Chuỗi fourier và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Ánh Huyền Lớp: 09 CTT2 Giáo viên hướng dẫn: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng, tháng 5/2013 SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Chương 1.KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Tích vơ hướng .7 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 10 1.2 Không gian Lp .10 1.3 Không gian 1.4 Hệ hàm trực giao 16 1.5 Hàm khả tích Lebesgue 17 L2   ;   14 1.5.1 Tích phân hàm đơn giản 17 1.5.2 Tích phân hàm đo 17 1.6 Hàm liên tục khúc 18 1.7 Hàm trơn khúc 18 1.8 Các bổ đề định lý 19 1.8.1 Các bổ đề giới hạn .19 1.8.2 Đẳng thức Parseval 22 1.8.3 Định lý Fubini 23 1.8.4 Bất đẳng thức Bessel 23 1.8.5 Bổ đề Riemann- Lebesgue .24 1.9 Nhân Dirichlet nhân Fejer .25 1.9.1 Định lý Fejer 28 SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp 1.9.2 Định lý Weierstrass 29 Chương 2.SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER 31 2.1 Chuỗi Fourier 31 2.2 Một số ví dụ 33 2.3 Phép biến đổi Fourier L1 ( ,  ) 36 2.4 Định lý xấp xỉ tốt .38 2.5 Hội tụ trung bình phương .39 2.6 Hội tụ điểm .41 2.7 Sự hội tụ chuỗi Fourier 44 2.8 Sự hội tụ L1   ,   45 2.9 Sự hội tụ L2   ,   .48 2.10 Tích phân Fourier 50 Chương 3.ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 53 3.1 Ứng dụng chuỗi Fourier để giải toán 53 3.1.1 Sự truyền nhiệt kim loại .53 3.1.2 Nghiệm phương trình điện báo cáp truyền vô hạn 54 3.1.3 Nghiệm toán Dirichlet 61 3.1.4 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng 63 3.2 Bộ lọc điện 64 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Phan Đức Tuấn, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Trong q trình học tập hồn thành luận văn, em nhận quan tâm giúp đỡ nhiều từ khoa Toán, trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng Em xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ quý báu Đồng thời em xin gởi lời cảm ơn đến bạn bè khóa giúp đỡ em trình thực luận văn Cuối cùng, lần em xin trân trọng cảm ơn thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm- ĐHĐN, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình nghiên cứu học tập để em hoàn thành luận văn Đà Nẵng, tháng 05, năm2013 Sinh viên Nguyễn Thị Ánh Huyền SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trị quan trọng giải tích tốn học.Có nhiều tốn tốn học thực tiễn dẫn tới việc nghiên cứu chuỗi Fourier Chuỗi Fourier chuỗi phổ biến, có nhiều ứng dụng khoa học Đặc biệt, sử dụng nhiều toán học vật lý kỹ thuật Từtrước tới nay, nhắc đến chuỗi Fourier ta liên tưởng đến định nghĩa phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier, …mà chưa nghe nhiều hội tụ chuỗi Fourier Với mong muốn hiểu rõ đầy đủ vấn đề chuỗi Fourier nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy Phan Đức Tuấn em mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “ Chuỗi Fourier ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm giúp hiểu rõ giải lớp vấn đề hội tụ ứng dụng chuỗi Fourier Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các khái niệm, tích chất hội tụ chuỗi Fourier ứng dụng chuỗi Fourier.Luận văn chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Gồm kí hiệu, khái niệm bổ trợ cho hội tụ chuỗi Fourier SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp Chương 2: Sự hội tụ chuỗi Fourier Gồm định nghĩa chuỗi Fourier loại hội tụ chuỗi Fourier Chương 3: Ứng dụng chuỗi Fourier Gồm ứng dụng chuỗi Fourier để giải toán số ứng dụng khác Do khuôn khổ luận văn thời gian nghiên cứu, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến bạn đọc, đồng thời em xin chân thành cảm ơn tất ý kiến đóng góp luận văn hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian Hilbert 1.1.1 Tích vơ hướng Trong khơng gian ℝk tích vơ hướng hai vector x  1, 2 , , k  , y  1,2 , ,k  :  x, y    1  22   kk Ta nhận thấy tích vơ hướng  x, y  hai vector x, y ℝk có tính chất sau đây:  x, y    y, x   x  y, z    x, z    y, z   x, y     x, y  với số thực   x, x   x  0;  x, x   x  Vả lại tích vơ hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) vector hệ thức  x, x   x Như phải làm xác định không gian định chuẩn hàm hai biến  x, y  với tính chất 1) – 4) liên hệ với chuẩn hệ thức 5).Một khơng gian định chuẩn mà xác định hàm hai biến  x, y  với điều kiện gọi không gian tiền Hilbert (hay không gian unita) SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp Từ 1) 2) 3) ta có  x  y, x  y    x  y, x  y    x, x    y, y  , kết hợp với 5) ta suy chuẩn không gian tiền Hilbert phải thỏa mãn điều kiện  x y  x y  x  y 2 2  1.1 Đẳng thức 1.1 gọi điều kiện hình bình hành Vậy muốn đưa tích vơ hướng vào khơng gian định chuẩn khơng gian phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành Tóm lại, khơng gian Hilbert chẳng qua không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện hình bình hành 1.1 Nhưng phần lớn ứng dụng, khái niệm tích vơ hướng trước khái niệm chuẩn, lý thuyết không gian Hilbert người ta thường xuất phát từ khơng gian vector (chưa định chuẩn), lấy tính chất 1) - 4) làm tiền đề để định nghĩa tích vơ hướng khơng gian đó, định nghĩa chuẩn 5) tức x   x, x  1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian vector thực X gọi không gian tiền Hilbert, có xác định hàm hai biến  x, y  , gọi tích vơ hướng hai vector  x, y  , với tính chất 1) -4) Ta chứng minh hệ thức 5) tức x  1.2  x, x  , xác định chuẩn khơng gian X, nói cách khác không gian tiền Hilbert định nghĩa không gian định chuẩn SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp Trước hết, với số thực  ta có   x   y, x   y    x, x   2  x, y     y, y  , tam thức bậc hai theo  phải có biệt số  x, y  0   x, x  y, y   0, hay  x, y   1.3 x y Từ  x  y, x  y    x, x    x, y    y, y   x 2 x y  y  x  y 2  Vậy x y  x  y , nghĩa bất đẳng thức tam giác thỏa mãn Mặt khác, từ 3) 4) 5) ta suy ngay: x  x  0, x  x  0,  x    x Do đó, x chuẩn Qua chứng minh ta thấy khơng gian tiền Hilbert ln ln có bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Schwarz Vả lại theo đẳng thức bình hành 1.1 ln ln Ta có  x  y, x  y    x  y, x  y    x, y  nên tích vơ hướng chuẩn có hệ thức  x, y    x y  x y , 1.4 Khi xn  x  0, yn  y  xn  yn  x  y , xn  yn  x  y , theo 1.4 ta có  xn , yn    x, y  SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp Vậy tích vơ hướng  x, y  hàm liên tục x y Và với tính chất 2) , 3) có nghĩa là:  x, y  phiếm hàm song tuyến tính X , bất đẳng thức Schwarz 1.3 cho thấy phiếm hàm bị chặn, liên tục