Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở miền ngoài đờng tròn O kẻ các đờng tiếp tuyến MP và MNP và N lµ c¸c tiÕp ®iÓm a CMR: khi M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua [r]
(1)Đề C©u1: Cho hµm sè y = mx2 +2(m-2)x- 3m + CMR đồ thị hàm số luôn qua hai điểm cố định với giá trị m a b c x y z 0 1 C©u2: Gi¶ sö a,b,c,x,y,z lµ nh÷ng sè kh¸c tháa m·n: x y z vµ a b c x2 y z 1 Chøng minh r»ng: a b c ( x2 y )2 8 ( x y ) C©u3: Cho x > y vµ xy = CMR: x y 25 y 2 x 18 C©u4: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ bpt: y x x Câu5: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) hai điểm A và B Từ điểm M trên d và nằm miền ngoài đờng tròn (O) kẻ các đờng tiếp tuyến MP và MN(P và N lµ c¸c tiÕp ®iÓm) a) CMR: M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp MNP luôn qua hai điểm cố định b) Tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP M di động trên d c) Xác định vị trí M để MNP Bµi lµm C©u1: Giả sử đồ thị hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + luôn qua điểm M(x0;y0) với giá trÞ cña m mx02 + 2(m- 2)x0 – 3m + = y0 víi mäi gi¸ trÞ cña m m(x02 + 2x0- 3) + 2- 4x0- y0= víi mäi gi¸ trÞ cña m x0 1 x x0 x0 0 y0 x0 x0 x0 y0 0 y 2 x y0 14 Vậy đồ thị hàm số y = mx2 +2(m- 2)x- 3m + luôn qua hai điểm cố định (1;-2) và (-3; 14) víi mäi gi¸ trÞ cña m C©u2 a b c 0 x y z ayz + bxz + cxy = Ta cã: x y z x y z 2 xy xz yz x y z 2( xyc xzb yza) a b c a b c ab ac bc a b c abc 2 2 2 x y z x y z 0 1 2 12 = a a b c b c ( x2 y )2 8 ( x y ) C©u3: Cho x > y vµ xy = CMR: ( x y )2 8 ( x y ) 8( x y ) ( x y ) 8( x y ) 0 ( x y ) Ta cã: x y 2( x y ) x y 2( x y) 0 x y 2( x y) x y 2( x y) 2 0 2 x xy y 2( x y ) x xy y 2( x y ) 0 (2) x y x y 0 Luôn đúng C©u5 a) Gọi H là hình chiếu O lên đờng thẳng d Vì O và d cố định nên H cố định Ta cã: ONM 90 (gt) OPM 900 (gt) OPMN nội tiếp đờng tròn OHM OPM 900 Ta l¹i cã: OHPM nội tiếp đờng tròn Năm điểm O, H, P, M, N cùng nằm trên đờng tròn M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp MNP luôn qua hai điểm cố định O vµ H b) Vì đờng tròn ngoại tiếp MNP luôn qua hai điểm O và H nên tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP nằm trên đờng trung trực OH Vậy M di động trên d thì tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP nằm trên đờng trung trực ®o¹n th¼ng OH c) Khi MNP NMP = 600 OMN OMP = 300 OP = OM OM = 2.OP = 2R Vậy M cách O khoảng 2R thì MNP §Ò thi häc sinh giái líp C©u1: Gi¶i pt: ( x 1)( x 1) 2 x Cho pt: x2- 2mx + 2m – = a) Chøng tá r»ng pt cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) §Æt A = 2(x12 + x22)- 5x1x2 CM: A = 8m2- 18m + 1 1 C©u2: a) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt: x y z 1 1 b) Cho ba sè d¬ng a,b,c tháa m·n: a2 + b2 + c2 = CM: a b c a.b.c x y xy 7 2 C©u3: Gi¶i hÖ pt: xy x y 12 C©u4: Cho hbh ABCD vµ I lµ trung ®iÓm cña CD §êng th¼ng BI c¾t tia AD t¹i E a) CMR: BIC = EID b) Tia EC c¾t AB t¹i F CMR: FC//BD c) Xác định vị trí điểm C đoạn thẳng EF Câu5: Từ điểm S bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến đờng tròn CMR: nÕu AB = CD th× SA = SC Bµi lµm C©u1: Gi¶i pt: ( x 1)( x 1) 2 x §iÒu kiÖn: -1 x 1 Ta cã: ( x 1)( x 1) 2 x x 1 1 x x 2 x x 1 x 0 x x 1 x x x 0 x 2 x 2(*) (*) x 2 x 1- x = + 4x + x + x = - 4- 5x x 0 x (3) 4 x 4 4 24 x x x 0 x 5 25 16 x 16 25 x 40 x 16 25 x 24 x 0 24 x 25 x2- 2mx + 2m – = (1) / a) Ta cã: = (-m)2- 1.(2m- 1) = m2- 2m + = (m- 1)2 V× (m- 1)2 0 víi mäi m nªn pt (1) lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) Ta cã: A = 2(x12 + x22)- 5x1x2 = 2(x1 + x2)2 – 9x1x2 Theo vi-et ta cã: x1 + x2 = 2m x1.x2 = 2m- A = 2(2m)2- 9(2m- 1) = 8m2- 18m + _®pcm 1 1 x y z x,y,z > C©u2: a) Ta cã: 1 3 Gi¶ sö x y z x y z z z 1 V× z nguyªn d¬ng z = 2;3 1 1 x y x y= * NÕu z = ta cã: =1 z 3 x,y > 1 2 V× x y x y y y y 4 V× y nguyªn d¬ng y = 3;4 1 + NÕu y = x = x = 1 + NÕu y = x = x = 1 1 * NÕu z = ta cã: x y = x y = x,y> 1 2 V× x y x y y y y 3 V× y nguyªn d¬ng y = 2;3 1 + NÕu y = x = x = 1 + NÕu y = x = x = VËy nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt lµ: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2) 1 1 bc ac ab bc ac ab ab ac bc b) Ta cã a b c a.b.c abc abc abc abc 3 2ab 2ac 2bc 2ab 2ac 2bc a b c 2ab 2ac 2bc 5 ( a b c) luôn đúng (4) x y 3 (I ) x y xy 7 x y xy 7 xy 4 2 x y 4 xy ( x y ) 12 xy x y 12 ( II ) xy 3 C©u3: Ta cã: HÖ pt (I) v« nghiÖm x 1 x 3 HÖ pt(II) cã nghiÖm y 3 hoÆc y 1 x 1 x 3 Vậy hệ pt đã cho có nghiệm y 3 y 1 C©u4: a) XÐt BIC vµ EID cã: BCI EDI (so le trong) IC = ID (gt) BIC EID (đối đỉnh) BIC = EID (g.c.g) b) Ta cã: BIC = EID (c©u a) BC = ED Mµ BC = AD AD = ED CD là đờng trung bình AEF CD = AB = BF BFCD là hình bình hành FC // BD c) Vì CD là đờng trung bình AEF (c/m trên) C là trung điểm đoạn thẳng EF C©u5: Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña O lªn AB vµ CD V× AB = CD OH = OK XÐt SOH vµ SOK cã: SO lµ c¹nh chung OH = OK (c/m trªn) SOH = SOK (c¹nh huyÒn- c¹nh gãc vu«ng) SH = SK (1) MÆt kh¸c AB = CD AH = CK (2) Tõ (1) vµ (2) SA = SC §Ò thi häc sinh giái 1 2002 1 x( x 1) 2004 C©u1: a) T×m x N biÕt: 10 x6 y6 z6 3 3 3 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = x y y z z x Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn: xy xy yz yz zx zx 1 C©u2: a) Cho x- y = 4; x2 + y2 = 36 TÝnh x3- y3 b) Cho c¸c sè thùc a, b, x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn: a + b = 3; ax + by = 5; ax + by2 = 12; ax3 + by3 = 31 TÝnh ax4 + by4 y3 C©u3:a) Gi¶i pt: 1 78( y ) y y víi ®iÒu kiÖn y 0 ( x xy y ) x y 185 2 2 b) Gi¶i hÖ pt: ( x xy y ) x y 65 (5) x by 36 