTTKG giúp giúp hình hình dung được hìn d/d/ TTTKG giúp hình Ví dụ 2: hình chóp S.ABC có ABC tam giác vng C; AB =hình c,hình d/ TTTKG giúp hình dung hình khai triển hình khơn Từ giả thiết suy H hình chiếu S lên (ABC) H tâm đườn ển tích, tách phận phẳng hình khơng gian liên quan đến điều kiện tốn đề phẳng Từ chuyển việc giải tốn khơng gian tốn phẳng dựa phân tích sau: Vì ABC vng C H trung điểm AB khai triển hình khơng gian lên mặt phẳng Từ chuyển Vì ABC vuông C H trung điểm AB ngoại tiếp ABC giải toán chiếu phẳng quen thuộc Hbài làđường hình Stiếp lên (ABC) Hđược tâm đường trịn d/ TTTKG giúp hình dung hình khai triển hình khơng gian lênviệc mặt Vì ABC vng Clà Hđó làkính trung điểm AB phẳng phẳng Từ Từ đóhình chuyển chuyển việc việc giải giảibài bàitốn tốn tốnhình hìn hìn phẳng Từ chuyển giải làcác trục tròn ngoại ABC quen suy HS phẳng Từ chuyển việc giải tốn khơng tại cạnh bên nghiêng với đáy góc Tính bán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp HS trục đường trịn ngoại tiếp ABC việc giải tốn hình khơng gian sang vấn đềgian sang tốn vấn đề vng C H trung điểm AB ngoại tiếp ABC giải toán phẳng thuộc quen thuộc suy H hình chiếu S lên (ABC) H tâm đường trịn H trung điểm AB HS trục đường tròn ngoại tiếp ABC Vì ABC vng C H trung điểm AB Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C; AB = c, phẳng Từ chuyển việc giải tốn hình khơng gian sang vấn đề tốn phẳng quen quenthuộc thuộc thuộc Tâm quen HS trục tròn ngoại tiếp ABC quen thuộc SH mặt ngoại hình chóp làphẳng O SH Tâm mặt cầutiếp ngoại tiếpbài hình chóp Ođường phẳng quen thuộc vuông C cầu H trung điểm AB S.ABC Việc chuyển tốn dựa phân tích sau: c đường trịn ngoại tiếp ABC Vì ABC vng C H trung điểm AB Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C;lập AB = 1C c,1DABCD AM, Ví dụ 4: Cho hình lập phương phương ;các Gọ ABCD quen thuộc òn ngoại tiếp ABC Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O SH HS trục đường trịn ngoại tiếp ABC Ví Ví dụ dụ Cho Cho hình hình lập lập phương BN ABCD Ví dụ 4:4:4:Cho hình phương trịn cáctạicạnh nghiêng với đáy góc trịn Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình (ASB) cắt mặt cầu ngoại đường lớn Ví 4: Cho hình lập phương M, vng Ccắt H trung điểm AB A1B bên Ví dụ 4:dụ Cho hình lập phương chóp Gọi NtrílàABCD ABCD Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O SH 1CXác D1 ; Gọi a) định vị đ (ASB) mặt cầu ngoại đường lớn c đường tròn ngoại tiếp ABC Từ giả thiết suy H hình chiếu S lên (ABC) H tâm đường trịn cầuS.ABC ngoại tiếp hình chóp O SH HS trục đường ngoại tiếp mặt tròn A1B DB cạnh bên nghiêng với đáy góc AD bán kính cầu ngoại tiếp hình Ví dụ 4: Cho hình lập phương Tính ;sau: Gọi M, NABC làAD điểm thuộc ABCD B cạnh cạnh và sao cho cho ; ; Gọi Gọi I, I, J B AM AM =chóp = BN BN AD B B cạnh cho ; Gọi I, J tru BB AM = BN cạnh cho ; Gọi I, J lJ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn điểm cạnh cho AM = BN AD B vuông C H trung điểm AB 1C1sao thuộc tiếp hình chóp O SH 1lần 1sao (ASB) cắt mặt cầu ngoại đường tròn lớn Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O SH B cạnh cho ; Gọi I, J lượt trung điểm A AM = BN AD B Việc chuyển tốn phẳng dựa phân tích c đường trịn ngoại tiếp làABC gócvị với IJ (ASB) cắt mặt cầu ngoại đường tròn lớn a) Xác định vị trí đường thẳng IJ v a) Xác định trí đường thẳng IJ v Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB cầu ngoại tiếp hình chóp O SH Cho SAB có AB = c; = = Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB tiếp ngoại tiếp Gọi I, Jlượt lầnsự lượt trung điểm ABvà C1D1 ngoại tiếp ABC B1 SAB cạnh cho ; Gọi I,dựa J tiếp lần phân trung điểm AB AM = BN AD B tròn củaSH ắtcgoại mặt cầu ngoại theo đường lớn Tâm mặt cầu ngoại hình chóp O S.ABC Việc chuyển bàiSBA tốn phẳng tích sau: đường trịn ngoại tiếp ABC đường tròn lớn (ASB) cắt mặt cầu ngoại đường lớn Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB IJ b) Dựng thiết tạo bở Từ giả thiết suy Hhình hình chiếu Strịn lên (ABC) H làđường tâm đường tốn cầu ngoại tiếp hình chóp O SH góc với IJ góc với Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB diện Vấn đề thực chất giải học phẳng a) Xác định vị trí thẳng IJ vàtrịn MN Chứng minh đề thực chất giải tốn hình học phẳng ắtVấn mặt cầu ngoại đường tròn lớn C H trung điểm AB SAB Vì