đề cương 12 GTLN GTNN

Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 A KIẾN THỨC CƠ BẢN x2 Cho hàm số y x khi x x có đờ thị hàm số hình vẽ bên cạnh Hãy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [ 2; 3] [0; 3] Cho hàm số y f (x ) có bảng biến thiên: GTNN hàm số là……… GTLN hàm số là………… Định nghĩa: Cho hàm số y M max f (x ) D f (x ) x f (x ) xác định tập D M, x D : f (x ) D m M f (x ) D f (x ) x m, x D D : f (x ) m Định lí 1: Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn (hiểu khác: hàm số khơng liên tục [a ; b ] khơng có max) Các phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Bài toán Tìm GTLN & GTNN hàm số y f (x ) đoạn [a ;b ] Bước Hàm số cho xác định liên tục đoạn [a ;b ] Tính f (x ) tìm điểm x i cho có đạo hàm liên tục khơng có đạo hàm Bước Tính f (a ), f (b), f (x i ) Bước Kết luận: max f (x ) max f (a ); f (b); f (x i ) f (x ) f (a ); f (b); f (x i ) [a ;b ] [a ;b ] Bài tốn Tìm GTLN & GTNN hàm số y f (x ) khoảng (a;b) Bước Tìm tập xác định Tính f (x ) Cho f (x ) tìm nghiệm f (x ) lập bảng biến thiên (có tính giới hạn) Bước Xét dấu biểu thức y Bước Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN (GTNN có) Định lí f (x ) đờng biến [a;b ] f (x ) f (a ) max f (x ) f (b ) Nếu y [a ;b ] Nếu y f (x ) nghịch biến [a;b ] f (x ) [a ;b ] [a ;b ] f (b) max f (x ) [a ;b ] f (a ) Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng toán 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn  Bài tốn: Tìm giá trị lớn & giá trị nhỏ hàm số y f (x ) đoạn [a ;b ] Phương pháp: Bước Hàm số cho xác định liên tục đoạn [a ;b ] Tính f (x ) tìm điểm x i cho có đạo hàm liên tục khơng có đạo hàm Bước Tính f (a ), f (b), f (x i ) max f (x ) max f (a ); f (b); f (x i ) f (x ) f (a ); f (b); f (x i ) [a ;b ] Bước Kết luận: [a ;b ]  Lưu ý: Nếu y f (x ) đồng biến [a;b ] f (x ) Nếu y f (x ) nghịch biến [a;b ] f (x ) [a ;b ] [a ;b ] f (a ) max f (x ) [a ;b ] f (b) max f (x ) [a ;b ] f (b) f (a ) Đối với hàm số thức, đề không cho đoạn [a;b ], ta hiểu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tập xác định D Ngồi cách giải trên, giải theo phương pháp lập bảng biến thiên (trên khoảng) Hãy tìm giá trị nhỏ m hàm số Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y x 7x 11x đoạn [0;2] hàm số y x 3x x [ 1;2] Lời giải Hàm số xác định liên tục [0;2] 3x Ta có: y Xét y y(0) 14x x x 11 Tính y(1) y(2) 11 (N) [0;2] (L) y x max y x [0;2] [0;2] Vậy giá trị nhỏ m Nhận xét: Ngồi cách giải trên, ta giải theo cách lập bảng biến thiên Sử dụng casio (đánh giá xấp xỉ: tham khảo) MODE : F(X ) START 0, END X3 7X 11X 2, STEP : 2 19 Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 2x x hàm số f (x ) [1; 4] hàm số f (x ) đoạn [1; 3] x x Lời giải Hàm số xác định liên tục [1; 4] 0, x [1; 4] (x 1)2 f (x ) ngịch biến đoạn [1; 4] Ta có f (x ) f (x ) f (4) max f (x ) f (1) [1;4] [1;4] Cần nhớ: Cho hàm số y f (x ) xác định liên tục đoạn [a;b ] y f (x ) đồng biến y y(a ) max y y(b) [a ;b ] [a ;b ] y f (x ) nghịch y y(b) max y y(a ) [a ;b ] [a ;b ] biến Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x ) 2x 5x x [0;1] 2x hàm số f (x ) 3x x [0;2] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x ) 2x [ 3;1] hàm số y x x [ 2; ] Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Cho hàm số y cos3 x sin2 x cos x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho Lời giải Để ý rằng: cos3 x Ta có: y cos3 x y Đặt cos x y 3t 2t 4t f ( 1) sin x cos2 x ) cos x cos x [ 1;1] t3 f (x ) Tính f f (1) cos x 2(1 t cos2 x 2 cos2 x t f (t ) sin2 x 10 Cho hàm số y sin3 x cos2 x sin