Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm x 2.. - Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản.[r]
(1)CÁC BÀI TẬP VỀ NHÀ (PT, BPT, HPT ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC) Bài I: Giải các phương trình sau: 1/ 4sin x 3sin x 3cos3x / sin x ( 2)cos3 x 1 / 4sin x 3cos3 x 3sin x sin x cos x 0 / 2sin x 3cos3 x sin x 0 / 2sin x 3cos x 16sin x cos x 0 / Sinx 4sin x cos x 0 / tan x sin x 2sin x 3 cos2 x sin x cos x / Sin2 x tan x 3 / Cos x sin x 1 sin x 10 / 3cos x 4sin x cos x sin x 0 Bài II Giải các phương trình chứa thức sau: 11, 3x x 4 x x x 1, x 5 x 2 2, x x ( x 4) x x 12, x 1 x 4 3, 18 x 5 x 4, 3 13, x 2 x x 2 x x 2 5, x x x 2 x 2 6, x( x 1) x( x 2) 2 x 2 14, x 14 x x x 20 5 x 15, x x 8 16, 8, x x 2 x x 2 9, x x x x 3 x 3x 2 17, x x 2 x x x 3 7, x x 1 2x 18, 2x2 4x x 3 2 19, x 13x 3x 10, x x 3 x x Bài III: Giải các hệ phương trình sau: 20, 5 x x2 x x2 x 1 4 (2) 2 x y x 2 y x y 1, 9, 1 x y y x 2 y x x(3x y )( x 1) 12 x y x 0 2, x y x y 4 x( x y 1) y ( y 1) 2 10, x y 5 x x y y 13 3, x y 3x y 4 11, 3x xy 16 x xy y 8 4, x 1 y y x 4 y x 1 y x y 12, x y 1 x y 7 y x 7 5, 13, x x y 1 0 x y 0 x 6, xy x y x x 2x xy y y2 x y 2y 9 14, 2 xy x y x y x 12 y 3 7, y 36 x 25 60 x 2 z 36 y 25 60 y 2 x 36 z 25 60 z 15, x xy y 3( x y ), x xy y 7( x y ) 8, x x y y x 3 y 1 16, xy x 7 y 2 x y xy 13 y (3) HDG CÁC BTVN Bài 1: 1/ 4sin x 3sin x 3cos4 x sin x 3cos3 x 1 sin x cos3 x sin x sin 2 3 k 2 x 18 6 x k 2 / sin 3x ( 2)cos3 x 1 3x 2t ( 2)(1 t ) Coi : t tan 1 ( 1)t 2t (3 2 1 t 1 t k 2 3x x tan t 1 x 2 k 2 tan x t / 4sin x 3cos3 x 3sin x sin x cos x 0(1) 3) 0 * Xét sinx 0 3cos3 x 3 0 cot x 1 x k (1) 3cot x 3(cot x 1) cot x 0 cot x x k cot x / 2sin x 3cos3 x sin x 0 3cos3x sin x 2sin x cos3 x sin x sin x 2 5 cos x sin x cos( x) k 5 3x x k 2 x 24 5 3x 5 x k 2 x 2 k (4) / 2sin x 3cos x 16sin x cos x 0 2sin x 3cos x 8sin x.2sin x 0 cos2 x 2sin x 3cos x 8sin x 0 2sin x 3cos x 4sin x 2sin x 0 3cos x 4sin x 5 cos x sin x 1 5 cos Cos(2 x ) 1 x k ;(k ); sin / Sinx 4sin x cos x 0(1) Nê ' u : cos x 0 Sinx 4sin x 3 0 t t anx (1) t anx(1 tan x) tan x tan x 0 3t t t 0 t t anx t anx 1 x k t 1 3t 2t 1 0 / tan x sin x 2sin x 3 cos2 x sin x cos x Chia VT , VP cho cos x ta có : cos x sin x 3 tan x tan 2 x sin x cos x cos x t anx t tan x tan x 3 tan x t anx t t 3t 0 x k t anx t t anx t t t anx x k (5) / Sin2 x tan x 3 Chia VT , VP cho cos x ta có : t tan x tan x tan x(tan x 1) 3(tan x 1) 2t 3t 4t 0 t tan x t anx x k t t t / Cos x sin x 1 sin x Chia VT , VP cho cos x ta có :1 t anx 2 tan x t t anx 2t 3t 0 k t anx 0 x