GIỚI THIỆU
Trong những năm gần đây, tầm nhìn và cảm biến quán tính đã thu hút sự chú ý lớn từ cộng đồng robot di động Sự che khuất tín hiệu từ Hệ thống Định vị Toàn cầu (GPS) đã tạo ra nhu cầu cấp thiết cho các công nghệ này Các cảm biến quán tính không chỉ bổ sung thông tin mà còn phối hợp với tầm nhìn để xây dựng hệ thống định hướng và lập bản đồ quán tính hiệu quả.
Khi kết hợp các phép đo thị lực và quán tính, hai vấn đề sau đây phải được giải quyết.
1) Tìm tất cả các đại lượng vật lý có thể xác định được.
2) Tìm một phương pháp đáng tin cậy và hiệu quả để ước tính các đại lượng vật lý này bắt đầu từ dữ liệu cảm biến thô.
Trong suốt bài báo này, chúng tôi sẽ gọi những đại lượng vật lý này là các chế độ có thể quan sát được.
Khi kết hợp tầm nhìn và các phép đo quán tính, thang đo tuyệt đối có thể được quan sát và thu được bằng dung dịch dạng đóng Xem xét một chiếc xe trang bị cảm biến ổ trục và gia tốc kế di chuyển trên một đoạn đường, nếu tốc độ ban đầu tại điểm A được biết, ta có thể xác định tốc độ xe trong các bước thời gian tiếp theo và tính khoảng cách A - B và B - C bằng cách tích phân tốc độ Độ dài A - F và B - F có thể tính toán qua hai góc βA và βB từ cảm biến ổ trục Nếu tốc độ ban đầu vA không xác định, các độ dài phân đoạn có thể được biểu diễn theo vA Bằng cách lặp lại các phép đo ở các điểm A và C, ta có thêm biểu thức cho đoạn A - F, từ đó tạo ra một phương trình liên quan đến vA chưa biết Giải phương trình này cho phép ta thu được tất cả các độ dài dựa trên các phép đo từ gia tốc kế và cảm biến mang.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ mở rộng các hạn chế hiện tại bằng cách nghiên cứu một chiếc xe trang bị IMU1 và cảm biến ổ trục Mục tiêu là xác định các chế độ có thể quan sát được, tức là các đại lượng vật lý có thể đo lường mà không cần kiến thức tiên nghiệm, chỉ dựa vào dữ liệu thu thập từ cảm biến trong thời gian ngắn Chúng tôi sẽ xem xét liệu có thể xác định tỷ lệ tuyệt đối, tốc độ xe và hướng đi của xe, cũng như khả năng quan sát các chế độ này ngay cả khi có sai lệch trong đo lường từ IMU.
Bài viết này khám phá khả năng quan sát các thành kiến ảnh hưởng đến các phép đo IMU và liệu có thể xác định tất cả các đại lượng này thông qua một giải pháp đóng Phương pháp phân tích khả năng quan sát không tiêu chuẩn, được giới thiệu trong tài liệu [21], cho phép không chỉ kiểm tra tính khả thi của một trạng thái mà còn phát hiện các đại lượng có thể quan sát được khi có phủ định Bằng cách phân tích các đối xứng liên tục của hệ thống, một hệ phương trình đạo hàm riêng có thể được thiết lập, trong đó các chế độ có thể quan sát là các giải pháp độc lập Khái niệm này cũng được áp dụng trong [22] để giải quyết vấn đề kết hợp dữ liệu quán tính và tầm nhìn, với các chế độ có thể quan sát được trong các trường hợp không thiên vị và thiên vị các phép đo IMU Bài viết cung cấp phân tích xuất phát từ lý thuyết đã phát triển trong [21] và xem xét bối cảnh thực tế mới, bao gồm trường hợp đơn lẻ và nhiều đối tượng, cũng như ảnh hưởng của trọng lực Phần III của bài viết sẽ minh họa và tóm tắt các bước cơ bản của phương pháp này.
Bài viết này bắt đầu bằng việc giải quyết vấn đề bản địa hóa 2-D đơn giản Trong Phần IV, chúng tôi mô tả toán học của hệ thống Tiếp theo, ở Phần V và VI, chúng tôi tiến hành phân tích khả năng quan sát Phần VII cung cấp các biểu thức dạng đóng cho các chế độ có thể quan sát được dựa trên các phép đo cảm biến Hiệu suất của phương pháp ước tính các chế độ này được đánh giá thông qua dữ liệu tổng hợp và thực tế trong Phần VIII Cuối cùng, kết luận được trình bày trong Phần IX.
CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN
Vấn đề kết hợp giữa tầm nhìn và dữ liệu quán tính đã được nghiên cứu rộng rãi, đặc biệt trong các số đặc biệt của Tạp chí Nghiên cứu Người máy Quốc tế Nghiên cứu này cung cấp quan điểm sinh học, minh họa cách các cảm biến quán tính và tầm nhìn bổ sung cho nhau, giúp khắc phục các hạn chế Các phép đo quán tính được sử dụng để giảm sự mơ hồ trong cấu trúc chuyển động, với các nghiên cứu gần đây cho thấy góc lăn và góc tuyệt đối của xe là chế độ quan sát được, trong khi góc nghiêng thì không Kết quả này phù hợp với các thực nghiệm trước đó, cho thấy tính nhất quán của góc cuộn và cao độ Một lý thuyết điều tra cũng được đưa ra để phân tích các điều kiện chuyển động mà trạng thái xe có thể quan sát được, bao gồm các tham số mô tả máy ảnh chuyển đổi-IMU Cuối cùng, một phân tích khả năng quan sát trong các bối cảnh khác nhau, bao gồm trường hợp đo quán tính thiên vị, được trình bày để giải quyết các hạn chế hiện có.
Nhiều phương pháp hiện tại kết hợp tầm nhìn và cảm biến quán tính thông qua các thuật toán lọc Các cảm biến này được sử dụng để ước lượng chuyển động, với sự kết hợp cảm biến được thực hiện bằng bộ lọc Kalman mở rộng (EKF) và bộ lọc Kalman không mùi (UKF) Một nghiên cứu đã mở rộng phương pháp này bằng cách ước lượng cấu trúc môi trường chuyển động, bổ sung các địa danh mới vào bản đồ ước tính Phương pháp này đã được kiểm chứng qua các thử nghiệm trong môi trường đã biết với sự thật cơ bản có sẵn.
