Số nguyên tố trong các trường số đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TRÂM SỐ NGUYÊN TỐ TRONG CÁC TRƯỜNG SỐ ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TRÂM SỐ NGUYÊN TỐ TRONG CÁC TRƯỜNG SỐ ĐẠI SỐ Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 8460104 : Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài “Số nguyên tố trường số đại số” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Trần Đình Lương chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Quy Nhơn, ngày 30 tháng 08 năm 2020 Học viên thực đề tài Nguyễn Thị Phương Trâm ii Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề lý thuyết chia hết miền nguyên 1.2 Một số kiến thức đại số giao hoán 1.3 Một số kiến thức trường số đại số Rẽ nhánh trường số đại số 12 2.1 Iđêan trường số đại số 12 2.2 Định lý lý thuyết iđêan trường số đại số 16 2.3 Vấn đề rẽ nhánh số nguyên tố 21 Rẽ nhánh trường bậc hai trường bậc ba 24 3.1 Trường bậc hai 24 3.2 Số nguyên tố trường bậc hai 32 3.3 Số nguyên tố trường bậc ba 45 Kết luận 49 Danh mục tài liệu tham khảo 50 Mở đầu Một số nguyên tố (trong vành số nguyên Z) nhúng vào vành số nguyên đại số trường số đại số khơng cịn phần tử bất khả quy, phân tích thành tích nhân tử bất khả quy khơng cịn Nghiên cứu vấn đề cho hiểu biết sâu sắc số học vành số nguyên Z, có nhiều ứng dụng việc giải toán số học sơ cấp Trong trường số đại số, tính phân tích số nguyên đại số thành tích phần tử ngun tố khơng trường hợp số nguyên lý thuyết số sơ cấp Nếu ta xét iđêan thay cho số ngun đại số, tốn phân tích số ngun đại số chuyển thành tốn phân tích iđêan trường số đại số Với cách tiếp cận này, số học iđêan trường số đại số có tính chất tương tự số học số nguyên vành số nguyên Z Vấn đề đặt nghiên cứu Gauss từ kỷ 18, tiếp tục phát triển nhà lý thuyết số Dirichlet, Dedekind, Hilbert, Kummer, Việc nghiên cứu vấn đề trường số cụ thể áp dụng vào việc giải toán số học sơ cấp thu hút nhận quan tâm nhiều nhà toán học Đề tài nhằm nghiên cứu số vấn đề liên quan đến rẽ nhánh số nguyên tố trường số đại số, áp dụng kết tổng quát rẽ nhánh cho số lớp trường số đại số, áp dụng cho trường hợp số nguyên tố (thuộc Z) Luận văn “Số nguyên tố trường số đại số” bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức lý thuyết chia hết miền nguyên, số kiến thức đại số giao hoán, kiến thức trường số đại số sử dụng luận văn Chương 2: Rẽ nhánh trường số đại số Chương trình bày Định lý lý thuyết iđêan trường số đại số áp dụng vào việc nghiên cứu vấn đề rẽ nhánh số nguyên tố Chương 3: Rẽ nhánh trường bậc hai trường bậc ba Chương trình bày số vấn đề rẽ nhánh số nguyên tố trường bậc hai dạng đặc biệt trường bậc ba Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Sư phạm, Khoa Tốn Thống kê q thầy giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 21 tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Nhân tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè ln động viên để tơi hồn thành tốt luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy để luận văn hồn thiện Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số kiến thức lý thuyết chia hết miền nguyên, số kiến thức đại số giao hoán, kiến thức trường số đại số sử dụng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [7] 1.1 Một số vấn đề lý thuyết chia hết miền nguyên Trong mục nhắc lại số kiến thức lý thuyết chia hết miền nguyên Trong toàn mục ta giả thiết D miền nguyên Với a, b ∈ D b = 0, ta nói b chia hết a (hoặc b ước a), ký hiệu b | a, tồn q ∈ D cho a = bq Ta gọi phần tử u ∈ D đơn vị D u | 1, hay tương đương, u phần tử khả nghịch D Với a, b ∈ D \ {0}, ta nói phần tử a liên kết với phần tử b a | b b | a, ký hiệu a ∼ b Rõ ràng hai phần tử a, b ∈ D \ {0} liên kết với chúng sai khác đơn vị D Với a ∈ D, a = 0, rõ ràng phần tử liên kết với a đơn vị D ước a; ta gọi ước ước tầm thường a Các ước không tầm thường a gọi ước thực a Giả sử p ∈ D, p = không đơn vị D Phần tử p gọi bất khả quy D khơng có ước thực D, nghĩa p = ab với a, b ∈ D a b đơn vị D Phần tử p gọi nguyên tố D p | ab với a, b ∈ D p | a p | b Rõ ràng phần tử ngun tố bất khả quy Miền nguyên D gọi vành Gauss (vành nhân tử hóa) phần tử a ∈ D, a = khơng đơn vị, có dạng nhân tử hóa thành phần tử bất khả quy, nghĩa (i) Tồn p1 , p2 , , pn ∈ D bất khả quy cho a = p1 p2 pn ; (ii) Nếu a có hai cách phân tích a = p p pn = q q qm , với p1 , p2 , , pn , q1 , q2 , , qm ∈ D bất khả quy, n = m tồn hoán vị σ tập {1, 2, , n} cho pi liên kết với qσ(i) với i = 1, 2, , n Mệnh đề 1.1.1 Trong vành Gauss phần tử nguyên tố bất khả quy Một miền nguyên gọi vành iđêan iđêan Mệnh đề 1.1.2 Mọi vành vành Gauss Ta gọi miền nguyên E với ánh xạ δ : E ∗ = E \ {0} −→ N vành Euclide (i) Với a, b ∈ E ∗ , a | b δ(a) δ(b); (ii) Với a, b ∈ E, b = 0, tồn q, r ∈ E cho a = bq + r với r = δ(r) < δ(b) Mệnh đề 1.1.3 Mọi vành Euclide vành Trong phần cuối mục nhắc lại số kiến thức số học vành số nguyên Z Cho n số nguyên dương, p số nguyên tố, a số nguyên với p a Nếu tồn số nguyên r cho rn ≡ a ( mod p) ta gọi a thặng dư bậc n theo môđun p; trái lại, ta gọi a bất thặng dư bậc n theo môđun p Mệnh đề 1.1.4 Cho p số nguyên tố lẻ Khi (i) −1 thặng dư bậc hai theo môđun p p ≡ (mod 4); (ii) −2 thặng dư bậc hai theo môđun p p ≡ ( mod 8) p ≡ (mod 8); (iii) −3 thặng dư bậc hai theo môđun p p ≡ (mod 6); (iv) thặng dư bậc hai theo môđun p p ≡ −1 ( mod 8) p ≡ (mod 8) 1.2 Một số kiến thức đại số giao hoán Trong toàn mục ta giả thiết R vành giao hốn có đơn vị = Cho A, B iđêan R Khi A ∩ B iđêan R Tập A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} iđêan R, gọi tổng A B Tích hai iđêan A B iđêan R sinh phần tử có dạng ab với a ∈ A, b ∈ B , nói cách khác AB = i b i | ∈ A, bi ∈ B Một cách tương tự ta có định nghĩa tích số hữu hạn iđêan R Nói riêng ta định nghĩa lũy thừa An cách đặt A0 = (1), An = AA A (n lần) Mệnh đề 1.2.1 Cho I1 , I2 , , In iđêan R đôi thỏa mãn điều kiện Ii + Jj = R với i = j Khi I1 I2 In = n i=1 Ii Định lý 1.2.2 (Định lý Trung Hoa phần dư cho iđêan) Cho I1 , I2 , , In iđêan R đôi thỏa mãn điều kiện Ii + Ij = R với i = j Đặt I= n i=1 Ii Khi có đẳng cấu vành R/I ∼ = R/I1 ⊕ R/I2 ⊕ · · · ⊕ R/In Một iđêan P R gọi iđêan nguyên tố P = R với a, b ∈ R ab ∈ P a ∈ P b ∈ P Một iđêan P R gọi iđêan cực đại P = R với M iđêan R P ⊆ M M = P M = R Mệnh đề 1.2.3 Cho P iđêan R, P = R Khi (i) Iđêan P nguyên tố R/I miền nguyên; (ii) Iđêan P cực đại R/P trường; (iii) Nếu P iđêan cực đại P iđêan nguyên tố Đối với miền nguyên D ta có tính chất sau Mệnh đề 1.2.4 Cho p ∈ D, p = 0, không đơn vị Khi (i) Phần tử p nguyên tố iđêan (p) nguyên tố; (ii) Nếu iđêan (p) cực đại p bất khả quy 36 Ta có √ √ √ √ P P = (2, (−1 + d)/2)(2, (−1 − d)/2) = (2)(2, (−1 + d)/2, (−1 − d)/2, (1 − d)/8) Đặt √ A = (2, (−1 + Vì (−1 + d)/2, (−1 − √ d)/2, (1 − d)/8) √ √ d)/2 + (−1 − d)/2 = −1 ∈ A nên A = D Do ta có phân tích (2) = P P Ta chứng tỏ P = P Thật vậy, P = P −1 = (−1 + √ d)/2 + (−1 − √ d)/2 ∈ P, từ suy P = D, (2) = D Điều khơng thể xảy P = P Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sử d ≡ ( mod 8) Lấy P iđêan cực đại D chứa 2, từ suy ordP (2) = 1, ta có điều phải chứng minh Giả sử trái lại P có cấp Bằng cách lập luận tương tự phép chứng minh cho trường √ hợp p lẻ Mệnh đề 3.2.2, tồn a ∈ Z cho a+P = (−1+ d)/2+P Từ suy a2 + a + (1 − d)/4 ∈ P , a2 + a + (1 − d)/4 ∈ P ∩ Z = 2Z Vì a2 + a số chẵn nên từ điều kiện suy (1 − d)/4 số chẵn, hay d ≡ (mod 8), điều trái với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh √ (iii) Giả sử d ≡ (mod 8) d ≡ (mod 8) Đặt P = (2, d) √ √ √ P = (2, d)(2, d) = (2)(2, d, d/2) d/2 ∈ Z | d Vì d khơng có nhân tử bình phương d d/2 √ nguyên tố Z Do (2, d, d/2) = D Từ suy (2) = P √ Giả sử d ≡ (mod 8) d ≡ (mod 8) Đặt P = (2, + d) P = (2, + √ √ √ √ d)(2, + √ d) = (2)(2, + √ d, (1 + d)2 /2) Vì (2, + d, (1 + d)2 /2) = D nên (2) = P Vậy ta có điều phải chứng minh 37 Trong phần lại mục ta nghiên cứu vấn đề phân tích số nguyên tố p ∈ Z số vành đặc biệt Mệnh đề 3.2.6 Cho p ∈ Z số nguyên tố Trong vành số nguyên Gauss Z[i] ta có kết sau (i) Nếu p ≡ (mod 4) có phân tích p = (x − yi)(x + yi) với x, y ∈ Z; (ii) Nếu p ≡ (mod 4) p phần tử bất khả quy Z[i]; (iii) Nếu p = có phân tích = −i(1 + i)2 + i phần tử bất khả quy Z[i] Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.8 vành Z[i] vành Euclide, vành Ý tưởng phép chứng minh áp dụng Mệnh đề 3.2.2 Mệnh đề 3.2.5 cho trường hợp d = −1 (i) Giả sử p ≡ (mod 4) Khi p d, theo Mệnh đề 1.1.4 ta có d = −1 thặng dư bậc hai theo môđun