chủ đề lượng giác toán học lớp 10 bài tập và lời giải

CHƯƠNG VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung trịn, độ dài cung tròn a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian rađian cịn viết tắt rad Vì tính thơng dụng đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo cung góc b) Độ dài cung trịn Quan hệ độ rađian: Cung trịn bán kính R có số đo a ( � a � 2p ) , có số đo a ( �a � 360) có độ dài l thì: l = Ra = pa a a R = 180 p 180 � 180� p � Đặc biệt: 1rad = � , 10 = rad � � � � 180 �p � Góc cung lượng giác a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ gọi chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ chiều âm) b) Khái niệm góc, cung lượng giác số đo chúng Cho đường tròn định hướng tâm O hai tia Ou,Ov cắt đường tròn U V Tia Om cắt đường tròn M , tia Om chuyển động theo chiều(âm dương) quay quanh O điểm M chuyển động theo chiều đường tròn  Tia Om chuyển động theo chiều từ Ou đến trùng với tia Ov ta nói tia Om quét góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov Kí hiệu ( Ou,Ov )  Điểm M chuyển động theo từ điểm U đến trùng với điểm V ta nói điểm M vạch nên cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối V Kí hiệu   � UV Tia Om quay vịng theo chiều dương ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay hai vịng ta nói quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm phần tư vòng ta nói p 25 quay góc - 900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vịng) nói quay góc 25 50p )… 3600 (hay 7 Ta coi số đo góc lượng giác ( Ou,Ov ) số đo cung lượng giác c) Hệ thức Sa-lơ  Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có: Sđ ( Ou,Ov) + Sđ ( Ov,Ow) = Sđ ( Ou,Ow) + k2p ( k �Z ) Sđ ( Ou,Ov ) - Sđ ( Ou,Ow) = Sđ ( Ow,Ov ) + k2p ( k �Z )  Với ba điểm tùy ý U ,V ,W đường trịn định hướng ta có : � � � � � Sđ Sđ Sđ UV + VW = UW + k2p ( k �Z ) � Sđ Sđ Sđ UV UW = WV + k2p ( k �Z ) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 110 � UV  DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Ngồi việc sử dụng định nghĩa góc cung lượng giác, cơng thức tính độ dài cung trịn biết số đo, mối liên hệ đơn vị độ, rađian hệ thức salơ cần lưu ý đến kết sau: Nếu góc(cung) lượng giác có số đo a0 (hay a rad ) góc(cung) lượng giác tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với có số đo dạng dạng a0 + k3600 (hay a + k2p rad , k �Z ), góc(cung) ứng với giá trị k Từ hai góc lượng giác có tia đầu tia cuối sai khác bội 2p Các ví dụ minh họa 0 Ví dụ 1: a) Đổi số đo góc sau rađian: 72 ,600 , - 37 45'30'' b) Đổi số đo góc sau độ: 5p 3p , ,- 18 Lời giải p p 2p p 10p rad nên 720 = 72 = ,6000 = 600 = , 180 180 180 0 �45� � � 30 � � �4531� � 4531 p � � - 37045'30'' = - 370 - � = � 0,6587 � � � � �= � � � �120 � 60.60� �60� � � � � � 120 180 a) Vì 10 = 0 � � 180� 5p � 5p 180� 3p � 3p 180� � � b) Vì 1rad = � nên =� = 50o, =� = 108o, � � � � � � � � � � � � 18 �18 p � �p � �5 p � � 180� � - 4=- � =� � � � p � � �720� � � �- 2260048' � � � �p � � Ví dụ 2: Một đường trịn có bán kính 36m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo 3p a) b) 510 c) Lời giải pa Theo công thức tính độ dài cung trịn ta có l = R a = R nên 180 3p a) Ta có l = R a = 36 = 27p � 84,8m pa p51 51p b) Ta có l = R = 36 = � 32,04m 180 180 c) Ta có l = R a = 36 = 12m Ví dụ 3: Cho hình vng A0A1A2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh xếp theo chiều ngược chiều � � quay kim đồng hồ) Tính số đo cung lượng giác A A , A A ( i, j = 0,1,2,3,4, i � j ) i j i Lời giải � � Ta có A OA = nên sđ A A = k2p , k �Z 0 0 � � p p A0OA1 = nên sđ A0A1 = + k2p , k �Z 2 � � A0OA2 = p nên sđ A0A1 = p + k2p , k �Z � � p p 3p A0OA3 = nên sđ A0A3 = 2p + k2p = + k2p , k �Z 2 111 � Như sđ A0Ai = i p + k2p , i = 0,1,2,3 , k �Z � � � p Theo hệ thức salơ ta có sđ A A =sđ A A - sđ A A + k2p = ( j - i ) + k2p , k �Z i j j i Ví dụ 4: Tìm số đo a góc lượng giác ( Ou,Ov ) với � a � 2p , biết góc lượng giác tia đầu, tia cuối với góc có số đo là: 33p 291983p a) b) c) 30 Lời giải 33p + k2p, k �Z 33 2p, k Z a) Mọi góc lượng giác ( Ou,Ov ) có số đo 33p Vì � a � 2p nên �+�� +�� k2p 33 25 ��k �, k �Z � k = - 8 33p p Suy a = + ( - 4) 2p = 4 k2 2, k 291983p + k2p, k �Z 291983p 291983 Vì � a � 2p nên �-+�� -+�� k2p 2p, k Z 3 291983 291989 �ۣ��= k ,k Z k 6 291983p p Suy a = + 48664.2p = 3 Ou , Ov ) có số đo 30 + k2p, k �Z c) Mọi góc lượng giác ( Z b) Mọi góc lượng giác ( Ou,Ov ) có số đo - Vì � a � 2p nên �+�+�� 30 � k2p 2p, k Z 15 p k 1, k k2 2, k Z Z 15 p - 15 �k � , k �Z � k = - p p Suy a = 30 + ( - 4) 2p = 30 - 8p � 4,867 �- p 29p 22 6p 41p Trong số , số ; ; ; 7 7 số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc cho? Lời giải Hai góc có tia đầu, tia cuối sai khác bội 2p 29p � p� 22 � p� 6p � p� 41p � p� � � � � � � - � - � = 2 p = p = p � � � � ( ) Vì , , � � � � � � � �= 3.2p nên � � � � 7 � 7� � 7� � 7� � 7� Vi dụ 5: Cho góc lượng giác ( Ou,Ov ) có số đo - 29p 41p số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc cho ; 7 Ví dụ 6: Cho sđ ( Ou, Ov) = a sđ ( Ou ', Ov ') = b Chứng minh hai góc hình học uOv, u 'Ov ' số - b - a = k2p b + a = k2p với k �Z Lời giải Ta có sđ ( Ou, Ov ) = a sđ ( Ou ', Ov ') = b suy tồn a0, p < a0 � p , f 0, p < b0 � p số nguyên 112 k0,l0 cho a = a0 + k02p, b = b0 + l02p � b số đo � Khi a0 số đo uOv u 'Ov ' �a0 = b0 Hai góc hình học uOv, u 'Ov ' a0 = b0 � � � a0 = - b0 � � b - a = k2p b + a = k2p với k �Z Bài tập luyện tập 0 Bài 6.0: a) Đổi số đo góc sau rađian: 20 , 40 25', - 27 ( xác đến 0,001) p 2p ,,- 17 39p mp Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo ( m số nguyên ) tia đầu, tia cuối khơng? Bài 6.2: Một đường trịn có bán kính 25m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo 3p a) b) 490 c) Bài 6.3: Tìm số đo a0 góc lượng giác ( Ou,Ov ) với �a � 360 , biết góc lượng giác tia đầu, tia cuối với góc có số đo là: b) Đổi số đo góc sau độ: a) 3950 b) - 10520 c) ( 20p ) Bài 6.4: Cho lục giác A0A1A2A4A5A6 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh xếp theo chiều ngược � � chiều quay kim đồng hồ) Tính số đo cung lượng giác A A , A A ( i, j = 0,1,2,3,4,5, i � j ) i j i � � Bài 6.5: Trên đường tròn lượng giác gốc A Cho điểm M , N cho sđ AM = p , sđ AN = - p Các điểm 5 � � M ', N ' điểm đối xứng M , N qua tâm đường tròn Tìm số đo cung AM ', AN ' � M 'N ' § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác góc(cung) lượng giác a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác đường trịn đơn vị, định hướng chọn điểm A làm gốc b) Tương ứng số thực điểm đường tròn lượng giác Điểm M đường tròn lượng giác cho ( OA,OM ) = a gọi điểm xác định số a (hay cung a , hay góc a ) Điểm M gọi điểm đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo a Nhận xét: Ứng với số thực a có điểm nằm đường tròn lượng(điểm xác định số đó) tương tự trục số Tuy nhiên, điểm đường trịn lượng giác ứng với vơ số thực Các số thực có dạng a + k2p, k �Z d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường trịn lượng giác Với góc lượng giác ( Ou,Ov ) có số đo a , xác định điểm M ( x;y ) đường tròn lượng giác cho sđ Khi ta định nghĩa 113 cosa = x, sin a = y tan a = � sin a � p � a � + kp � � � � cosa � � � cosa ( a � kp ) sin a Ý nghĩa hình học: Gọi K , H hình chiếu M lên trục Ox,Oy Vẽ trục số At gốc A hướng với trục Oy vẽ trục số Bs gốc B hướng với trục Ox , gọi T , S giao điểm đường thẳng cot a = OM cắt với trục sơ At, Bs Khi ta có: sin a = OH , cosa = OK , tan a = AT ,cot a = BS e) Tính chất:  sin a,cosa xác định với giá trị a - � sin a �1, - � cosa �1   p + kp , cot a xác định a � kp sin a = sin( a + k2p ) ,cosa = cos( a + k2p ) tana xác định a � tan a = tan( a + kp ) ,cot a = cot ( a + kp ) f) Dấu giá trị lượng giác: Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm đường tròn lượng giác Bảng xét dấu Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác + – – + cos + + – – sin + – + – tan + – + – cot g) Giá trị lượng giác góc đặc biệt Góc a sina p p p p 2p 3p p 3p 2p 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 3 2 –1 2 2 - –1 3 || - –1 || || 3 - 3 –1 || || cosa tana cot a Các hệ thức lượng giác 114 - 2 1) sin2 a + cos2 a = 1 p 2) + tan2 a = (a � + kp) 2 cos a 3) + cot a = (a � kp) sin2 a kp 4) tan a.cot a = (a � ) Giá trị lượng giác góc(cung) có liên quan đặc biệt Góc đối ( a - a ) Góc bù nhau( a p - a ) cos(- a) = cosa sin(p - a) = sin a sin(- a) = - sin a cos(p - a ) = - cosa tan(- a ) = - tan a tan(p - a ) = - tan a cot(- a) = - cot a cot(p - a ) = - cot a Góc p ( a p + a ) Góc Góc phụ nhau( a p - a) �p � sin� - a� = cosa � � � � �2 � �p � cos� - a� = sin a � � � � �2 � �p � tan� - a� � � �= cot a � �2 � �p � cot � - a� �= tan a � � � �2 � p p ( a + a ) 2 sin(p + a) = - sin a �p � sin� +a� � � �= cosa � �2 � cos(p + a) = - cosa �p � cos� +a� � � �= - sin a � �2 � tan(p + a) = tan a �p � tan� +a� = - cot a � � � � �2 � cot(p + a) = cot a �p � cot � +a� = - tan a � � � � �2 � Chú ý: Để nhớ nhanh công thức ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo p tang côtang, p chéo sin" Với ngun tắc nhắc đến giá trị cịn khơng nhắc đối B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Để biểu diễn góc lượng giác đường trịn lượng giác ta thường sử dụng kết sau  Góc a góc a + k2p, k �Z có điểm biểu diễn đường trịn lượng giác  k2p ( với k số nguyên m m số nguyên dương) m Từ để biểu diễn góc lượng giác ta cho k từ tới Số điểm đường tròn lượng giác biểu diễn số đo có dạng a + ( m - 1) 115 biểu diễn góc Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường trịn lượng giác có số đo sau: p Lời giải b) - a) 11p c) 1200 d) - 7650 p Ta chia đường tròn thành tám phần a) Ta có = 2p Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo b) Ta có - p 13p p = - + ( - 3) 2p điểm biểu diễn góc 2 11p p trùng với góc điểm B ' 2 c) Ta có 120 = Ta chia đường tròn thành ba phần 360 Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo 1200 d) Ta có - 7650 = - 450 + ( - 2) 3600 điểm biểu diễn góc - 7650 trùng với góc - 450 45 = Ta chia đường trịn làm tám phần (chú ý góc âm ) 360 � ' ) điểm biểu diễn góc có số đo - 7650 Khi điểm M (điểm cung nhỏ AB Ví dụ : Trên đường trịn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số nguyên tùy ý) p + kp ; Các góc lượng giác viết dạng công thức nào? Lời giải x1 = kp ;  Ta có x1 = x2 = x3 = - k2p có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x1 = kp Với k = � x1 = biểu diễn điêm A k = � x1 = p biểu diễn A '  x2 = p 2kp p có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x2 = + kp + 3 k = � x2 = k = 1� x = 116 p biểu diễn M 4p biểu diễn M p + kp  p k2p p có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x3 = - + kp + 3 x3 = - k = � x3 = k = � x6 =  p biểu diễn M 3 2p biểu diễn M Do góc lượng giác x1, x2, x3 biểu diễn đỉnh đa giác AM 1M 4A 'M 2M nên góc lượng giác viết dạng công thức x = kp 3 Bài tập luyện tập Bài 6.6: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường trịn lượng giác có số đo sau: a) p b) - 17p c) - 450 d) 7650 Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo x = p p + k (k số nguyên tùy ý) Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số nguyên tùy p + kp Các góc lượng giác viết dạng công thức nào? ý) x1 = kp ; x2 =  DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải  Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác  Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt  Sử dụng hệ thức lượng giác giá trị lượng giác góc liên quan đặc biệt  Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu giá trị lượng giác Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: 2sin2550�cos(- 188� ) 7p 5p 7p + a) A = sin b) B = + cos9p + tan() + cot tan368� 2cos638�+ cos98� p 3p 5p c) C = sin2 25�+ sin2 45�+ sin2 60�+ sin2 65� d) D = tan2 tan tan 8 Lời giải � p� � p� � �p � p+ � + cos( p + 4.2p ) - tan � p+ � + cot � + 3p � � � a) Ta có A = sin� � � � � � � � � 4� �2 � 6� � � � p p p + cosp - tan + cot = - - 1- + = 2 0 2sin 30 + 7.360 � cos(8 + 180� ) ( ) + b) Ta có B = tan( 80 + 360� ) 2cos( - 900 + 80 + 2.360�+ ) cos( 900 + 8�) � A = - sin 117 ( - cos80 ) 2sin300 ( - cos80 ) 1 B = + = + = tan80 2cos( 80 - 900 ) - sin80 tan80 2cos( 900 - 80 ) - sin80 cos80 cos80 = = =0 tan80 2sin80 - sin80 tan80 sin80 c) Vì 250 + 650 = 900 � sin650 = cos250 2 � 2� � � 1� � 2 2 � � � C = ( sin 25�+ cos 25) + sin 45�+ sin 60�= + � +�� 2 � 2� � � � � � p 3p �� p � 5p � tan tan � � tan� - � tan � � � d) D = - � � � � � �� 8� � 8� � � � Suy C = � p� p 3p p p 5p p 3p p 5p + = ,+ = � tan = cot , tan = cot � - � � � � � 8 8 8 � 8� � p � p �� p� � p� �= - tan cot � � tan � - � cot � - � � � � Nên D = - � � � � � � � � � 8� � � 8� � �� p Ví dụ 2: Cho < a - p � 0> - a >� �< � �2 � 2 �p � p p p - +a� � c) Ta có < a �2 � � 2 a) Ta có p suy tan ( p + a ) > � p +a� tan( p + a ) > � � � Và 0, cot a > 1 25 1 = � tan2 a = � tan a = Ta có tan a + = cos2 a = 24 24 ( 0,8) 0,8 = = , sin a = tan a cosa = tan a 6 19 Bài 6.21: a) A = cot a = b) Từ giả thiết suy cosa = c) C = d) 2 26 - 2 , tan a = , cot a = - 2� B = 2 2tana + = tana + D = 2cot2 a + 5cot a + � ( cot2 a + 1) D = 3cot2 a + 5cot a + sin a sin a Suy D = 101 26 Bài 6.22: a) tan2 x + cot2 x = m2 - 2 b) Ta có tan4 x + cot4 x = ( tan2 x + cot2 x ) - = ( m2 - 2) - = m4 - 4m2 + 2 4 2 tan6 x + cot6 x ( tan x + cot x ) ( tan x + cot x - tan x cot x ) ( m - 2) ( m - 4m + 1) � = = tan4 x + cot4 x m4 - 4m2 + m4 - 4m2 + 2 24 Bài 6.23: ( sin a + cosa ) = + � sin a + cosa = (do cosa > 0) 25 Suy sin3 a + cos3 a = ( sin a + cosa ) ( sin2 a - sin a cosa + cos2 a ) = Bài 6.24: a) 11 b) � 13 Bài 6.25: A = Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính 2sin2 p p 2- p = - cos = � sin = 8 2sin2 p p = 1- cos = 116 91 125 c) �33 13 2- 2 2+ p � sin = 16 2- 2+ 2 p p + tan tan � � 11p p p p� = - 1+ = - 2cot = - cot = - cot � - � =� � � 12 12 �3 � p p 3- tan - tan 0 0 0 0 0 Bài 6.27:a) 4sin45 cos12 cos3 - sin54 - sin36 = 2sin45 ( cos15 + cos9 ) - 2sin45 cos9 2sin450 cos150 = sin300 + sin600 = 158 1+ � cos230 � � � cos220 � � � b) C1: B = � 11� �= � � � � sin220 � � � sin230 � � � C2: = cot 450 = cot ( 220 + 230 ) = c) C = 2cos 2sin( 230 - 450 ) 2sin ( 220 - 450 ) sin230 sin220 =2 cot220 cot230 - �B =2 cot220 + cot230 3p 2p 7p 2p 7p cos + cos = cos + cos =0 9 9 p p p p 3p p p p + 2sin cos 2sin + sin - sin 2sin cos 20 4= 10 = 10 = d) D = p p p p 3p p p p 2cos - 2sin sin 2cos + cos - cos 2cos cos 20 10 10 2sin Bài 6.28: a) cos Tương tự sin b) cos4 �p p � � p p p p p = cos� - � = cos cos + sin sin = � � � 12 4 �3 � p = 12 6- p , tan = 12 3,cot 2+ p = 2+ 12 � p � p p p p� p� p � - sin4 =� cos + sin2 � cos - sin2 � � �= cos = � � � 24 24 � � 24 24� � � 24 24� � 12 0 c) cos36 - cos72 = 2( cos360 - cos720 ) ( cos360 + cos720 ) 2( cos360 + cos720 ) 2+ = 2cos2 360 - 2cos2 720 cos720 - cos1440 = = 0 0 2( cos36 + cos72 ) 2( cos36 + cos72 ) d) 8sin200 sin100 sin500 sin700 = 8sin200 cos200 cos400 cos800 = 4sin400 cos400 cos800 = 2sin800 cos800 = sin1600 = sin200 � sin100 sin500 sin700 = 2 Bài 6.29: a) A = ( cos730 + cos470 ) - cos730 cos470 = ( 2cos600 cos180 ) = ( cos1200 + cos360 ) + cos360 cos360 + = 4 b) B = sin60 cos480 cos240 cos120 = p 4p 2p =c) C = - cos cos cos 7 sin120 sin240 sin480 sin960 = 0 0 16 2cos6 2sin12 2sin24 2cos48 2p 4p 8p sin sin =1 p 2p 4p 2sin 2sin 2sin 7 sin + 2( cos800 - cos600 ) 1- 4sin700 sin100 d) D = = =2 sin100 sin100 2 Bài 6.30: + Ta có ( sin a + sin b ) + ( cosa + cosb ) = m2 + n2 159 � sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + 2sin a sin b + 2cosa cosb = m2 + n2 � cos( a - b ) = m2 + n2 - + ( cosa + cosb ) - ( sin a + sin b ) = n2 - m2 � cos2a + cos2b + 2cos( a + b ) = n2 - m2 2 � 2cos( a + b ) cos( a - b ) + 2cos( a + b ) = n2 - m2 � 2cos( a + b ) � cos( a - b ) + 1� � �= n - m Suy 2cos( a + b ) + m2 + n2 n2 - m2 = n2 - m2 � cos( a + b ) = 2 m + n2 ( sin a + sin b ) ( cosa + cos b ) = mn � sin a cosa + sin a cos b + sin b cosa + sin b cos b = mn � ( sin2a + sin2b ) + sin( a + b ) = mn � sin ( a + b ) cos( a - b ) + sin ( a + b ) = mn m2 + n2 2mn sin( a + b ) = mn � sin( a + b ) = 2 m + n2 32 Bài 6.32: a) Bài 6.31: a) b) b) Bài 6.33: + tan k0 = c) 1 c) d) e) 16 32 512 0 2cos( 45 - k ) � ( + tank0 ) ( + tan ( 450 - k0 ) ) = cosk0 Do A = 223 Bài 6.34: Đặt B = sin a sin2a sin3a sin999a 2999A.B = sin2a sin4a sin1998a = (sin2a sin4a sin998a) � - sin ( 2p - 1002a ) � � - sin ( 2p - 1998a ) � � � � �= B 2999 3p Bài 6.35: Vì < x 0, cosx < Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có : - cos2x 1 sin2 x = = � sin x = 5 + cos2x cos2 x = = � cosx = 5 Suy A = Bài 6.36: a) 21 140 21 (5 - 12 3) ; ; b) 221 221 220 26 c) 38 - 25 11 Bài 6.37: Từ giả thiết ta có 2( cosa cosb - sin a sin b ) = - cosa cosb � tan b = + tan a + tan b + tan a 4tan2 a + = + Khi ta có: A = 2tan2 a + 2tan2 b + 2tan2 a + +3 4tan2 a 160 2 1+ 2tan a + tan2 a 4tan2 a + 10tan2 a + 15 A= + = = 2 2tan a + 6( 2tan a + 3) 6( 2tan a + 3) Bài 6.38: a) A = m sin2a + n cos2a = m 2tan a - tan2 a + n + tan2 a + tan2 a b) Áp dụng cơng thức cộng ta có cosa cosb - sin a sin b m - tan a tan b m n- m = � = � tan a tan b = cosa cosb + sin a sin b n + tan a tan b n m+n tan( a + b ) + tan( a - b ) m+n ( a + b) + ( a - b) � c) tan2a = tan � � �= - tan( a + b ) tan ( a - b ) = - mn Bài 6.39: Đặt t = tan 2t 1- t2 a ,cos a = ta có sin a = từ giả thiết ta có + t2 + t2 2t 1- t2 + = � 2 1+ t 1+ t Do < a < Ta có tan ( � � t= + t - 4t + - = � � � �= t � ) p a nên t = tan = 2 7- 7- 7- � � 2a + 2015p a p� a p� = tan� + 504p - � - � �= tan� � � � � � � �2 � 4� �2 � a p 7- - tan - = = = a p + tan tan 1+ tan 7- +1 1- 2cos2a + - cos2a � - 2cos2a + cos2 2a Bài 6.40: a) sin4 a = � � � = = � � � � � � 4 + cos4a 1 = - cos2a + cos4a 8 b) Theo câu a ta có: 1� p 3p 5p 7p � 1� p 3p 5p 7p � VT = - � cos + cos + cos + cos � cos + cos + cos + cos � �+ � � � � � 8� � 2� 8 8� 4 4� � � Mà cos 3p 5p p 7p p 3p 5p 7p + cos = cos + cos = cos + cos = cos + cos = nên VT = = VP 8 8 4 4 ( x + y) - y� Bài 6.41: sin x = sin � � �= sin( x + y ) cosy - cos( x + y ) siny � sin( x + y ) cosy - cos( x + y ) sin y = 2sin( x + y ) � ( cosy - 2) sin( x + y ) = cos( x + y ) sin y sin y � tan( x + y ) = cosy - 2 Bài 6.42: a) VT = 4sin a cosa ( cos a - sin a ) = 2sin2a cos2a = sin4a = VP b) VP = 161 2( sin x cosy + sin y cosx ) 2cosx cosy = tan x + tany = VT c) VP = ( tan2x + tan x ) ( tan2x - tan x ) ( 1- tan2x.tan x ) ( + tan2x.tan x ) = tan( 2x + x ) tan( 2x - x ) = VT  cos   cos    cot  Bài 6.44: a) A  sin   cos   1   b) Vì   � � sin  0, cos  nên 2 B 1  1     cos   cos  sin  sin 2 2 2 2 5a a cos sin 2sin 4a sin  3a   2sin 4a sin 2a sin 3a  sin a 2   cot 5a   c) C  2sin 4a cos 3a  2sin 4a cos 2a cos 3a  cos 2a 2sin 5a sin a 2 � � cos a  2sin 2a sin �  � d) � cos a  4sin a cos a � D   cos a  2sin a cos a cos a Bài 6.45: a) 2tana = tan(a + b) � tana = tan(a + b) - tana � tana = sinb � sin a cos(a  b)  sin b cos(a + b)cosa b) 2tana = tan(a + b) � 3tana = tan(a + b) + tana = sin( 2a + b) cos(a + b)cosa � 3sin a cos  a  b   sin  2a  b  Theo câu a) ta có sinb = sina.cos(a + b) suy 3sinb = sin(2a + b) c) tan(a + b).tanb = - � sin( a + b) sinb = - 3cos( a + b) cosb � cos  a  b  cos b  sin  a  b  sin b  2 cos  a  b  cos b � cos a   � cos  2a  b   cos a � � � � cos( a  2b)  cos a  2 d) Từ giả thiết ta có 9sin  a  b   cos  a  b   cos  a  b   cos  a  b   2 �8�  cos  a  b  � � � cos  a  b   cos  a  b  � � 16sin  a  b   cos 2a cos 2b Hay 8sin  a  b   cos 2a cos 2b ĐPCM �p � �p � �p � �p � � � � � � � - a� sin + a cos3 a = 4cos a cos a cos + a � � � � Bài 6.46: Ta có sin3a = 4sin a.sin� , � � � � � � � � � � � �3 � �3 �3 � � �3 � �  2 4   5 7   ; cos cos sin sin  sin  cos  cos  cos  9 18 18 18 18 sin2x Bài 6.47: a) Ta có sin2x = 2sin x cosx � cosx = 2sin x b) Áp dụng câu a ta có x x x sin sin sin n 1 x x x sin x  sin x  VP VT  cos cos cos n  x x x x x 2 2sin 2sin 2sin 2sin n n sin n 2 2 Suy sin 162 x Bài 6.48: a) VP = cot - cot x = x x x x sin x cos - cosx sin sin cos x 22 2= = = VP = x sin x x x sin x sin sin x sin sin x sin 2 cos b) Áp dụng câu a ta có  �  � VT  � cot  cot  �  cot   cot 2     cot n    cot 2n 1   cot  cot n 1  VP � � 2 cosx cos2x cos x - cos2x cos x - 2cos x + sin2 x Bài 6.49: a) VP = - = = = = tan x = VT sin x sin2x sin x cosx sin x cosx sin x cosx b) Áp dụng câu a) ta có � 1� a 1� a a� 1� a a � VT = � cot - 2cot a � + 2� cot - 2cot � + + n � cot n - 2cot n- � � � � � � � � � � � � � 2� � 2� 2� � � = a cot n - cot a = VP n 2 Bài 6.50: tan3x = = - tan x + 3tan x A= ( )( )( ) - tan x + tan x 3tan x - tan3 x = tan x 1- 3tan2 x 1- 3tan x + 3tan x tan x ( ) �p � �p � � � = tan� - x� tan x tan + x � � � � � � � �3 �3 � � � 3tan x + tan x 1- 5- 10 + �k + - k0 �= sin k + cosk0 - cos k + sin k0 ( ) ( ) ( ) Bài 6.51: Ta có sin1 = sin � � � � sin10 sin k0 sin( k + 1) = cot k0 - cot ( k + 1) sin10 sin10 sin10 + + + Do sin10 sin20 sin20 sin30 sin(n - 1)0 sin n0 = cot10 - cot20 + cot20 - cot 30 + + cot ( n - 1) - cot n0 Suy 1 + + + = cot10 - cot n0 0 sin1 sin2 sin2 sin3 sin(n - 1)0 sin n0 0 0 0 0 Bài 6.52: 2sin2 sin1 + 2( 2sin4 sin1 ) + + 89( 2sin178 sin1 ) = 90cos1 Vì 2sin2k0 sin10 = cos( 2k - 1) - cos( 2k + 1) nên VT = cos10 - cos30 + 2( cos30 - cos50 ) + + 89( cos1770 - cos1790 ) = cos10 + cos30 + + cos1770 - 89cos1790 = cos10 + ( cos30 + cos1770 ) + + ( cos890 + cos910 ) + 89cos10 = 90cot10 = VP Bài 6.53:  x   �tan x  �� cot x  Theo bất đẳng thức Cơsi ta có tan x  cot x �2 tan x.cot x  163 Bài 6.54: Ta có B = cos2x + + 1- cos2x = cos2x + - cos2x Đặt t = cos2x - cos2x � cos2x = - t2 , ��- 1 t Biểu thức trở thành B = - t2 + t Xét hàm số y = - t2 + t + với �t � Bảng biến thiên t y 3- Từ bảng biến thiên suy max B = t = hay cos2x = A = - t = hay cos2x = - 3sin2 x  cos2 x 3cos2 x  sin2 x  Bài 6.55: Ta có: 3P  3sin x.cos x  3cos x sin2 x  �  3 2 Vậy: P � Bài 6.56: Ta có P = 2sin x + 2sin x cosx = 2sin x ( + cosx ) Suy P = 4sin2 x ( + cosx ) = sin2 x ( + 2cosx + cos2 x ) � 1� � � Ta có � cosx - � � � cos2 x + � cosx suy � � 2� � � � �3 � P � sin2 x � + 2cos2 x + + cos2 x � + 3cos2 x � �= sin2 x � � � � � � � �2 � � � � � x + y� � Mặt khác theo bất đẳng thức xy �� , " x, y �R ta có � � � �5 � sin2 x � + 3cos2 x � � � �= �4 � � Suy P � 3 Bài 6.57: Ta có sin Vì cos � �3 � � � � 3sin x + � + 3cos2 x � � � � � � � � � 27 � � �= 3sin2 x � + 3cos2 x � � � � � � �2 � 16 � � � � � � � � � A C 1� A + C A- C sin = - � cos - cos � 2 2� 2 � A +C B A- C A C 1 B = sin cos �1 nên sin sin � - sin 2 2 2 2 1� B� B 1- sin � sin Do P � � � � � � 2� 2� Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có 164 � A- C A +C � = cos - cos � � 2 � � � B� B � B� B� B � � � 1- sin � sin = - sin � - sin � 2sin � � � � � � � � � � � � 2� 2� � 2� � 2 � � B B B� � - sin + 1- sin + 2sin � � � � � 2 � � � � = = � � � � 27 � � � � � � � � 12 3 Suy P � = 9 A- C � � A =C � cos =1 � � � � �� Dấu xảy � B � � B B sin = � � sin = 2sin � � � 2 Vậy max P = � A B C� Bài 6.58: c) VT = VP = tanA d) Khai triển cos� + + � � � � �2 2 � � � A B C� e) Khai triển sin� + + � � � �2 2 � � B C� A B C A B C Chú ý: Từ cos� + � �= sin  cos cos = sin + sin sin � � �2 � 2 2 2 A B C A A B C  sin cos cos = sin2 + sin sin sin 2 2 2 Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tanC = tan A.tan B tanC BĐT Cô–si A B B C C A d) Sử dụng a2 + b2 + c2 � ab + bc + ca tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 � A B C � sử dụng câu c) e) Khai triển � tan + tan + tan � � � � � 2� Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: (sin2 A + sin2 B + sin2 C )(sin A + sin B + sinC ) � 33 sin2 A sin2 B sin2 C 33 sin A sin B sinC hay (sin2 A + sin2 B + sin2 C )(sin A + sin B + sinC ) � 9sin A sin B sinC Mặt khác: sin A + sin B + sinC � 3 nên 3 � 9sin A sin B sinC Mà theo ví dụ sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2(1 + cosA cosB cosC ) (sin2 A + sin2 B + sin2 C ) 3 � 9sin A sin B sinC Do + cosA cosB cosC � 3sin A sin B sinC ĐPCM Cách 2: Theo ví dụ ta có sin2A + sin2B + sin2C = 4sin A sin B sinC cos2A + cos2B + cos2C = - 2( sin2 A + sin2 B + sin2C ) 2(1 + cosA cosB cosC ) = - 4(1 + cosA cosB cosC ) = - - 4cosA cosB cosC Do bất đẳng thức tương đương với - 1- (cos2A + cos2B + cos2C ) � 3(sin2A + sin2B + sin2C ) 165 3 3 sin2A + cos2A) + ( sin2B + cos2B ) + ( sin2C + cos2C ) � 2 2 2 p p p � cos(2A - ) + cos(2B - ) + cos(2C - ) � (*) 3 � � � � � � p p p 2A - � 2B - � 2C - � �+ � �+ � �= 2( A + B + C ) - p = p nên Ta có � � � � � � � � � � 3� � 3� � 3� � � p �� p �� p� � 2A - � ,� 2B - � ,� 2C - � � � �là ba góc tam giác bất đẳng thức (*) theo ví dụ � � � � � � 3� 3� 3� � �� ( � ĐPCM Cách 3: Bất đẳng thức (*) tương đương với - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) 1+ - (1- cos2 A)(1 - cos2 B )(1- cos2 C ) � (**) áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) VT(**) � � � - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) � � � � � � � � đặt t = cos2 A + cos2 B + cos2 C dễ thấy � t � 3- t VT(**) � �3 - t � � � 1 � � � � � = (3 t ) t � từ điều kiện � t � � � � � � �3 � � � � � 1 1 3- t � 3= � ĐPCM 3 A B C Cách 4: Đặt x = tan , y = tan , z = tan 2 �xy + yz + zx = Bài toán trở thành : cho � chứng minh: � � � x, y, z > - x2 1- y2 - z2 2x 2y 2z 1+ � (***) 2 2 + x 1+ y + z + x + y + z2 ta có - t � 0, Ta có : (4) � (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) + (1 - x2)(1 - y2)(1 - z2) � 3xyz Khai triển rút gọn ta có: (***) � x2y2 + y2z2 + z2x2 + � 3xyz áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cơsi ta có 1 x2y2 + y2z2 + z2x2 � (xy + yz + zx)2 = 3 xyz = � � xy + yz + zx � xy.yz.zx � � = � � � � � � Nên x2y2 + y2z2 + z2x2 + � + � ĐPCM 27 1 = � 3xyz 27 A +B A- B C cos � 2cos 2 A B Tương tự ( sin B + sinC ) � 5cos , ( sinC + sin A ) � 3cos 2 2 A B C Cộng vế với vế ta 2sin A + 3sin B + 4sinC � 5cos + 3cos + cos 2 Bài 6.71: Ta có sin A + sin B = 2sin 166 Bài 6.72: Ta thấy VT BĐT tam thức bậc hai có hệ số a = > Do để chứng minh ta cần chứng minh: D � Ta có: B +C B- C A D ' = (cosB + cosC )2 - 2(1 - cosA) = 4cos2 cos2 - 4sin2 2 � A� 2B - C A B- C = 4sin2 � cos - 1� = - 4sin2 sin2 �0 � � � 2� 2 � � � B- C �B = C �sin =0 � � Đẳng thức có � � � � � � x = 2cosB � � x = cos B + cos C � Bài 6.73: VT bất đẳng thức tam thức có : a = tan B + tanC = sin(B + C ) cosB.cosC 2sin A 2sin A A � = 2cot > (do D ABC nhọn) Nên để chứng minh (1) ta cos(B + C ) + cos(B - C ) - cosA cần chứng minh D ' � A A A Ta có: D ' = - 2tan (tan B + tanC ) � - 2tan cot = 2 �B = C cos(B - C ) = � � � � � �� Đẳng thức xảy � � � � x= �x = � � tan B + tanC tan B � 2 Bài 6.74: Ta có cos a + sin a = = � 3� � 16 �cos2a = 1- sin2 a = 1- � � � �= � � 5� � 25 � � cosa = 4 � � cos a = � cosa = � � 5 � cosa = � � 3p Vì p < a < nên cosa < sin a = = , cot a = = Do cosa = - ; tan a = cosa 4 t ana - 24 ).