Một EKF đã được áp dụng để ước tính trạng thái của rô bốt, bao gồm tốc độ, vị trí, thái độ và sai lệch của cảm biến quán tính cùng với vị trí của các đối tượng địa lý quan trọng Trong khuôn khổ SLAM, EKF đã được sử dụng để thực hiện 3-D-SLAM bằng cách kết hợp các phép đo quán tính và thị lực Tuy nhiên, các cập nhật thái độ không nhất quán có thể ảnh hưởng nghiêm trọng đến giải pháp SLAM Do đó, các tác giả đề xuất tách biệt cập nhật thái độ khỏi cập nhật vị trí và vận tốc, đồng thời sử dụng các quan sát vận tốc bổ sung như quan sát vận tốc không khí.
Khi sử dụng EKF, vấn đề khởi tạo là rất quan trọng, vì sai sót trong khởi tạo có thể làm hỏng toàn bộ quá trình lập dự toán do tính phi tuyến tính của hệ thống Phương pháp ước tính tỷ lệ tuyệt đối bằng bộ lọc thông tin căn bậc hai đã được đề xuất, cùng với một EKF không bị ảnh hưởng bởi việc khởi tạo tốc độ và định hướng Một mô hình đo lường mới đã được giới thiệu để thể hiện các ràng buộc hình học khi quan sát cùng một đối tượng từ nhiều góc độ, mà không cần bao gồm vị trí tính năng trong trạng thái Có rất ít phương pháp kết hợp các phép đo hình ảnh và quán tính mà không dựa vào bộ lọc, và một thuật toán SLAM từ hình ảnh và phép đo quán tính đã được đề xuất, sử dụng thuật toán Leven – Marquardt để tối thiểu hóa chi phí Đề xuất cũng bao gồm việc kết hợp dữ liệu từ nhiều cảm biến khác nhau như bộ mã hóa, quán tính, tầm nhìn và GPS Chúng tôi giải quyết vấn đề xác định quỹ đạo của nền tảng đóng chỉ bằng các phép đo trực quan và quán tính mà không cần thông tin trước về trạng thái Cuối cùng, hiệu chuẩn bên ngoài giữa quán tính và cảm biến tầm nhìn là một vấn đề quan trọng đã được tiếp cận qua nhiều giải pháp khác nhau, bao gồm việc sử dụng EKF và các giải pháp hữu hạn.
CÁC CHẾ ĐỘ QUAN SÁT VÀ CÁC HỘI CHỨNG LIÊN TỤC
Khi một trạng thái không thể quan sát được, có vô hạn trạng thái ban đầu có thể tái tạo chính xác các đầu vào và đầu ra giống nhau Ví dụ, trong vấn đề bản địa hóa 2-D, phương tiện di chuyển dọc theo hành lang với cảm biến đo mùi và cảm biến có thể thực hiện quan sát tương đối, như cảm biến mang và phạm vi, cho phép xác định vị trí chính xác.
Trong tình huống này, tất cả các trạng thái ban đầu khác nhau đối với sự thay đổi dọc theo hành lang đều tái tạo chính xác các đầu vào và đầu ra giống nhau, cho thấy sự bất biến của hành lang đối với sự dịch chuyển Số lượng duy nhất có thể ước tính là bất biến đối với đối xứng, liên quan đến hướng xe và khoảng cách từ xe đến các bức tường hành lang Mặc dù việc xem xét vấn đề bản địa hóa đơn giản này không yêu cầu công cụ toán học đặc biệt, nhưng có những trường hợp mà việc xác định các chế độ có thể quan sát là thách thức Để giải quyết những trường hợp này, cần cung cấp một định nghĩa toán học về đối xứng liên tục, khái quát hóa ý tưởng về đối xứng Một thủ tục phân tích chế độ cho hệ thống chung đã được giới thiệu trong [21], dựa trên khái niệm đối xứng liên tục Trong phần này, chúng tôi sẽ nhắc lại những khái niệm cơ bản của lý thuyết phát triển trong [21], được minh họa qua một vấn đề bản địa hóa đơn giản trong Phần III-A.
Hình 2: Vấn đề bản địa hóa đơn giản
VẤN ĐỀ BẢN ĐỊA HÓA ĐƠN GIẢN
Chúng tôi xem xét một robot di động di chuyển trong môi trường 2-
D Cấu hình của robot trong hệ tham chiếu toàn cầu có thể được đặc trưng thông qua vectơ
Robot được mô tả bởi tọa độ Cartesian [x R , y R , θ R ] T, trong đó x R và y R là tọa độ của robot, còn θ R là hướng di chuyển của nó Ngoài ra, cấu hình robot cũng có thể được diễn tả bằng tọa độ cực, với D ≡ √(x R 2 + y R 2) và ϕ R ≡ arctan2(y R , x R) Động lực học của robot được mô tả thông qua các phương trình vi phân phi tuyến.
Robot được trang bị cảm biến proprioceptive để đánh giá tốc độ tuyến tính (v) và tốc độ quay (ω) Chúng tôi giả định có một tính năng điểm trong môi trường và cố định khung tham chiếu toàn cầu lên nó Robot cũng có cảm biến ổ trục, như máy ảnh, để đánh giá góc chịu lực của tính năng điểm trong khung hình của nó Kết quả của hệ thống cho thấy mối quan hệ giữa các yếu tố là y = β ≡ π−θ R + a tan 2( y R , x R ) = π−θ R + ϕ R.
Hình 3: (a) Hai vị trí ban đầu A và B không tái tạo các quan sát tương tự (βA
Để kiểm tra tính quan sát của cấu hình robot [x R , y R , θ R ] T, cần chứng minh rằng có thể tái tạo duy nhất cấu hình ban đầu từ các điều khiển đầu vào và đầu ra trong một khoảng thời gian nhất định Khi góc chịu lực β của nguồn gốc đã được xác định, robot có thể ở bất kỳ vị trí nào trong mặt phẳng, nhưng mỗi vị trí chỉ có một hướng tương ứng với ổ β Trong Hình 2 (b), các vị trí A, B và C đều tương thích với β quan sát, với điều kiện định hướng của robot đáp ứng yêu cầu Đặc biệt, hướng của robot tại A và B là giống nhau, trong khi tại C thì khác.