C©u4: Gi¶ sö x,y,z lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m tháa m·n diÒu kiÖn sau: 2 x 3z 72 Trong đó b > cho trớc CMR: a) NÕu b 3 th× (x+y+z)max= 36 36 b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 + b Câu5: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN a) CM AMON lµ h×nh vu«ng B) Gäi H lµ trung ®iÓm cña MN CMR: A, H, O th¼ng hµng c) Một đờng thẳng (m) quay quanh A cắt đờng tròn (O) P và Q Gọi S là trung điểm d©y PQ T×m quü tÝch ®iÓm S d) Tìm vị trí đờng thẳng (m) để AP + AQ max e) Tính theo R độ dài HI đó I là giao điểm AO với cung nhỏ MN Bµi lµm 1 2 2 2 x( x 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 x( x 1) C©u1: a) Ta cã: 10 1 1 2 x( x 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 2.3 3.4 4.5 x( x 1) x x Ta l¹i cã: 1.2 1 1 1 1 1 2x 2 2 10 x( x 1) x x 1 2 3 4 x 1 x 1 1 2002 2x 2002 2x 4006 1 1 x( x 1) 2004 x 1 2004 x 2004 Do đó 10 4008 x 4006 x 4006 x 4006 x 2003 1 2002 1 x( x 1) 2004 VËy víi x = 2003 th× 10 x6 x3 y 3 b) *Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số x y và ta có: x6 x3 y3 x6 x3 y x3 3 3 x y x y y6 y3 z3 y6 y3 z3 2 3 y3 3 y z y z T¬ng tù ta cã: z6 z x3 z6 z x3 z z x3 z x3 x6 y6 z6 x3 y y z z x x3 y z 3 3 3 y z z x 4 x y 6 3 x y z 3 3 x y z 3 y z z x x y (1) x MÆt kh¸c: 3 y3 y3 z3 z3 x3 0 x3- x y + y3 + y3- + z3 + z3- z x + x3 0 3 víi mäi x, y, z d¬ng (6) 3 3 3 3 3 3 2(x3 + y3 + z3) 2( x y + y z + z x ) x3 + y3 + z3 x y + y z + z x 3 xy xy yz yz zx zx 1 x +y +z (2) 6 x y z 3 3 Tõ (1) vµ (2) x y y z z x VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = DÊu “ = “ x¶y vµ chØ x = y = z = 3 a1 a2 an an a12 a2 bn b1 b2 bn (*) *C¸ch 2: Ta chøng minh B§T: b1 b2 ¸p dông B§T bunhiacopxki ta cã: a a2 a a a2 a b1 b2 n bn n b1 b2 bn b1 b2 b1 bn b2 bn a12 a2 an a1 a2 an b1 b2 bn bn b1 b2 a1 a2 an a2 a12 a2 n bn b1 b2 bn b1 b2 ®pcm x3 y z x6 y6 z6 x3 y z 3 3 3 3 ¸p dông B§T (*) ta cã: x y y z z x 2( x y z ) (1) 2 3 3 x y y z z x 0 MÆt kh¸c: víi mäi x, y, z d¬ng 3 3 x3- x y + y3 + y3- + z3 + z3- z x + x3 0 3 3 3 3 3 3 2(x3 + y3 + z3) 2( x y + y z + z x ) x3 + y3 + z3 x y + y z + z x 3 xy xy yz yz zx zx 1 x +y +z (2) 6 x y z 3 3 Tõ (1) vµ (2) x y y z z x VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = DÊu “ = “ x¶y vµ chØ x = y = z = C©u2: a) Ta cã: (x- y)2 = x2 + y2- 2xy 2xy = x2 + y2- (x- y)2 = 36- 16 = 20 xy = 10 x3- y3 = (x- y)(x2 + xy + y2) = 4.