x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho t 2, t [ 1;1] t (N ) t (N ) 58 27 y max y 58 27 11 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ sin x sin2 x sin x hàm số y ; đoạn 3 sin 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y sin3 x sin2 x 0; π -1 -1 Lời giải Đặt sin x t f (t ) 3 t t t2 ; 4π Vì x 1, t -1 ;1 3t cos ;1 Thầy : Nguyễn Xuân Anh f (t ) f Tính t 2t f (1) max y y SĐT : 0933070938 13 t (L) t (L) 11 14 13 14 11 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cos x sin x hàm số y cos x sin x 14 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y cos x 0; x Lời giải Ta có: y Xét y sin x sin x x k , với k Vì x 0; Vì k nên 2k 4 nên chọn k k x y(0) 1, y y 15 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 0; x cos x đoạn 5 max y k2 2 ; y 2 2 16 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y sin 2x x đoạn ; 2 Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 x3 17 Cho hàm số y 3x tham số m cho y [ 1;1] 3x Lời giải Ta có: y Xét y x x y( 1) m y(1) m m (L) m Tính y(0) 0 18 Cho hàm số y m Tìm Cho hàm số y x3 3x 2m tham số m cho y [ 1;4] Tìm 6x y [ 1;1] m m 4 x4 2x tham số m cho max y [0;3] Tìm 19 Cho hàm số y cho max y 64 [0;3] m x3 42 3m2x Tìm m Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 mx có 21 Tìm tham số m để hàm số y x m y 20 Tìm tham số m để hàm số y y m [ 1;2] m m (x m )2 x 0, m Hàm số y nghịch biến khoảng mà xác định y y(2) [ 1;2] m x m m x [ 1;2] m m 2m m m m m 2m m [2;4] Vậy m x x TH Nếu y [1;2] m [2;4] 1 m [2;4] loại y(2) m TH Nếu y y(4) 5m m m : không thỏa m Hàm số nghịch biến [2; 4] y mx x Hàm số đờng biến [2; 4] y 23 Tìm tham số m để hàm số y có max y m (x 1)2 y TH Nếu y m Lời giải Ta có y [2;4] thỏa mãn y 22 Tìm tham số m để hàm số y y 2m m m m m m 1 m m2 có x [ 2;0] Lời giải Điều kiện: x Ta có: y x Thầy : Nguyễn Xuân Anh m m m SĐT : 0933070938 5: thỏa Kết luận: m giá trị cần tìm 2x x 24 Tìm tham số m để hàm số y thỏa mãn y [1;2] TH Nếu y [1;2] thỏa mãn y [1;2] [1;2] : không 16 hàm số TH Nếu m đồng biến nghịch biến [1;2] y max y [1;2] y(1) [1;2] m 16 32 5m 25 Kết luận: m y(2) m 3m 2m [1;2] max y [1;2] max y [1;2] max y x m 2x m y thỏa mãn y m (x 1)2 Lời giải Ta có: y y 25 Tìm tham số m để hàm số y 16 max y [1;2] m giá trị cần tìm m Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng  Bài tốn: Tìm GTLN & GTNN hàm số y f (x ) khoảng (a;b) Phương pháp: Bước Tìm tập xác định Tính f (x ) Cho f (x ) Bước Xét dấu biểu thức y tìm nghiệm f (x ) lập bảng biến thiên (có tính giới hạn) Bước Dựa vào bảng biến thiên để kết luận GTLN (GTNN có) Lưu ý: Trong số trường hợp, giải nhanh bất đẳng thức:  Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM): a1, a2, , an 0, ta ln có: a1 a2 an n n a1.a an Thầy : Nguyễn Xuân Anh " xảy a1 Dấu " a SĐT : 0933070938 0; b a ta có: a2 b an ab Dấu " a b Một số kỹ ghép Cauchy: c a 0; b 0; c mX n X mX mX n X2 mX mX n X2 33 m n mX n X mX n 2X n 2X 33 mn ta có: n X mn , X " xảy a abc Dấu " (khi x a " b b c a, cần dự đoán điểm biên x a ) (Kỹ thuật tách cặp nghịch đảo kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số để sau áp dụng bất đẳng thức Cauhcy, biến số triệt tiêu, lại số, dựa vào điểm rơi toán) X (a (mX ).