GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao –H Lâm Thao- Phú Thọ HD vội và chưa hiểu hết đề có thể chưa chinh xác mong các bạn kiểm tra lại có thể còn cách khác hay hơn tôi sẽ bổ sung gửi sau.[r]
(1)Hanoi Mathematical Society Hanoi Opens Mathematics Competition 2013 Junior Section Sunday, March 24, 2013 Important: Answer all 15 questions Enter yor answers on the answer sheet provided For the multiple choice questions, enter only the letters ( A,B,C,D or E) corresponding to the correct answers in the answer sheet No calculators are allowed Multiple Choice Questions : Q1 : Write 2013 as a sum of m prime numbers The smallest value of m is: (A) : (B) : (C) : (D) : (E) : None of the above Q2 : How many natural numbers n are there so that n + 2014 is a perfect square (A) : (B) : (C) : (D) : (E) : None of the above Q3 : The largest integer not exceeding [(n + 1) ] - [n ], where n is a natural number, = 2013 2014 , is : (A) : (B) : (C) : (D) : (E) : None of the above 20 Q4 : Let A be an even number but not divisible by 10 The last two digits of A are : (A) : 46 (B) : 56 (C) : 66 (D) : 76 (E) : None of the above Q5 : The number of integer solutions x of the equation below: (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3 x 1) 330 is : (A) : (B) : (C) : (D) : (E) : None of the above Short Questions Q6 : Let ABC be a triangle with area ( cm ) Points D,E and F lie on the sides AB,BC and CA, respectively Prove that : Min{Area of ADF, area of BED, area of CEF} 1/4 ( cm ) (2) Q7 : Let ABC be a triangle with A = 90, B = 60 and BC = 1cm Draw outside of ABC three regular triangles ABD, ACE and BCF Determine the area of DEF Q8 : Let ABCDE be a convex pentagon Gives that SABC = SBCD = SCDE = SDEA = SEAB = ( cm ) Find the area of the pentagon Q9 : Solve the following system in positive numbers x y 1 2 xy x y 10 Q10 : Consider the set of all rectangles with a given perimeter p Find the largest value of S M = 2S p Where S is denoted the area of the rectangle Q11 : The positive numbers a,b,c,d,e are such that the following identify hold for all number x ( x a )( x b)( x c) x 3dx 3x e3 Find the smallest value of d Q12 : If f ( x) ax bx c satisfies the condition | f ( x )| 1, x ä 1,1 Prove that the equation f ( x)=2 x − has two real roots Q13 : Solve the system of equations 1 1 x y 6 5 x y Q14 : Solve the system of equations x3 y x 2 y z 2 y 3z x 3z (3) * Q15 : Denote by Q and N the set of all rational and positive integer numbers, ax b Q * respectively Suppose that x for every x N ax b Ax B Cx for all x N* Prove that there exist integers A, B , C such that x Hướng dẫn Multiple Choice Questions : Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 A(2) E E D B Short Questions Q6 : Let ABC be a triangle with area ( cm ) Points D,E and F lie on the sides AB,BC and CA, respectively Prove that : Min{Area of ADF, area of BED, area of CEF} 1/4 ( cm ) A F D B C E S ADF AD AF S BED BD BE S CEF CE CF Ta có S = AB AC (1) ; S = AB BC (2); S = BC AC (3) ABC ABC ABC (4) Nhân (1); (2), (3) ta có S ABC ¿ ¿ AD+DB BE+EC AF+ FC 2 ( AD BD).(BE EC).