p Theo Mệnh đề 3.2.2 (i) ta có phân tích (p) = P P với P iđêan cực đại Z[i], P = {α | α ∈ P } α liên hợp α, P = P Vì Z[i] vành P = (α) với α = x + yi, x, y ∈ Z Khi P = (α), ta có phân tích (p) = (α)(α) = (αα) Từ suy p αα sai khác đơn vị Z[i] Do p = αα, p = −αα, p = iαα, p = −iαα Nếu p = −αα p = −(x + yi)(x − yi) = −x2 − y < 0, điều dẫn đến mâu thuẫn Nếu p = iαα p = i(x + yi)(x − yi) = i(x2 + y ) ∈ Z, điều dẫn đến mâu thuẫn Nếu p = −iαα p = −i(x + yi)(x − yi) = −i(x2 + y ) ∈ Z, điều dẫn đến mâu thuẫn 38 Do p có phân tích p = αα = (x − yi)(x + yi) với x, y ∈ Z Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sử p ≡ (mod 4) Khi p d theo Mệnh đề 1.1.4 ta có d = −1 bất thặng dư bậc hai theo môđun p Theo Mệnh đề 3.2.2 (ii) ta có (p) iđêan cực đại Z[i] Vì Z[i] vành chính, theo Mệnh đề 1.2.5 ta có p phần tử bất khả quy Z[i] (iii) Với p = 2, áp dụng Mệnh đề 3.2.5 ta có phân tích = −i(1 + i)2 Vì N (1 + i) = 2, theo Mệnh đề 1.3.17 ta có + i phần tử bất khả quy Z[i] Vì Z[i] vành phần tử bất khả quy Z[i] phần tử nguyên tố Ta gọi phần tử nguyên tố Z[i] số nguyên tố Gauss Kết sau cho ta mô tả số nguyên tố Gauss Mệnh đề 3.2.7 Các số nguyên tố Gauss có dạng sau (i) α = x + yi với x, y ∈ Z cho x2 + y số nguyên tố Z có dạng 4k + 1; (ii) α số nguyên tố Z có dạng 4k + số liên kết với nó; (iii) α = + i số liên kết với Chứng minh Trước tiên ta chứng tỏ α ∈ Z[i] số nguyên tố Gauss α ước số nguyên tố p Z Thật vậy, giả sử N (α) = p1 p2 pn phân tích N (α) thành tích số ngun tố Z Khi α | p1 p2 pn Vì α phần tử nguyên tố Z[i] α phải ước pi Vậy số nguyên tố Gauss phải xuất phân tích Z[i] 39 số nguyên tố p ∈ Z Lấy p số nguyên tố Z Khi áp dụng Mệnh đề 3.2.6 ta có điều phải chứng minh √ Mệnh đề 3.2.8 Cho p ∈ Z số nguyên tố Trong vành Z[ −2] ta có kết sau (i) Nếu p ≡ (mod 8) p ≡ (mod 8) có phân tích √ √ p = (x + y −2)(x − y −2) với x, y ∈ Z; (ii) Nếu p ≡ (mod 8) p ≡ (mod 8) p phần tử bất khả quy √ Z[ −2]; √ (iii) Nếu p = có phân tích = −( −2)2 √ −2 phần tử bất √ khả quy Z[ −2] √ Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.9 vành Z[ −2] vành Euclide, vành Tương tự phép chứng minh Mệnh đề 3.2.6, ta áp dụng Mệnh đề 3.2.2 3.2.5 cho trường hợp d = −2 (i) Giả sử p ≡ (mod 8) p ≡ (mod 8) Khi p d theo Mệnh đề 1.1.4 ta có d = −2 thặng dư bậc hai theo mơđun p Theo Mệnh đề 3.2.2 (i) √ ta có phân tích (p) = P P với P iđêan cực đại Z[ −2], P = {α | α ∈ P } α liên hợp α, P = P √ √ Vì Z[ −2] vành nên P = (α) với α = x + y −2 ∈ P, x, y ∈ Z Khi P = (α), ta có phân tích (p) = (α)(α) = (αα) √ Từ suy p αα sai khác đơn vị Z[ −2] Do p = αα p = −αα 40 √ √ Nếu p = −αα p = −(x + y −2)(x − y −2) = −x2 − 2y < 0, điều dẫn √ √ đến mâu thuẫn Do p có phân tích p = αα = (x+y −2)(x−y −2) với x, y ∈ Z Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sử p ≡ (mod 8) p ≡ (mod 8) Khi p d theo Mệnh