k t anx 10 / 3cos x 4sin x cos x sin x 0 Chia VT , VP cho cos x ta có : tan x tan x 0 x k tan x 1 t t anx 4 t t tan x x k Bài 2: 1, x 5 3x - Điều kiện: x 3 Với điều kiến trên ta biến đổi dạng: dạng f ( x) g ( x) ta giải tiếp x 3x 5 sau đó bình phương vế, đưa - Đáp số: x 4 2 2, x x ( x 4) x x - Đặt t x x , pt đã cho trở thành: t x t x t x 0 t 4 Với t x x x x : vô nghiệm Với t 4 x x 15 0 x 61 (6) - Vậy phương trình có nghiệm: 3, 18 x 5 x 61 x 4 4 - Ta đặt u 18 x 0; v x 0 u v 17 , ta đưa hệ đối xứng loại I u, v giải hệ này tìm u, v suy x - Đáp số: Hệ vô nghiệm 4, x 2 x x * - Điều kiện: x 2 * x - Ta có: x 3 x x6 x x 4 x 3 108 254 x 3; 25 - Đáp số: 5, x x x 2 x - Điều kiện: x 2 x x 0 x 1 x 0 x - Dễ thấy x = -1 là nghiệm phương trình - Xét với x 1 , thì pt đã cho tương đương với: Bình phương vế, chuyển dạng hợp này nghiệm x 1 - Xét với x , thì pt đã cho tương đương với: Bình phương vế, chuyển dạng hợp này là: x 25 25 x ; 1 - Đáp số: x 3 x 2 x f ( x) g ( x) ta dẫn tới nghiệm trường x x 1 2 x 1 f ( x) g ( x) ta dẫn tới nghiệm trường (7) 9 x 0; 8 ĐS: x( x 1) x( x 2) 2 x 6, 7, x431 - Sử dụng phương pháp hệ để giải bài toán, thử lại nghiệm tìm - Đáp số: x 5; 4 14 x x 2 x x t x x t ; x 0; 2; 8, 9, x 3x x 3x 3 2 - Đặt t x 3x x 3x t t t 3 - Phương trình thành: Suy 3 t t 3 t 2 t 1 t t x x 0 x 1; 2 - Vậy tập nghiệm phương trình là x 1; 2 10, x x 3 x x - Điều kiện: x 0 u v u x 2; v x 0 u 2v 3uv - Đặt Giải ta x 2 u v u v u 2v 0 (thỏa mãn) 11, 3x x 4 x x x - Điều kiện: x 1 - Khi đó: 3x x 4 x 3x x 2 Đặt t = 3x x (t 0) ta có: t t t t 0 t 3; t 2( 0) 3x x 3 (8) Giải tiếp phương pháp tương đương, ta nghiệm x 2 12, x 1 x - Điều kiện: x 1 u 1 v 3 u x ; v x - Đặt dẫn tới hệ: u v 1 v v 1 v 3 0 Thế u vào phương trình được: - Đáp số: x 1; 2;10 y 2 x y 2x x y x 1; x 2 y 3 13, x 2 x 14, x 14 x x x 5 x x 1; ;11 ĐS: 15, x x 8 - Giải hoàn toàn tương tự ý bài 1.12 - Đáp số: 16, x 2 2x x 3x 2 x 5 - Điều kiện: - Chuyển vế cho vế dương, bình phương vế ta dẫn tới phương trình Sau đó giải đã học 14 x 1; 3 - Đáp số: 17, x x 2 x x x - Điều kiện: x 7 - Ta có: x x 2 x x x (9) x x 1 x 2 - Đáp số: 18, 2x2 4x x 1 7 x x 2 x 5 x 4 x x x 4;5 x 3 x 3 x 1 2 2 x 1 y x 3 y 1 2 y 1 x - Đặt 17 13 x ; 4 - Đáp số: 19, x 13 x x x 3 x x y 3 3 x y 3x 1 x 3 x 2 y - Đặt 15 97 11 73 x ; 8 - Đáp số: 20, 5 x x2 x x x 4 - Điều kiện: x 1 - PT đã cho x2 1 x x 2 3 x ; 1 5 - Đáp số: Bài 3: 2 x y x 2 y x y 1, - đây là hệ đối xứng loại II - Điều kiện: x 0; y 0 (10) 1 1 x y x y 4 x y xy - Trừ vế theo vế ta được: 2 x x 1 x Với x y , hệ tương đương với Với xy y 2x 2 x , vào pt đầu được: x y x 3x x x x y - Vậy hệ có nghiệm: 2, x; y 1;1 , 1; 1 , x(3 x y )( x 1) 12 x y x 0 2; , 2, 3x y x x 12 3x y x x 8 uv 12 Đặt u 3x y; v x x suy ra: u v 8 u 6 v 2 Giải trường hợp ta dẫn tới đáp số: u 2 v 6 3 11 , 2; , 3, 2 x; y 2;6 , 1; x y 5 x x y y 13 3, 2 - Đây là hệ đối xứng loại I x và y - Đáp số: x; y 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2 3x xy 16 x xy y 8 4, - Đây là hệ đẳng cấp bậc - Nhận xét x = không thỏa mãn hệ, ta xét x 0 , đặt y tx x 2t 16 x 3t 2t 8 Hệ trở thành: - Giải hệ này tìm t, x - Đáp số: x; y 2; 1 , 2,1 x y 7 y x 7 5, x y y x x y (11) ĐS: x; y 11;11 x x y 1 0 x y x y 2 x 1 x y 0 x y x 1 x x2 6, ĐS: 7, x; y 1;1 ; 2; 2 xy 3x y 2 x y x 12 y 3 ĐS: x; y 2; x y 1 x x y 3 0 2 x y x 12 y 3 1 3 3 ; 2; ; 2; ; 6; 2 2 2 x xy y 3( x y ) 2 x xy y 3( x y ) x xy y 3( x y ) y 2 x xy y 0 x xy y 7( x y ) x 2 y x 8, ĐS: x; y 0; ; 1; ; 1; 1 x y 0 x y y x xy 2 y x y x 9, ĐS: ; 2 x; y 1;1 ; x y x y 4 x ( x y 1) y ( y 1) 2 10, ĐS: x; y x y 11, 3x y 4 2; , 2, , 2,1 , 1, x y 0 x y xy x y 1 u x y 0 v x y 0 - Đặt - Đáp số: x y x y xy 4 xy x; y 2; 1 u v 1 u 2 u 2 u v 5 v 1 v (12) x2 1 y x 4 x 1 y y x 4 y y x x y x y y x 1 y 12, ĐS: 13, x; y 1; ; 2;5 x x 7 xy x 7 y y y 2 x y xy 13 y x x 13 y2 y ĐS: x2 1 1 y y x 3 1 x x 7 y y 1 x x y y 13 x; y 1; ; 2;5 xy x2 y x x 2x xy y y2 x y 2y 9 14, ĐS: x; y 0; ; 1;1 y 36 x 25 60 x y f x 2 z 36 y 25 60 y z f y 2 x f z x 36 z 25 60 z 15, 60t f t 36t 25 với x, y, z 0 nên xét hàm f t trên miền 0; , hàm này đồng biến x y z ĐS: 16, 5 ; ; 6 x; y; z 0;0;0 ; (13) x x y y x y 8 x y (1) 2 x y 6(2) x 3 y 1 x 0 x x 0 (Vô lý) x 6 x 6 *) Chia vê ' (1) cho y và vê ' (2) cho y ta có : x x 0 *) Xét y 0 x 3 x x y 8 y y y x 3 y y 8t 3 t y2 x t2 Coi : t t (8t 2) y t y t 0 3t (4t 1)(t 3) t t 12t 0 t (t t 12) 0 t t 3 ) t 0 x 0 y 0(loai) )t 3 x 3 y y y 6 y 1 (3;1), ( 3; 1) )t x y 16 y y 6 y 6 6 ( ; );(4 ; 13 13 13 13 ) 13 6 Vây S 3; 1 , 4 ; 13 13 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang (14) HDG CÁC BTVN Bài 1: 1/ 4sin x 3sin x 3cos4 x sin x 3cos3 x 1 sin x cos3 x sin x sin 2 3 k 2 x 18 6 x k 2 / sin 3x ( 2)cos3 x 1 3x 2t ( 2)(1 t ) Coi : t tan 1 ( 1)t 2t (3 2 1 t 1 t k 2 3x x tan t 1 x 2 k 2 tan x t / 4sin x 3cos3 x 3sin x sin x cos x 0(1) 3) 0 * Xét sinx 0 3cos3 x 3 0 cot x 1 x k (1) 3cot x 3(cot x 1) cot x 0 cot x x k cot x / 2sin x 3cos3 x sin x 0 3cos3x sin x 2sin x cos3 x sin x sin x 2 5 cos x sin x cos( x) k 5 3x x k 2 x 24 5 3x 5 x k 2 x 2 k (15) / 2sin x 3cos x 16sin x cos x 0 2sin x 3cos x 8sin x.2sin x 0 cos2 x 2sin x 3cos x 8sin x 0 2sin x 3cos x 4sin x 2sin