Tập hợp giao điểm của d và d’ là đường tròn đường kính AB, với A và B lần lượt là điểm cố định trên d và d’.[r]
(1)ĐÁP ÁN Câu I Ý Nội dung đáp án Tập xác định: D = R y '=0 ⇔ x=0 ¿ x=2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ y '=3 x − x , Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞; ) và ( 2; +∞ ) ; nghịch biến trên khoảng Điểm 0,25 0,25 0,25 0;2 Đồ thị hàm số có điểm cực đại là ( ; ) , điểm cực tiểu là ( 2; − ) lim y =+ ∞ , lim y =− ∞ x →+∞ x →− ∞ Điểm uốn: ( 1; ) , đồ thị vẽ đúng, không dùng bút chì d : y=kx −k d qua I(1;0), có hệ số góc là k ⇒ 0,25 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm d và (C): ⇔ x=2 ¿ x − x −k − 2=0(∗) x −3 x − kx +k +2=0 ⇔ ( x −2 ) ( x − x − k − 2)=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ d cắt (C) ba điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ − <k ≠ 3 M (0 ; 2) , B ( x ; x − x ) , C( x2 ; x −3 x 2) 0,25 0,25 với x1, x2 là hai nghiệm phân biệt khác (*) ⃗ MB ⃗ MC=0 ⇔ 2 ( x x ) − ( x x ) (x1 + x 2)+ ( x x2 ) + x x 2=0 k +2 ¿2 −( k +2)=0 ⇔ − ( k + 2) + ¿ ⇔ ⇔ k +2=0 k=− ¿ ¿ k +2=3− √ k =1− √ ¿ ¿ (thỏa đk) k +2=3+2 √ k=1+2 √ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy II 0,25 d : y=−2 x +2 , d : y=( 1− √ 2)x − 1+ √ , d : y=(1+ √ 2) x − 1− √ kπ ,k ∈Z Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ Phương trình tương đương: 0,25 (2) sin x cos x 15cos x + = 2 2 cos x +sin x 2sin x +cos x 8+ sin 2 x sin x ( 2sin2 x+ cos2 x)+cos x (2cos x +sin2 x) 15 cos x ⇔ = (2 cos2 x+ sin2 x )(2sin x +cos2 x) 8+sin2 x ⇔ 0,25 2(sin x +cos x)+2 sin x cos2 x 15 cos x = 2(sin x +cos x)+5 sin x cos2 x 8+sin 2 x 2(1 −2 sin2 x cos x )+2sin x cos x 15 cos x = 2(1 −2 sin2 x cos x )+ sin2 x cos x 8+sin2 x 2− sin2 x 15 cos x ⇔ = 2+ sin2 x 8+ sin x ⇔ 0,25 ⇔ − 2sin x=15 cos x III x y , b= y +1 x +1 ¿ ab= Ta hệ (I) a2 +b 2= ¿{ ¿ 1 ; Hệ (I) có nghiệm: , 2 Đặt π kπ + ,k∈Z 12 xy xy ⇒ ab= = = xy + x + y +1 xy +3 xy ⇔cos x= ⇔ 7+ cos x =15 cos x a= ⇔ x=± 0,25 0,25 0,25 ( ) (− 12 ; − 12 ) 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( − ; − ) , ( 1; ) 3 0,25 Vẽ ba đồ thị, xác định đúng phần diện tích cần tìm 0,25 0,25 ( 2x ) dx +∫ (4 −2 ) dx x S=∫ − ( ¿ ( x −2 ln |x|) ¿11 + x − 2 −2 ln ln2 Gọi O=AC ∩BD , 0,25 0,25 2x ¿ ln ) 0,25 ¿6− IV (thỏa điều kiện) I =SO ∩ AC' 0,25 đường thẳng qua I, cắt SB, SD B’, D’ SB ' SC ' SI = = = SB SC SO 1 a2 √ a3 √ V SABCD= SA S ABCD = a = 3 12 V SAB ' C ' SA SB' SC ' 1 ⇒ V SAB 'C ' = V SABC = = = V SABC SA SB SC 3 I là trọng tâm tam giác SAC ⇒ V SAD ' C ' SA SD ' SC' 1 = = = V SADC SA SD SC 3 V 0,25 0,25 ⇒V SAD' C ' = V SADC a3 √ V SAB' C ' D ' = V SABCD= 18 Từ giả thiết suy 2≥ a 2+ b2 +c 2+ ab+ bc+ca 0,25 0,25 (3) a+ b ¿2 a+ b ¿2 ¿ 2 ab+a +b 2+ c 2+ ab+ bc+ca (¿¿) ≥ ¿ ab+ ¿ 2¿ 0,25 a+b ¿ 2+(c +a)(c+ b) ¿ a+b ¿ ¿ a+b ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ ⇒ a+b ¿ ( ¿¿)≥ ab+1 ¿ 2¿ a+b ¿ ¿ (c +a)(c +b) 1+ ¿ (1) b+ c ¿ (¿¿) Tương tự, ta được: bc+1 ¿ 2¿ 0,25 b+ c ¿ ¿ (a+ b)( a+c ) 1+ ¿ (2) a+ c ¿ (¿¿) ac +1 ¿ 2¿ a+ c ¿ ¿ (b+ c)(b+ a) 1+ ¿ (3) Từ (1), (2), (3), ta được: a+b ¿2 ¿ b+c ¿2 ¿ c+ a ¿2 a+b ¿2 ¿ b+c ¿2 ¿ a+c ¿2 ¿ ¿ ¿ (c +a)(c +b) ¿ ≥3+ ¿ ¿ ¿ ab+1 ¿ 2¿ Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 0,25 (4) a+ b ¿ ¿ b+ c ¿ ¿ a+ c ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (c +a)(c +b) ¿ a+b ¿2 ¿ b+c ¿2 ¿ c+ a ¿2 Nên ¿ ≥3+ ¿ ¿ ab+1 ¿ 2¿ VIa a+b ¿ ¿ b+ c ¿ ¿ c +a ¿2 ⇒ ¿ ¿ ¿ ¿ ab+1 ¿ B ∈ Ox , B ∈ BC A ∈Ox ⇒ ⇒ 0,25 B (1; 0) A (a; 0) , a ≠ C ∈ BC ⇒ C(1+3 t ; t) ⃗ AB ⃗ AC=0 ⇔(1 − a)(1+ 3t −a)=0 S Δ ABC= AB AC ⇔ a=1( loai) ¿ 1+3 t −a=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇒ |1 −a| √ ( 1+3 t − a )2 +16 t =6 ¿ ¿ 1+3 t −a=0 1+3 t −a=0 t −at=3 Ta được: t − at=−3 ¿{ ¿{ ¿ ¿ 0,25 ⇒|(1− a)t |=3⇒ (1− a)t=3 ¿ (1− a)t=− ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25 (5) ¿ ⇔ a=1+3 t a=1+3 t t 2=1 t 2=−1 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ⇔ t =− t=1 a=−2 a=4 ¿{ ¿{ ¿ Với B (1; 0), C(4 ; 4) , A (4 ; 0) ⇒ G 3; Với B (1; 0), C(−2 ;− ), A(− 2; 0) Gọi M =d ∩( P) Đường thẳng ⇒ M(5; 6; 7) d qua A và song song d ⇒d : d ∩( P)=N ⇒ N (− 3; − ; 1) Ta có ⃗ AC+2 ⃗ AB=0⃗ ⇒ ⃗ NC+2⃗ NM=0⃗ x +1 y z −2 d ': = = 18 24 13 z+ ¿ +1=0 z+1 ¿ +¿ z +1 ¿4 +2¿ ¿ VIIa VIb ( ) ⇒ G (−1 ; − ) x +1 y z − = = ⇒ C ( − 19; − 24 ; −11 ) z+ 1¿2 +1 z+ 1¿ 2+1 ¿ ¿ ¿ ¿ z+ ¿ =0 ¿ ¿ ⇔¿ ⇔¿ ⇔ ⇔ z +1¿ +1=i(z+ 4) z +(2 −i) z +2− i=0(1) ¿ ¿ z+ 1¿ +1=−i(z +4) z +(2+i) z+ 2+ i=0(2) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2+3 i ¿2 ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt là 2i và −2 −i (1) có Δ=−5+12 i=¿ 2−3 i ¿ ⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt là −2 i và −2+i (2) có Δ=−5 −12 i=¿ Nhận thấy d ⊥d ' 0,25 0,25 0.25 0,25 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Tập hợp giao điểm d và d’ là đường tròn đường kính AB, với A và B là điểm cố định trên d và d’ (m+1) x − my+2 m+1=0, ∀ m ⇔ m( x − y +2)+ x1 +1=0, ∀ m ⇔ x − y +2=0 x 1+1=0 ⇔ ¿ x 1=−1 y 1=1 ¿{ A (− 1; 1)∈ d mx +(m+ 1) y − m−2=0, ∀ m 0,25 (6) m(x 2+ y2 −5)+ y − 2=0, ∀ m⇔ x2 + y −5=0 y −2=0 ⇔ ¿ x 2=3 y 2=2 ¿{ ⇔ B (3 ;2) ∈ d ' Phương trình đường tròn: d qua A, d (P) ⇒ ( x − )2+ y − =17 d: x=t y=−2 t z=1 −2 t ¿{{ 0,25 ( ) 0,25 Tâm I (S) thuộc d ⇒ I (t ; −2 t ; −2 t) (S) tiếp xúc (Oxy) và tiếp xúc (P) A ⇒ IA=d (I ,(Oxy)) ⇒3|t |=|1 −2 t | ⇒ t=−1 ¿ t= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 z − ¿2=9 + y+ + z − = (S): x+ 1¿2 + ( y −2 )2 +¿ hay (S ): x − 5 25 ¿ −i √ z= ¿ 1+i √ 1− 2i √3 π π z=2 cos + isin 3 z 2010 −1 2009 ¿ S=1+z +z + .+z z−1 2010 π 2010 π z 2010=22010 cos +i sin =22010 3 ( ) ( )( ) VIIb ( ) ( S=( −22010 ) ) i √3 0,25 * 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (7)