Hàm số mobius và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ ĐỨC LỢI HÀM SỐ MÖBIUS VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ ĐỨC LỢI HÀM SỐ MÖBIUS VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN – 2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG HÀM SỐ MÖBIUS 1.1 Đạo hàm vành hàm số số học 1.2 Hàm số Möbius 11 CHƯƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ MƯBIUS 15 2.1 Giá trị trung bình hàm số số học 15 2.2 Giá trị trung bình hàm số Mưbius 21 2.3 Tiệm cận giá trị trung bình hàm Euler hàm Möbius 26 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài luận văn Trong lịch sử phát triển, Toán học có nhiều chun ngành khác Tốn học thống chỉnh thể hoàn hảo Việc tìm hiểu thống cịn đường phía trước Để tìm hiểu tính thống chuyên ngành toán học Đại số, Lý thuyết số, Giải tích, Xác suất Thống kê thể chủ đề hàm số số học, luận văn tập trung giới thiệu chủ đề Số học - Hàm số Möbius ứng dụng Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có hai chương Chương trình bày nội dung có liên quan về: Hàm số số học, hàm số có tính chất nhân tác giả tự thực nhiều chứng minh chi tiết nhằm mô tả tính chất hàm số Mưbius Chương giới thiệu cơng cụ giá trị trung bình hàm số số học số công thức tiệm cận giá trị trung bình hàm số Mưbius hàm số Euler Nội dung kết luận văn 1- Giới thiệu định nghĩa phép toán cộng theo điểm, phép nhân theo điểm phép tích chập tập hợp hàm số số học 2- Kiểm tra cấu trúc vành cấu trúc miền nguyên tập hợp hàm số số học với phép toán cộng theo điểm, phép nhân theo điểm phép tích chập 3- Giới thiệu phép đạo hàm vành hàm số số học 4- Trình bày chủ đề hàm số Mưbius ứng dụng Số học: Định nghĩa, tính chất cơng thức đảo ngược Mưbius 5- Giới thiệu số cơng thức tiệm cận với giá trị trung bình hàm số Mưbius 6- Giới thiệu công thức tiệm cận với giá trị trung bình hàm số Euler thơng qua cơng cụ hàm số Mưbius 7- Sử dụng cơng thức tiệm cận với giá trị trung bình hàm số Euler, tính xác suất để hai số nguyên dương nguyên tố 2 Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người dành nhiều thời gian cơng sức để giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, ngành Toán thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi hồn thành khóa học Tác giả trân trọng cảm ơn thầy cô giáo thuộc Phòng Quản lý Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Sài Gịn tận tình chu đáo tổ chức thành cơng khố học, tạo điều kiện giúp đỡ chúng em hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Dẫu có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cô giáo đồng nghiệp TÁC GIẢ MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN ● : Vành số nguyên ● n : Vành số nguyên môđun n ● : Trường số hữu tỷ ● : Trường số thực ● : Trường số phức ● A : Vành hàm số số học ● gcd  x, y  : Ước chung lớn số nguyên x, y ● lcm  x, y  : Bội chung nhỏ số nguyên x, y ● d n : d ước n hay n bội d ● rad  n  : Căn số nguyên n (Tích ước nguyên tố phân biệt n ) k  ●   : Số tổ hợp chập i k (Hệ số tổ hợp chập i k ) i  ● F  x    f  n  : Giá trị trung bình hàm số số học f n x ●   n  : Hàm số nhận giá trị với n  nhận giá trị với n  ●   n  : Hàm số Euler (hàm phi Euler) ●   n  : Hàm số Möbius ● f g : Tích theo điểm hàm số học f g ● f  g : Tích chập Dirichlet