x 0 3cos x 4sin x 5 cos x sin x 1 5 cos Cos(2 x ) 1 x k ;(k ); sin / Sinx 4sin x cos x 0(1) Nê ' u : cos x 0 Sinx 4sin x 3 0 t t anx (1) t anx(1 tan x) tan x tan x 0 3t t t 0 t t anx t anx 1 x k t 1 3t 2t 1 0 / tan x sin x 2sin x 3 cos2 x sin x cos x Chia VT , VP cho cos x ta có : cos x sin x 3 tan x tan 2 x sin x cos x cos x t anx t tan x tan x 3 tan x t anx t t 3t 0 x k t anx t t anx t t t anx x k (16) / Sin2 x tan x 3 Chia VT , VP cho cos x ta có : t tan x tan x tan x(tan x 1) 3(tan x 1) 2t 3t 4t 0 t tan x t anx x k t t t / Cos x sin x 1 sin x Chia VT , VP cho cos x ta có :1 t anx 2 tan x t t anx 2t 3t 0 k t anx 0 x k t anx 10 / 3cos x 4sin x cos x sin x 0 Chia VT , VP cho cos x ta có : tan x tan x 0 x k tan x 1 t t anx 4 t t tan x x k Bài 2: 1, x 5 3x - Điều kiện: x 3 Với điều kiến trên ta biến đổi dạng: dạng f ( x) g ( x) ta giải tiếp x 3x 5 sau đó bình phương vế, đưa - Đáp số: x 4 2 2, x x ( x 4) x x - Đặt t x x , pt đã cho trở thành: t x t x t x 0 t 4 Với t x x x x : vô nghiệm Với t 4 x x 15 0 x 61 (17) - Vậy phương trình có nghiệm: 3, 18 x 5 x 61 x 4 4 - Ta đặt u 18 x 0; v x 0 u v 17 , ta đưa hệ đối xứng loại I u, v giải hệ này tìm u, v suy x - Đáp số: Hệ vô nghiệm 4, x 2 x x * - Điều kiện: x 2 * x - Ta có: x 3 x x6 x x 4 x 3 108 254 x 3; 25 - Đáp số: 5, x x x 2 x - Điều kiện: x 2 x x 0 x 1 x 0 x - Dễ thấy x = -1 là nghiệm phương trình - Xét với x 1 , thì pt đã cho tương đương với: Bình phương vế, chuyển dạng hợp này nghiệm x 1 - Xét với x , thì pt đã cho tương đương với: Bình phương vế, chuyển dạng hợp này là: x 25 25 x ; 1 - Đáp số: x 3 x 2 x f ( x) g ( x) ta dẫn tới nghiệm trường x x 1 2 x 1 f ( x) g ( x) ta dẫn tới nghiệm trường (18) 9 x 0; 8 ĐS: x( x 1) x( x 2) 2 x 6, 7, x431 - Sử dụng phương pháp hệ để giải bài toán, thử lại nghiệm tìm - Đáp số: x 5; 4 14 x x 2 x x t x x t ; x 0; 2; 8, 9, x 3x x 3x 3 2 - Đặt t x 3x x 3x t t t 3 - Phương trình thành: Suy 3 t t 3 t 2 t 1 t t x x 0 x 1; 2 - Vậy tập nghiệm phương trình là x 1; 2 10, x x 3 x x - Điều kiện: x 0 u v u x 2; v x 0 u 2v 3uv - Đặt Giải ta x 2 u v u v u 2v 0 (thỏa mãn) 11, 3x x 4 x x x - Điều kiện: x 1 - Khi đó: 3x x 4 x 3x x 2 Đặt t = 3x x (t 0) ta có: t t t t 0 t 3; t 2( 0) 3x x 3 (19) Giải tiếp phương pháp tương đương, ta nghiệm x 2 12, x 1 x - Điều kiện: x 1 u 1 v 3 u x ; v x - Đặt dẫn tới hệ: u v 1 v v 1 v 3 0 Thế u vào phương trình được: - Đáp số: x 1; 2;10 y 2 x y 2x x y x 1; x 2 y 3 13, x 2 x 14, x 14 x x x 5 x x 1; ;11 ĐS: 15, x x 8 - Giải hoàn toàn tương tự ý bài 1.12 - Đáp số: 16, x 2 2x x 3x 2 x 5 - Điều kiện: - Chuyển vế cho vế