( AF FC) ¿ ≤ = 2 2 2 64 AB AC BC AB AC BC ¿ ¿ S ADF S BDE S CEF ¿ Nên ít phải có tam giác cỏ diện tích không lớn ( )( )( ) Q7 : Let ABC be a triangle with A = 90, B = 60 and BC = 1cm Draw outside of ABC three regular triangles ABD, ACE and BCF Determine the area of DEF F B H D C A H E Do BC=1 góc B=600 nên AB= AB= ; AC= √ và D ,B <,F thẳng hàng 2 Các tam giac biết cạnh thì tính diện tích theo công thức với a là cạnh thì a2 √ S= Ta tính SADE kéo dài AD cắt CE H thì AH//BC vì góc BCE=900 nên AH ⊥ CE CE AD HE √ = Suy EH=HC= = √ mà S ADE= 16 Cách khác Gọi H là trung điểm BC ( áp dụng tính chất trung tuyến tam giác vuông và đường cao tam giác cân) (5) ta có 3 S ABD = S ABC= √ ; SBCF =2 S ABC= √ 16 3 3 Kết S DEF = √ + √ + √ + √ = √ (cm2 ) 16 16 16 Q8 : Let ABCDE be a convex pentagon Gives that SABC = SBCD = SCDE = SDEA = SEAB = ( cm ) Find the area of the pentagon A O E D B C Do SABC = SBCD = SCDE = SDEA = SEAB = AB//EC; BC//AD;AC//DE;AE//BD gọi AC cắt BE O ta có EOCD là hình bình hành suy SEOC=SDCE=2 Vì ABCE là hình thang S AOE=S BOC Đặt S AOE=S BOC=x ; (0< x <2) Thì SAOB=2-x ta có S ABCDE =SDEOC + S ABC+ S AOE=4+2+ x=5+ √ (cm ) OB S AOB S COB 2− x x = = ⇒ = OE S AOE SCOE x 2 x +1 ¿ =5 ⇔ ¿ x=√5 − ¿ x= √5+1(loai ; vi: x <2) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 ⇔ −2 x=x ⇔ x +2 x+1=5 ⇔ ¿ Q9 : Solve the following system in positive numbers (6) x y 1 2 xy x y 10 HD Đặt x+ y ¿ ¿ ¿ 1 P= + 2 = + 2+ ≥ xy x + y xy x + y xy ¿ Dấu “=” xảy x=y= Q10 : Consider the set of all rectangles with a given perimeter p Find the largest value of S M = 2S p Where S is denoted the area of the rectangle HD Gọi cạnh hình chữ nhật là a, b (0< a≤ b) ab+2(a+b)+2 ab Ta có S=ab; P=2(a+b) nên M = 2ab +2(a+ b)+2 ⇔ M = ab Áp dụng BĐT ab ≤ a+b P2 = 16 ( ) nên =2+ P + ab ab p+4 ¿2 ¿ 2¿ 16 32 2( p + p+ 16) M ≥ 2+ + = =¿ P p p2 Vậy P+4 ¿ ¿ P+4 ¿2 ¿ 2¿ 2¿ P2 M≤ ¿ Q11 : The positive numbers a,b,c,d,e are such that the following identify hold for all number x ( x a )( x b)( x c) x 3dx 3x e3 Find the smallest value of d HD GT suy ¿ a+b+c =3 d ab+ bc+ ca=3 abc=e ¿{{ ¿ (7) Ta có a+b +c ¿ ≥ 3(ab +bc +ca)=9 ⇔9 d ≥ ⇔d ≥1 a2 +b 2+ c2 ≥ ab+ bc+ca ⇔ ¿ Nên Min( d)=1⇔ a=b=c=e=d=1 Q12 : If f ( x) ax bx c satisfies the condition | f ( x )| 1, x ä 1,1 Prove that the equation f ( x)=2 x − has two real roots ¿ |f (−1)|<1 |f (1)|<1 |f (0)|<1 Từ GT ⇔ ¿ − 1< a −b+ c< − 1< a+b+ c< −1<c <1 ⇔ ¿ −1 −c <a − b<1 −c −1 −c <a+ b<1 −c −1<c <1 ⇔ ¿ − 2< a+b< − 2< a −b< ⇔− 2< a<2 ¿{{ ¿ Ta có ax 2+ bx +c=2 x −1 ⇔ (a − 2) x2 + bx+ c+ 1=0 (*) Ta thấy a-2<0 và c+1>0 nên Δ=b2 − ac> phân biệt suy PT (*) luôn có nghiệm thực Q13 : Solve the system of equations 1 1 x y 6 5 x y 1 −1 Đặt x =a ; y =b giải ta a= a= ; b= ⇒ x=2 ; y=−3 Q14 : Solve the system of equations x3 y x 2 y z 2 y 3z x 3z HD (8) x3 y x ⇔ 2 y z 2 y x 2( x −1)=1 − y 3z x 3z y 2( y −1)=1 − z z ( z − 1)=1− x ¿{{ Ta thấy x=y=z =1 là nghiệm x=0 suy y=1 suy z=1 suy x=1 vô lí tương tự x,y, z khác Với x,y,z khác và khác nhân PT ta x y z ( x −1)( y − 1)( z −1)=( 1− x )(1 − y )(1− z) ⇔ x y z2 =−1 ( vô lí) Vậy x=y=z=1 * Q15 : Denote by Q and N the set of all rational and positive integer numbers, ax b Q * respectively Suppose that x for every x N ax b Ax B Cx for all x N* Prove that there exist integers A, B , C such that x ax b Q * HD vì x for every x N Suy a, b Q ax b Ax B ⇒ aCx+ bC=Ax+ B ⇔( A − aC) x=( B − bC) ;(∗) Cx Ta có C khác từ x * Đẳng thức (*) Đúng với x N ¿ A −aC=0 B − bC=0 ⇔ ¿ A=aC B=bC (**) ¿{ ¿ Vì a, b Q đặt a= m p ; b= n q đó n; q khác 0, m,n,p,q là số nguyên (m;n)=1; (p;q)=1 Khi đó chọn C=BCNN(n;q) thay ào (**) thì A,B, C là số nguyên khác thỏa mãn ax b Ax B x Cx Ví dụ x+ ax+ b = x x ta chọn C=6 đó A=3; B=4 thì x+ 3 x+ = x 6x (9) GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao –H Lâm Thao- Phú Thọ ( HD vội và chưa hiểu hết đề có thể chưa chinh xác mong các bạn kiểm tra lại có thể còn cách khác hay tôi bổ sung gửi sau) (10)