đề 1.1.4 ta có d = −2 bất thặng dư bậc hai theo môđun p Theo Mệnh đề √ √ 3.2.2 (ii) ta có (p) iđêan cực đại Z[ −2] Vì Z[ −2] vành chính, √ theo Mệnh đề 1.2.5 ta có p phần tử bất khả quy Z[ −2]; √ (iii) Với p = áp dụng Mệnh đề 3.2.5 ta có phân tích = −( −2)2 √ √ −2 phần tử bất khả quy Z[ −2] √ √ Vì Z[ −2] vành nên phần tử bất khả quy Z[ −2] phần tử nguyên tố Kết sau cho ta mô tả phần tử nguyên tố √ vành Z[ −2] √ Mệnh đề 3.2.9 Các phần tử nguyên tố vành Z[ −2] có dạng sau √ (i) α = x + y −2 với x, y ∈ Z cho x2 + 2y số nguyên tố Z có dạng 8k + 8k + 3; (ii) α số nguyên tố Z có dạng 8k + 8k + số liên kết với nó; (iii) α = √ −2 số liên kết với Chứng minh Bằng cách lập luận tương tự phép chứng minh Mệnh đề √ 3.2.7 ta thấy phần tử bất khả quy Z[ −2] phải xuất √ phân tích Z[ −2] số nguyên tố p ∈ Z Lấy p số nguyên tố Z Khi áp dụng Mệnh đề 3.2.8 ta có điều phải chứng minh 41 Mệnh đề 3.2.10 Cho p ∈ Z số nguyên tố Trong vành số nguyên Eisenstein Z[w] ta có kết sau (i) Nếu p ≡ (mod 6) có phân tích p = (x + yw)(x + yw) với x, y ∈ Z; (ii) Nếu p ≡ (mod 6) p phần tử bất khả quy Z[w]; (iii) Nếu p = có p phần tử bất khả quy Z[w]; (iv) Nếu p = có phân tích = −(1 + 2w)2 + 2w phần tử bất khả quy Z[w] Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.10 vành Z[w] vành Euclide, vành Tương tự phép chứng minh Mệnh đề 3.2.6, ta áp dụng Mệnh đề 3.2.2 3.2.5 cho trường hợp d = −3 (i) Giả sử p ≡ ( mod 6) Khi theo Mệnh đề 1.1.4 ta có d = −3 thặng dư bậc hai theo mơđun p Theo Mệnh đề 3.2.2 (i) ta có phân tích (p) = P P với P iđêan cực đại Z[w], P = {α | α ∈ P } α liên hợp α, P = P Vì Z[w] vành P = (α) với α = x + yw, x, y ∈ Z Khi P = (α), ta có phân tích (p) = (α)(α) = (αα) Từ suy p αα sai khác đơn vị Z[w] Do p = αα, p = −αα, p = wαα, p = −wαα, p = w2 αα, p = −w2 αα Nếu p = −αα p = −(x+yw)(x+yw) = −x2 +xy−y = −(x− 21 y)2 − 43 y < 0, điều dẫn đến mâu thuẫn Nếu p = wαα p = w(x + yw)(x + yw) = w(x2 − xy + y ) ∈ Z w ∈ Z, điều dẫn đến mâu thuẫn Nếu p = −wαα p = −w(x + yw)(x + yw) = −w(x2 − xy + y ) ∈ Z w ∈ Z, điều dẫn đến 42 mâu thuẫn Nếu p = w2 αα p = w2 (x + yw)(x + yw) = w2 (x2 − xy + y ) ∈ Z w2 ∈ Z, điều dẫn đến mâu thuẫn Nếu p = −w2 αα p = −w2 (x + yw)(x + yw) = −w2 (x2 − xy + y ) ∈ Z w ∈ Z, điều dẫn đến mâu thuẫn Do p có phân tích p = αα = (x + yw)(x + yw) với x, y ∈ Z Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sử p ≡ ( mod 6) Khi theo Mệnh đề 1.1.4 ta có d = −3 bất thặng dư bậc hai theo môđun p Theo Mệnh đề 3.2.2 (ii) ta có (p) iđêan cực đại Z[w] Vì Z[w] vành chính, theo Mệnh đề 1.2.5 ta có p phần tử bất khả quy Z[w]; (iii) Với p = 2, áp dụng Mệnh đề 3.2.5 ta có phần tử bất khả quy Z[w]; (iv) Với p = theo Hệ 3.2.3 ta có phân tích = −(1 + 2w)2 + 2w phần tử bất khả quy Z[w] Vì Z[w] vành phần tử bất khả quy Z[w] phần tử nguyên tố Ta gọi phần tử nguyên tố Z[w] số