dương, bình phương vế ta dẫn tới phương trình Sau đó giải đã học 14 x 1; 3 - Đáp số: 17, x x 2 x x x - Điều kiện: x 7 - Ta có: x x 2 x x x (20) x x 1 x 2 - Đáp số: 18, 2x2 4x x 1 7 x x 2 x 5 x 4 x x x 4;5 x 3 x 3 x 1 2 2 x 1 y x 3 y 1 2 y 1 x - Đặt 17 13 x ; 4 - Đáp số: 19, x 13 x x x 3 x x y 3 3 x y 3x 1 x 3 x 2 y - Đặt 15 97 11 73 x ; 8 - Đáp số: 20, 5 x x2 x x x 4 - Điều kiện: x 1 - PT đã cho x2 1 x x 2 3 x ; 1 5 - Đáp số: Bài 3: 2 x y x 2 y x y 1, - đây là hệ đối xứng loại II - Điều kiện: x 0; y 0 (21) 1 1 x y x y 4 x y xy - Trừ vế theo vế ta được: 2 x x 1 x Với x y , hệ tương đương với Với xy y 2x 2 x , vào pt đầu được: x y x 3x x x x y - Vậy hệ có nghiệm: 2, x; y 1;1 , 1; 1 , x(3 x y )( x 1) 12 x y x 0 2; , 2, 3x y x x 12 3x y x x 8 uv 12 Đặt u 3x y; v x x suy ra: u v 8 u 6 v 2 Giải trường hợp ta dẫn tới đáp số: u 2 v 6 3 11 , 2; , 3, 2 x; y 2;6 , 1; x y 5 x x y y 13 3, 2 - Đây là hệ đối xứng loại I x và y - Đáp số: x; y 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2 3x xy 16 x xy y 8 4, - Đây là hệ đẳng cấp bậc - Nhận xét x = không thỏa mãn hệ, ta xét x 0 , đặt y tx x 2t 16 x 3t 2t 8 Hệ trở thành: - Giải hệ này tìm t, x - Đáp số: x; y 2; 1 , 2,1 x y 7 y x 7 5, x y y x x y (22) ĐS: x; y 11;11 x x y 1 0 x y x y 2 x 1 x y 0 x y x 1 x x2 6, ĐS: 7, x; y 1;1 ; 2; 2 xy 3x y 2 x y x 12 y 3 ĐS: x; y 2; x y 1 x x y 3 0 2 x y x 12 y 3 1 3 3 ; 2; ; 2; ; 6; 2 2 2 x xy y 3( x y ) 2 x xy y 3( x y ) x xy y 3( x y ) y 2 x xy y 0 x xy y 7( x y ) x 2 y x 8, ĐS: x; y 0; ; 1; ; 1; 1 x y 0 x y y x xy 2 y x y x 9, ĐS: ; 2 x; y 1;1 ; x y x y 4 x ( x y 1) y ( y 1) 2 10, ĐS: x; y x y 11, 3x y 4 2; , 2, , 2,1 , 1, x y 0 x y xy x y 1 u x y 0 v x y 0 - Đặt - Đáp số: x y x y xy 4 xy x; y 2; 1 u v 1 u 2 u 2 u v 5 v 1 v (23) x2 1 y x 4 x 1 y y x 4 y y x x y x y y x 1 y 12, ĐS: 13, x; y 1; ; 2;5 x x 7 xy x 7 y y y 2 x y xy 13 y x x 13 y2 y ĐS: x2 1 1 y y x 3 1 x x 7 y y 1 x x y y 13 x; y 1; ; 2;5 xy x2 y x x 2x xy y y2 x y 2y 9 14, ĐS: x; y 0; ; 1;1 y 36 x 25 60 x y f x 2 z 36 y 25 60 y z f y 2 x f z x 36 z 25 60 z 15, 60t f t 36t 25 với x, y, z 0 nên xét hàm f t trên miền 0; , hàm này đồng biến x y z ĐS: 16, 5 ; ; 6 x; y; z 0;0;0 ; (24) x x y y x y 8 x y (1) 2 x y 6(2) x 3 y 1 x 0 x x 0 (Vô lý) x 6 x 6 *) Chia vê ' (1) cho y và vê ' (2) cho y ta có : x x 0 *) Xét y 0 x 3 x x y 8 y y y x 3 y y 8t 3 t y2 x t2 Coi : t t (8t 2) y t y t 0 3t (4t 1)(t 3) t t 12t 0 t (t t 12) 0 t t 3 ) t 0 x 0 y 0(loai) )t 3 x 3 y y y 6 y 1 (3;1), ( 3; 1) )t x y 16 y y 6 y 6 6 ( ; );(4 ; 13 13 13 13 6 Vây S 3; 1 , 4 ; 13 13 ………………….Hết………………… ) 13 (25)