hàm số học f g ●   n  : Số ước nguyên tố phân biệt số nguyên dương n ● f g f  O  g  : Tồn c  cho f  x   cg  x  , x  D ● f  O 1 : Tồn số thực c  cho f  x   c , với x  D CHƯƠNG HÀM SỐ MÖBIUS 1.1 Đạo hàm vành hàm số số học 1.1.1 Định nghĩa Hàm số số học hàm số nhận giá trị phức xác định tập hợp số nguyên dương Hàm số số học f gọi hàm số có tính chất nhân (hàm nhân) với cặp số nguyên dương m, n nguyên tố nhau, ta có f  mn   f  m  f  n  Trong trường hợp đẳng thức với số nguyên dương m, n hàm số số học f gọi hàm số có tính chất nhân mạnh Hàm số số học f gọi hàm số cộng tính với cặp số nguyên dương m, n nguyên tố nhau, ta có f  mn   f  m   f  n  Nhận xét Nếu f hàm số có tính chất nhân n số ngun dương có dạng phân tích tiêu chuẩn n  p1 p2 pk  , k f (n)  f ( p11 ) f ( p22 ) f ( pk k ) Ví dụ 1) Hàm số đồng tập hợp số nguyên dương: id   n   n, n   2) Hàm số 1 n  tập hợp số nguyên dương: 1 n   1, n   3) Hàm số định danh Diriclet   n  xác định bởi:   n   n    n   n  4) Hàm số zero  n   n   0, n  5) Hàm số T  n   n  n  1  n   n    n , với số nguyên dương biểu thị số đoạn thẳng (cạnh đường chéo) đa giác lồi n cạnh n, 6) Hàm số   n  đếm số ước số nguyên dương n :   n   1, n   dn 7) Hàm số   n  biểu thị tổng ước số nguyên dương n :   n    d , n   dn 8) Hàm số Euler   n  biểu thị số số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n :  n   1, n   1 d  n  d , n  1 1.1.2 Định lý (Công thức tổng trải) Nếu số ngun dương n có phân tích tiêu chuẩn dạng n  p1 p2 pk với hàm nhân f , ta có k j   f  d    1   f  pij    dn j 1 i 1   n Chứng minh Vì f hàm nhân nên ta có f p  f d      dn 0 i  i i 1, , n 1 s ps Như vậy, hệ thức   f p  1 0i  i i 1, , n   s f ps j     1   f  pij   j 1 i 1   n □ 1.1.3 Định lý Giả sử f hàm có tính chất nhân Khi đó, hàm số số học F ( n)   f ( d ) dn có tính chất nhân Chứng minh Ta rằng, m, n cặp số nguyên dương nguyên tố F (mn)  F (m) F (n) Thật vậy, gcd(m, n)  nên ước số tích mn viết dạng tích d  d1d , d1 ước m d uớc n , d1 , d nguyên tố Do đó, sử dụng tính chất nhân hàm f ta có F (mn)    f (d )  d mn   f (d1 ) f ( d ) d1 m , d n f (d1 )  f (d )  F (m) F (n) d1 m Định lý chứng minh  f (d1d )  d1 m, d n d2 n □ 1.1.4 Định lý Cho hàm nhân f Khi đó, với số nguyên dương m, n ta ln có cơng thức f  lcm  m, n f  gcd  m, n    f  m  f  n  Chứng minh Ta chứng minh công thức phép quy nạp toán học Nếu m = n = 1, kết hiển nhiên Giả sử số tự nhiên m, n> có phân tích chuẩn tắc: n  p1k prk ; m  p1l prl , k1 , , kr , l1 , , lr số ngun khơng âm r r Khi đó, ta có max  ki ,li  r lcm  m, n    pi i 1 r  ki ,li  ; gcd  m, n    pi i 1 max  k , l  ,min  k , l   k , l  Bởi i i i i i i f hàm nhân, nên ta có:     max  ki ,li   r    i 1  r f lcm  m, n  f gcd  m, n  = f  pi  i 1 r    ki ,li       f  pi  s   f  piki . f  pili   f (m) f (n) i 1   i 1   Vậy, công thức thoả mãn cho số nguyên dương m n □ 1.1.5 Các phép toán hàm số số học Tổng theo điểm f  g hàm số số học f g định nghĩa  f  g  n   f  n   g  n  Tích theo điểm f g hàm số số học f g định nghĩa f g  n   f  n  g  n  Tích chập Dirichlet f  g hàm số số học f g định nghĩa    f  g  n    f  d  g  dn    f  d  g  d ,   dn ' dd '  n tổng chạy tất ước số dương d n Nhận xét Nếu hàm số số học f , g hàm số có tính chất nhân hàm f  g , f g , f  g