(- ) = 5 25 cos2a = cos2 a - sin2 a = (- )2 - (- )2 = 5 25 tan 30  tan 450 Bài 6.75: a) tan 750  tan 300  450   tan 300.tan 450 1  1 42 3     2 = 1  (  1)  1 tan 450  tan 300 b) tan150  tan 450  300   tan 450.tan 300 sin2a = 2sin a.cosa = 2(-    167        42 3      2     1  2p p 1- cos - cos p p� c) A = + - 1� � cos - cos � � � � 2 2� 18� �  1     2p p + cos 9 - 3 + cos p = 12 2 18 p p p = - cos cos + cos = 18 18 d) Áp dụng cơng thức cos3a = 4cos3 a - 3cosa ta có cos ( 4cos - 3) ( 4cos 27 - 3) = 0 ( 4cos3 90 - 3cos90 ) ( 4cos2 270 - 3cos270 ) cos90 cos270 cos27 cos81 = tan90 � B = cos90 cos270 Bài 6.76: 2 2 2 2 a) A = ( sin + sin 89 ) + ( sin + sin 88 ) + + ( sin 44 + sin 46 ) + sin 45 + sin 90 = = ( sin2 10 + cos2 10 ) + ( sin2 20 + cos2 20 ) + + ( sin2 440 + cos2 440 ) + =1 14+ +1 14+ 444 24 4444 3+ 44 s� +1 91 +1= 2 2 2 0 b) B = sin 45 + 3cos 45 - 2( sin 50 + sin 40 ) + 4tan55 cot 55 2 � 2� � 2� � � � � �- 2( sin2 500 + cos2 400 ) + = + - + = Suy C = � + � � � �2 � �2 � � 2 � � � � � 2p 5p � � 2p 4p � 3p 6p cos + cos2 � +� cos2 + cos2 � + cos2 + cos2 � � c) C = � � � � � � 12 � 12 12 � � 12 � 12 12 � � 7p � 8p 11p � 10p � 9p � � +� cos + cos2 +� cos + cos2 + cos2 � � � � � � � 12 � 12 12 � � 12 � 12 � p p 3p + cos2 + + + cos2 =5 4 d) D = - e) E = f) F = g) G = 256 128 Bài 6.77: a) A = cos6 x + sin6 x - 2sin4 x - cos4 x + sin2 x = + + cos2 = ( 1- sin2 x ) + sin6 x - 2sin2 x - ( - sin2 x ) + 3sin2 x = - 3sin2 x + 3sin4 x - sin6 x + sin6 x - 2sin2 x - + 2sin2 x - sin4 x + 3sin2 x = 2sin4 x f) B = + cosx � + cos2 x + sin2 x � 1 + sin4 x + cos4 x � + = � Bài 6.78: a) VT = � � � 2 2 2 � cos x � 1- sin x cos x sin x cos x - sin x cos2 x � sin x = + - 2sin2 x cos2 x = = VP 2 2 sin x cos x 1- sin x cos x sin x cos2 x 168 b) VT = sin x + sin2 x = sin x + sin x = sin x - sin x = VP (do p < x < 2p � sin x < 0) = sin x(0 < x < p) sin x + cot2 x - cos2 x 1 VT = = = � � sin x + cos2 x cot2 x � sin x + cos2 x � sin x + cos2 x � � � �sin2 x � sin2 x c) Vì < x nên VT = sin x = sin x = VP sin x + cos2 x n �sin x � � n n + cosx � � � �sin2 x + sin x cos2 x � � �sin x + cos2 x � � � �cosx n � � � d) VT = � � =� � = tan x � � = tann x � � � � � � � cosx �sin x cosx + cos x � �sin x + cos x � � � � + cos x � � � � � sin x � tann x + cosn x tann x + cosn x VP = = tann x = tann x n n tan x + cos x 1+ cosn x n tan x Vậy VT = VP ĐPCM � � p p� � � � sin x cos - cosx sin � sin x cos x � �= 2� Bài 6.79: a) VP = 2� � � � � � � 6 � �2 � � = 3sin x - cosx = VT � � p p� � � � cosx cos - sin x sin � cos x sin x � �= 2� b) VP = 2� � � � � � � � 6� � 2 � � 3cosx - sin x = VT � p p� 2� sin x cos + cosx sin � � � �= � 4� � = c) VP = �2 � � � 2� sin x + cos x � � � � � 2 � � = sin x + cosx = VT �2 � � p p� � � sin x cos - cosx sin � sin x cos x � �= 2� d) VP = 2� � � � � � � � 4� � �2 � = sin x - cosx = VT sin4 a + 3cos4 a - = Bài 6.80: a) 6 sin a + cos a + 3cos a - b) Ta biến đổi biểu thức thành tan2 a ( sin2 a - 1) + 2( sin2 a + cos2 a ) + cos2 a + ( sin2 a - cos2 a ) ( sin2 a + cos2 a ) = - tan2 a.cos2 a + + cos2 a + sin2 a - cos2 a = � p� tan� x+ � � � �- tan x � � � � � p p � � � x+ � = � c) Ta có tan = tan � � �- x � � � � 3 p� � � � � + tan� � x+ � tan x � � � � 3� � � � p� � � p� � � 3� + tan� x+ � tan x = tan x+ � � � � � � �- tan x (1) � � � � 3� � � � � � � � 2p � � p� � � 2p � � p� � � � � � � + tan� x+ � tan x + = tan x + tan x+ � � � � � Tương tự ta có � � � � � � � � � �(2) � � � � � � 3 3� � � � � � � � � � 169 � 2p � � tan� x+ � - tan x � � � � 2p � � 2p 3� � � � � tan = tan � x+ � = � �- x � � � � � 3� 2p � � � + tan � � x+ � tan x � � � 3� � � � 2p � � � � 2p � � � 3� + tan� x+ � tan x �= - � tan� x+ � - tan x �(3) � � � � � � � � � � � � 3� 3� � � � � � � Cộng vế với vế ta � � p� � p� � 2p � � 2p � � 3� + tan x.tan � x+ � x+ � tan � x+ � x+ � tan x �= �+ tan � � �+ tan � � � � � � � � � � � 3� � 3� � � � � 3� 3� � � �D =- Bài 6.81: a) - 119 144 Bài 6.82: a) VP = = 2tan x cos2 x - b) 2 - ; tana = tanb = - 1, a = b = p �cosx sin2x sin x � cos2 x - cos2x � - = 2sin x � = 2sin x � � � � cos2x cosx cosx cos2x �cos2x cosx � ( 2cos2 x - 1) = 2tan x.tan2x sin2 x = tan2 x.tan2x = VT sin2x cos2x b) Áp dụng câu a) ta có � a � a a � 2� a a� a a � VT = tana - 2tan + 2� tan - 2tan � tan - 2tan � + + 2n- � tan n- - 2tan n- � �+ � � � � � � � � � � � 2 � � � � � � � = tana - 2n tan a = VP 2n � � x � � - cos2 � � � 1 � 1 � = - = VP � � = 1= Bài 6.83: a) VT = � � x x x x� x� x x x 4.cos2 4sin2 cos2 4.cos2 � sin2 � 4.cos2 sin2 4.sin2 � � � � 2 2� 2� 2 1 = b) Theo câu a) ta có x x suy sin x 4.cos2 4.sin2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � VT = � + + + = � � � � � n- � � � a � 4� a a� a � sin a n a sin a � a � 4.sin2 � sin 4.sin2 � sin n- 4.sin2 n � sin n � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 � 2 2 Bài 6.84: VT = sin A sin( B + C ) cos( B - C ) + sin Bsin( A + C ) cos( C - A ) + sin C sin ( A + B ) cos( A - B ) = � sin A ( sin B cosB + sinC cosC ) + sin2 A ( sin B cosB + sinC cosC ) + sin2 A ( sin