Giả sử robot di chuyển theo đầu vào v(t) và ω(t), ngoại trừ chuyển động đặc biệt qua nguồn gốc Bằng cách thực hiện quan sát mang thêm, chúng ta có thể phân biệt tất cả các điểm thuộc cùng một đường đi qua nguồn gốc Hình 3(a) minh họa hai vị trí ban đầu tại A.
Hệ thống B không tái tạo các quan sát tương tự (β A = β B), và tất cả các vị trí ban đầu có khoảng cách từ nguồn gốc giống nhau không thể phân biệt độc lập với quỹ đạo đã chọn Hai quỹ đạo được chỉ định trong Hình 3 (b) cung cấp các quan sát gấu giống nhau bất cứ lúc nào, dẫn đến kích thước vùng không thể phân biệt là 1 và kích thước của hệ thống con lớn nhất có thể quan sát được là 2 Hệ thống này có sự đối xứng liên tục, với các đầu vào (v(t) và ω(t)) và đầu ra (y(t)) bất biến đối với sự quay của khung toàn cầu Với kích thước của hệ thống con observable lớn nhất là 2, chúng tôi chỉ có thể ước tính hai chế độ độc lập, và hai chế độ này cần phải đáp ứng tính bất biến quay của hệ thống.
D và θ trong Hình 2(a) tức là, θ ≡θ R − a tan 2( y R , x R )]
Hệ thống mới được đặc trưng bởi các phương trình sau:
[ ¿ θ=ω− ˙ ¿ D ˙ =v cos D v sin θ θ y= β=π −θ (3) thể hiện mối liên hệ giữa trạng thái mới [D, θ] T , dữ liệu cảm thụ (v, ω) và dữ liệu mở rộng (β).
Việc phát hiện hai chế độ D và θ cùng với các dẫn xuất của (3) là rất quan trọng, vì ước tính của trạng thái ban đầu có thể dẫn đến mâu thuẫn nghiêm trọng và hậu quả thảm khốc.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm trong lý thuyết của Hermann và Krener, cùng với những công cụ cơ bản được giới thiệu trong tài liệu [21] Những kiến thức này sẽ giúp chúng ta thực hiện phân tích cho các hệ thống phức tạp hơn, từ đó suy ra các chế độ có thể quan sát được khi kết hợp giữa các phép đo thị giác một mắt và cảm biến IMU.
TIÊU CHÍ XẾP HẠNG KHẢ NĂNG QUAN SÁT
Các hệ thống điều hướng tự động có chung một đặc điểm, được mô tả bởi hai phương trình chính: một là phương trình động lực học, và hai là phương trình quan sát.
Hệ thống được mô tả bởi các phương trình S= ˙ f (S ,u )=f và y=h( 0 (S)+ S) ∑ i=1 L ❑ f i (S) u i (4), trong đó S ∈ Σ ⊆ R n là trạng thái, u=[ u 1 , u 2 , … ,u L ] T là đầu vào, và y ∈ R là đầu ra Chúng tôi tập trung vào đầu ra vô hướng để đảm bảo sự rõ ràng, và việc mở rộng cho đầu ra đa chiều là dễ dàng Các phương trình (1) - (2) xác định hệ thống trong tọa độ Descartes và tọa độ cực, trong khi phương trình (3) được đặc trưng bởi (4) Ví dụ, đối với hệ thống (1) trong tọa độ cực, chúng ta có thể áp dụng các nguyên tắc này để phân tích.
Chúng tôi trình bày đạo hàm Lie bậc k của một trường Λ theo các trường vectơ v i 1 , v i 2 , … , v i k, với L v i 1 k , v i 2 , … , v i K Λ Định nghĩa của đạo hàm Lie được xác định qua hai phương trình.
L 0 Λ= Λ , L v i 1 ,… ,v i k+1 k +1 Λ =∇ S ( L v i 1 ,… , v i k k Λ ) ⋅ v i k+1 Trong đó, ký hiệu “ã” biểu thị tích phân theo hướng và ∇S là gradient của trạng thái S Chúng tôi nhận thấy rằng các dẫn xuất Lie định lượng ảnh hưởng của những thay đổi trong kiểm soát đầu vào ui đến chức năng đầu ra h Thêm vào đó, chúng tôi biểu diễn bằng d L f i.
1 ,… ,f i k k h gradient của đạo hàm Lie tương ứng d L f i
1 κ , … , f i k h ) , và chúng tôi biểu thị bằng dΩ không gian được kéo dài bởi tất cả các gradient này.
Trong ký hiệu này, tiêu chí xếp hạng khả năng quan sát được thể hiện qua kích thước của hệ thống con lớn nhất tại một S0 nhất định, tương đương với kích thước của dΩ.
Chúng tôi xem xét lại ví dụ đơn giản đã được giới thiệu trong Phần III-A và chứng minh rằng bằng cách áp dụng tiêu chí xếp hạng khả năng quan sát, chúng tôi thu được kết quả tương tự như khi tiếp tục với lý luận trực quan, cụ thể là kích thước của hệ thống con có thể quan sát lớn nhất là 2 Việc tính toán thứ hạng cho hệ thống trong các công thức (1) - (2) diễn ra một cách trực tiếp Chúng tôi sẽ sử dụng các tọa độ cực để đạt được kết quả từ (2).
L 0 h= π −θ R + ϕ R , có gradient là d L 0 h ≡ w 1 =[ 0,1,−1], Các đạo hàm Lie bậc đầu tiên là L f 1
Trong nghiên cứu này, chúng ta xem xét các vectơ w_i được xác định bởi công thức w_i = [−sin(θ_R − ϕ_R)/D, −cos(θ_R − ϕ_R)/D, cos(θ_R − ϕ_R)/D] Các vectơ này có cấu trúc chung là w_i = [ϱ_i, ς_i, −ς_i], cho thấy rằng mọi dẫn xuất Lie chỉ phụ thuộc vào θ_R và φ_R thông qua sự chênh lệch θ_R − φ_R Điều này chỉ ra rằng sự thay đổi giữa θ_R và φ_R có ảnh hưởng đến các vectơ này Cuối cùng, thứ hạng của ma trận Γ được xác định bởi tập hợp các vectơ w_i, cụ thể là Γ ≡ {w_1^T, w_2^T, …, w_i^T, …}.
(6) bằng 2 Chúng tôi kết luận rằng hệ thống con quan sát được lớn nhất có kích thước 2 có nguồn gốc từ Phần III-A.
