CÁC BIỆN PHÁP GIÚP học SINH sửa CHỮA các SAI lầm KHI GIẢI các bài TOÁN PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH

TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT TỔ: TOÁN-TIN ===  === Sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài: CÁC BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH SỬA CHỮA CÁC SAI LẦM KHI GIẢI CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Nguyễn Xuân Tùng Bắc giang, tháng 5/2019 MỞ ĐẦU Trong học Tốn, học sinh mắc nhiều kiểu sai lầm nhiều mức độ khác Có sai lầm mặt tính tốn học, có sai lầm suy luận, sai lầm hổng kiến thức, hay áp dụng mệnh đề hay định lý Toán học vơ cứ… Có sai lầm tinh vi, khó phát hiện, ví dụ học sinh ký hiệu x,y,z… thường biểu thị cần tìm, mà giải phương trình có tham số, ta đem đổi vai trị ẩn tham số cho học sinh khó chấp nhận Những phương trình bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối, nhiều ta phải phân khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, tìm cho x Nhưng tốn tích phân chứa giá trị tuyệt đối, kí hiệu biến x ta khơng phải tìm x, mà giải toán theo kiểu xét x 5…cho riêng lẻ đáp số sai Có thể nói sai lầm kiểu em học sinh khơng hiểu chất đối tượng có mặt tốn Việc học Tốn học sinh khơng thể tránh khỏi sai lầm, nghiên cứu để tìm phương án giảm thiểu sai lầm cần thiết Có nhiều tác giả tiếng có nhấn mạnh ý nghĩa việc làm này, chẳng hạn A.A.Stolia phát biểu “Không tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh” Cịn G.Pơlia phát biểu “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình” Viện sĩ Gơn-he-dencơ lúc nêu năm phẩm chất tư Tốn học đề cập đến ba phẩm chất liên quan đến việc tránh sai lầm giải Toán - Năng lực nhìn thấy tính khơng rõ ràng suy luận, thấy thiếu mắt xích cần thiết chứng minh - Có thói quen lý giải cách đầy đủ - Sự xác lý luận Theo ý kiến nhà khoa học thừa nhận giải Tốn, người có lần phạm phải sai lầm, cịn vướng mắc khó khăn dĩ nhiên thường xuyên Chức người thầy giáo phải kịp thời vạch rõ để học sinh thấu hiểu sai lầm cho lần sau khơng cịn tiếp diễn Tuy nhiên lực cần có người thầy phải đánh giá mức học sinh mắc, không nên cào mức độ.Tất nhiên sữa sai phải kịp thời, khơng “sai lầm nối tiếp sai lầm” Tuỳ đối tưọng học sinh để đánh giá mức độ sai lầm tốn 1 Ví dụ học sinh bậc THPT mà từ hệ thức x+ = y+ y suy x=y x điều chấp nhận Hay học sinh lớp 11 mà hiểu f-1(x)= f ( x) sai lầm lớn Tuy nhiên có sai lầm thiếu sót mà ta khơng nên “bé xé to”, theo lý thuyết tình có chướng ngại tránh có chướng ngại không tránh Chẳng hạn học sinh chứng minh x >sinx với x thuộc (0;+∞) cách thiết lập hàm số f(x) = x- sinx, khoảng f’(x)>0 nói hàm f(x) đồng biến (0;+∞), suy f(x)> kể chưa chuẩn khơng thuộc (0;+∞) Nhưng tình khơng nên phân tích q nhiều để làm rối trí học sinh Đặc biệt người thầy giáo phải có lực cảm thụ mặt Tốn học, có khả đốn hình dung điều học sinh mắc, để có chủ động xử lý tình Ví dụ dạng tốn dấu tam thức bậc miền; Tìm điều kiện tham số cho f(x) = x 2+mx+1>0  x>3 - Nếu  0 f(x) có nghiệm x1 x2 f(x)>0  x thuộc (-∞;x1)  (x2; ∞) Kết luận x2≤3 Tuy nhiên, chẳng hạn, giáo viên chủ động hình dung học