(36 + 10) = 184 b) Ta cã: ax2 + by2 = (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1) ax3 + by3 = (ax2 + by2)(x + y)- (ax + by)xy (2) ax4 + by4 = (ax3 + by3)(x + y)- (ax2 + by2)xy (3) 5( x y ) xy 12 12( x y ) xy 31 Tõ (1) vµ (2) ta cã ax4 + by4 = 31.3- 12.1= 81 25( x y ) 15 xy 60 36( x y ) 15 xy 93 11( x y ) 33 5( x y ) xy 12 x y 3 xy 1 (7) 1 78( y ) y y víi ®iÒu kiÖn y 0 C©u3:a) Gi¶i pt: 1 1 y 78( y ) y y 78 y y y 79 0 y y y y y y y Ta cã: 1 1 1 y y 81 0 y y 81 0 y y y 0 y y y y y y y y3 y y 0( I ) y 0( II ) y y 0( III ) y (I) y 0 _ v« nghiÖm 77 (II) y - 9y + = y = 77 (III) y2 + 9y + = y = 77 77 2 Vậy pt đã cho có các nghiệm y = ;y= ( x xy y ) x y 185 2 2 b) Gi¶i hÖ pt: ( x xy y ) x y 65 (I) t xyt 185 2t 250 (t xy )t 185 3 3 2 ( t xy ) t 65 t xyt 65 t x y t xyt 65 §Æt (t 0) ta cã hÖ: t 125 t 5 t 5 3 xy 12 t xyt 65 5 xy 60 xy 12 xy 12 xy 12 xy 12 2 2 x y 25 ( x y ) xy 25 ( x y )2 24 25 x y Ta cã (1) xy 12 xy 12 x y 7 ( x y) 49 x y xy 12 x y 7 xy 12 x 3 x 4 x x x y y 4 hoÆc y 3 hoÆc y hoÆc y x 3 x 4 x x Vậy hệ pt đã cho có nghiệm là y 4 y 3 y y x by 36 C©u4: Gi¶ sö x,y,z lµ c¸c sè nguyªn kh«ng ©m tháa m·n diÒu kiÖn sau: 2 x 3z 72 Trong đó b > cho trớc CMR: a) NÕu b 3 by 3y x + by x + 3y x + 3y 36 x + 3y + 2x + 3z 36 + 72 3(x + y + z) 108 x + y + z 36 (x+y+z)max= 36 (8) 36 b) NÕu b<3 th× (x+y+z)max= 24 + b C©u5: a) áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông OAM ta có: 2 2 AM = OA OM R R R Ta cã: AM = AN(T/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau) OM = MA = AN = ON AMON lµ h×nh thoi Mµ OMA = 900 AMON lµ h×nh vu«ng b) Vì AMON là hình vuông (câu a) nên hai đờng chéo OA và MN cắt trung điểm đờng A, H, O thẳng hàng c) Vì S là trung điểm PQ OS PQ S thuộc đờng tròn đờng kính OA Vậy quỹ tích điểm S là đờng tròn đờng kính OA d) Ta cã: AP + AQ = AP + AS + SQ = AS + AP + PS = 2AS Mà S thuộc đờng tròn đờng kính OA AS AO AP + AQ 2AO (AP + AQ)max=2AO Vậy đờng thẳng (m) qua O thì AP + AQ max OA OM AM R2 R2 R 2 ; OI = R e) Ta cã: OH = R (2 2) R HI = OI- OH = R- = §Ò thi häc sinh giái líp C©u1:(3,5®) Gi¶i c¸c pt sau: a) y y y y3 y 10 y y 21 y 1 y 1 y y y 1 1 78 y y y b) Câu2:(4,5đ) Gọi d là đờng thẳng y = 2x + cắt trục hoành M và trục tung N a)Viết pt đờng thẳng d1//d và qua điểm P(1;0) b) d1 c¾t trôc tung t¹i Q, tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? c) Viết pt đờng thẳng d2 qua N và vuông góc với d d) d1 và d2 cắt A Tìm tọa độ A và tính khoảng cách AN xy x y 2 yz 3 yz zx 4 z x C©u3:(2®) Gi¶i hÖ pt: Câu4:(2đ) Tìm giá trị x cho thơng phép chia 2004x + 1053 cho x2 + đạt giá trị bé có thể đợc Câu5:(8đ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và M là điểm nằm trên nửa đờng tròn đó Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lợt t¹i C vµ D a) CMR: CD = AC + BD vµ COD vu«ng b) OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự E và F Xác định tâm P đờng tròn đI qua bốn ®iÓm O, E, M, F c) CM: ACDB có diện tích nhỏ nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ đó d) Khi M chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì điểm P chạy trên đờng nào? Bµi lµm C©u1:(3,5®) Gi¶i c¸c pt sau: (9) a) §iÒu