Chuỗi phuarê và ứng dụng

Phần I. Kiến thức chuẩn bị Đ 1. Không gian L 2 1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản Chúng ta nhận thấy không gian L 2 là không gian định chuẩn tuyến tính. Song nó không phải là không gian ơclit nên không thể đa chuẩn vào trong không gian đó nhờ tích vô hớng. Thật vậy, chẳng hạn nếu lấy trên đoạn [ 0, 2] các hàm khả tích f 1, g = sinx ta thấy rằng, hệ thức ( ) 2222 2 gfgfgf +=++ không thoả mãn trong L 1 . Có thể xây dựng đợc không gian phiếm hàm không những là không gian định chuẩn mà còn là không gian ơclit, chúng ta giả thiết f là hàm thực xác định trên khoảng X nào đó, à(X) < . Định nghĩa 1. Hàm f gọi là hàm bình phơng khả tích trên X, nếu tích phân à dxf )( 2 tồn tại (hữu hạn). Tập hợp các hàm bình phơng khả tích trên X đợc kí hiệu là L 2 (X, à) hoặc viết gọn là L 2 . Các tính chất cơ bản của các hàm bình phơng khả tích. 1 0 . Tích của hai hàm bình phơng khả tích là một hàm khả tích. Tính chất này đợc suy ngay ra từ bất đẳng thức [ ] )()( 2 1 )().( 22 xgxfxgxf + và từ các tính chất của tích phân Lơbegơ. 2 0 . Tổng của hai hàm thuộc L 2 cũng là một hàm thuộc L 2 . 3 0 . Nếu f L 2 và là một số tuỳ ý thì f L 2 . 1 Vì vậy, tập hợp L 2 các hàm bình phơng khả tích là một không gian tuyến tính. Bây giờ ta xác định tích vô hớng và đặt = à dxgxfgf )().(),( . Rõ ràng, tất cả các điều kiện trong định nghĩa tích vô hớng đều thoả mãn. Do đó, khi đa ra các phép toán cộng, nhân với một số và tích vô hớng đối với các hàm bình phơng khả tích, ta đi đến một định nghĩa quan trọng sau đây. Định nghĩa 2. Không gian ơclit mà các phần tử là các lớp hàm bình phơng khả tích t- ơng đơng với nhau, phép cộng các hàm và phép nhân các hàm với một số đợc xác định nh phép cộng và phép nhân thông thờng, còn tích vô hớng đợc xác định bởi công thức = à dxgxfgf )().(),( , thì không gian ấy đợc gọi là không gian L 2 . Bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpxki đợc thoả mãn trong L 2 , ở đây có dạng ààà d)x(g.d)x(f)d)x(g).x(f( 222 và bất đẳng thức tam giác có dạng + à dxgxf 2 ))()(( ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 )()( + àà dxgdxf . Đặc biệt, khi g(x) 1 thì bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpxki biến thành bất đẳng thức ( ) .)().()( 2 2 ààà dxfXdxf (1) Chuẩn trong không gian L 2 đợc bởi công thức ( ) fff , = = ,)( 2 à dxf khoảng cách giữa các phần tử f và g là công thức .))