sinh khá, biết đường lối giải dễ rơi vào sai lầm kết luận x20 ta có: t+t2=20  t2+t-20=0  t=4, t=-5 Vì t >0 nên t=4  x=2 1.2 Sai lầm áp dụng định lý mệnh đề toán học Nhận dạng thể định lý hay khái niệm hoạt động toán học Ta xét sai lầm học sinh vận dụng định lý có nghĩa ta xét sai lầm tiêu chí hoạt động tốn học Cấu trúc thơng thường định lý có dạng: A  B Trong A giả thiết, B kết luận Nhiều sai lầm học định lý xem thường ngôn ngữ điều kiện giả thiết, nhiều lúc học sinh đưa kết luận sai lầm: Khơng có A suy B, hay khơng có A suy khơng có B Ví dụ Giải phương trình 5x.8 x 1 x  500 Sai kiểu thứ nhất: Thử số trường hợp x=1, x=2, x=3… thấy 53.82/3=125 64 =500, suy x=3 nghiệm phương trình Khi x≠3 53.82/3≠125 64 Kết luận: x=3 nghiệm Nếu phân loại mức độ sai lầm qua việc giải tốn này, ta nhận rằng, học sinh dừng bước lập luận sau thấy x=3 nghiệm - học sinh yếu hơn, học sinh có làm thêm bước suy diễn: x≠3 53.82/3≠125 64 học sinh học sinh thứ giải toán Kiểu sai thứ hai: 5x.8 x 1 x x 1  500  x.Ln5+ x Ln8= 3Ln5+2Ln2  (x-3)Ln5+ Xét hàm số f(x)= (x-3)Ln5+ x3 Ln2=0 x x3 Ln2, ta có: f’(x)=Ln5+ Ln2 >0  x≠0 Suy x x hàm số đồng biến  x≠0 Mặt khác ta thấy f(3)=0 Do x=3 nghiệm phương trình Sai lầm mà học sinh mắc phải trường hợp chổ: Hàm số f(x) đồng biến (-  ;0) (0;+  ) phương trình vẩn có nhiều nghiệm khoảng Phân tích: Ở lớp 10 học sinh học khái niệm hàm số đồng biến khoảng, vẩn có sách xét hàm số đồng biến tập, dù khơng nói rõ ngun tắc tập số hợp nhiều khoảng Trong chương trình lớp 12, phần mối liên hệ đạo hàm chiều biến thiên hàm số, có định lý: Nếu đạo hàm dương khoảng hàm số đồng biến khoảng Nhưng thực kiến thức học sinh đại trà khơng dễ nắm vững sâu sắc để phân biệt phạm vi áp dụng định lý thật xác đáng Cụ thể học định lý dường học sinh dành quan tâm vào chổ: Nếu đạo hàm dương hàm số đồng biến, thực tình SGK khơng có ý phạm vi áp dụng định lý Vì gặp tốn mà hồn cảnh cụ thể khơng cịn khoảng học sinh vẩn áp dụng định lý cách bình thường Lời giải phạm sai lầm chổ: Đáng lý phải nói hàm số f(x) đồng biến khoảng (-  ;0) (0;+  ) lại nói hàm số đồng biến R\  0 Cần phải rõ cho học sinh thấy hàm số đồng biến (-  ;0)  (0;+  ) ngồi u cầu f(x1)  f(x2)  x1  x2  f(x3)  f(x4)   x3  x4 phải thêm yêu cầu f(  )  f(  )      Có sai lầm liên đới sai lầm áp dụng định lý đây, sai lầm áp dụng mệnh đề: Nếu hàm số đơn điệu (a;b), x 1,x2 thuộc (a;b) f(x1)=f(x2)  x1= x2 Nhưng trường hợp f(x 1)=f(3), rỏ ràng thuộc (0;+  ), có kết luận (0;+  ) phương trình có nghiệm, ta cần phải xét trường hợp x  Đối với toán trên, ta có lời giải sau: (x-3)(Ln5+ Ln2) =  x  x 3  x   Ln  Ln Cần nói thêm rằng, phương trình siêu việt, đặc biệt thực logarit, học sinh thường có tâm lý nặng nề nhìn số lại khơng phải số Khái quát sai lầm ví dụ đến nhận xét rằng: Giả thiết định lý gồm nhiều ý, phạm vi áp dụng hội đủ tất ý Thế nhiều em học sinh lĩnh hội nội dung qua quýt, giành tâm vào số ý dẫn tới mơ hồ ý cịn lại Bên cạng đó, cách giảng dạy giáo viên làm sáng tỏ chi tiết thông qua phản ví dụ Ví dụ Giải phương trình 3x3-6x2-9x=9(x2-2x-3) (*) +Lời giải sai: (*)  3x(x2-2x-3) = (x2-2x-3)  3x=9  x=3 Có