vuông ABC 666 (ASB) cắt mặt cầu ngoại đường tròn lớn mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB Từ giả thiết suy H hình chiếu S lên (ABC) H tâm đường trịn cầu ngoại tiếp hình chóp O SH c) Với vị trí M, mặt goại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB học Vấn đề thực chất giải tốn hình phẳng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp Cho SAB cócó AB ==đường c;c;Vấn =đềSBA = Tính Tính bánkính kính đường trịn ngoại tiếp SAB SAB b)IJ Dựng thiết diện diện tạo tạo bởi mặt phẳng phẳngđi điqq b) Dựng thiết Cho SAB AB bán MN cắthình vng góc với ngoại tiếp ABC tiếp ắtmặt mặt cầu ngoại theo trịn lớn thực chất giải tốn học phẳng 6 SAB Việc giải toán tương đối dễ dàng: cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp HS trục đường tròn ngoại tiếp ABC cầu trịn làcầu giải tốn hình học phẳng Bán kính mặt ngoại tiếpthiết kính trịn ngoại tiếp SA tốn đó.nào đường ngoại tiếp SAB b) Dựng diện bán tạo mặt phẳng quaM, hai ngoại tiếp ABC là SAB tốn c) Với vịđường trí nàođi M, Nđường thiết thiết diện diện c) Với vị trí N cc mặt ngoại đường trịn lớn i chất hình học phẳng Vấn đề thực chất giải hình học phẳng Vì ABC vuông C H trung điểm AB mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB Áp dụng định lí hàm số sin ta có: chất giải tốn hình học phẳng Việc giải toán tương đối dễ dàng: thẳng IJ MN Giải: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O SH Việc giải tốn tương đối dễ dàng: học phẳng Vấn thực chất giải tốn hình Vì đường ABC vng tạitròn C làlà trung điểm AB mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường ngoại tiếp SAB đề HS trục tròn tiếp HABC bài chất giải tốn hình học dụng định líhàm hàmsố sốsin sinphẳng ta có: ngoại c) Với vị trí M, N thiết diện cóa) chu bé Đểvi giải bàivàtốn này, t Áp Áp dụng định lí ta có: Giải: Giải: (ASB) cắt mặt cầu ngoại đường trịn lớn tốn HS trục đường trịn ngoại tiếp ABC chất giảibài hình học phẳng tìm giá trị nhỏ B’ B’ Tâm mặt tiếp hình chóp O SH c cầu =ngoại đường trục đối a) Để Đểtiếp giảiminh bàiSAB toán này, ta dễ dễIJchứng chứng a) giải tốn này, ta 5 Báno kính Rcầu ngoại tiếp mặt bán kính đường trịn ngoại Giải: mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O SH sin( − 25Tâm ) c 180 cắt lớn Acủa (AD C1trục B1 ) minh đường IJ là trục đối xứng đường IJ đối xứng ) Suy 5này, (ASB) = Rmặt cầu ngoại đường tròn a) Để giải minh toán ta dễ chứng(BC minh đường IJD1làcủa o chất làcắt giảimặt bàicầu tốn hìnhtiếp họctheo phẳng 5(ASB) sin(Vấn 180 −đề 2 )thực ngoại đường tròn lớn đối xứng IJ, điểm B biến cầu ngoại tiếp bán kínhtrục đường trịn ngoại SAB Bán kính I’I’ đối xứng của(BC Suy trục (BCCC11BBtiếp (AD (AD Suyra, ra,qua qua trục thành DD11AA11).) Suy ra, qua trục 11)) c mặt R =c Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB đối xứng IJ, điểm B biến thành điểm A, điểm biến thành điểm B diểm biến thành điểm D Kế đốixứng xứngIJ, IJ, điểm điểm BB biến biến thành điểm điểm A, A, đối thành sin Vấn R = đề 2thực 2chất giải tốn hình học phẳng D Kết hợp với giả thiết, suy điểm N biến thành điểm M Từ giả điểm thiết,D suyKết hợp điểm N biếnAAth sin 2 Vấn đề thực chất giải tốn hình học phẳng diểm BB11 biến biến thành thành điểm D Kết hợp với với diểm c/ Cho phép HS tưởng tượng phân tích chuyển hóa hình không giansuy sang M Từ dễthành dàngđiểm chứng minh giảsang thiết, suy điểm điểm Nđó, biến thành điểm giả thiết, N biến II c/52ChoTẠPphép HSHỌC tưởng tượng phân tích chuyển hóa hình khơng gian CHÍ KHOA GIÁO DỤC VIỆT NAM phận hình khơng gian khác nhằm đưa vấn đề cần giải dạng quen MN cắt vng góc với BB IJ M.quen Từ đó, đó, dễ dễ dàng dàng chứng minh M Từ chứng minh phận hình khơng gian khác nhằm đưa vấn5 đề cần giải dạng b) Sử thuộc NN giao MN cắt cắt và vng vng góc góc với với IJ dụng tính chất MN IJ thuộc 1 mặt phẳng phân biệt với h Việc giải toán tương đối dễ dàng: b Áp a dụng định lí hàm số sin ta có: Đào Tam, Đậu Anh Tuấn a) Xác định vị trí đường thẳng IJ MN Chứng minh MN cắt vng Hình Hình thẳng IJIJvà vng ađường đường thẳng vàMN MN.Chứng Chứng minh MNcắt cắttrí vàcủa vng a)minh Xác MN định vị đường thẳng IJ MN Chứng minh MN cắt vng góc với IJ định c a) Xác vị trí đường thẳng IJ MN Chứng minh MN cắt vuông MN Chứng minh MN cắt vng góc vớio IJ = R b) Dựng thiết diện tạo mặt phẳng qua hai đường