()((),( 2 == à dxgxfgfgf Lợng ( ) = 2 2 )()( gfdxgxf à gọi là độ lệch toàn phơng trung bình của các hàm f và g đối với nhau. 1.2. Tính đầy đủ của không gian L 2 nh lí. Không gian L 2 là không gian đủ. 2 1.3. Sự hội tụ bình phơng trung bình và quan hệ giữa nó với các điều kiện hội tụ khác của dãy phiếm hàm Khi đa chuẩn vào không gian L 2 , chính là ta đã xác định khái niệm hội tụ sau đây đối với các hàm bình phơng khả tích: ,ff n nếu n lim [ ] .0)()( 2 = à dxfxf n Chúng ta gọi sự hội tụ đó là sự hội tụ bình phơng trung bình. Sự hội tụ đó có quan hệ với các kiểu hội tụ khác của dãy phiếm hàm, giả thiết rằng độ đo của không gian X, trên đó các hàm đợc xác định là độ đo hữu hạn. 1 0 . Nếu dãy { } n f các hàm thuộc L 2 (X, à) hội tụ trong không gian mêtric L 2 (X, à), thì nó hội tụ cả trong mêtric L 1 (X, à). 2 0 . Nếu dãy { } n f hội tụ đều thì nó hội tụ bình phơng trung bình. 3 0 . Nếu dãy { } n f hội tụ trung bình thì nó có thể chọn đơc một dãy con { } k n f , hội tụ hầu khắp nơi. Từ sự hội tụ trung bình (và ngay cả hội tụ bình phơng trung bình) của một dãy nào đó, nói chung không kết luận đợc là dãy ấy hội tụ hầu khắp nơi. Thật vậy, vì dãy { } k n f hội tụ trung bình về f 0 và cũng hội tụ bình phơng trung bình, nhng nó không hội tụ về 0 tại một điểm nào. Ngợc lại, dãy { } n f có thể hội tụ hầu khắp nơi nhng không hội tụ trung bình. Chẳng hạn, trên một đoạn, ta xét dãy hàm = )(xf n ), 1 ,0( ,ạáá0 n xvớin xcủailcòntrigiccvới )(xf n 0 với mọi x [0, 1]. Nhng đồng thời 1)( 1 0 = dxxf n với mọi n. Mối quan hệ giữa các loại hội tụ trên một không gian có độ đo hữu hạn có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau 3 Hội tụ đều Hội tụ bình phương phương trung bình Hội tụ hầu khắp nơi Hội tụ trung bình Hội tụ theo độ đo Error: Reference source not found ở đây mũi tên có dấu chấm nghĩa là có khả năng chọn từ dãy hội tụ theo độ đo một dãy con hội tụ hầu khắp nơi. Trờng hợp à(X) = , thì mối quan hệ đợc thiết lập ở trên đây sẽ không có nữa. Chẳng hạn, dãy , 1 nxvới n 0 ,nxvới > hội tụ đều trên toàn trục số về hàm f 0, tuy nhiên nó không hội tụ trung bình, cũng không hội tụ bình phơng trung bình. Hơn nữa, khi à(X) = , thì sự hội tụ bình phơng trung bình không kéo theo sự hội tụ trung bình của dãy đó. Sau nữa là, từ sự hội tụ trung bình nói chung cũng không suy ra sự hội tụ bình phơng trung bình (kết luận cuối cùng này đúng với à(X) < với cả à(X) = ). 4 )(xf n = Đ 2. Hệ trực giao các hàm trong L 2 . Các chuỗi theo hệ trực giao 2.1. Hệ lợng giác Chúng ta xét không gian L 2 (- , ) các hàm bình phơng khả tích trên đoạn [- , ] với độ đo thông thờng Lơbegơ trên đoạn đó. Trong không gian này, các hàm {sinnx, cosnx} (n = 0, 1, 2, ) (2.1) lập nên một hệ trực giao đủ gọi là hệ lợng giác. 2.2. Hệ lợng giác trên đoạn [0, ] Các hàm 1, cosx, cos2x, (2.2) sinx, sin2x, (2.3) lập thành những hệ trực giao đủ trên đoạn [-, ]. Ta chứng minh một trong hai hệ (2.2) và (2.3) là hệ trực giao và đủ trên đoạn [0, ]. Thật vậy, vì 1 trực giao với các hàm còn lại nên - cosnxdx = n 1 sinnx = 0, với n m thì .0 2 cos 2 cos 2 1 coscos = + + = dxx mn x mn mxdxnx Ta chứng minh tính đủ của hệ (2.2). Giả sử f là hàm bình phơng khả tích trên đoạn [0, ]. Ta xác định thêm nó trên nửa đoạn [- , 0) bằng cách đặt f (- x) = )(xf và phân tích nó thành một dãy theo hệ 1, cosnx, sinnx (n= 1, 2, 3, ). Vì bây giờ hàm f xác định trên đoạn [- , ] là hàm chẵn, nên tất cả các hệ số của nó đối sin đều bằng 0, điều này có thể thấy ngay từ công thức của các hệ số đối với một hàm chẵn .f Khi n 1 thì += 0 0 sin)(sin)(sin)( dxnxxfnxdxxfnxdxxf 5 =+= 0 0 0sin)(sin)( nxdxxfnxdxxf . Nói cách khác, hàm đó có xấp xỉ theo nghĩa trung bình với độ đo chính xác tuỳ ý bằng các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của hệ (2.2) trên [- , ] (càng đúng trên [0, ]). Từ đó, suy ra tính đủ của hệ (2.2). Tính đủ của hệ (2.3) trên [0, ] đợc chứng minh tơng tự, bằng cách khai triển hàm )(xf cho trên [0, ] lên nửa đoạn [- , 0) theo công thức f (-x) = - ).(xf Nhờ cách khai triển đó, hàm nhận đợc trên [- , ] là hàm lẻ và đợc khai triển trên đoạn đó theo sin. 2.3. Hệ trực giao Xét không gian các hàm bình phơng khả tích trên đoạn [a, b]. Trong L 2 dãy các hàm { n : n N} đợc gọi là một hệ trực giao nếu 0)()( = b a mn dxxx và 0dx)x( b a 2 n , với mọi n m. Phần II. Chuỗi Phuariê 6 Đ 1. Chuỗi Phuariê 1.1. Chuỗi Phuariê đối với hệ lợng giác Giả sử f là hàm của L 2 (- , ) các hệ số Phuariê của nó ứng với các hàm 1, cosnx, sinnx, đợc kí hiệu là , 2 0 a a n và b n . Vậy theo công thức chung để tìm các bậc hệ số Phuariê, ta có = ,)( 2 1 2 0 dxxf a tức là = ,)( 1 0 dxxfa (1.1) a n = 1 - )(xf cosnxdx, (1.2) b n = 1 - )(xf sinnxdx. (1.3) Chuỗi Phuariê tơng ứng có dạng = + 1 0 2 n a (a n cosnx + b n sinnx). (1.4) Đối với một hàm bất kì f L 2 , thì chuỗi đó hội tụ bình phơng trung bình về chính hàm đó. Nếu S n (x) = = + 1 0 2 k a (a k coskx + b k sinkx), là tổng riêng của chuỗi Phuariê, thì độ lệch bình phơng trung bình của S n (x) đối với f có thể tính theo công thức . 1 22 2 2 0 22 )()( = ++= k k b k a a fx n Sxf Từ những đa thức lợng giác T n (x) = = + 1 0 2 k ( k coskx + k sinkx), 7 với n cho trớc, thì tổng riêng của chuỗi Phuariê S n (x) cho một xấp xỉ tốt nhất (trong mêtric L 2 ) của hàm .f Đối với hệ lợng giác thì bất đẳng thức Betxen có dạng = ++ .)( 1 2 2 1 22 2 0 dxxfba a k kk Vì rằng hệ lợng giác là đủ nên thực ra đối với một hàm bất kì thuộc L 2 sẽ có đẳng thức Pacxêvan = = ++ .)( 1 2 2 1 22 2 0 dxxfba a k kk Đối với bất kì f L 2 , bình phơng các hệ số Phuariê của nó tạo thành một chuỗi hội tụ. Ngợc lại, nếu các số a 0 , a n , b n , ( n = 1, 2, ) sao cho chuỗi 22 nn ba + hội tụ, thì chuỗi = + 1 0 2 n a (a n cosnx + b n sinnx) cũng hội tụ (trong L 2 ) và tổng của nó là hàm có a 0 , a n , b n là các hệ số Phuariê. Tất cả những điều trên đây chỉ nói về các hàm cho trên đoạn [- , ], có thể chuyển những điều đó sang các hàm