kiÖn y 1 y 10 y y 21 3 y 1 y y y 1 Ta cã: y y y y 1 y 10 y y 21 0 y y 1 y 1 y y 1 y 1 y y 1 y 1 y3 b) 1 78 y y y y3 Ta cã: §iÒu kiÖn y 0 1 78( y ) y y 1 y y 78 y y y y 1 y y 81 0 y y y y 0( I ) y 0( II ) y y 0( III ) y 1 0 y y 81 y y y y 79 0 y y y y y y (I) y 0 _ v« nghiÖm 77 (II) y2- 9y + = y = 77 (III) y2 + 9y + = y = 77 77 2 Vậy pt đã cho có các nghiệm y = ;y= §Ò thi häc sinh giái líp x C©u1:(4d) Cho biÓu thøc: A = x x x x 1 x 3 x a) Rót gän biÓu thøc A b) Tìm x để A < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng A là số nguyên C©u2:(3®) a) T×m nghiÖm nguyªn cña pt: (x+5)2 = 64(x-2)3 b) Sè 2100 cã bao nhiªu ch÷ sè C©u3:(4®) Gi¶i pt vµ bpt sau: a) 1 x x 1 2 x b) x 1 ( x 1)2 2x y 0 y (10) 1 64 a b c C©u4:(2d) Cho a, b, c > vµ a + b + c =1 Chøng minh r»ng: Câu5:(4đ) Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Qua điểm M trên cung nhỏ AB vẽ đờng ' tròn tâm O tiếp xúc với đờng tròn (O) cắt MA, MC lần lợt N và P Chứng minh: a)NP//AC b) MA + MB = MC Câu6:(3đ) Cho MNP có các đỉnh M, N, P lần lợt di động trên ba cạnh BC, AB, AC nhọn ABC cho trớc Xác định vị trí M, N, P để chu vi MNP đạt giá trị nhỏ §Ò thi häc sinh giái líp n¨m häc 2006-2007 C©u1:(4®) Trªn hÖ trôc Oxy a) Viết pt đờng thẳng qua A(-2; 3) và B(1; -3) b) Đờng thẳng AB này cắt trục hoành C và trục tung D Xác định tọa độ C và D TÝnh SOCD c) TÝnh kho¶ng c¸ch CD x y x y 1 20 1 C©u2:(4®) Gi¶i hÖ pt x y x y 1 x x 1 x x 1 1 x x x C©u3:(4®) Cho biÓu thøc: B = 1 x x : 1 x a) Rót gän B 1 b) Víi x = ? th× B = C©u4:(8®) Trong (O;R) cho hai d©y AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau( R AB R ) a) CMR: AB2 + AC2 = 4R2 b) Cho AB = R hãy tính AC và khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB và AC KÎ hai d©y AD vµ BE hîp víi AB gãc 450 DE c¾t AB t¹i P a) CMR: DE AB b) Gọi OF là khoảng cách từ O đến DE Tính khoảng cách từ O đến DE và độ dài các ®o¹n th¼ng PA, PB, PD, PE AB = R 3 Nèi CE Hái ADEC lµ tø gi¸c g×? Trong trêng hîp tæng qu¸t cho hai d©y AB vµ DE vu«ng gãc víi t¹i P CMR: PA2 + PB2 + PD2 + PE2 = 4R2 §Ò thi häc sinh giái ax y 2a C©u1:(4®) Cho hÖ pt x ay 1 a a Gi¶i hÖ pt a = b Với (x;y) là nghiệm hệ pt đã cho, tìm a để x>y A 1 1 2 3 4 2007 2008 C©u2: (4®) Cho biÓu thøc: a Rót gän A b H·y chøng tá gi¸ trÞ cña biÓu thøc A lµ sè v« tØ Câu3: (4đ) Tìm tất các tam giac vuông có độ dài các cạnh là số nguyên và có số đo diện tÝch b»ng sè ®o chu vi C©u4: (3®) Cho ba sè d¬ng a,b,c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a + b + c = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña a2 b2 c2 biÓu thøc: Q b c c a a b (11) Câu5 (5đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Trên cung nhỏ BC lấy điểm D Gäi giao ®iÓm cña A vµ BC lµ E a CM: AE.ED = BE.EC b CM: BD + CD = AD 1 c CM: BD CD DE (12)