thẳng IJ MN Chứng Chứng minh minh MN MN cắt cắt và vuông vuông 180 − 2a) )thẳng Xác định trí đường thẳng IJcắt và MN Chứng minh MN cắt vng góc vớia) IJ.Xác định vị trí sin( đường IJMN vàvịMN Chứng minh MN vuông phẳng qua hai đường thẳng IJ MN bởimặt mặtc) phẳng qua hai đường thẳng IJ b) Dựng thiết diện tạo mặt phẳng qua hai đường thẳng IJ MN Với vị trí M, N thiết diện có chu vi bé tìm giá trị nhỏ tọa độ, có gốc tọa độ giao hai đường thẳng vng góc góc với IJ hứng minh MNthiết cắt vàMN vuông b) IJ Dựng diện tạo cmặt phẳng qua hai đường thẳng IJ MN góc với hai đường thẳng IJ ,N N thiết diện có chu vi bé tìm giá trị nhỏ M, N thiết diện có chu vi bé tìm giá trị nhỏ vị trí thiết M, Nbởi mặt thiết diện có chu vi giávà trịMN nhỏVăn nhấtCừ có aHồng Chứng minh MN cắt vàcủa mơ tả đường Lênhỏ Phong tìm đường Nguyễn vng RM, = Nc)thìVới Dựng đường ường thẳng thẳng IJ IJ MN MN b)thiết diện phẳng điMN qua haibé đường thẳng IJ c) vị trí diệnđicó chu bé tìm giá trị b)Với Dựng thiết diện tạo mặt phẳng qua haivitạo đường thẳng IJ hu vi bé vàvà tìm giá trị nhỏ sin a)giá Xác vị trí đường thẳng IJ MN xChứng chiều MN cắttrục hồnh vngtừ gốc tọa độ tới Hải quan chiều dương i bé bé nhất và tìm tìm giá trị trịđịnh nhỏ nhỏ nhất avng c)cắt Với vịvng tríB’có nàochu củaviM, thìminh thiết diện có vi bé tìm giá trị nhỏ ờng thẳng IJMN MN c)Giải: Với vịvà trí M, N thiết diện bé N giátung trị chu nhỏ C’tìmtrục hứng thẳng minh IJ MN cắt Chứng vàc/của minh MN x góc với IJ x đường thẳng IJ MN dương từ gốc tới Quánsang Bàu (xem hình) Khi x tọa độ Giải: Cho phép HS tưởng tượng phân tích chuyển hóa hình khơng gian a) Để giải tốn này, ta dễ chứng B’B’trị nhỏ C’C’ đó.tạo éđó tìm giá x B’ C’ B xGiải: u vi bé tìm giá trị nhỏ b) Dựng thiết diện mặt phẳng qua hai đường thẳng IJ MN đó, trường Trung học phổ thông Chuyên Phan Bội Châu nằm y,xxta tadễ dễchứng chứngđường B’gian Để giải toán này, ta dễ chứng minh mộta)xứng hình khơng khác nhằm đưaC’vấn đề cần giải dạng quen C’bộ phận minh IJ trục đối x ng thẳng IJ MN Chứng MN cắt vuông Giải: a) Để giải tốn này, ta dễ chứng x Giải: góc phần sát với trụcC’ hoành cách tâm gần 50 c)MN Với vị trí M,MN N thiết diện có chu vi bé tìm giá nhỏ b phẳng ờng thẳng đicủa qua IJ hai đường thẳng IJ C’ C’ B’tưtrịthứ ối xứng đối xứng minh đường IJI’B’ trục đối xứng thuộc C’ vuông D Atrục )đường (AD Suy ra, qua trụcgiải Cvị N c (BC định Chứng trí MN đường thẳng vuông IJdễ MN Chứng minh MN cắt 1cắt ).và Bđó 1minh a) Để toán này, ta dễ chứng x m minh IJ đối xứng a) Để giải tốn này, ta chứng bé hiết diện cótìm chu bénhỏ nhấtnhất C tìm giá trị nhỏDnhất C’ I’giá ra, qua trục I’ vitrị C’ ra, qua trục I’ (BC (AD ra,đối qua trục A1 ).thức 1B ) đối IJ, điểm Bđường biến thành điểm A, VíSuy dụ 3: học tính thể tíchcủa Ví dụtứ 6: diện NgườiVta=có Bh thể biết tốn tàu tạo khơi vị trí x xứng mặt phẳng qua hai thẳng IJ vàcủa MN minh đường IJ làSuy trục Giải: I’công DIJ (BC (AD ra,Sau qua trục Cxứng B1 ) minh đường đối xứng Alà ).trục 1được 3bài toán cực trị thực tiễn liên quan đ B’ thành điểm A, C’ b/ Hình hdiểm điểm A, nh điểm A, Giải đối xứng IJ, điểm B biến Hình D C’’ biết kinh độ, vĩ độ khoảng cách từ đến đất liền để M Bdiện thành điểm D Kết hợp với o ng đường thiết thẳng tạo IJ MN mặt phẳng điqua qua hai đường thẳng IJMra, MN.trục I’ a) Để giải tốn này, chứng AD1nhất 1diện hì thiết có chu vi bé tìm giá trị A (BC )dễ (AD ) Suy qua C Bta đối xứng IJ, điểm B thành điểm A, I’nhỏ liên 1cho 1trục (BC )biến (AD ).Mbài Suy ra, Bvới chướng ngại lớn HS xDbiến b/C1Giải tốn cực trị thực tiễn quan đến tính chất lượng 1A 1M 1với D C’’ Kết hợp D C’’ Kết hợp M o D C’’ nạn M AAđiểm M o B1 đối diểm biến thành điểm Kết với cứu nạn xác Mo định vị trí tàu cứu Anhất minh đường IJ trục xứng củaIbé B’C’ C’ giả thiết, suy Nthiết biến thành uiđối vị vi trí bé tìm M, N giá thìtrị nhỏ diện cóđiểm chu vi nhấtD tìmhợp giá trịtrung nhỏtâm hình đối xứng IJ, điểm thành A, Dcủa C’’biết AB = CD =a; Mvà Bo1nào diểm biến thành điểm D Kết hợp với Mo thểđiểm D B C’’ IJ, điểm biến thành điểm A, A BBbiến M xứng M y “Tính tích tứ diện ABCD M hứng hành điểm ICI B ) (ADgiả thành điểm thiết,được suybiến Bđiểm N I’ biến thành điểm Ví Idụ 7: Từ vẽ vẽ ngơi nhà, hình dung hình dáng hình D1minh A (BC qua trục ) Suy 1 M Từ đó, dàng chứng DD dễ C’’ C’’ x biến