cho trên đoạn thẳng có độ dài bất kì, chẳng hạn trên đoạn [- l, l]. Nếu f là hàm bình phơng khả tích trên đoạn [- l, l] thì phép thế l t x = tức là lx t = sẽ biến f (t) thành hàm f *(x) = f ( lx ) trên đoạn [- , ]. ứng với nó, ta có a 0 = l 1 l l- f ( l t )dt, a n = l 1 l l- f ( l t )cos l tn dt, b n = l 1 l l- f ( l t )sin l tn dt. Chuỗi Phuariê của hàm f cho trên đoạn có độ dài 2l sẽ có dạng = + 1 0 2 n a (a n cos l tn + b n sin l tn ). 1.2. Chuỗi Phuariê đối với hệ trực giao 8 Xét không gian L 2 các hàm bình phơng khả tích trên đoạn [- , ] và có độ đo Lơbegơ trên đoạn đó. Trong L 2 , ta chọn một hệ trực giao { n : n N} thì mỗi phần tử f L 2 có thể biểu diễn thành tổng của chuỗi f = = 1n nn c , (1.5) đó là chuỗi Phuariê của hàm f theo hệ trực giao { n : n N}. Các hệ số c n là các hệ số Phuariê của hàm f theo hệ trực giao, đợc xác định bởi công thức .))(()().( 1 2 2 2 == àà dxdxxfc nnn n n (1.6) 1.3. Chuỗi Phuariê dới dạng phức Chuỗi lợng giác Phuariê của hàm f trên đoạn [- , ] có thể viết cô đọng hơn nếu sử dụng công thức Ơle cosnx = = + nxvà ee inxinx sin 2 . 2 inxinx ee Nếu đặt các biểu thức này vào chuỗi Phuariê, ta có = + 1 0 2 n a (a n cosnx+ b n sinnx) = = = + 1 0 2 n a (a n 2 inxinx ee + - ib n 2 inxinx ee ). = + + = inx n nn e iba a 1 0 22 . 2 1 inx n nn e iba = + = inx n n ec , = ở đây c 0 = 2 0 a và khi n 1 thì , 2 nn n iba c = . 2 iba c nn n + = (1.7) Biểu thức 9 = )(xf inx n n ec = (1.8) gọi đó là chuỗi lợng giác Phuariê dới dạng phức. Các hệ số c n của chuỗi đó đợc biểu diễn qua a n và b n nhờ đẳng thức (1.7), rất dễ viết và dễ tính trực tiếp. Thật vậy dxee imxinx . = = ,0 .2 nmkhi nmkhi Do đó, khi nhân đẳng thức (1.8) với e - imx (m = 0, 1, 2, ) và lấy tích phân thì chúng ta nhận đợc dxexf imx .)( = 2c m , tức là c m = dxexf imx .)( 2 1 (m = 0, 1, 2, ). (1.9) Khai triển (1.8) vẫn còn có hiệu lực đối với hàm bình phơng khả tích trên đoạn [- , ]. Nói cách khác, các hàm e inx tạo thành cơ sở trong không gian L 2 (- , ) của các hàm bình phơng khả tích của môđun trên đoạn [- , ]. Đồng thời biểu thức (1.9) là tích vô hớng của hàm f với e inx trong không gian phức đó . Hiển nhiên là, nếu thay hàm e inx bởi hàm x l in e thì tất cả các điều chỉ ra ở trên có thể chuyển sang không gian L 2 (- l, l) của các hàm phức trên đoạn đó có độ dài bằng 2l. Đ 2. Điều kiện hội tụ của chuỗi Phuariê 2.1. Định lí. Cho hàm số )(xf tuần hoàn chu kì 2. Khi đó, tổng riêng thứ n của chuỗi Phuariê đợc tính bởi 10 . trực giao nếu 0)()( = b a mn dxxx và 0dx)x( b a 2 n , với mọi n m. Phần II. Chuỗi Phuariê 6 Đ 1. Chuỗi Phuariê 1.1. Chuỗi Phuariê đối với hệ lợng giác. 1.3. Chuỗi Phuariê dới dạng phức Chuỗi lợng giác Phuariê của hàm f trên đoạn [- , ] có thể viết cô đọng hơn nếu sử dụng công thức Ơle cosnx = = + nxvà ee