Vì không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn, nên khái niệm kiện không gian định chuẩn áp dụng cho Nói riêng khơng gian tiền Hilbert đủ hay khơng đủ Một không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert 1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz  x, y    x, x  y, y   x, y  X  1.5 Chứng minh: Ta giả thiết  x, y   ,  x, y   1.5 Với x, y  X ,   K , ta có   x   y, x   y    x, x     x, y     x, y     y, y  Lấy   t  x, y  , t số thực tùy ý, ta nhận được:   x, x   2t  x, y   t  x, y   y, y  1.6 2   y, y    y, y   , t  với t lớn, tam thức t vế phải 1.2     x, y    x, y  1.2  x, x  y, y    1.5 (  x, y   ) Không gian Lp SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 10 Khóa luận tốt nghiệp hàm riêng LCutt  (GL  RC)utt  RGu  uxx Trong R điện trở, L độ tự cảm, C điện dung G độ rò rỉ, tất độ đo tỷ lệ với đơn vị độ dài cáp truyền, ẩn hàm u ( x, y ) điện áp cường độ dòng điện thời điểm t, độ đo tọa độ x cáp truyền Đặt 2  R G RG  ,c  ,  , L C CL CL ta phương trình utt  2 utt  u  c2uxx 3.2 R S Từ định nghĩa phương trình, ta có:         0, ta 4 L G giải phương trình với với giá trị  ,  dương Phương trình điện báo phương trình đạo hàm riêng cấp hai biến thời gian Một cách tự nhiên ta xét hai điều kiện ban đầu u( x,0)  f1 ( x), u( x,0)  f2 ( x) Do phương trình tuyến tính nhất, nên ta giải toán trường hợp f1 ( x)  trường hợp SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền f2 ( x)  kết hợp kết lại 55 Khóa luận tốt nghiệp  Trường hợp f1 ( x)  Bài tốn giá trị ban đầu phương trình điện báo utt  2 utt  u  c2uxx , u ( x, t )  0, ut ( x, 0)  f2 ( x) Viết u ( x, t ) dạng biến đổi Fourier trực tiếp  u( x, t )  2  uˆ(, t )e i x d   Áp dụng thơng thường vào phương trình  3.2 ta utt  2 utt   u  c2uxx  2    (uˆtt  2 uˆt  uˆ  c  2uˆ)ei x d  Từ đó, giải phương trình đạo hàm riêng cấp uˆtt  2 uˆt  uˆ  c2  2uˆ  0, 3.3 uˆ ( , t )  0, uˆt ( ,0)  F2 (  ), với F2 ( )  SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 2    f ( x)ei x dx 56 Khóa luận tốt nghiệp Chúng ta giải phương trình với hệ số tìm nghiệm dạng e  t thu phương trình đặc trưng sau   2  (  c )  Có định thức '      (c)2  Trường hợp    0(  0) Khi phương trình đặc trưng có hai nghiệm (ảo) 1,  Tìm tham số p, q uˆ(, t )  pet1  qet Thỏa mản điều kiện uˆ(  , t )  0, uˆ(, 0)  F2 () Ta có nghiệm phương trình  3.3 uˆ (t ,  )  F2 (  )e sin t     (c )2  t 2  3.4a      (c )  Suy ra, công thức nghiệm u( x, t )  e t  F ( ) 2   sin t     (c )2      (c )  2 ei x d   3.4b   Trường hơp        0 SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 57 Khóa luận tốt nghiệp Tương tự, ta có uˆ(, t )  F2 ( )e  t sin(ct ) c  3.5a  Suy u ( x, t )  e  t  sin(ct ) i x F2 (  ) e d   c 2  3.5b  Trường hợp    '  với c    , '  với c     Khi đó, ta có  2   sin t ( c  )  (    )  t   , c     e F2 ( )  (c )2  (   )  uˆ ( , t )   2    sinh t      (c )   e  t F (  ) , c           (c )2   Ở đó: sin   e  e Suy ra: u( x, t )  SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền e t 2   c    F2 ( ) sin t (c )2  (   )  (c )2  (   )  ei  x d  58 Khóa luận tốt nghiệp  e t 2   c    F2 ( ) sinh t (c )  (   )  (c )  (   )  ei x d   Trường hợp f2 (x)  Ta giải phương trình  3.3 uˆtt  2 uˆt  uˆ  c2  