D 3, hình C’’ M C’’ Bra, diểm thành D.2MKết hợp với HS dễ dàng thấy hình có=b thể gặpA=khó M M oo thiết, suy o hình giả điểm N thành điểm I A 1,điểm Dvà vớihình MAC B diểm biến thành điểm D Kết hợp x =o BC =khăn c” D C’’ CBD Q AD M Ví dụ 8:MTrong đợt tổ chức cho HS gia dc gian phòng M BB’ C’ nh B xứng IJ, điểm M nh đối B IJ biến thành điểm A,xchứng minh B ngơi nhà chiều dài, độ cao, chiều rộng cácb/ Giải cáctham tốn Từ đó, dễ dàng N MN cắt vng góc với x C Q Ví dụ 8: Trong đợt tổ chức cho HS tham gia dã ngoại ngồi trời Để chứng C Q giả thiết, suy điểm N biến thành điểm I D suy C’’ B C Q M Từ đó, dễ dàng chứng minh oễ Giáo viên định hướng HS tưởng tượng được: giả thiết, điểm N biến thành điểm I AthànhMN Ngóc với Chướng ngại thể chỗ HS xác định rục I’C diểm B’ C’’ không B1 biến điểm Kết hợp với NN C’Q A IJ.C’M C M Q N D có chỗ nghỉ ngơi cắtD vng q trình tham quan dã ngoại, hình b)tốn Sử dụng chất giao giảicủa bàiđó, này, tatính dễ chứng B vẽ ứng M Từ đó, dễ dàng chứng minh b Giải tốn cực trị thực tiễn liên quan đến N MN cắt vng góc với IJ B M Từ dễ dàng chứng minh được đường cao từ đỉnh Từ giả thiết, suy điểm N biến thành điểm I có chỗ nghỉ ngơi trình tham quan dã ngoại, bạn HS dựng mặt đất A, Đối với hình 3, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo phương nằm C Q C C Q Q C Q ao iao b)cắt Sử dụng tínhgóc chấtvới giao C Q chất lượng hình mặt phân biệt với hai mặt tính đường IJ Sử trục đối xứng I’phẳng N phẳng hình cm ua trục MN vuông IJ dụ bạt 8: Trong b) dụng tính chất giao N BAC’’ TừMđó, dễ chứng minhvà MN cắt vng góc với IJ zdàng C Q khơng tính độmặt dài đường cao theolều a, b, c bạt từ mộtVítấm DM C’’ D với với o haimặt M o A hai C Q mặt mặt phẳng song song hai đường thẳng chéo phẳng chiếu; C chữ nhật mặt phẳng phân biệt với hai mặt D 1Qlên J’ phẳng lều bạt từ bạt hình có chiều dài 12 m C ’ đó, dễ dàng chứng minh MN cắt vng góc với IJ Ví dụ 8: Trong đợt tổ chức cho HS tham gia dã ngoại A A phẳng song song tạo hai giao tuyến A1 D1 AMN (AD Suy ra, quachất trục ểm A, b) Sử dụng N tính chất giao ) dụng cắtphân vng gócgiao vớiI’IJ mặt biệt với hai mặt Sử tính có’chỗ nghỉ ngơi J DD 11 chiều mnghỉ cách: Gập I b)phẳng CC’ ’biệt AJ’ 1J’ Dbằng J’ song tuyến oểm tuyến b) Sử dụng tính chất giao mặt phẳng phân với trời Để córộng thể cólàphương chỗ ngơi q Cđơi trìnhtấm thambạt lại theo phẳng song song tạo hai giao tuyến Đối với hình 4, ta chiếu hai đường thẳng chéo theo song B song song Từ dễ dàng tìm điểm B biến thành điểm A, D1 nối trung J’ J D C’’ b) Sử dụng tính chất giao M C ’ J ợp với mặt phẳng phân biệt với hai mặt chiều rộng m cách: Gập đôi bạt lại theo đoạn điểm hai cạnh D M o J J’ phẳng song song tạo hai giao tuyến A C ’ phân hai D A1 song song Từ J’ Pbiệt A1 P C1J quan dã ngoại, Cvới ’ B mặt phẳng hai phẳng songsong song tạomặt haiTừ giaođó tuyến bạncủa HS dựng phẳng phẳng BDJB mặt m B1 song dễ dàng tìm làC’’ chiều rộng bạt1 mặt choJ’đất haibằng mép D 11là J’J’ Chợp JD Cthiết Q C CP’biệt ’Q diện lục giác MQJPNI mặt phẳng phân với hai mặt D Dphẳng M C ’ chiếu dài l thành điểm D Kết với hai đường mặt chiếu P C 1C’’ Msong ovới Molên C A thẳng hMnphẳng điểm I phẳng song song tạo hai giao tuyến D J’ Pbạt B C1 tấmDbạt C ’từ A ong Từ dễ dàng tìm song song tạo hai giao tuyến dễ dàng tìm thiết diện lục giác MQJPNI lều hình chữ nhật có chiều N chiều rộng bạt cho hai mép chiếu dài lại bạt sát đất cách J J J I P P CD NI P hai C1 lần D1 J’ hìnhCthang thiết diện lụcTừ giác MQJPNI ’ Cphẳng chiều rộng m bằ J chu song song hai tuyến Ta thấy, chu vi lục giác MQJPNI 1N J’thành yhiết điểm biến điểm Igiao Ctạo ’ giác B c) Btứ 1vi x chiều m (xem hình vẽ) Tìm xcóphân để khoảng khơng ược song song dễlần dàng tìm b/ Giúp chuyển tốn khơng gian tốn phẳng thơng qua việc diện lục giác MQJPNI c) Chu vi lục MQJPNI hai chu vi dài 12m rộng 6m cách: Gập đôi bạt gian phí J B sử song song Từ dễ dàng tìm Việc khắc phục nhờ dụng mối liên hệ diện hình hộp; hình hộp P P C C 1 C Q P C aaIMQJ lục MQJPNI hai lần chu vi thang Jgiác lụcnhau giác MQJPNI hai lần chu vicủa hình thang B hình song song Từ thang dễ dàng c)tìm viMQJPNI lụcphía MQJPNI hai điểm lần chu vi hìnhrộng thang P Cgiác xchu mthang (xem hình vẽ) Tìm xTa đểthấy, khoảng khơng gian lều làbằng lớn nhất? chiều rộng b ễằng dàng chứng minh Nlần