nguyên tố Eisenstein Kết sau cho ta mô tả số nguyên tố Eisenstein Mệnh đề 3.2.11 Các số nguyên tố Eisenstein có dạng sau (i) α = x + yw cho x2 − xy + y số nguyên tố Z có dạng 6k + 1; (ii) α số nguyên tố Z có dạng 6k + số liên kết với nó; (iii) α = số liên kết với nó; (iv) α = + 2w số liên kết với Chứng minh Bằng cách lập luận tương tự phép chứng minh Mệnh đề 3.2.7 ta thấy phần tử bất khả quy Z[w] phải xuất 43 phân tích Z[w] số nguyên tố p ∈ Z Lấy p số nguyên tố Z Khi áp dụng Mệnh đề 3.2.10 ta có điều phải chứng minh √ Mệnh đề 3.2.12 Cho p ∈ Z số nguyên tố Trong vành Z[ 2] ta có kết sau (i) Nếu p ≡ (mod 8) p ≡ (mod 8) ta có phân tích √ √ p = (x + y 2)(x − y 2) với x, y ∈ Z; (ii) Nếu p ≡ (mod 8) p ≡ (mod 8) p phần tử bất khả quy √ Z[ 2]; √ (iii) Nếu p = p = ( 2)2 √ phần tử bất khả quy √ Z[ 2] √ Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.11 vành Z[ 2] vành Euclide, vành Tương tự phép chứng minh Mệnh đề 3.2.6, ta áp dụng Mệnh đề 3.2.2 3.2.5 cho trường hợp d = (i) Giả sử p ≡ (mod 8) p ≡ (mod 8) Khi p d, theo Mệnh đề 1.1.4 ta có d = thặng dư bậc hai theo môđun p Theo Mệnh đề 3.2.2 (i) √ ta có phân tích (p) = P P với P iđêan cực đại Z[ 2], P = {α | α ∈ P } α liên hợp α, P = P √ √ Vì Z[ 2] vành nên P = (α) với α = x + y ∈ P, x, y ∈ Z Khi P = (α), ta có phân tích (p) = (α)(α) = (αα) √ Từ suy p αα sai khác đơn vị Z[ 2] Do p = αα p=± 1+ √ n αα với n ∈ Z 44 √ Nếu n = p = + n √ x+y √ √ x−y = 1+ n x2 − 2y ∈ Z, điều dẫn đến mâu thuẫn Do p có phân tích p = αα = √ x − y với x, y ∈ Z Vậy ta có điều phải chứng minh √ x+y (ii) Giả sử p ≡ (mod 8) p ≡ (mod 8) Khi p d theo Mệnh đề 1.1.4 ta có d = bất thặng dư bậc hai theo môđun p Theo Mệnh đề 3.2.2 √ √ (ii) ta có (p) iđêan cực đại Z[ 2] Vì Z[ 2] vành chính, cho √ nên theo Mệnh đề 1.2.5 ta có p phần tử bất khả quy Z[ 2] √ √ (iii) Với p = áp dụng Mệnh đề 3.2.5 ta có phân tích = ( 2)2 √ phần tử bất khả quy Z[ 2] √ √ Vì Z[ 2] vành nên phần tử bất khả quy Z[ 2] phần tử nguyên tố Kết sau cho ta mô tả phần tử nguyên tố √ vành Z[ 2] √ Mệnh đề 3.2.13 Các phần tử nguyên tố vành Z[ 2] có dạng sau √ (i) α = x + y cho x2 − 2y số nguyên tố Z có dạng 8k + 8k + 7; (ii) α số nguyên tố Z có dạng 8k + 8k + số liên kết với nó; (iii) α = √ số liên kết với Chứng minh Bằng cách lập luận tương tự phép chứng minh Mệnh √ đề 3.2.7 ta thấy phần tử bất khả quy Z[ 2] phải xuất √ phân tích Z[ 2] số nguyên tố p ∈ Z Lấy p số nguyên tố Z Khi áp dụng Mệnh đề 3.2.12 ta có điều phải chứng minh 45 3.3 Số nguyên tố trường bậc ba Trong mục nghiên cứu vấn đề rẽ nhánh số nguyên tố trường bậc ba có dạng đặc biệt Định nghĩa 3.3.1 Một trường số đại số F gọi trường bậc ba [F : Q] = Ta gọi số ngun d ∈ Z khơng có nhân tử lập phương với s ∈ Z, s = 1, s3 không ước d Giả sử d ∈ Z khơng có nhân tử lập phương d = Ta thấy √ √ √ Q( d) = {x + y d + z d2 | x, y, z ∈ Q} trường bậc ba Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không Các vấn đề số học trường bậc ba nói chung phức tạp Việc nghiên cứu đòi hỏi nhiều kiến thức sâu lý thuyết số Trong mục ta hạn chế √ xét trường bậc ba có dạng Q( d) Mệnh đề sau cho ta mô tả vành số nguyên đại số trường bậc ba √ có dạng Q( d), xem [4], [8] √ Mệnh đề 3.3.2 Cho trường bậc ba F = Q( d) d ∈ Z, d = khơng có nhân tử lập phương Ký hiệu D = DF Khi (i) Nếu d ≡ (mod 9) DF = Z 1+ √ d+ √ d2 ; (ii) Nếu d ≡ −1 (mod 9) DF = Z √ √ + d + d2 ; 46 (iii) Nếu d ≡ ±1 (mod 9) DF = Z √ d √ Mệnh đề 3.3.3 Cho trường bậc ba F = Q( d) d ∈ Z, d = khơng có nhân tử lập phương Ký hiệu D = DF Cho p ∈ Z số nguyên tố Khi xảy trường hợp sau (i) (p) = P1 P2 P3 P1 , P2 , P3 iđêan cực đại phân biệt D; (ii) (p) = P12 P2 P1 , P2 hai iđêan cực đại phân biệt D; (iii) (p) iđêan cực đại D; (iv) (p) = P P iđêan cực đại D t Chứng minh Sử dụng ký hiệu Định lý 2.3.2 ta có ei fi = Từ i=1 suy có trường hợp: (i) Nếu t = 3, e1 = e2 = e3 = (p) = P1 P2 P3 với P1 , P2 , P3 iđêan cực đại phân biệt D (ii)) Nếu t = 2, e1 = 2, e2 = (p) = P12 P2 P1 , P2 hai iđêan cực đại phân biệt D (iii) Nếu t = 1, e1 = (p) iđêan cực đại D (iv) Nếu t = 1, e1 = (p) = P với P iđêan cực đại D Cụ thể ta có kết sau, xem [4], [8] √ Mệnh đề 3.3.4 Cho trường bậc ba F = Q( d) d ∈ Z, d = khơng có nhân tử lập phương Ký hiệu D = DF Cho p số nguyên tố, p = Khi (i) Nếu p d, p ≡ (mod 3) d thặng dư bậc ba theo mơđun p (p) = P1 P2 P3 với P1 , P2 , P3 iđêan cực đại phân biệt D; 47 (ii) Nếu p d, p ≡ (mod 3) d bất thặng dư bậc ba theo môđun p (p) iđêan cực đại D; (iii) Nếu p d p ≡ (mod 3) (p) = P12 P2 với P1 , P2 hai iđêan cực đại phân biệt D; √ (iv) Nếu p | d (p) = P P = (p, d) iđêan cực đại D Đặc biệt p = ta có kết sau √ Hệ 3.3.5 Cho trường bậc ba F = Q( d) d ∈ Z, d = khơng có nhân tử lập phương Ký hiệu D = DF Khi (i) Nếu d (2) = P12 P2 với P1 , P2 hai iđêan cực đại phân biệt D; √ (ii) Nếu | d (2) = P P = (2, d) iđêan cực đại D Chứng minh (i) Áp dụng Mệnh đề 3.3.4 (iii) ta có điều phải chứng minh (ii) Áp dụng Mệnh đề 3.3.4 (iv) ta có điều phải chứng minh Trong trường hợp p = ta có kết sau √ Mệnh đề 3.3.6 Cho trường bậc ba F = Q( d) d ∈ Z, d = khơng có nhân tử lập phương Ký hiệu D = DF Khi √ √ √ √ (i) Nếu d ≡ ±1 ( mod 9) (3) = (3, d)2 (3, d−1), (3, d), (3, d−1) hai iđêan cực đại phân biệt D; √ √ (ii) Nếu d ≡ ±1 ( mod 9) (3) = (3, d − d)3 , (3, d − d) iđêan cực đại D Sau số ví dụ số trường hợp cụ thể 48 √ Ví dụ 3.3.7 Cho trường bậc ba F = Q( 2), p ∈ Z số nguyên tố Ký hiệu D = DF √ √ √ (i) Nếu p = (p) = (2) = (2, 2)3 = ( 2)3 ( 2) iđêan cực đại D √ √ (ii) Nếu p = (p) = (3) = (3, − 2)3 (3, − 2) iđêan cực đại D (iii) Trường hợp p > Nếu p ≡ ( mod 3) thặng dư bậc ba theo mơđun p (p) = P1 P2 P3 với P1 , P2 , P3 iđêan cực đại phân biệt D Nếu p ≡ (mod 