thể thấy x=-1 nghiệm phương trình, sai lầm học sinh chia hai vế cho biểu thức x2-2x-3 Cần lưu ý với học sinh a.b=c.b  b(a-c)=0  x  1 + Lời giải là: (*)  (x2-2x-3)(3x-9)=0   x  Ví dụ Giải phương trình x  3x   x  =  x  x   x   +Lời giải sai: Điều kiện:  ( x  1) ( x  2)   x  2    x  1   x  1 Vậy không tồn giá trị x thoả mãn điều kiện tập xác định, phương trình cho vơ nghiệm Ta nhận x=1 biểu thức có nghĩa x=1 nghiệm phương trình.Vậy sai lầm em học sinh nằm chổ nào? Đó em cho (x-1)2(x+2)   x+2  + Lời giải là: Điều kiện có nghĩa  x  x    x    x  ( x  1) ( x  2)      x  1   x  x    x=1 Thử x=1 vào phương trình ta thấy thỗ mãn, phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ Giải phương trình x.ex > 1 e +Lời giải sai: Ta có f1(x1)=x f2(x2)= ex hàm số đồng biến R, suy f(x)=x.ex tích hai hàm đồng biến nên đồng biển R Ta có f(-1)= 1 Do bất phương trình tương đương f(x) > f(-1)  e x>-1 Sai lầm nghĩ tích hai hàm số đồng biến hàm số đồng biến, hàm số đồng biến nhận giá trị dương kết luận +Lời giải đúng: Xét hàm f(x) = x.ex với x  R Ta có f’(x)=ex(x+1) nên ta có: x - ’ f (x) - + -1 + + + f(x) 1 e Từ ta có f(x) > 1  x≠ -1 e Ví dụ Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với x (m  1) x  2(m  1) x  3m  Phương trình (5) có nghiệm  phương trình (5’) có nghiệm thoả mãn t 2 Phương trình (5’) ln có hai nghiệm phân biệt t1, t2 Mặt khác, t t  nên phương trình (5’) khơng thể đồng thời có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn t  t  Do (5) có nghiệm (5’) có nghiệm đoạn   2;2 nghiệm khoảng (-2; 2) f (2)f (2)  (8  2m)(8  2m)  m  Học sinh tìm điều kiện để phương trình (5 ,) có nghiệm thoả mãn t  theo cách khác 1.4 Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi tốn Nhiều ta khơng giải toán cho mà lại giải toán tương đương với toán ban đầu, Tất nhiên khơng phải tốn mệnh đề mà có nhiều tốn nêu dạng tìm tịi Những sai lầm liên quan đến chuyễn đổi tốn thường có liên quan đến việc đặt ẩn phụ, thay biến, Thực phép biến đổi tương đương chuyển đổi ngôn ngữ Việc chuyễn đổi nhiều có tác dụng rõ rệt lúc việc giải tốn cho gặp nhiều khó khăn, chuyễn đổi hợp lý việc giải toán thuận lợi nhiều Nhưng ta chuyển đổi sai hậu thường gặp là: Hệ điều kiện đặt cho toán chưa đủ đáp ứng yêu cầu toán cũ Muốn rèn luyện cho học sinh chuyển đổi tốn phịng tránh thiếu sót sai lầm trước hết phải rèn luyện cho họ cách nhìn vấn đề linh hoạt nhiều góc độ khác Cần phải rèn luyện nhận thức tương ứng đối tượng, tức cần phải trau dồi tư hàm Cần phải trang bị cho học sinh kiến thức phép biến đổi tương đương, tương đương phương trình, bất phương trình Ví dụ 1: Với giá trị m phương trình sau có nghiệm: (1+m)( x2 x2 ) -3m -4m =0 x2 1 x2 1 Những toán dạng thường thấy học sinh gặp phải sai lầm khó khăn sau: -Vì thấy quy luật hạng tử, học sinh nhanh chóng đặt ẩn phụ, nhanh chóng nhiều khơng có ý thức đặt điều kiện tương xứng cho ẩn phụ Ta phải làm cho học sinh nhớ ta đặt ẩn phụ chuyển đổi yêu cầu tốn cẩn thận với việc phát biểu khơng đủ ý với ẩn vừa đặt - Dù em có ý thức đặt điều kiện cho ẩn phụ xác định không rõ mức độ điều kiện ấy, tức nhiều rút điều kiện ẩn