123doc vn dap an hsg toan 10 cac truong chuyen duyen hai bac bo

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TỐN Lớp 10h Bài Phương trình cho tương đương với: � ax   x  y   x  z  � by   y  x   y  z  � � cz   z  x   z  y  � Trường hợp 1: Nếu x, y, z dương Khơng tính tổng qt giả sử x �y �z Suy by   y  z   y  x  �0 (vô lý) Trường hợp 2: Nếu x, y, z có số dương, số âm Giả sử z < x, y > Khi ta có  cz   z  x   z  y   (loại) Trường hợp 3: Nếu x, y, z có số âm số dương Giả sử x, y < z > Khi  ax  by   x  y  �0 (loại) Trường hợp 4: Nếu x, y, z âm Giả sử  x �y �z , ta có  ax   x  y   x  z  �0 (loại) Vậy số x, y, z phải có số Từ suy phương trình cho có nghiệm:  0;0;0  ;  a;0;0  ;  0; b;0  ;  0;0; c  Bài 2: Hướng dẫn: Đặt a  x ; b  y ; c  z a; b; c  Bất đẳng thức cho trở thành: a b c 3 f ( a , b, c )  a  b  c (   )� 2 b c c a a b Ta có: f (a, b, c)  f ( a, b, c) nên không làm tính tổng quát giả sử a2 + b2 + c2 = 0.5 0.5 1.0 BĐT cần chứng minh trở thành: a b c   � với 2 3a 3b 3c a,b,c�(0; 3) a a2 �۳ Ta có:  a2 a (a  1) (a  2) 2(3  a ) với a �(0; 3) Tương tự BĐT cịn lại sau cộng lại ta điều cần chứng minh 1.0 1.0 Bài 3: E C M F D O B A Khi ta có PM /( AB )  MD  MB.MF (2) Từ (1) (2) suy MD = ME hay M trung điểm DE Vậy BF qua trung điểm DE Bài 4:  1 � x x3  x   y x3  x   y x  y  x3  x   y   �x  � x2  y 2  x            x   y  x3  x   y     y  x3  x   y  � x2  y2   2 � �3 x  x   y  Giải (2) x,y nguyên dơng nên x  y  Gi¶i (3) a) NÕu y  � x  hc x  (lo¹i) b) NÕu y  � x  x   �  x  1 x  x   � x    suy cã nghiÖm (1;2) y c) NÕu y �3 tõ (3) cã x lẻ x x    3�2 y Do x x �2M 1 mod3  1 y Tõ (3) l¹i cã  x  1  x  x  3   y 1 mod3 y chẵn Giả sử p ớc nguyên tè cña x  x  � p lỴ  � y�2  mod p  2y mod p Do y chẵn nên y số phơng số chÝnh ph¬ng theo  mod p  �  2  Mµ �2 p 1 � 1 p 1  1 �  2  p 1 p 1 p 1 P 1 (4)  mod p  � 1 � 1 �1 mod p  p 1 p  p 5  1 p 1  mod p   mod p  (5)  p  1  p  5 ch½n p2 p số chẵn 8 �p  8m  �� m �� p  m  � Tõ (4) vµ (5) � x � 5 mod8  x x  mod8  Tõ (3) � x  x  �0  mod8  � � x  x  cã íc nguyªn tè dạng 8m ( mâu thuẫn) Vậy phơng trình cã nghiƯm lµ (1;1) vµ (1;2) Bài 5: Bổ đề : Cho < x1 �x2 �x3 �x4 �x5 �x6 �x7 �x8 �3x1 Khi x1  x3  x5  x7 �x2  x4  x6  x8 �  x1  x3  x5  x7  Chứng minh: x1 �x2 ; x3 �x4 ; x5 �x6 ; x7 �x8 � x1  x3  x5  x7 �x2  x4  x6  x8 (1) Ta có Mặt khác x2 �x3 ; x4 �x5 ; x6 �x7 ; x8 �3x1 �x1   x1  x3  x5  x7  Cộng theo vế suy x2  x4  x6  x8 �  x1  x3  x5  x7  ( 1đ) Vào Giả sử a1 ; a2 ; ; a300 trọng lượng táo xếp theo thứ tự tăng dần Theo giả thiết suy  a1 �a2 � �a300 �3a1 Chia  a1 , a2 , , a300  thành 75 nhóm  ,  75 , 150 ,  225  , i  1, 75 Xét hai nhóm bất kì: (1,5đ)  am , am75 , am150 , am 225   an , an 75 , an 150 , an  225  , (m  n  75) ������� am an am  75  an  75 Theo bổ đề am 150 an 150 (0,5đ) am  225 an  225 3am am  am  75  am 150  am  225 �an  an 75  an150  an 225 �  am  am 75  am150  am 225  (0,5đ) Suy trọng lượng nhóm khơng lớn trọng lượng nhóm khác ( 0,5đ) ... Xét hai nhóm bất kì: (1,5đ)  am , am75 , am150 , am 225   an , an 75 , an 150 , an  225  , (m  n  75) ������� am an am  75  an  75 Theo bổ đề am 150 an 150 (0,5đ) am  225 an. .. bổ đề am 150 an 150 (0,5đ) am  225 an  225 3am am  am  75  am 150  am  225 ? ?an  an? ?? 75  an? ??150  an? ?? 225 �  am  am 75  am150  am 225  (0,5đ) Suy trọng lượng nhóm khơng lớn trọng