ằng haitích, vi hình hình IMQJ lại theo đoạn nối trung hai cạnh chiềuđề lục chu giác C1chu c) Ta thấy, chu vidựng củaBthiết lục giác hai lần viđốiquan hình thang thiết diện làtách lục giác MQJPNI thể xây từ tứdiện diệnlàMQJPNI cách qua cácPcặp cạnh dựng cặp mặt phẳng song lần chu vi hình thang phận phẳng hình khơng gian liên đến điều kiện toán C Q C Q thiết diện lục giác MQJPNI C1 hai IMQJ A D1cho A1 ) hai trải hình vng BCDA lênbằng mặt phẳng (AD theo phương Ta trải hình vng BCDAc)và vàTaCCthấy, lên mặt phẳng bạt mép chiếu dài lại vi củacủa tấmhình bạt sátthang đất N vng góc với hai hai lần lần chu chu vi viIJ của hình hình thang thang D1 D chu iữa vi lục giác MQJPNI haithành lầncịn chu x mvà(xem hình vẽ MQJ Ta thấy, D1 vi J’ chu J’ song lần chứa cạnh đó; cặp mặt phẳng song song tạo hình hộp c)DTa viClượt lục giác MQJPNI hai lần chu vi hình thang ’của C ’ ba c) thấy, chu lụcDD giác MQJPNI chu vi của hình thang giải tốn phẳng quen thuộc CC D CDA lên mặt phẳng (AD ) theo phương '' hai ' lần ' ' CC D D1 )Ta CDA lên mặt phẳng (AD theo phương D A CC D D Ta trải hình BCDA lên mặt phẳng (AD ) theo phương 1ta 1D 1A 1lần mặt phẳng (AD phương theo phương vng góc ta lượt hình cách x m (xem hình vẽ) Tìm x để khoảng khơng gian 1D 1A 1A ) vuông 1 1 J J C C D D B C DA vng góc hình vng dụng tính chất giao 1(AD D A ) theo phương mặt IMQJ lần chuIMQJ thang CCxem Ta trải hình vng BCDA vànhờ lênmối mặtliên phẳng '' 'phương 'ngoại tiếp tứ hệ1 đãtrong động biến đổi IMQJ ' ' diện ' D ' ' 1hình 'A mặt (AD theo D1 D xét thúc 1' ' đẩy các'' hoạt Avi Bhình 1'' phẳng ' ) C C D D B C DA ác hình C C1' Dvuông D ' ' ' ' C C D D vng phía lều lớn nhất? B C DA ác vuông C C D D Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C; AB = c, B C DA vng góc ta hình vng 1 1trung C1 ''J thành ' ' ' C AB C1phân Ptheo C1phương D1 11 Ta J Khi Ihình thành điểm trung điểm J’ Ihình ẳng biệt với mặt 'đó ' góc ' điểm D A phẳng (AD (AD ))hai theo phương 1phẳng CC D1 A1 )' theo phương nphẳng trải vuông BCDA lên mặt (AD C D1JDbài B1 D C1 D ' vuông ta hình vng (AD ' 1' 1A 1đối 1lượt CC D’cấu A111)D Ta trải vuông và1ứng lên mặt phẳng (AD )đó theo 1D ABCDA ' phẳng ' DA tượng, hoạt động điều để trúc toán, từ Dhướng giải 'lần ' hình CC Dđiểm Ta vuông BCDA lên mặt theo phương Cđiểm DKhi 'Cvà ' I lần D 1lại 1' I' ' DD 'tìmphương D C JAB JC thành điểm 1A điểm thành trung AB' Dtrung trải J D C 1J 1lượt J trung điểm J thành trung điểm AB I ' ' D C J trung thành trung điểm I J chóp Khi điểm I thành trung điểm J thành điểm D1C1' AB I '''' ' ' 1 D'' lần '' ' trung D 11 Tính ' ',' M J’ ' J’ ' ' ' D C ’ C ’ cạnh bên nghiêng với đáy góc bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình ' ' M I J Gọi giao điểm đường thẳng với AD D lượt song tạo hai giao tuyến ' ' ' ' ' C C C C D D D D ' điểm ' B vuông 1C C C D D ợc B C DA vng góc ta hình vng C D D B C DA góc ta hình vng D A hẳng (AD ) theo phương D C J Khi điểm I thành trung J thành trung điểm AB 1 1 I 1 1 Thể tích tứ diện thể tích hình hộp trừ tổng thể tích hình chóp tích ' ' C C D D Mđiểm D MP1được B, CMM DA vng góc vng ' ' 1của DMQJPNI ,điểm Jthang Dlần C1lượt thành trung lượt 'trung Jthẳng 1 0hai 1thành ác lần chu vi hình lần vi hình J 1 1hình C 1chu MMthang Dcác IJIJta ng thẳng với AD D11'1'lần J 'tại ờng với AD vàJ'D Dcủa Itrung J với Gọi giao điểm thẳng lượttrung Mđiểm ' ' ' vậy, ' 1 đường ,của ' AD 'và 'DDDC ' dễ , M ' 1diện ' điểm ' ' 0phẳng Như chu vi thiết B Từ dàng tìm ' J 'AB ' thành Khi điểm I thành trung J thành điểm thành AB I AD D D C C J J JCJKhi thành thành trung trung điểm điểm của S.ABC Việc chuyển tốn dựa phân tích sau: J D1C1' Khi điểm I trung điểm J1' lần I D D C thiết diện Gọi giao điểm đường thẳng I'J' với AD lần M D M I J Gọi giao điểm đường thẳng với D , 1 1 D 1 J điểm I thành trung điểm J thành trung điểm AB I M D M D , 1 Pchu C P C 1 1 vi thiết diện ' ' vậy, ' chu vi diện Như chu thiết ' ' ' ' viM I ,' ,MM, 'J D2 1thẳng Iđiểm J+' MQ Gọi đường thẳng vớicủa AD lầnnhất J ' lần Q, P'1)MINPJQ =MQJPNI 2Pđiểm =bằng IM +điểm MQ + vi IJ )của =giao 2'thiết (Ihình +chiếu QJ ) Dnhỏ lượt lục giác ' M nhỏ M, Q, I0,'(giao QJ AD vàdiện lượt M M D D M M D D lượt tại ,của Dlà Ithiết Jkhi giác MQJPNI hai lần chu thang Gọi với D lượt ' M 0tròn , M diện' C J2 hành trung + QJ Như vậy, chu 0thiết lần 11 D'1đường Từ giả thiết S lên H đường đường tâm +D = alượt xD M ' ' 1ycủa ' vi IH Jphương 'IMQJ Gọi giao điểm thẳng với AD lần ' hình diện 'Amặt ' 1suy ' tại(ABC) D D A CC D D hẳng (AD lên ) theo phẳng phương (AD ) theo , M ' J nhỏ , M, Q, I 1 1 1 QJ + IJ ) = ( I M + MQ + QJ ) J nhỏ , M, Q, I QJ + với IJ )hàng = 2Như (I M M1Như MQ + QJ nhỏ' thiết I , M, Q, J P)MINPJQ =diện 2điểm P =' 12(,IM +lần MQ +'QJ + với IJ ) =điểm (I MM +thiết MQ + QJ ) diện vậy, chu vi chu trùng điểm + vậy, chu thiết thẳng điểm trùng với điểm 4)Như ng thấy, chu lần chu vi lục giác hình MQJPNI thang hai hình thang ' IMQJ 'vi của thiết thiết diện 'hai chu I ' ,viM, Q, Jcủa vậy, diện M D M 'lần '' vậy, lượt nhỏ P = 2' CP'IMQJ =của 20vi (,khi IM +.'M MQ +diện QJ + IJ =xyz 2bằng (= IM M0xyz + MQ +Q QJtrùng ) vi 1MINPJQ 1ABC Như thiết diện JQJ nhỏ , Q, ID =nhất b 2nhấtkhi = −+chu QJ )D V xyz ' ' 'vi với x + ' z ngoại tiếp C D C C D B DA vuông ' M, ABCD M M với điểm , điểm Q trùng với điểm 1 1 ' ' ' M M với điểm , điểm Q trùng với điểm J nhỏ , M, Q, I P = P = ( IM + MQ + IJ ) = ( I M + MQ + QJ ) M M ác vng Dễ cânMINPJQ nên góc thẳng trùng với điểm , điểm trùng với điểm 00 ' 'hàng ' IMQJ ' AM Iminh 1điểm 1I3 M ' ' gócQ ' A J AM dàng chứng tam giác vuông cân nên I ' ' điểm JJMINPJQ nhỏ nhỏ nhất khi ,.' ,MM, M, Q, Q, II(IM )hẳng CC D21'P D D= lên phẳng (AD )1M Q, J ' I , M, ' 2+với P 21JP =D+2phương (MQ IM MQ QJ IJ 2(x1I.=M + ' MQB.+0xQJ ) Jnhỏ 2+ 2) = M ' với ' Q+ diện ' hàng trùng điểm 1)A= 'thiết ' QJ nhỏ P =tam 2mặt +điểm MQ + QJ +điểm IJ 2' IMQJ (theo +trùng ' IMQJ ' ' điểm M ' z) + trùng với điểm 0I ,M ' ' A ' D C C = y c thành ểm trung điểm J thành trung điểm I , M, =Q, C D AB MINPJQ 1D M M thẳng hàng M trùng với điểm , điểm Q trùng với điểm M D trung điểm nhỏ I', M, Q, J' thẳng hàng điểm M trùng với A=1A J I AM Vì ABC vuông C H trung điểm AB giác vng cân nên góc I 1 1 0I J I AM tam giác vng cân nên góc I 1 A J I AM A x = B x = C D Dễ dàng chứng minh tam giác vuông cân nên góc I 11 M 00 '' ' ' ' ' D D ' MD 45 ,'nhất hay điểm AD tự, điểm điểm DD D A1trung mặt ải hình vng (AD )M phương lên mặt phẳng (AD )cân theo phương M M ng gác với với điểm điểm BCDA điểm 1DA 1là Ctheo C DCC Mgóc B C nh vng thẳng hàng điểm M trùng với điểm điểm Q1 'trùng với điểm M JD ' phẳng nhỏ Q, I 'trung 'tam ' 1,A 1M, 1'.với điểm ' A1,Tương J 'M IM AM Dễ dàng chứng minh giác vuông nên 1nên 1trùng 1x ,góc M thẳng hàng trùng , điểm Q trùng với điểm AM vng cân góc I II ,ủa N trung điểm AD A J I AM A x = B = C D Dễ dàng chứng minh tam giác vuông cân nên điểm , Q với điểm M M M D I J gD lần với lượt AD D , 1 M Giải: Qua tốn gian thực tiễn, chúng cần= 2tính thể tíchB lều a1AD tự, điểm làlà,trung điểm 0HS tròn 11là 1trung M'1TTTKG AD Tương tự, trung '' 'Tương 'D ' D 'DD ' giúp ' điểm M M D1 ta d/của hình dung hình khai triển hình lên mặt điểm AD Tương tự, điểm làkhơng trung điểm củagóc D '45 1 tiếp đường ngoại lầnABC ' ' thiết 'C ' D ' điểm nhỏ 1của 0C C Khi chu vi M, Nlà lượt điểm AD D Cđiểm D Bdiện C DA auông 01đó, hình thể 'và ' ' vng AM AM vng cân cân nên nên góc góc bằng Itrục Ivuông theo A1nên J ' Itrung AM A JTương gcủa điểm J 0thành trung điểm AB Dễ dàng chứng tam giác cân nên Itrung I 'xtích M 1Dễ 1M 1D 11C với M Dgiá 45 ,1điểm trung điểm AD Tương tự, trung điểm D 0trung 1minh 0thể dàng chứng minh tam giác vuông cân Giải: Qua thực tiễn, cần tính lều M A J I AM Mđược D 45 Giải: Qua tốn thực tiễn, cần tính tích lều x, từ tìm x để hàm , điểm AD tự, điểm trung điểm D dàng chứng minh tam giác cân góc I M D m điểm D 0Dễ 1.0tốn 1vng vi thiết diện thiết diện số đạt trị lớn Dễ dàng tính chiều cao h hạ t ếtếtvà diện nhỏ lượt làlà trung điểm AD khiM, M, Nlần lần trung điểm AD Giải: ' ' sang 'N ' 'chuyển ' chu phẳng việc giải tốn hình khơng gian bàilàtốn phẳng Khi đó, vi thiết diện nhỏ M, Nvấn lầnđề lượt trung điểm ADQua toán thực ' nhỏ ' 0lượt ' Từ B B Tâm cầu ngoại hình chóp Otừ SH D C Dcủa J1mặt J m IN lần Jdiện lượt trung thành điểm của hay thành trung điểm điểm AB Ilượt 0được D D là trung trung điểm điểm của D DD điểm 1chu M M0tiếp D MJtrung DDễ MAD IKhi Jđạt 45 hẳng với AD lần , , trung điểm AD Tương tự, điểm trung điểm D nh vigóc thiết diện nhỏ nên góc , điểm AD theo x, từ tìm x hàm số đạt giá trị