hàm số có tính chất nhân 1.1.6 Định lý Tập hợp A tất hàm số số học với phép cộng điểm phép nhân chập Dirichlet vành giao hốn có phần tử khơng hàm số zero  n  phần tử đơn vị hàm số   n  Chứng minh Kiểm tra rằng, tập hợp A tất hàm số số học với phép toán cộng điểm nhóm cộng aben có phần tử đơn vị hàm zero  n  :   f  n   n n    n  f     f    0, n  d  dn d dn Chúng ta kiểm tra rằng, tích chập Dirichlet giao hoán, kết hợp, phân phối với phép cộng có đơn vị, nghĩa f g  g f,  f  g   h  f   g  h, f   g  h   f  g  f  h,   f  f, với hàm số số học f , g , h Sau tính tốn đơn giản, ta có      f  g  n    f  d  g  dn    g  dn  f  d    g  f  n  ; dn   dn   17 Nếu f  t  hàm giảm đoạn  a, b  b b b a na a f  b    f  t  dt   f  n   f  a    f  t  dt Do   b b na a   f  a  , f  b    f  n    f  t  dt  max f  a  , f  b  Giả sử f  t  hàm đơn điệu không âm đoạn  y , x  a   y   1, b   x  Ta có y  a  b  x Nếu f  t  hàm tăng  y  n x f n   a  n b b f n   f  t  dt  f  b  a x   f  t  dt  f  x  y Bởi a f  a    f  t  dt y x f  x    f  t  dt , b nên 18  y  n x b f  n    f  t  dt  f  a  a x x a b y   f  t  dt   f  t  dt  f  a    f  t  dt y x   f  t  dt  f  x  y Do  y n x x f  n    f  t  dt  f  x  y Nếu f  t  hàm giảm  y  n x f n   a  n b b f n   f  t  dt  f  a  a x   f  t  dt  f  y  y Bởi x f  b    f  t  dt b a f  y    f  t  dt , y nên 19  b y n x f  n    f  t  dt  f  b  a x x a b y   f  t  dt   f  a    f  t  dt   f  t  dt y x   f  t  dt  f  y  y Do  x y  n x Vậy f  n    f  t  dt  f  y  y x  y  n x   f  n    f  t  dt  max f  y  , f  x  y Do đó, f  t  hàm không âm đơn dạng nửa đoạn 1,   , f  t  bị chặn đẳng thức x F  x    f  n    f  t  dt  O  1 n x suy từ x  y  n x Định lý chứng minh   f  n    f  t  dt  max f  y  , f  x  y □ 2.1.4 Định lý Giả sử r số nguyên dương Với x  1, ta có logr n  n  r  logr 1 x  O 1 , n x đại lượng bị chặn O 1 phụ thuộc vào r 20 Chứng minh Hàm f  t   logr t không âm đơn dạng (unimodal) nửa đoạn t r r 1,   với giá trị cực đại   t0  e r Theo Định lý 2.1.3 ta có e x logr t logr n   n 1 t dt  O 1  r  logr 1 x  O 1 n x Chúng ta kết thúc chứng minh định lý □ 2.1.5 Định lý (xem [4, tr.210]) Giả sử k số nguyên dương Khi  n1 nk  x n1  n1 nk  x n1 nk    logk x  O logk 1 x , k! tổng chạy k - số nguyên dương  n1 , , nk  cho nk  x 2.1.6 Định lý tổng riêng (xem [4, tr.211]) Giả sử f  n  g  n  hàm số số học f  n  có hàm tổng F  x    f  n  Giả sử a b số nguyên n x cho a  b Khi b  n  a 1 b 1   f  n  g  n   F  b  g  b   F  a  g  a  1   F  n  g  n  1  g  n  n  a 1 Giả sử x y số thực không âm với  y    x  giả sử g  t  hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  y , x  Khi  y  n x f  n  g  n   F  x  g  x   F  y  g  y   yx F  t g '  t  dt Đặc biệt, x  g  t  hàm số có đạo hàm liên tục đoạn 1, x  x  f  n  g  n   F  x  g  x   1 F  t g '  t  dt n x 21 Khi r  từ Định lý 2.1.5 ta có  n  log x  O 1 n x Sử dụng cơng thức tổng riêng, suy kết gọn sau 2.1.7 Định lý (xem [4, tr.213]) Với x  , ta có  n  log x    r  x  , n x     1  tdt  t2 r  x  x Số   0, 577 gọi số Euler Một toán mở tiếng Lý thuyết số, xác định số Euler số hữu tỉ số vô tỉ (xem [4, tr.213]) 22 2.2 Đánh giá giá trị trung bình hàm số Möbius 2.2.1 Định lý Giả sử f  n  hàm số số học F  x    f  n  n x Khi x   x    F  m    f  d   d    f  d  m x