ĐỐI XỨNG LIÊN TỤ
HỆ THỐNG ĐƯỢC XEM XÉT
Bài viết này xem xét một cảm biến lắp ráp bao gồm máy ảnh một mắt và cảm biến IMU, với IMU gồm ba gia tốc kế và ba con quay hồi chuyển trực giao Chúng ta giả định rằng các biến đổi giữa khung máy ảnh và khung IMU đã được xác định, và khung cục bộ trùng với khung máy ảnh Trong ngữ cảnh này, "xe" được sử dụng để chỉ cảm biến IMU cung cấp cho xe thông tin về tốc độ góc và khả năng tăng tốc Đặc biệt, gia tốc được cảm nhận bởi accelerometer A không chỉ là tăng tốc của xe A mà còn bao gồm gia tốc hấp dẫn A g, được thể hiện qua công thức A = A v − A g.
Khi máy ảnh không gia tốc (A v = 0), gia tốc kế sẽ cảm nhận gia tốc tương tự như một vật thể được tăng tốc trong môi trường không có trọng lực.
Chúng tôi sẽ sử dụng chữ hoa để biểu thị các vectơ trong khung cục bộ và chữ thường cho khung toàn cầu Ví dụ, trọng lực được biểu diễn bằng vectơ a g = [0, 0, −g] T, với g ≈ 9.8 m/s².
Chúng tôi nhận thấy rằng máy ảnh đang theo dõi một điểm cụ thể trong một khoảng thời gian nhất định Chúng tôi đã điều chỉnh một khung toàn cầu gắn liền với điểm này Chiếc xe và điểm quan sát được minh họa trong Hình 4.
Cuối cùng, chúng tôi sẽ sử dụng một tứ giác để biểu diễn định hướng của xe Mặc dù cách biểu diễn này có vẻ dư thừa, nhưng nó lại rất hiệu quả, giúp thể hiện động lực học một cách dễ dàng và gọn gàng.
Hệ thống của chúng tôi được mô tả bởi trạng thái [r, v, q] T, trong đó r = [r x, r y, r z] T biểu thị vị trí 3-D của xe, v là tốc độ xe trong khung toàn cục, được tính bằng đạo hàm theo thời gian (v ≡ dr/dt), và q = q t + iq x + jq y + kq z là một quaternion đơn nhất, thỏa mãn điều kiện q t 2 + q 2 x + q 2 y + q z 2 = 1, thể hiện hướng di chuyển của xe Việc phân tích động lực học và các quan sát từ camera có thể được thực hiện dễ dàng bằng cách biểu diễn tất cả các vectơ 3-D dưới dạng quaternion Cụ thể, với một vectơ 3-D w = [w x, w y, w z] T, chúng tôi kết hợp nó với quaternion tưởng tượng: w ≡ 0 + i w x + j w y + k w z.
Trong bài viết này, chúng tôi thảo luận về việc sử dụng máy ảnh để quan sát một trạng thái cụ thể, với q ¿ là liên hợp của q Máy ảnh cung cấp hướng của tính năng trong khung cục bộ, tức là nó cung cấp vectơ đơn F / ¿ F ∨¿ Điều này cho phép chúng tôi giả định rằng máy ảnh cung cấp hai tỷ lệ, y 1 =F x / F z và y 2 =F y / F z.
F=[ F x , F y , F z ] T thể hiện vị trí của tính năng trong khung hình, có cùng hướng với khung toàn cầu nhưng nguồn gốc trùng với khung cục bộ là −r Sản phẩm F tứ giác được xác định là F ´ =−q ¿ ´ r q Chức năng quan sát từ máy ảnh được mô tả bởi h cam ( ´ r , v , q ´ )=[ y 1 , y 2 ] T = [ ( ( q q ¿ ¿ r q ´ ´ r q ) ) x z , ( ( q q ¿ ¿ r q ´ ´ r q ) ) y z ] T, trong đó x, y và z tương ứng với các thành phần của tứ giác k Ràng buộc q ¿ q =1 cần được xem xét và có thể xử lý như một quan sát bổ sung với h const ( ´ r , v , q)=q ´ ¿ q.
Trường hợp với nhiều tính năng
Chúng tôi phân tích trường hợp khi máy ảnh quan sát các tính năng Nf và điều chỉnh khung toàn cầu cho một trong những tính năng đó Để biểu diễn, chúng tôi sử dụng vectơ 3-D chứa tọa độ Descartes của đối tượng thứ i (i=0,1,…,Nf-1), với giả định rằng khung toàn cầu gắn liền với tính năng thứ 0, tức là d0=[0 0 0]T Hệ thống mới được mô tả bởi trạng thái [r, v', q, d'1,…, d'Nf-1]T có kích thước 7+3Nf Động lực của trạng thái này được xác định bởi phương trình (8) và điều kiện d˙i=[0 0 0]T cho i=1,…,Nf-1.
Vị trí F i của tính năng thứ i trong khung cục bộ thu được tích số bậc 4:
F ´ i =q ¿ ( d ´ i −´ r ) q Chức năng quan sát tương ứng là: h cam i = [ ( ( q q ¿ ¿ ( ( d d ´ ´ i i −´ −´ r r ) ) q q ) ) x z , ( ( q q ¿ ¿ ( ( d ´ d ´ i i −´ −´ r r ) ) q q ) ) y z ] T i=0,1 , …, N f −1
(12) trùng với quan sát ở (9) khi i = 0 Tóm lại, trường hợp của các đối tượng Nf được mô tả bởi trạng thái [ r , ´ v , q , ´ d ´ 1 , … , d ´ N ,−1 ] T , động lực học được cho trong
(8) và (11), và các quan sát được đưa ra trong (12) và (10)
Trường hợp có thiên vị
THUỘC TÍNH QUAN SÁT
Chúng tôi nghiên cứu khả năng quan sát của hệ thống động lực được mô tả trong (8) và quan sát trong (9) và (10) Bài viết sẽ phân tích cả hai trường hợp không có trọng lực (Phần V-A) và có trọng lực (Phần V-B) Thêm vào đó, trong Phần V-C, chúng tôi sẽ xem xét tình huống khi máy ảnh quan sát nhiều thuộc tính cùng lúc, cụ thể là các thuộc tính được xác định bởi (8), (10), (11) và (12) Cuối cùng, chúng tôi sẽ điều tra ảnh hưởng của độ lệch lên các cảm biến IMU trong Phần V-D.