2uˆ  0,  với uˆ(, t)  F1(),  F1 ( )   2     f1 ( x)ei x dx  ,  uˆ(  , t )  Ta có ba trường hợp có kết sau  Trường hợp    Công thức biến đổi Fourier uˆ( , t )  e  t F1 ( )cos t     (c )2   e  t F1 ( ) e  t Suy ra: u( x, t )  2   Trường hợp SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền   F ( ) cos t sin t     (c )2     (c )2     (c )2 d    e  t 2    F1 ( ) sin t     (c )2     (c )2 d     59 Khóa luận tốt nghiệp Ta có  sin(ct )  uˆ ( , t )  e  t  F1 ( )cos(ct )   F1 ( ) , (c )   u( , t )  e  t 2     F ( )cos(ct )   F ( )  sin(ct )  i x e d  (c )   Trường hợp    Ta có  2   sin t (c )  (   )   2  F ( )   F (  ) cos t ( c  )  (    ) , c     1     (c )2  (   )  t e uˆ ( , t )   2    sinh t     ( c  )   , c      F ( ) cosh t      (c )2    F ( ) 1         (c )2   sinh   e  e e  e , cosh   2 Từ đó, suy u( x, t )  u3 ( x, t )  u4 ( x, t ), u3 ( x, t )  e  t  2 SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền e  t 2   F ( )cosh t (c )2  (   )  ei x d  ,   c  c  F (  ) cos t  (c )2  (    )  ei x d      60 Khóa luận tốt nghiệp u4 ( x, t )  e 2 t  c    sin t (c )2  (   )  F1 ( ) (c )2  (   )  ei  x d   e 2 t  c    F1 ( ) sinh t (c )2  (    )  (c )2  (    )  ei x d  3.1.3 Nghiệm toán Dirichlet Cho phương trình  2u  2u   0,    , y  0, x2 y 3.6 thỏa mãn điều kiện u( x, 0)  f ( x),   x   3.7 Tìm nghiệm phương trình 3.6 Giả sử hàm u có tính chất đủ tốt, ta có  uˆ ( , y)  2  u( x; y)e  i x dx,  ta có   u   x   iuˆ,      2u      uˆ,  x  SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 61 Khóa luận tốt nghiệp   2u  2uˆ  2   y   y Từ  3.6  3.7  ta có  2uˆ   2uˆ  y 3.8 Giải phương trình  3.8 ta nghiệm uˆ(, y)  C1e  y  C2e y Vì e  y khơng có biến đổi Fourier ngược nên ta xét trường hợp C2   y Khi đó: uˆ(; y)  C1e , điều kiện  3.7  nên ta có uˆ(, y)  fˆ ()e  y  y Đặt gˆ ()  e , g ( x, y)  2     gˆ (  )eix d    2  e   y ix    (ix  y )  e d   e(ix-y )  d      2   2 e d  2  1   ix  y  ix  y     2y  y  x2  y    x2  y   Từ đó, ta có SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 62 Khóa luận tốt nghiệp   g ( x  t; y) f (t )dt u( x, y)  f  g ( x; y)      y  (x  t)   y2 f (t )dt Vậy nghiệm phương trình Dirichlet u ( x, y)    y  (x  t)   y2 f (t )dt 3.1.4 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng Giải phương trình 3.9 2 w  w  c ,   x  , t  0,  2t x2 với điều kiện ban đầu w  x,0  f  x  , wt  x,0  g  x  ,  x  Đặt Tw  , t   (Với Tf  x   2 2    w  x, t  2cos  x   sin  x dx  f  y  2cos  xy   sin  xy dy biến đổi tích phân dạng ¡ Fourier) Đạo hàm theo biến thứ hai hai lần, ta thu  Tw   t 2 c  2 2 w  t 2cos  x   sin  x  dx  2 w  x2 2cos  x   sin  x  dx  Do SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 63 Khóa luận tốt nghiệp  Tw     c  Tw  , t  t  3.10 Phương trình  3.10  có nghiệm Tw  , t   A  cos ct   B   sin ct  3.11 Thay điều kiện ban đầu vào  3.11 , ta thu A   Tf   ,  B    Tg   Vậy nghiệm  3.9 w  x, t    3.2 2 2   Tf  cos  c t  2cos  x   sin  x  d  Tg   sin c t 2cos x  sin x  d           Bộ lọc điện Xét mạng điện RC, đó, R điện trở C điện dung.Giả sử  t  điện cung cấp, I  t  dòng điện mạng v  t  điện cho lọc Bài tốn đặt tính v  t  biết v0 t  Công thức liên hệ dòng điện I  t  điện cung cấp v0  t   t   t   RI t    I   d  Q0  , C 