d x m x d m Chứng minh Theo định nghĩa hàm tổng F  x    f  n  hàm số số học f ta có n x x F     f  d   m  d x m Do    F  m     f d  x m x   m x d  x / m   f d  dm  x   f d 1 d x m x d x   f d    d x d     f  d  m x d m Như vậy, phép chứng minh kết thúc □ Kết sau cho ta đồng hữu ích hàm tổng hàm số số học Việc chứng minh mơ tả hình học tổng lưới điểm  m, d  nằm hyperbola v  x / u góc toạ độ dương mặt phẳng uv 23 2.2.2 Định lý   n  O 1 n n x Điều có nghĩa tồn số thực c  cho  n x   n n  c, x Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2.1 hàm số số học f  n     n  hàm số Mưbius hàm tổng M  x      n , n x ta thu x   x      m      d   d      d   1, m x d x m x d m nhờ sử dụng cơng thức có sau 1 n  1, 0 n    d    dn Bởi x      d   d   x d x d x  d  d  d  x     d     x  O  x, d d x d x d  x  d  d d x  O  x   Từ x  d  d d x  O  x  Vì  d x  d  d  O 1 □ 24 2.2.3 Định lý Đối với hàm số Möbius   n  ta có đánh giá sau  n x   n n2  1  O   2  x Chứng minh Hàm zeta Riemann  s    s n 1 n hội tụ tuyệt s  Tương tự hàm   n n 1 ns G s   hội tụ tuyệt s  Từ   d  s  s k 1 k d 1 d    d   sG s       kd       d   1, n s k 1 d 1  n 1 s dn nhờ sử dụng tính chất sau hàm Mưbius (Định lý 1.2.2) 1 n  1, 0 n    d    dn Như    n  G  s    s , s  n 1 n  s Vì 2  , n 1 n  2    ta suy   n       n 1 n Vì 25  n x  n n       n n n 1     n x  n n Điều nghĩa  n x Phép chứng minh kết thúc   n n □  1  O     x 2 n x n  x 26 2.3 Tiệm cận giá trị trung bình hàm số Euler hàm Mưbius Trong hàm số số học, hàm số Euler định nghĩa sau đây, có vai trị quan trọng tốn học tin học Ở đây, tìm cơng thức tiệm cận với giá trị trung bình hàm số Euler thông qua công cụ hàm số Möbius 2.3.1 Định nghĩa Cho n số tự nhiên khác không Hàm số Euler   n  hàm số số học có giá trị n số số tự nhiên khác 0, không vượt n nguyên tố với n :  n   1 m  n  n ,m 1 2.3.2 Bổ đề Nếu p số nguyên tố k số nguyên dương ta có:     p k  p k  p k 1  p k    1  p Chứng minh Theo định nghĩa hàm Euler   n  , ta có ( pk )  1  1  p k  1  p k  1 1 m p k 1 m p k ( m, p k ) 1 ( m, p ) 1 1 m p k ( m, p ) 1 1 m p k m p k Ta thấy rằng, số nguyên dương không vượt p chia hết cho p phải có k 1 dạng sp,  s  p k 1 Do đó, có p số Vì vậy, ta có     p k  p k  p k 1  p k    1  □ p 2.3.3 Công thức tính giá trị hàm số Euler Giả sử số tự nhiên n  có dạng 1 2 phân tích tiêu chuẩn n  p1 p2    n   n 1   pk Khi đó, ta có cơng thức k      p1  p2    1   pk   Chứng minh Do hàm Euler có tính chất nhân, nên áp dụng Bổ đề 2.3.2, ta có 27    n    p1 p2       p  k pk k   p11  p2 2 k         p11    p2    pk k    p1  p2  pk            p11 p2 pk k         p1  p2   pk         n         p1  p2   pk   Ta có cơng thức cần chứng minh □ 2.3.4 Định lý Giả sử n số ngun dương Khi đó, ta có cơng thức sau gọi hệ thức Gauss n     d , tổng lấy theo ước số tự nhiên dn d n Chứng minh Thật vậy, n  cơng thức Nếu n  có dạng phân tích tiêu chuẩn n  p11 p22 pkk , áp dụng tính chất nhân hàm Euler   p1   d   0   1 dn i i 1, ,k    i i i 1, ,k k p22 pkk  i           1   pi  1  pi2  pi  i 1 k k i    p11  p22  pkk     pii  i 1 i 0      pii 1  pii 2  pii  pii 1    pii  n i 1 Hệ thức Gauss chứng minh □ 2.3.5 Định lý Đối với hàm số Euler ta có cơng thức tính giá trị biểu diễn theo hàm Möbius sau    n   n  1  p n  d  1   