Phân tích khả năng quan sát trong phần này xem xét tất cả các bậc tự do (DOF) được cho phép bởi động lực học Khả năng quan sát của các chế độ này yêu cầu phương tiện di chuyển dọc theo tất cả các DOF Tuy nhiên, các chế độ có thể trở nên không thể quan sát được khi xe thực hiện các chuyển động đặc biệt Trong Phần VI, chúng tôi sẽ thảo luận về các đặc tính quan sát được liên quan đến chuyển động của xe trong những tình huống đặc biệt.
Trường hợp không có trọng lực
Khi đặt g = 0 trong (8), việc tính toán trực tiếp các dẫn xuất Lie và độ dốc của chúng cho phép phát hiện ba đối xứng cho hệ thống kết quả Các đối xứng này được biểu diễn như sau: w s Ro t x = [ 0 −r 2 r y 0 −v 2 v y −q 2 x q 2 t −q 2 z q 2 j ] 2, w s Ro t y = [ r z 0−r z v z 0−v x q 2 y q 2 z q 2 t q 2 x ] 2 và w s Ro t x = [ −r y r x 0 − v y v x 0 −q 2 z −q 2 y q 2 x q 2 t ] 2.
Theo định nghĩa 1, các vectơ này trực giao với tất cả các gradient của các dẫn xuất Lie Những đối xứng này có thể được suy ra từ sự bất biến của hệ thống đối với phép quay quanh ba trục Ví dụ, một số thập phân quay có độ lớn ϵ về trục tung sẽ làm thay đổi trạng thái như sau: [ r r r x y z ] → [ r r r x y z ] + ϵ [ −r r 0 x y ], [ v v v x y z ] → [ v v v x y z ] + ϵ [ − v 0 v x y ], [ q q q q t x y z ] → [ q q q q t x y z ] + 2 ϵ [ − −q q q q x t z y ], và [ r v q ] → [ v q r ] + ϵ w s Ro t z.
Để xác định tất cả các đối xứng của hệ thống, chúng ta cần phát hiện bảy dẫn xuất Lie độc lập, bên cạnh các phép đối xứng quay Trong Phụ lục A, chúng tôi đã đưa ra một lựa chọn khả thi cho các dẫn xuất này Chúng tôi đã phát hiện tất cả các điểm đối xứng qua hai bước: đầu tiên, sử dụng hệ thống bất biến trong các phép quay để tìm ra ba đối xứng ngay lập tức; sau đó, với bảy dẫn xuất Lie độc lập, chúng tôi khẳng định rằng đây là tất cả các đối xứng của hệ thống.
Theo Tính chất 1, mọi phép đối xứng đều liên quan đến một phương trình đạo hàm riêng như đã nêu trong (7) Do đó, tất cả các chế độ quan sát phải thỏa mãn đồng thời ba phương trình đạo hàm riêng Hệ thống của chúng tôi có mười biến, vì vậy số nghiệm độc lập thỏa mãn cả ba phương trình là 10 - 3 = 7.
Khi ba đối xứng được phát hiện, nguồn gốc của chúng trở nên dễ dàng xác định Khoảng cách từ đối tượng đến máy ảnh, ký hiệu là | r |, là một nghiệm của ba phương trình Điều này có thể được kiểm tra thông qua các phương trình đạo hàm riêng liên quan đến các phép đối xứng, và cũng có thể được chứng minh bằng nhận xét rằng tỷ lệ tuyệt đối không thay đổi trong các phép quay Như vậy, khoảng cách của đối tượng địa lý có thể quan sát được và là một trong bảy giải pháp độc lập Máy ảnh cung cấp vị trí của đối tượng trong khung cục bộ với một hệ số tỷ lệ, cho thấy rằng vị trí của đối tượng cũng có thể quan sát được Ba thành phần của vị trí đối tượng trong khung cục bộ là ba giải pháp độc lập, và bằng cách sử dụng quaternion, chúng ta có thể xác định rằng ba giải pháp này là các thành phần của quaternion tưởng tượng q ¿ v q ^ Hơn nữa, ba phương trình đạo hàm riêng không thay đổi dưới phép biến đổi r ↔ v, dẫn đến ba nghiệm độc lập khác là các thành phần của hàm số ảo q ¿ v q ^ Về mặt vật lý, điều này cho thấy tốc độ của xe trong khung địa phương cũng có thể quan sát được Cuối cùng, nghiệm cuối cùng là q ∗ q, được quan sát trực tiếp và có thể xác minh rằng nó thỏa mãn ba phương trình đạo hàm riêng.
Kết quả phân tích cho thấy thuộc tính 2 (Chế độ có thể quan sát không có trọng lực) mang lại những thông tin quan trọng về cách thức hoạt động trong môi trường không trọng lực Những phát hiện này giúp hiểu rõ hơn về các hiện tượng vật lý diễn ra trong điều kiện này.
Trong trường hợp không có trọng lực (g = 0), chúng ta xem xét hệ thống được xác định bởi các phương trình (8) - (10) Hệ thống này có bảy chế độ quan sát độc lập, bao gồm ba thành phần của hàm số ảo q ¿ r q ^ (vị trí của đối tượng địa lý trong khung địa phương), ba thành phần của quaternion ảo q ¿ v q ^ (tốc độ trong khung cục bộ), và một thành phần tiêu chuẩn của quaternion q ¿ q.
Trường hợp có trọng lực
Chúng tôi đã điều tra các thuộc tính quan sát khi g = 0 và phát hiện rằng trọng lực phá vỡ hai trong ba hội nghị đối xứng quay, chỉ giữ lại sự bất biến đối với các vòng quay quanh trục dọc Điều này dẫn đến việc w s Rot x và w s Roty không còn là đối xứng cho các hệ thống mới Qua việc tính toán trực tiếp các dẫn xuất Lie, chúng tôi xác định được chín dẫn xuất Lie độc lập Kết quả cho thấy hệ thống chỉ còn 1 đối xứng, đó là w s Rot z.
Phương trình vi phân riêng phần được liên kết với w s Rot z là: ¿−2 r y ∂ Λ
Số lượng giải pháp độc lập Λ được xác định bằng công thức Λ(r x , r y , r z , v x , v y , v z , q t , q x , q y , q z ) bằng số biến (10) trừ đi số phương trình (1) Kết quả cho thấy trong trường hợp này, chúng ta có thêm hai chế độ quan sát được.