0  đó, Q0  3.12 điện tích ban đầu điện dung C Cơng thức liên hệ dòng điện I  t  điện   t  SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 64 Khóa luận tốt nghiệp  t    t  I   d  Q0  C 0  3.13 Từ  3.12   3.13 ta có phường trình tính   t   3.14 RC&  Điều kiện khởi đầu điện   0  Q0 C Giả thiết,  t  dãy điện xung tuần hoàn với chu kỳ T hình vẽ (hình 3.1) Để xác định   t  viết  t  dạng chuỗi Fourier  t     C e i kt k  k 3.15 , k  2 k T Nghiệm phương trình vi phân  3.14  tổng nghiệm phương trình RC&  , tức  et RC với  số nghiệm riêng 3.14 a T  Hình 3.1 SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 65 Khóa luận tốt nghiệp  Vì  tuần hồn, tìm nghiệm riêng tuần hồn dạng Như nghiệm  3.14  có dạng   t    e công thức  3.15 suy Ck  t RC    C e k   i kt k  C e  Từ k  Ck , hệ số Fourier  ik RC  i kt k Ck hàm  o (t ) v0  t  tính theo cơng thức Ck   0 sin(k  2)  sin(k  2) 2 T (k  2) T (k Nghiệm phương trình gọi hiệu ứng tạm thời tắt dần t  Nghiệm riêng tuần hoàn gọi hiệu ứng thường xuyên.Như điện lọc hoàn toàn xác định xấp xỉ hiệu ứng thường xuyên t đủ lớn SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 66 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Luận văn xây dựng chi tiết công thức tính chất chuỗi Fourier, loại hội tụ chuỗi Fourier, số ứng dụng Fourier việc sử dụng phép biến đổi Fourier Các kết luận luận văn là:  Đề cập đến loại hội tụ chuỗi Fourier: - Hội tụ điểm - Hội tụ - Hội tụ bình phương trung bình - Hội tụ không gian L1 ( ,  ), L2 ( ,  )  Đưa số ứng dụng phép biến đổi Fourier vấn đề giải toán, tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình truyền nhiệt, phương trình điện báo, tốn Dirichlet Ứng dụng tích phân Fourier để giải toán Cau chy Ứng dụng chuỗi Fourier vật lý cụ thể lọc điện SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 67 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Duy Tiến- (2001), Bài giảng giải tích- Tập I, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Hồng Tụy- (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Bhatia R (2005), Fourier series, The Mathematical Association of America I N Sneddon (1961), Fourier series, Printed in Great Britain by Latimer Trend & Co Ltd, Plymouth James Ward Brown Ruelv Churchill (1993), Fourier series and Boundary Value Problems, Library of Congress Cataloging- in- Publication Data SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 68 Khóa luận tốt nghiệp Titchmarsh E C, (1986), Introduction to the theory of Fourierintegrals, Chelsea, New York SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền 69 ... tụ chuỗi Fourier SVTH:Nguyễn Thị Ánh Huyền Khóa luận tốt nghiệp Chương 2: Sự hội tụ chuỗi Fourier Gồm định nghĩa chuỗi Fourier loại hội tụ chuỗi Fourier Chương 3: Ứng dụng chuỗi Fourier Gồm ứng. .. nhằm giúp hiểu rõ giải lớp vấn đề hội tụ ứng dụng chuỗi Fourier Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các khái niệm, tích chất hội tụ chuỗi Fourier ứng dụng chuỗi Fourier. Luận văn chia thành ba chương Chương... tài Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trị quan trọng giải tích tốn học.Có nhiều tốn tốn học thực tiễn dẫn tới việc nghiên cứu chuỗi Fourier Chuỗi Fourier chuỗi phổ biến, có nhiều ứng dụng khoa học