d '   d  n p d d ' d n dn Chứng minh Theo cơng thức tính giá trị hàm số Euler ta có 28    n   n  1  p n Áp dụng Định lý 1.2.5 với hàm nhân f  n      n   n  1  p n n 1  p ta thu n 1   n  1 f  p  n   d  f d  p dn pn   d  dn d Phép chứng minh kết thúc    d '   d  d ' d n □ 2.3.6 Định lý Với số thực x  1, ta có ước lượng sau   x    n  3x n x 2  O  x log x  Chứng minh Theo Định lý 2.3.5, có   x     n    n x   d   d x  n x d ' d n d ' d ' d  d' x d  x  x     d        1  d x d d      x  x   x     d       O  d x d  d   d      d  x 1   O x      d x d  d x d   d  x2    d  x2    O  x log x    d 1 d d d x d  3x2 2 Phép chứng minh kết thúc □  O  x log x  29 2.3.7 Hệ Xác suất để hai số nguyên dương nguyên tố Chứng minh Giả sử N  Số cặp thứ tự số nguyên dương N  m  n  N N     2  N  N  1 2  m, n  thoả mãn Số số nguyên dương m  n nguyên tố   n  Do đó, sử dụng cơng thức đánh giá giá trị trung bình hàm số Euler (Định lý 2.3.6), ta có số cặp số nguyên dương  m, n  thoả mãn  m  n  N m, n nguyên tố   n  3N n N 2  O  N log N  Vì vậy, tần số (frequency) xuất cặp số nguyên dương nguyên tố không vượt N 3N 2  O  N log N  N  N  1 / Như vậy, hệ chứng minh □   log N   O   2 N     30 KẾT LUẬN Nội dung luận văn bao gồm: 1- Giới thiệu định nghĩa phép toán cộng theo điểm, phép nhân theo điểm phép tích chập tập hợp hàm số số học 2- Kiểm tra cấu trúc vành cấu trúc miền nguyên tập hợp hàm số số học với phép toán cộng theo điểm, phép nhân theo điểm phép tích chập 3- Giới thiệu phép đạo hàm vành hàm số số học 4- Trình bày chủ đề hàm số Mưbius ứng dụng Số học: Định nghĩa, tính chất cơng thức đảo ngược 5- Giới thiệu số công thức tiệm cận với giá trị trung bình hàm số Mưbius 6- Giới thiệu công thức tiệm cận với giá trị trung bình hàm số Euler thơng qua cơng cụ hàm số Mưbius 7- Sử dụng cơng thức tiệm cận với giá trị trung bình hàm số Euler, tính xác suất để hai số nguyên dương nguyên tố 2 Luận văn tìm hiểu tính thống chun ngành tốn học Đại số, Lý thuyết số, Giải tích Xác suất thể chủ đề hàm số số học Mong rằng, trình học tập tiếp theo, tiếp tục nhà khoa học ngành Toán thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên – Trường Đại học Vinh quan tâm giúp đỡ để có tìm hiểu sâu sắc xung quanh lĩnh vực mà luận văn quan tâm 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] TIẾNG VIỆT Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Thị Hồng Loan, Phan Đức Tuấn (2016), Số học đại, Nhà xuất Đại học Vinh [3] [4] [5] TIẾNG ANH D V Burton (2002), Elementary Number Theory, McGraw-Hill M B Nathason (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer S G Telang (2001), Number Theory, McGraw-Hill ... CHƯƠNG HÀM SỐ MÖBIUS 1.1 Đạo hàm vành hàm số số học 1.1.1 Định nghĩa Hàm số số học hàm số nhận giá trị phức xác định tập hợp số nguyên dương Hàm số số học f gọi hàm số có tính chất nhân (hàm nhân)... CHƯƠNG HÀM SỐ MÖBIUS 1.1 Đạo hàm vành hàm số số học 1.2 Hàm số Möbius 11 CHƯƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ MƯBIUS 15 2.1 Giá trị trung bình hàm số số học 15 2.2 Giá trị trung bình hàm số Mưbius... nguyên tập hợp hàm số số học với phép toán cộng theo điểm, phép nhân theo điểm phép tích chập 3- Giới thiệu phép đạo hàm vành hàm số số học 4- Trình bày chủ đề hàm số Mưbius ứng dụng Số học: Định