Hai giải pháp này có ý nghĩa vật lý liên quan đến góc cuộn và cao độ Giải pháp đầu tiên cung cấp góc cuộn được tính bằng công thức R=arctan(2Qr), trong khi giải pháp thứ hai cung cấp góc cao độ với công thức P=arcsin(2Qp) Cuối cùng, chúng tôi nhận xét về biểu thức của yaw.
Các kết quả phân tích thu được trong phần này có thể là tóm tắt với tính chất sau
Chế độ quan sát với trọng lực trong hệ thống được xác định bởi các phương trình (8) - (10) cho thấy có tổng cộng 9 chế độ quan sát độc lập Trong đó, có 7 chế độ quan sát áp dụng cho trường hợp không có trọng lực, kết hợp với cuộn và cao độ góc.
Trường hợp với nhiều tính năng
Giả sử rằng chiếc xe đang quan sát đồng thời N f >1 đối tượng địa lý.
Hệ thống mới được đặc trưng bởi ( 7+ 3 N f )-trạng thái chiều [ r , ´ v , q ´ 1 , d ´ 1 ,… , d N i −1 ] T , của ai động lực học được đưa ra trong (8) và (11), và các quan sát được cho trong (12) và (10)
Tất cả các quan sát từ máy ảnh đều giữ tính bất biến khi áp dụng các đối xứng tương tự như trong trường hợp của một tính năng đơn lẻ Ví dụ, các quan sát từ camera không thay đổi ngay cả khi trạng thái ban đầu khác nhau.
Khi một hệ thống được quay quanh trục tung, góc nghiêng không thể quan sát được trong điều kiện có trọng lực Ngược lại, trong trạng thái không có trọng lực, cả góc cuộn và góc nghiêng cũng không thể được quan sát Do đó, số chế độ độc lập trong trường hợp có trọng lực không vượt quá 6 + 3 N f, trong khi trong trạng thái không có trọng lực, con số này chỉ là 4 + 3 N f.
Dựa trên kết quả trước đó, chúng tôi nhận thấy rằng vị trí của từng đối tượng địa lý trong khung cung cấp ba chế độ quan sát Hơn nữa, phương tiện tốc độ trong khung cục bộ cũng cung cấp ba chế độ quan sát khác nhau Một trong số đó là chế độ tiêu chuẩn của quaternion Do vậy, cả trong trường hợp có và không có trọng lực, chúng ta đều có thể áp dụng những chế độ này.
Trong trường hợp không có trọng lực, tất cả các chế độ quan sát đều có thể được nhận diện Tuy nhiên, khi có trọng lực, góc cuộn và góc cao độ cũng trở thành các chế độ quan sát khả thi, nhờ vào tính năng độc đáo của chúng.
Các kết quả phân tích rút ra trong phần này có thể là tóm tắt với tính chất sau
Chế độ có thể quan sát với nhiều tính năng được xác định bởi các hệ thống (8), (10), (11) và (12) Tất cả các chế độ quan sát độc lập đều là thành phần của quaternion tưởng tượng q ¿ (d i −´ r) q, với i = 0, 1, , Nf − 1, thể hiện vị trí của các đối tượng trong khung cục bộ Ba thành phần của hàm số ảo q ∗ vqˆ mô tả tốc độ xe trong khung cục bộ, trong khi tích q ¿ q đại diện cho định mức của quaternion Ngoài ra, khi có trọng lực, góc cuộn và góc cao độ cũng trở thành các chế độ có thể quan sát được.
Trường hợp có thiên vị
Trong phần này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng ngay cả khi máy ảnh chỉ quan sát một đặc điểm duy nhất, những sai lệch ảnh hưởng đến gia tốc kế và con quay hồi chuyển vẫn có thể được phát hiện Hệ thống được xem xét có trạng thái [ r v q A bias Ω bias ] T với kích thước 16, thỏa mãn động lực học nêu trong (13) Cuối cùng, hệ thống này được đặc trưng bởi các quan sát được trình bày trong (9) và (10).
Trạng thái không thể quan sát được, ngay cả khi không có sự thiên vị, khiến việc ước tính độ lệch góc trở nên không khả thi Hệ thống này không thay đổi khi thực hiện các phép quay quanh trục tung Do đó, các chế độ quan sát được của hệ thống phải thỏa mãn điều kiện (15), trong đó Λ phụ thuộc vào các thành phần của hệ thống.
Một hệ thống có thể có sự bổ sung đối xứng, tuy nhiên, các chế độ quan sát cần thỏa mãn các phương trình đạo hàm riêng Để chứng minh rằng hệ thống này có một phép đối xứng duy nhất, cần cung cấp 15 đạo hàm Lie độc lập Qua tính toán trực tiếp bằng công cụ tính toán MATLAB, chúng tôi đã xác định được 15 đạo hàm Lie độc lập, bao gồm: L 0 y 1, L 0 y 2, L 0 h const, L f 1 0 y 1, và L f 1 0 y 2.
Chúng tôi đã xác định rằng không thể có hơn 15 đạo hàm Lie độc lập, điều này đảm bảo góc yaw không thể quan sát được Các trường vectơ f 0, f 1,…, f 6 không tương ứng với các trường được nêu trong phụ lục A, và cần tính toán từ động lực học được trình bày trong (13) Việc có 15 đạo hàm Lie độc lập cho thấy không có đối xứng bổ sung, và các chế độ quan sát độc lập là các giải pháp độc lập của (15) Chín giải pháp được đề cập trong Phần V-B cùng với sáu thành phần của hai vectơ A bias và Ω bias là các giải pháp tầm thường của (15).
Các kết quả phân tích rút ra trong phần này có thể là tóm tắt với tính chất sau đây.
Hệ thống được xác định bởi các phương trình (13), (9) và (10) cho phép chúng ta quan sát các chế độ độc lập, tương tự như trong trường hợp không có thiên lệch Điều này bao gồm sáu thành phần của hai vectơ thiên lệch A bias và Ω bias.