B cosB + sinC cosC ) � � � = sin A sin B sin ( A + B ) + sin B sinC sin ( B + C ) + sinC sin A sin ( C + A ) = 3sin A sin B sinC = VT A- B B- C C- A Bài 6.85: ĐT 2(3 + cosA + cosB + cosC ) - = cos cos cos 2 A- B B- C C- A  2(cosA + cosB + cosC - 1) = cos cos cos 2 A B C A- B B- C C - A  8sin sin sin = cos cos cos 2 2 2  8sin A.sin B.sinC = (sin A + sin B )(sin B + sinC )(sinC + sin A)  sinA = sin B = sinC (dùng BĐT Cô–si cho vế phải) A = B = C 170 Bài 6.86: ĐT � 4R sin B sinC (sin B cosC + sinC cosB ) = 20 (dùng định lí hàm số sin)  4R sin A sin B sinC = 20 abc 8R Mà S = = sin A sin B sinC = 2R sin A sin B sinC = 10 4R 4R Vậy S = 10 (đvdt) 3 Bài 6.87: = cos3x + cos3y + cos3z = 4( cos x + cos y + cos z ) - 3( cosx + cosy + cosz ) � cos3 x + cos3 y + cos3 z = Ta có cosx + cosy + cosz = � cos3 x + cos3 y + 3cosx cosy ( cosx + cosy ) = - cos3 z � cosx cosy cosz = Không tính tổng quát giả sử cosx = � cosy + cosz = � cosy = - cosz Suy cos2x cos2y cos2z = ( 2cos2 x - 1) ( 2cos2 y - 1) ( 2cos2 z - 1) = - ( 2cos2 y - 1) � ĐPCM �sin x + siny = - sin z 2 � ( sin x + sin y ) + ( cosx + cosy ) = Bài 6.88: a) Từ giả thiết ta có � � � �cosx + cosy = - cosz � + 2( sin x sin y + cosx cosy ) = � cos( x - y ) = Tương tự ta có cos( y - z ) = - (1) 1 ,cos( z - x ) = - 2 Ta có ( cosx + cosy + cosz ) ( sin x + sin y + sin z ) = � ( sin2x + sin2y + sin2z ) + sin( x + y ) + sin( y + z ) + sin( z + x ) = (2) Mặt khác sin2x + sin2y = 2sin ( x + y ) cos( x - y ) = - sin ( x + y ) (do (1)) Tương tự sin2y + sin2z = - sin( y + z ) , sin2z + sin2x = - sin ( z + x ) Thay vào (2) ta suy sin2x + sin2y + sin2z = Mặt khác ta có ( sin x + sin y + sin z ) - ( cosx + cosy + cosz ) =0 � cos2x + cos2y + cos2z + 2� cos( x + y ) + cos( y + z ) + cos( z + x ) � � �= Kết hợp với cos2x + cos2y = 2cos( x + y ) cos( x - y ) = - cos( x + y ) , tương tự cos2y + cos2z = - cos( y + z ) , cos2z + cos2x = - cos( z + x ) nên cos2x + cos2y + cos2z = 3 b) Ta có sin3x + sin3y + sin3z = 3( sin x + sin y + sin z ) - 4( sin x + sin y + sin z ) � sin3x + sin3y + sin3z = - 4( sin3 x + sin3 y + sin3 z ) Mặt khác sin x + sin y + sin z = � sin3 x + sin3 y + sin3 z = 3sin x sin y sin z � sin3x + sin3y + sin3z = - 12sin x sin y sin z Do ta cần chứng minh sin( x + y + z ) = - 4sin x sin y sin z 171 Ta có sin( x + y + z ) = sin x cos( y + z ) + cosx sin( y + z ) = sin x ( cosy cosz - sin y sin z ) + cosx ( sin y cosz - cosy sin z ) = sin x cosy cosz + sin y cosx cosz + sin z cosx cosy - sin x siny sin z Ta cần chứng minh sin x cosy cosz + siny cosx cosz + sin z cosx cosy - sin x siny sin z = - 4sin x siny sinz � sin x cosy cosz + sin y cosx cosz + sin z cosx cosy + 3sin x sin y sin z = � sin x ( cosy cosz + sin y sin z ) + sin y ( cosx cosz + sin x sin z ) + sin z ( cosx cosy + sin x sin y ) = � sin x cos( y - z ) + sin y cos( z - x ) + sin z cos( x - y ) = Đẳng thức cuối theo câu a) ta có cos( x - y ) = - 1 , cos( y - z ) = - ,cos( z - x ) = giả thiết sin x + sin y + sin z = 2 Vậy sin( x + y + z ) = Đặt a = sin3x + sin3y + sin3z p p p - x, b = - y, g = - z kết hợp với giả thiết ta có cosa + cos b + cos g = , 2 sin a + sin b + sin g = Do theo chứng minh sin( a + b + g ) = sin3a + sin3b + sin3g �p � �p � �p � � � � � sin� - x� + sin y + sin z � � � � � � � � � � � � �3p � 2 � � � � � � � � � sin � - x - y - z � = � � �2 � � cos( x + y + z ) = cos3x + cos3y + cos3z Bài 6.89: cos( x + y ) = cos( x + y + z - z ) = cos( x + y + z ) cosz + sin ( x + y + z ) sinz Tương tự cos( y + z ) = cos( x + y + z ) cosx + sin( x + y + z ) sin x cos( z + x ) = cos( x + y + z ) cosy + sin( x + y + z ) siny Cộng vế với vế ta có cos( x + y ) + cos( y + z ) + cos( z + x ) = cos( x + y + z ) ( cosx + cosy + cosz ) + sin( x + y + z ) ( sin x + siny + sin z ) Mặt khác theo giả thiết ta có sin x + sin y + sin z = a sin ( x + y + z ) , cosx + cosy + cosz = a cos( x + y + z ) Nên cos( x + y ) + cos( y + z ) + cos( z + x ) = a cos2 ( x + y + z ) + a sin2 ( x + y + z ) = a 172 ... góc lượng giác x1, x2, x3 biểu diễn đỉnh đa giác AM 1M 4A 'M 2M nên góc lượng giác viết dạng cơng thức x = kp 3 Bài tập luyện tập Bài 6.6: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường trịn lượng giác. .. ' � M 'N ' § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác góc(cung) lượng giác a) Đường trịn lượng giác: Đường tròn lượng giác đường tròn đơn vị, định...  DẠNG TOÁN : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải  Từ hệ thức lượng giác mối liên hệ hai giá trị lượng giác, biết giá trị lượng giác ta