lớn dàng tính AM ' 1dàng 'M, 1thiết 1C 1đó ơng cân nên 'trung 'diện I 'thành Khi đó, vi nhỏ M, N trung số giá trị lớn Dễ tính chiều cao h hạ đỉnh lều xuống đáy lều đó, chu vi thiết diện nhỏ N trung điểm 1chu để 0nhất 1 1 M D M 45 , trung điểm AD Tương tự, điểm trung điểm D M, trung điểm AD JB nhỏ Q,và I , M, Q, J I ), M, + QJ =nhỏ 2(I M + MQ 1x số đạt giá trị lớn D ' 'B1 quen thuộc Vận dụng tính hình học phẳng, taM, tính chunhỏ vi diện nhỏ NAD − M, hlớn = thiết Tương tự, điểm điểm lần M M D M D1khi Jtrung iao D điểm đường thẳng làIchất với AD Dchu lượt lần lượt là trung trung điểm điểm của AD AD B21chu B (ASB) hu vi thiết diện Khi đó, vi thiết diện trung điểm ADx cắt mặt cầu ngoại đường tròn D ,của 0, M trung điểm D Khi thiết trung B B x đó, vi diện nhỏ N điểm M M MCho , điểm Q với điểm nhỏ tvới hình học phẳng, ta tính chu vi thiết diện nhỏ 0điểm trùng chu hình học phẳng, ta tính vi thiết diện nhỏ h = − A B C D Ví dụ 4: hình lập phương ; Gọi M, N điểm thuộc ABCD Vận dụng tính chất hình học phẳng, ta tính chu vi thiết diện nhỏ ' ' ' ' h = 9− Khi đó, chu vi thiết diện M, N chiều cao h hạ từ đỉnh lều xuống đáy lều 1 1 là: Vận dụng tính chất phẳng, chu thiếtdiện diện nhỏ nhỏ vậy, thiết chu diện vi thiết diện B Jta tính nhỏ ,học M, Q, I phẳng, Bnhỏ hình IJ )'lượt =B 2là Ilà M + MQ +các QJ )của ' ần trung điểm AD ' chất ' vi dụng tính hình ta tính chu vi vi thiết học lăng trụ V Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB B(Vận tích tính chu thiết diện Khơng gian phía lều thể tích hình AM AM ơng nên giác góc vng cân nên góc IAD I tam J ' I cân 0'AD trung điểm Khơng gian phía lều thể hình lăng B C D cạnh cho ; Gọi I, J trung điểm AB ' ' AM = BN ' B ' ' là:1+Jlều là:+Q JSlà ,phía M, Q, nhỏ ,= M, Q, IVchu QJ )= là: 2nhỏ (chu IM +vi QJ +I IJ )với =nhất 2trong (nhỏ IM MQ QJ )tích được chu viMQ của thiết thiết diện diện nhỏ M M Khơng gian là+D thể hình lăng trụ với làta diện đáy điểm trùng điểm Svi d ,của Vận dụng chất hình học phẳng, tínhtích vi1 lăng thiết diện nhỏ Khơng gian phía t MQJ , điểm học vàS.d, dthiết chiều cao củachu hình trụ Từ Vận dụng tính chất hình phẳng, tatính tính diện nhỏ M Dcác àương trung tự, điểm điểm D trung điểm D Vấn đề thực chất giải tốn hình học phẳng Vận dụng tính chất hình học phẳng, ta tính chu vi trụ V = với S diện tích đáy d chiều cao đó: hình x 1 ' ' d chiều cao hình ' d chiều cao hì M lăng trụ Từ đó: M M P = rùng điểm với M điểm trùng với điểm , điểm Q trùng với điểm A1chu J là: I vi tam giác cân góc2 x AM là:3điểm nên ược thiết diện nhỏ vuông I 2nhỏ xlượt thiết diện là: lăng trụ Từ đó: V = 3x 36 − x nhỏ ần lượt làlà trung M, điểm N lần AD trung AD P = ' ' ' ' P = 3minh 2điểm x= V = 3x 36 − x Axtrung AM àng c vng chứng góc tamcủa giác cân nên góc AM 0DễI dàng bằngdùng Vnên xM36 − D1 D Tương tự, điểm 21 10J II công dùng cụ đạocơng hàm,cụtađạo tínhhàm, ta Vmax = P =cân D vuông Dễ dàng tinh Vmax M2không x làtinh Dễ dàng dùng côn 2điểm 32.2.2 2dàng xcủa Mlà1nhỏ Dcông D trung trung điểm AD D Tương tự, điểm trung điểm D Dễ dùng cụ đạo hàm, ta Vmax = V(3 Từ chọn đáp ) Thể trí tưởng tượng gian Từ chọn đáp án C ện M, N trung điểm AD 1 P = = ta án C ược ọc phẳng, chuP vi tính thiết diệnchu nhỏ vi thiết diện nhỏ án C thực tiễn diện làm sáng tỏ số hội giúp HS ,ó,Nchu là2 thiết trung điểm nhỏ củanhất ADkhi M, 2N trung điểmTrên đây, ADchúng án vi C Trêntôiđây, làm sáng tỏ số Trên a Định hướng xác định vị trí địa lí hình, hoạt động trải nghiệm tưởng tượng khơng gian Bạn đọc có đây, chúng Trên chúngchu tơiviđãcủa làm sáng tỏ nhỏ số hội giúp HS hoạt động trải nh học phẳng, ta đây, tính thiết diện 7 địa điểm, vật: thể phát thêm hội khác để HS trải nghiệm, chẳng nghiệm tưởng tượng khơng gian Bạn đọc có thểtượng phát kh nghiệm tưởng dụng nh chu tínhtưởng vichất hình thiếthọc diện phẳng, nhỏgian ta tính chuthểviphát thiết diện nhỏ nghiệm tượng khơng Bạnđóđược đọc có hiệnhạn thêm hộiHSkhác để Ví 7dụ 5: Chỉ dẫn cho người chưa tới thành tạo hội giúp trải nghiệm tìm hiểu lĩnh vực hội HStrúc, trảixây nghiệm, HS trảichẳng nghiệ HSgiúp trải nghiệm, phố Vinh từ vị trí A đến B người ta đặt B gắn với vị trí họa, kiến dựng, chẳng hạn tạo hội lĩnh vực hội HS trải nghiệm, chẳng hạn tạo hội 7giúp HS trải nghiệm tìm hiểu khác liên quan, hình dung khoảng cách từ A đến B họa, kiến