3) bất thặng dư bậc ba theo mơđun p (p) iđêan cực đại D Nếu p ≡ (mod 3) (P ) = P12 P2 với P1 , P2 hai iđêan cực đại phân biệt D √ Ví dụ 3.3.8 Cho trường bậc ba F = Q( 3), p ∈ Z số nguyên tố Ký hiệu D = DF (i) Nếu p = (p) = (3) = (3, √ 3 − 3)3 = (3, √ √ 3 3)3 = ( 3)3 √ ( 3) iđêan cực đại D (ii) Trường hợp p = Nếu p ≡ ( mod 3) thặng dư bậc ba theo mơđun p (p) = P1 P2 P3 với P1 , P2 , P3 iđêan cực đại phân biệt D Nếu p ≡ (mod 3) bất thặng dư bậc ba theo mơđun p (p) iđêan cực đại D Nếu p ≡ (mod 3) (P ) = P12 P2 với P1 , P2 hai iđêan cực đại phân biệt D 49 Kết luận Trong luận văn thực công việc sau Trình bày cách chi tiết có hệ thống vấn đề liên quan đến iđêan trường số đại số (Mệnh đề 2.1.1, Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.1.7) Trình bày chi tiết phép chứng minh Định lý lý thuyết iđêan trường số đại số (Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4, Định lý 2.2.5) Trình bày chi tiết định lý vấn đề rẽ nhánh số nguyên tố trường số đại số (Mệnh đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.3) Trình bày chi tiết kết rẽ nhánh số nguyên tố trường bậc hai (Mệnh đề 3.2.1, Mệnh đề 3.2.2, Mệnh đề 3.2.5) Vận dụng kết lý thuyết rẽ nhánh số nguyên tố trường bậc hai, mô tả tường minh dạng phần tử nguyên tố số trường bậc hai đặc biệt (Mệnh đề 3.2.6, Mệnh đề 3.2.7, Mệnh đề 3.2.8, Mệnh đề 3.2.9, Mệnh đề 3.2.10, Mệnh đề 3.2.11, Mệnh đề 3.2.12, Mệnh đề 3.2.13) Trình bày chi tiết kết rẽ nhánh số nguyên tố trường bậc ba (Mệnh đề 3.3.2, Mệnh đề 3.3.3, Mệnh đề 3.3.4, Mệnh đề 3.3.6) 50 Danh mục tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Tiến Quang (2002), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hồng Xn Sính (2003), Số đại số (Tập II), NXB Đại học Sư phạm [4] Tudor Ciurca (2018), Arithmetic of cyclotomic fields (preprint) [5] David S Dummit and Richard M Foote (2004), Abstract Algebra 3rd ed John Wiley & Sons [6] K Ireland and M Rosen (1982), A classical introduction to modern number theory, Springer – Verlag [7] H Pollard and H G Diamond(1998), The theory of algebraic numbers, Dover, New York [8] L C Washington (1997), Introduction to cyclotomic fields, volume 83 Graduate texts in Mathematics, Springer – Verlag, New York ... thuyết số sơ cấp Nếu ta xét iđêan thay cho số nguyên đại số, tốn phân tích số ngun đại số chuyển thành tốn phân tích iđêan trường số đại số Với cách tiếp cận này, số học iđêan trường số đại số có... nguyên; (ii) Số hữu tỷ r ∈ Q số nguyên đại số r ∈ Z; (iii) Nếu α số đại số, tồn a ∈ Z, a = cho aα số nguyên đại số 11 Mệnh đề 1.3.13 Cho F trường số đại số (i) Nếu α ∈ F số nguyên đại số N (α) ∈... Q(α) có bậc n Định nghĩa 1.3.5 Một trường F trường số phức C gọi trường số đại số bậc [F : Q] hữu hạn Nếu F trường số đại số phần tử số đại số Cho F trường số đại số bậc n Với α ∈ F tùy ý, ánh xạ