Trọng lực không xác định
Các kết quả trước đây được dựa trên giả thiết rằng độ lớn của lực hấp dẫn gia tốc g đã được xác định Trong nghiên cứu của chúng tôi [20], chúng tôi đã chứng minh rằng g có thể được quan sát ngay cả trong điều kiện khó khăn nhất, khi cảm biến quán tính bị ảnh hưởng bởi sai lệch và chỉ có một tính năng duy nhất Điều này cho thấy tính khả thi của việc duy trì các đặc tính quan trọng trong các tình huống khó khăn.
Vectơ trọng lực có thể quan sát được, ngay cả khi các phép đo quán tính bị sai lệch hoặc khi một tính năng không khả dụng.
VI KHẢ NĂNG QUAN SÁT ĐỐI VỚI CÁC ĐỐI TƯỢNG ĐẶC BIỆT
VÀ MỘT SỐ HÌNH ẢNH MÁY ẢNH
Mục tiêu của phần này là thảo luận về hai vấn đề sau:
1) tính toán của các đặc tính quan sát được đối với quỹ đạo của xe đặc biệt;
2) tính toán số lượng hình ảnh máy ảnh tối thiểu cần thiết cho khả năng quan sát của các chế độ dẫn xuất trong Phần V.
Như chúng ta sẽ thấy, vấn đề thứ hai có thể được giải quyết bắt đầu từ kết quả thu được bằng cách xử lý vấn đề đầu tiên.
Quỹ đạo đặc biệt
Chúng tôi tập trung vào việc xác định các thuộc tính khả năng quan sát cho quỹ đạo đặc biệt thông qua việc áp dụng các ràng buộc toán học Bằng cách sử dụng phương pháp đã trình bày trong Phần III, chúng tôi có thể phân tích hệ thống với các động lực học mới và các quan sát tương tự Chúng tôi chỉ xem xét hai trường hợp đặc biệt, cho phép thu được các điều kiện cần thiết quan trọng với số lượng hình ảnh máy ảnh tối thiểu Tuy nhiên, nhiều chuyển động đặc biệt và cấu hình tính năng có thể làm suy giảm các thuộc tính khả năng quan sát, và một số trường hợp cụ thể sẽ được thảo luận trong Phần VII-B.
Chỗ nghỉ sau đây được giữ.
Khi xe di chuyển với gia tốc không đổi, tất cả các chế độ chuyển động đều được suy ra từ tính chất 7, cho phép khả năng quan sát hiệu quả hơn trong việc phân tích chuyển động.
V là có thể quan sát được, ngoại trừ độ lớn của gia tốc trọng trường
Bằng chứng: Bằng chứng được cung cấp trong [20]
Một trường hợp đặc biệt của gia tốc không đổi là khi tốc độ không thay đổi Trong tình huống này, chúng ta có lợi thế khi biết trước độ lớn của lực hấp dẫn.
Tính chất 8 đề cập đến khả năng quan sát khi xe chuyển động với tốc độ không đổi dưới tác động của trọng lực Khi đã xác định được độ lớn của trọng lực, tất cả các chế độ trong Phần V có thể được quan sát theo một hệ số tỷ lệ nhất định.
Hệ thống của chúng tôi được đặc trưng bởi các động lực được nêu trong (8), trong đó phương trình thứ hai được thay thế bằng ˙ v=0 ˙ và tham số g đã được xác định trước Hệ thống đầu ra được trình bày trong (9).
Chúng tôi sử dụng các quan sát từ máy đo gia tốc để suy ra các chế độ quan sát được của hệ thống Để thực hiện điều này, trước tiên cần phát hiện các đối xứng của hệ thống Thay vì tính toán các dẫn xuất Lie, chúng tôi nhận thấy rằng trong trường hợp chuyển động chung, hệ thống được đặc trưng bởi một đối xứng xa hơn Động lực học của hệ thống là bất biến khi thay đổi r → λr và v → λv, với λ là số thực, và các quan sát cũng giữ tính bất biến tương ứng với sự thay đổi này.
Chúng tôi kết luận rằng khi xe không tăng tốc, hệ thống thiếu thông tin để xác định tỷ lệ tuyệt đối Kết quả này cũng áp dụng trong trường hợp có nhiều tính năng, cho thấy rằng bất biến tương tự cũng đặc trưng cho các trường hợp khác.
Số lượng quan sát máy ảnh tối thiểu
Phân tích khả năng quan sát hiện tại giả định rằng việc quan sát diễn ra liên tục trong một khoảng thời gian nhất định Tuy nhiên, một số thuộc tính cho phép chúng ta xác định điều kiện cần thiết về số lần quan sát từ camera.
Thuộc tính 9: Chúng ta hãy xem xét các hệ thống được xác định trong
Khi khả năng quan sát của một chế độ yêu cầu phương tiện di chuyển với tốc độ không đổi, chế độ này không thể được xác định chỉ bằng hai hình ảnh từ camera Tương tự, nếu chế độ yêu cầu phương tiện di chuyển không tăng tốc, thì ba máy ảnh cũng không đủ để xác định chế độ này.
Bằng chứng: Bằng chứng được cung cấp trong [20]
Hệ quả của thuộc tính 7-9 chỉ ra rằng theo Định lý 1, để ước tính các chế độ quan sát, cần ít nhất ba hình ảnh từ ba máy ảnh khác nhau Nếu độ lớn của gia tốc trọng trường g không xác định, số lượng hình ảnh tối thiểu yêu cầu sẽ tăng lên thành bốn.
Định lý này bao gồm hai phần: phần đầu tiên là một hệ quả đơn giản từ các thuộc tính 8 và 9, trong khi phần thứ hai là một hệ quả của các thuộc tính liên quan.
Trong hầu hết các trường hợp, gia tốc trọng trường g được xác định với độ chính xác cao, vì vậy việc xem xét lực hấp dẫn chưa biết có vẻ không cần thiết Tuy nhiên, việc nghiên cứu trường hợp này lại mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng.
VII CÁC GIẢI PHÁP MẪU ĐÓNG ĐỂ XÁC ĐỊNH TẤT CẢ CÁC CHẾ ĐỘ QUAN SÁT
Chúng tôi cung cấp các giải pháp dạng đóng cho phép quan sát trực tiếp các phép đo cảm biến trong khoảng thời gian ngắn Để đảm bảo rõ ràng, chúng tôi bắt đầu với các giải pháp trong điều kiện không có trọng lực (xem Phần VII-A), sau đó là trong sự hiện diện của lực hấp dẫn (xem Phần VII-B) và độ lệch (xem Phần VII-C) Ngoài ra, chúng tôi cũng thảo luận về trường hợp có nhiều tính năng.
