Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều, cạnh a; SA, SB, SC đôi một vuông góc; H là trực tâm của tam giác ABC, D là điểm đối xứng của H qua S.. Chứng minh rằng tứ diện ABCD là tứ diện đề[r]
(1)TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ Ngày thi: 20/01/2013 http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NĂM 2013 Môn: Toán - Khối B, D Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian phát đề) I-PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y = x + mx − (1), m là tham số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành đúng điểm x x π x − 2 2 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: sin sin x − cos sin x + = cos x + xy + y = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 x + xy + y = 2 dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x 1+ x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều, cạnh a; SA, SB, SC đôi vuông góc; H là trực tâm tam giác ABC, D là điểm đối xứng H qua S Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện a +b + c a b c Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c là số dương Chứng minh rằng: ( abc ) ≤ a b c II-PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A-Theo chương trình chuẩn 2 Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn x + y − x + y + = (1), điểm A(1; 3) Lập phương trình tiếp tuyến (1) biết tiếp tuyến đó qua A Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao hai mặt phẳng x = − t x + y + z – = (1), 2x – y + 5z – = (2), d’: y = + 2t Viết phương trình mặt phẳng (α) z = + 2t chứa d và song song với d’ Câu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trình: + x − x2 = x + − x B-Theo chương trình nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1; 7), B(4; -3); C(-4; 1) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 8.b(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : (α ) : 3x + y − z − = Viết phương trình hình chiếu ∆ trên (α) x − 12 y − z − = = , Câu 9.b (1,0 điểm) Chứng minh tổng Cn2+ k + Cn2+ k +1 là số chính phương (với k ∈ ℕ, n ∈ ℕ* ) HẾT _ Họ và tên thí sinh: ……………………………………….Số báo danh:……………… (2) Câu (2,0 điểm) http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1, NĂM HỌC 2012-2013 Môn : TOÁN; KHỐI B, D Đáp án a/ (1,0 điểm) Khi m=3, hàm số trở thành y = x3 + 3x − */ TX Đ: R */ Sự biến thiên: +/ Giới hạn đặc biệt và tiệm cận: lim ( x + 3x − ) = ±∞ x →±∞ +/ Bảng biến thiên: x = y ' = 3x + x = 3x ( x + ) ; y ' = ⇔ x = −2 x -∞ y’ + y -∞ -2 0 - 0 +∞ + +∞ -4 Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2).(0;+∞)…… */ Đồ thị: +/ Ta có y '' = x + 6; y '' = ⇔ x = −1 ⇒ đồ thị có điểm uốn là I(1;-2) +/ Đồ thị cắt Oy điểm (0;-4), Cho y=0 ⇔…… +/ Vẽ đồ thị:…………………………… b/ (1,0 điểm) Hàm số là hàm bậc 3, hệ số x3 là dương, x = y ' = x + 2mx = x ( 3x + 2m ) ; cho y ' = ⇔ x = −2m −2 m Xét hai trường hợp: = ⇔ m = : Hàm đồng biến, đồ thị luôn cắt Ox điểm Khi m ≠ : Đồ thị có cực đại và cực tiểu, bài toán thoả mãn ⇔y(0).y( (1,0 điểm) (1,0 −2 m )>0………………………………… Hạ bậc vế phải và đưa phương trình tích…………… Nhân phương trình thứ với 2, trừ cho phương trình sau rút x theo y, vào phương trình hai ta có phương trình trùng phương Điểm (3) điểm) 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm http://toanhocmuonmau.violet.vn …………………… Ta có I = ∫ x dx ; Đặt + x3 x x dx x dx u = + x3 ⇒ du = ⇒ du = ……………… + x3 + x3 Xét các tam giác vuông chung đỉnh S , dễ thấy chúng suy hình chóp là hình chóp tam giác đều, suy H là tâm tam giác đều; Xây dựng hệ toạ độ có gốc S…… Hai vế bất đẳng thức dương, lấy ln hai vế có bất đẳng thức a+b+c ( ln a + ln b + ln c ) ≤ a ln a + b ln b + c ln c ⇔ ⇔ ( a − b )( ln a − ln b ) + ( b − c )( ln b − ln c ) + ( c − a )( ln c − ln a ) ≥ (1) ⇔ Do hàm số y=lnx đồng biến trên (0;+∞) nên với a,b có (a-b).(lna-lnb)≥ 0, suy điều phải chứng minh 7a 1,0 điểm Xét đường thẳng d qua A, có hai khả năng: */ d vuông góc với trục Ox: vec tơ pháp tuyến d là i =(1;0), suy phương trình d là x=1⇔x-1=0 Đường tròn (1) có tâm I=(3;-1), bán kính r= 32 + 12 − = Khoảng cách từ I đến d −1 12 + 02 = = r ; Ta có tiếp tuyến đường tròn (1) là x-1=0 */ d không vuông góc với trục Ox: d có hệ số góc là k, phương trình d có dạng y = k ( x − 1) + ⇔ kx − y − k + = (2) d là tiếp tuyến đt(1) ⇔ d (I , d ) = r ⇔ 8a 1,0 điểm 9a 1,0 điểm k + − k + k +1 2 = ⇔ k + = k +1 ⇔ k = −3 Thay vào (2) có tiếp tuyến thứ hai Mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là tích có hướng hai vec tơ phương d và d’ và qua điểm đường thẳng d……… Đặt u = x + − x , điều kiện u ≥ 0………… (4)