phụ vội vàng khép lại việc làm Cần cho học sinh thấy rằngvới toán biện luận có nghiệm phương trình chứa tham số ta khơng có điều kiện để tìm nghiệm cụ thể, mà thay vào tìm điều kiện sát thực cho ẩn t, nghĩa t phải có x tương ứng Bản chất vấn đề là: Hàm f: X  R x  t=f(x) t phải thuộc miền giá trị hàm f x2 - Đặt t= để dẫn tới điều kiện  t3 Tuy nhiên nhanh chóng rút phương trình bậc ẩn t nên học sinh quên điều kiên cần phải có t Sau tìm điều kiện cách cẩn thận thấy t R có x tương ứng, dĩ nhiên ngẩu nhiên Vì học sinh khơng đặt vấn đề tìm điều kiện rốt đáp số vẩn lời giải chưa thể chấp nhận Để tìm điều kiện cuả t, ta có cách sau: Cách 1: Ta có Limt   x   Limt   x   Mặt khác hàm số liên tục (-∞;-1] [3;+ ∞), t lấy giá trị Cách 2: t= (x-3)  x  3, t   x   t  ( x  3)( x  1)  x  2, t  x3  t  ( x  1)( x  3) Dể thấy phương trình x2-2x-3-t=0 trường hợp t >0 ln có nghiệm lớn Nhiều tình chuyển đổi tốn thơng qua số phép biến đổi, mắc sai lầm chuyển đổi, đặc biệt phép biến đổi hệ tương đương Ví dụ 3: Phương trình có dạng f (x) + g (x) = h(x) (1) Thường học sinh biến đổi sau: (1)  ( f (x) + g (x) )3=h(x)  f(x)+g(x)+3 f ( x).g ( x) ( f (x) + g (x) )=h(x)  f(x)+g(x)+3 f ( x ).g ( x) h(x) = h(x)  27f(x).g(x).h(x)=(h(x)-f(x)-g(x))3 Và đưa phương trình khơng chứa dấu Thông thường, giáo viên dặn học sinh cẩn thận luỷ thừa lên bậc chẳn, nói chung luỹ thừa bậc lẻ khơng gặp vấn đề gì, nhập tâm với dặn tình việc dùng phép tương đương khơng có khúc mắc Tuy nhiên cần làm cho học sinh thấy phương trình dạng A+B=C  A3+B3+3AB(A+B)=C3  A3+B3+(-C)3=-3AB(A+B) Nếu ta khẳng định tương đương với A 3+B3+3AB(A+B)=C3 có nghĩa ta cho A3+B3+(-C)3=-3ABC tương đương với A+B=C Tuy nhiên, A3+B3+(-C)3=-3ABC  A3+B3+(-C)3-3AB(-C)=0  [A+B+(-C)](A2+B2+(-C)2-AB-AC-BC)=0 Nếu ta muốn khẳng định A+B=C ta phải khẳng định A2+B2+(-C)2-AB-A(-C)-B(-C)  Nói cách khác, ta phải chắn khơng xẩy đồng thời A=-C B=-C, chắn có tương đương biến đổi Cách giải thích giải tận gốc chất vấn đề, cịn khơng sử dụng cách ta phản ví dụ cụ thể theo tinh thần lựa chon hàm f(x), g(x), h(x mà hệ f(x)-g(x)=-h(x) có nghiệm Ví dụ 4: Cho hàm số y= mx  (2  m) x  2m  xm a, Tìm m để hàm số có cực trị b, CMR với giá trị m vừa tìm được, đồ thị ln tìm điểm mà tiếp tuyến hai điểm vng góc với Giải: a, Hàm số đạt cực đại  pt y,=0 có nghiệm phân biệt, việc chuyển từ yêu cầu có cực trị thành u cầu phương trình có nghiệm phân biệt việc chuyển đổi tốn Kiến thức coi tư thuật giải hàm số bậc hai bậc sau số lần thao tác, học sinh nhớ quy tắc: Có cực trị tương đương với đạo hàm có nghiệm phân biệt Tuy nhiên dạy cực trị hàm số khơng nên cho học sinh nhớ cách máy móc điều kiện đạt cực trị hàm phân thức bậc hai bậc nhất, cần phải xuất phát từ gốc vấn đề để học sinh nắm vững kiến thức hơn: Vì y hàm số bậc hai bậc nên nên y , hàm số bậc hai bậc hai, có nghiệm y, phụ thuộc vào có nghiệm tử số Nếu   đạo hàm khơng đổi dấu hàm số giữ nguyên chiều biến thiên, khơng thể có cực trị;  >0 đạo hàm có nghiệm phân biệt đổi dấu x qua nghiệm đó, nghĩa hàm số đạt cực đại điểm b, Ta có y,= mx  2m x  m  =1+ ( x  m) 2 ( x  m) Ta chuyển đổi toán: CMR m