A Trường hợp không có trọng lực
Chúng tôi thảo luận về một đặc tính quan trọng, trong đó thuộc tính 2 chỉ ra rằng dữ liệu cảm biến thu thập trong một khoảng thời gian nhất định cung cấp thông tin cần thiết để ước tính tốc độ xe và vị trí của đối tượng địa lý Do đó, chúng tôi bắt đầu bằng cách thể hiện động lực và quan sát trong khung này.
Trong công thức MV + A (17), F đại diện cho vị trí của đối tượng trong khung cục bộ, trong khi V là vận tốc của xe trong cùng một khung Ma trận M phụ thuộc vào tốc độ góc.
Tính hợp lệ của phương trình (17) có thể được xác minh thông qua việc thay thế trực tiếp các biến, cụ thể là bằng cách sử dụng công thức F = −q' ¿ ' r q và V' = q ¿ ' v q Ngoài ra, có thể kiểm tra tính hợp lệ này bằng cách tính toán các đạo hàm theo thời gian của chúng theo phương trình (8).
Trong khung cục bộ, quan sát ở (9) là: h cam =[ y 1 , y 2 ] T = [ F F x 2 , F F y 2 ] T (18)
Trong khoảng thời gian [T0, T0 + T], mục tiêu của chúng tôi là ước tính vị trí của đối tượng địa lý và tốc độ xe tại thời điểm T0, tức là F0 ≡ F(T0) và V0 ≡ V(T0), chỉ dựa vào dữ liệu từ máy ảnh và IMU trong khoảng thời gian này Các phép đo từ IMU thường được cung cấp với tần số cao khoảng 100 Hz, cho phép chúng tôi thực hiện tích hợp Mặc dù chúng ta không biết trạng thái ban đầu [F0, V0]T, nhưng việc ước tính này vẫn rất quan trọng.
Chúng tôi tích hợp số (17) bằng cách giữ lại các thành phần chưa biết của trạng thái ban đầu [F 0, V 0] T Điều này cho phép chúng tôi thu được biểu thức phân tích của trạng thái tại mọi thời điểm t > T 0, dựa trên giá trị ban đầu của nó.
Thuộc tính cơ bản sau đây được nắm giữ
Thuộc tính 10: Vị trí của đối tượng địa lý tại bất kỳ thời điểm nào F
(t) phụ thuộc tuyến tính vào vị trí đặc điểm ban đầu F0 và vào vận tốc ban đầu của xe V0 Nói cách khác:
F (t)=C F (t ) F 0 +C V (t )V 0 +C B (t ) (19) trong đó C F (t) và C V (t) là3 × 3 ma trận và C B (t) là một vectơ 3-D Ngoài ra, C F (t) và C V (t) chỉ phụ thuộc vào Ω(τ), τ ∈ [T 0 , t].
Bằng chứng: Xem Phụ lục B, trong đó C F , C V và C B tính toán
Chúng tôi xem xét các thành phần của F (t),tức là, F x (t; F 0 , V 0 ),
F y (t; F 0 , V 0 ) và F z (t; F 0, V 0) Bằng cách sử dụng (18), chúng tôi có được:
F y (t; F 0, V 0) = y 2 (t) F 2 (t; F 0, V 0) là hai phương trình độc lập trong sáu ẩn số của F 0 và V 0 Theo tính chất 10, các thành phần của F(t) là tuyến tính trên các ẩn số, do đó các phương trình này là tuyến tính Với ít nhất n obs = 3 lần quan sát camera, chúng ta có thể thu được trạng thái [F 0, V 0] T một cách dễ dàng Trong trường hợp n obs = 3, chúng tôi chứng minh rằng sáu phương trình là độc lập, ngoại trừ các trường hợp đặc biệt có xác suất bằng 0 Do đó, các thành phần của F 0 và V 0 có thể thu được bằng cách đảo ngược ma trận (6 × 6) Đối với n obs lớn hơn, chỉ cần tính toán nghịch đảo giả của ma trận (2 n obs × 6).
Trong trường hợp camera quan sát tính năng N f, vị trí của chúng được biểu thị trong khung cục bộ với F i, i=0,1,…,N f −1 Dựa trên Thuộc tính 4, chúng ta có thể ước tính trạng thái [F 0, F 1,…, F N f −1, V] theo động lực học được mô tả bởi phương trình (17), với phương trình đầu tiên được lặp lại cho tất cả các tính năng Các mô hình quan sát camera được thể hiện trong (18) và cũng được lặp lại cho tất cả các tính năng Mỗi quan sát từ camera bao gồm 2 N f phép đo y 1 i, y 2 i, i=0,1,…,N f −1 Tiếp tục như trong trường hợp của một đối tượng, chúng ta thu được một hệ phương trình tuyến tính tương tự như trong (20), với số ẩn số là 3 N f + 3 Khi xem xét các quan sát máy ảnh nobs, số phương trình trở thành 2 n 0bs N f Đặc biệt, với n 0 bs = 2, chúng ta có 4N f phương trình Đối với N f ≥ 3, số phương trình vượt quá số ẩn số.
Theo Định lý 1, các phương trình 4 N f ≥ 3 N f + 3khi N f ≥ 3 không độc lập, do đó số lượng quan sát tối thiểu cần thiết là 3 cho bất kỳ giá trị nào của N f Tuy nhiên, việc tăng giá trị N f sẽ cải thiện độ chính xác của ước lượng.
B Trường hợp có trọng lực
Trong phần VII-A, chúng ta xem xét một đối tượng địa lý với tính năng duy nhất Dựa trên Thuộc tính 3, dữ liệu cảm biến được thu thập trong khoảng thời gian nhất định cung cấp thông tin để ước tính tốc độ xe và vị trí của đối tượng trong khung cục bộ, bao gồm góc cuộn và cao độ tuyệt đối Điều này cho phép chúng ta quan sát và thể hiện sự năng động trong khung cục bộ.
[ V ˙ = F= ˙ M V q=m q ˙ M F−V + A + A g (21) trong đó q là vectơ bốn có thành phần là các thành phần của qaternion, tức là q=[ q t , q x , q y , q z ] T Ma trận M được cung cấp trong Phần VII-A và ma trận m là m≡ 1