trúc, xây dựn họa, kiến trúc, xây dựng, 2x mơ hóa nhờ sử dụng ngơn ngữ tọa độ Kết luận họa, tốt kiến trúc, xâyhình dựng, Kết luận luậntrọng giáo dục toán học3.cho dẫn cho người đó, sơ đồ đường thẳng cần TTTKG có vaiKết trị quan TTTKG có vai tr Kết luận vai tròbài quan Định hướng từ Quảng trường Hồ Chí Minh đến Trường HS, khơng chỉTTTKG giảicó tốntrọng tốn học mà giáo cịn dục tốn giải tốn TTTKG có thơng vai trị quan Phan trọngBội HS, khơng chỉbài Trung học phổ Chun Châugiáo bằngdục cáchtốn sau học cócho nhiều ứng dụng giảitốn quyếttốn vấn học đề thực Từ có cáchnhiều ứng d giải màtế.còn thực tế Từ cách hiểu v giải 7quyết tốn tốnhaihọc cịnLêcó nhiều ứngvàdụng giải vấn đềnăng đây: Cócác thể xem góc mà đường Hồng Phong hiểutrong vềthực TTTKG quacách khả trưng đặc biệt từ tế Từ hiểu đặc TTTKG qua khả đặc t sáng tỏ Văn Cừ TTTKG tư thứ hệđặc trục trưng việcvà làmđặc sáng tỏ số biểu TTTKG, sở số biểu hiệ thực đường tế TừNguyễn cách hiểu qua khả biệt từ việc làm góc phần sáng tỏ số biểu TTTKG, sở để tiế sáng tỏ số biểu TTTKG, sở để tiếp tục nghiên cứu đề xuất b o o 1 1 1 11 1 1 1 1 1 Số 02, tháng 02/2018 9 53 NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN để tiếp tục nghiên cứu đề xuất biện pháp phát triển lực TTTKG dạy học Hình học trường trung học phổ thơng Qua đó, góp phần đổi giáo dục toán học giai đoạn nay, đặc biệt góp phần phát triển lực tư suy luận, lực giải vấn đề nội mơn Tốn thực tiễn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Thiêm, (1984), Tưởng tượng khơng gian, phát huy trí tượng tượng khơng gian học sinh dạy hình học phẳng, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, số 11/1984, số 12/1984 [2] Bùi Văn Nghị, (2008), Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Lê Thị Hoài Châu, (2004), Phương pháp Dạy - Học hình học trường trung học phổ thông, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [4] Nguyễn Mạnh Tuấn, (2010), Trí tượng tượng khơng gian việc phát triển trí tượng tượng không gian cho học sinh năm đầu tiểu học (lớp 1, 2) phần mềm giáo dục, Tạp chí Giáo dục, số 248 [5] Trần Trọng Thủy, (1998), Tâm lí học, NXB Giáo dục, Hà Nội [6] Hoàng Phê (chủ biên), (1998), Từ điển Tiếng Việt, NXB Đà Nẵng [7] Phạm Minh Hạc (chủ biên), (1988), Tâm lí học, Tập 1, NXB Giáo dục [8] Đào Duy Anh, (2005), Hán Việt từ điển, NXB Văn hóa Thông tin [9] Vũ Dũng (chủ biên), (2008), Từ điển Tâm lí học, NXB Từ điển Bách khoa, Viện Tâm lí học, Hà Nội [10] Bùi Hiền, (2001), Từ điển Giáo dục học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [11] Nguyễn Bá Kim, (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [12] Phan Trọng Ngọ, (2005), Dạy học phương pháp dạy học nhà trường, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [13] Đào Tam, (2005), Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội SPATIAL IMAGINATION AND ITS ROLE IN MATHS EDUCATION Dao Tam Vinh University 182 Le Duan, Vinh, Nghe An, Vietnam Email: daotam.32@gmail.com Dau Anh Tuan Nghe An College of Education 389 Le Viet Thuat, Vinh, Nghe An, Vietnam Email: dauanhtuancdsp@gmail.com ABSTRACT: The article introduces concepts of space, spatial imagination through specific abilities In particular, the author emphasizes the role of developing spatial imagination in Geometric perception Some expressions of spatial imagination in Maths learning and in reality According to the author, spatial imagination plays an important role in Maths education for students, not only in solving Maths problems but also in practical problem solving applications KEYWORDS: Space; Spatial imagination; education; Maths 54 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM ... [4] Nguyễn Mạnh Tuấn, (2010), Trí tượng tượng khơng gian việc phát triển trí tượng tượng khơng gian cho học sinh năm đầu tiểu học (lớp 1, 2) phần mềm giáo dục, Tạp chí Giáo dục, số 248 [5] Trần Trọng... Thiêm, (1984), Tưởng tượng khơng gian, phát huy trí tượng tượng khơng gian học sinh dạy hình học phẳng, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, số 11/1984, số 12/1984 [2] Bùi Văn Nghị, (2008), Giáo trình phương... tượng không gian, nghĩa biểu tượng trình tưởng tượng, biểu tượng khơng gian Như vậy, TTTKG hoạt động trí óc thể trình biến đổi biểu tượng khơng gian có nhằm kiến tạo biểu tượng khơng gian Trong [1]