(a m mX ) X X X (a X ) (a X ) 2  Bất đẳng thức Cauchy Schwarz (a a, b, x , y, ta có: Dấu " a, b 0, x , y , ta có: a2 4m X a X 4a 27 27 y2) x a x2 a X b )(x " xảy a mX )2 (mX m mX ) a.x b.y (a b )(x y ) y b y2 b (x y )2 a b Dấu " " xảy x a y b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu x2 x2 có) hàm số y Lời giải ĐK: x x x x 2x (x Giới hạn: lim y x ; 2 x 1)2 1; có) hàm số y : ln ( Tập xác định D Ta có: y 1 lim y ) x Bảng biến thiên (xét dấu y ) : 4x x x x 2x 1 x 1 y 0 Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 y 3 Kết luận: max y x y x Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn (nếu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn (nếu có) hàm số y 3x (0; ) (0; có) hàm y x ) x x Cách Sử dụng bảng biến thiên: Lời giải Sử dụng bảng biến thiên Ta có: y 3x x3 x x lim y x lim x 3x lim Giới hạn: lim y x 3x x3 x3 x 3x x2 Bảng biến thiên: x y y 33 Kết luận: y (0; x 3 không tồn giá trị lớn Cách giải Sử dụng BĐT Cauchy: Cách giải Sử dụng BĐT Cauchy: y x2 3x 33 ) 3x 3x 3x 2 x2 3x 33 x2 y (0; ) 3 Hãy tìm giá trị lớn M hàm số Hãy tìm giá trị lớn M hàm số y y x 2 x cos x cos2 x Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Cho x , y không âm thỏa x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x y biểu thức P y x Lời giải Ta có: x Vì x, y y y x y x x Cho x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x x y x x [0;1] Khi đó: P P (x ) 2x 2x x x 24x 12 ( x x 2)2 Tính P (0) 4; P (1) với x x 4; P [0;1] 10 max P x P 10 x 0, y y Cho x , y thỏa mãn x x 12 y 10 Cho x ; y [0;1] 2x y giá trị lớn y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P xy 2x y P xy x 2y 17 Hãy tìm biểu thức 11 Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Dạng toán 3: Ứng dụng max –  Một vật chuyển động theo quy luật s t 9t với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? t 18t Lời giải Ta có: v s Ta tìm giá trị lớn biểu thức: t Ta có: v v 18t với t 3t v(0) v(6) vmax 30 54 m/s 54 v s, a i q t v i Tính v(10) Cần nhớ: t [0;10] 18 Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ nhà ga Quãng đường s (mét) đoàn tàu hàm số thời gian t (phút), hàm số s 6t – t Thời điểm t (giây) mà vận tốc v (m/s) chuyển động đạt giá trị lớn s q Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm ), rời gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm g i t r ị c ủ a x để hộp nhận tích lớn Cho tơn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình có cạnh x (cm) để gập lại hộp không nắp Để hộp tích lớn giá trị x ? x 80 cm 50 cm Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Độ giảm huyết áp bệnh nhân xác định công thức tương đối G(x ) 0, 024x 2(30 x ), x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x tính mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều Khi ni cá thí nghiệm hồ, thấy rằng: đơn vị diện tích mặt hờ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P (n ) 480 20n (gam) Tính số cá phải thả đơn vị diện tích mặt hờ để sau vụ thu hoạch nhiều cá Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều chiều h cạnh đáy a thỏa mãn a 2h 6, với a, h Tìm thể tích lớn hình chóp cho Khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Biết cạnh SD thay đổi SA SB SC a Tính thể tích lớn khối chóp S ABCD 13 Thầy : Nguyễn Xuân Anh Từ miếng tơn hình bán ngụt có bán kính R 3, người ta muốn cắt hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn Tìm diện tích lớn có miếng tơn hình chữ nhật 10 Ông An cần sản xuất thang để trèo qua tường nhà Ông muốn thang phải ln đặt qua vị trí C , biết điểm C cao 2m so với nhà điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên) Giả sử kinh phí để sản xuất thang 300.000 đồng/ mét dài Hỏi ông An cần tiền để sản xuất thang (kết làm trịn đến hàng nghìn đờng) C Tường nhà SĐT : 0933070938 1m 2m Nền nhà Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 15 ... Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y sin3 x sin2 x 0; π -1 -1 Lời giải Đặt sin x t f (t ) 3 t t t2 ; 4π Vì x 1, t -1 ;1 3t cos ;1