Các định lý sylow và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên thực : Lê Nguyễn Hồng Lê Chuyên ngành : Sƣ phạm Toán học Lớp : 11ST Ngƣời hƣớng dẫn : TS Nguyễn Ngọc Châu Đà Nẵng, tháng năm 2015 MỤC LỤC Mở đầu Một số kí hiệu Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết cấu trúc nhóm 1.2 Các Định lý Sylow kết liên quan 10 1.3 Tích trực tiếp hai nhóm 17 Chƣơng 2: Một số ứng dụng Định lý Sylow .20 2.1 Xác định phân loại nhóm hữu hạn 20 2.1.1 Nhóm cấp 15 nhóm cấp 12 20 2.1.2 Nhóm cấp p , với p số nguyên tố lẻ 30 2.2 Khảo sát số tính chất nhóm hữu hạn .33 2.2.1 Nhóm có cấp pq với p, q số nguyên tố, p  q 33 2.2.2 Nhóm cấp 30 35 2.2.3 Nhóm cấp p q với p, q hai số nguyên tố phân biệt 36 2.2.4 Nhóm cấp p r , với p số nguyên tố, r  37 2.3 Xét tính đơn số nhóm 38 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết nhóm, định lý quan trọng tiếng Định lý Lagrange: “Với nhóm hữu hạn G cấp n , nhóm G có cấp ước n ” Ngược lại, d ước nguyên dương cấp nhóm hữu hạn G , có ln tồn nhóm cấp d nhóm G hay không? Trả lời cho câu hỏi khơng, chẳng hạn nhóm thay phiên A4 có cấp 12, khơng có nhóm cấp Tuy nhiên, d lũy thừa số nguyên tố p , Định lý Sylow khẳng định tồn nhóm cấp d Các Định lý Sylow với p - nhóm Sylow có nhiều ứng dụng hiệu lý thuyết nhóm Nhằm tìm hiểu Định lý Sylow ứng dụng chúng, chọn đề tài cho khóa luận là: “Các Định lý Sylow ứng dụng” Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận chia thành chương: Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kết cấu trúc nhóm, nhằm làm sở cho chương sau Chƣơng 2: Một số ứng dụng Định lý Sylow Chương nội dung khóa luận, trình bày số ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm MỘT SỐ KÍ HIỆU A B : A B : A nhóm chuẩn tắc B G : số phần tử nhóm G  A : B : số nhóm B nhóm A A B : A đẳng cấu với B p|n : p chia hết n p | n : p không chia hết n x : nhóm xyclic sinh phần tử x A nhóm B CG ( S ) : nhóm tâm hóa S G NG ( S ) : nhóm chuẩn hóa S G CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm kết cấu trúc nhóm, nhằm làm sở cho chương sau 1.1 Một số khái niệm kết cấu trúc nhóm Định nghĩa 1.1 [4] (Nhóm đơn) Nhóm G gọi nhóm đơn khơng có nhóm chuẩn tắc khác 1G  G Định nghĩa 1.2 [4] (Nhóm nhị diện) Xét đa giác n cạnh Pn với n  Gọi a phép quay mặt phẳng xung quanh tâm Pn góc (có hướng) 2 n , cịn b phép đối xứng qua đường thẳng qua tâm Pn đỉnh Khi đó, tất phép đối xứng Pn (tức biến đổi đẳng cự mặt phẳng biến Pn thành nó) liệt kê sau: , a , a ,…, a n1 , b , ab ,…, a n1b Chúng lập thành nhóm, kí hiệu Dn , gọi nhóm nhị diện cấp 2n Như thế, Dn biểu thị sau: Dn = a , b / a n  , b2  1, (ab)2  Định nghĩa 1.3 [4] (i) Một nhóm hữu hạn H gọi p - nhóm cấp lũy thừa số nguyên tố p (ii) Một nhóm hữu hạn H gọi p - nhóm nhóm G H vừa nhóm G , vừa p - nhóm (iii) Một nhóm hữu hạn H gọi p - nhóm Sylow nhóm G H p - nhóm G H  p n lũy thừa cao p chia hết G Định nghĩa 1.4 [4] Giả sử K trường, n số nguyên dương Tập GL(n, K ) gồm tất ma trận khả nghịch cấp n trường K với phép nhân hai ma trận nhóm, gọi nhóm ma trận khả nghịch cấp n trường K Định nghĩa 1.5 [1] Hai nhóm S T nhóm G gọi liên hợp tồn g  G cho g 1 S g  T (trong đó, g 1.S g  g 1 s g / s  S ) Định nghĩa 1.6 [1] Cho   A  G , H  G Khi đó, tập hợp h / h 1 A h  A, h  H  gọi chuẩn hóa A H kí hiệu N H ( A) Mệnh đề 1.1 [1] N H ( A) nhóm H Chứng minh:  1G  H , 1G 1 A.1G  A , suy 1G  N H ( A)  Với h1 , h2  N H ( A) h1 , h2  H h11 A.h1  A , h2 1 A.h2  A Ta có:  h1.h2  1 A. h1.h2    h2 1.h11  A. h1.h2   h2 1. h11 A.h1 .h2  h2 1 A.h2  A Và h1h2  H nên h1h2  N H ( A)  Với h  N H ( A) , suy h  H , h1 A.h  A Vì H  G , h  H nên h1  H Ta có:  h1  A h1 = h A h1  h  h1 Ah  h1  hh1 Ahh 1  A Do đó, 1 h1  N H ( A) Vậy, N H ( A)  H Định nghĩa 1.7 [1] Cho A B hai tập khác rỗng nhóm G , H nhóm G B gọi H - liên hợp A h1 A.h  B , h  H (Nếu H  G A B liên hợp nhau) Mệnh đề 1.2 [1] Giả sử K tập tập nhóm G Trên K ta định nghĩa quan hệ hai ngôi: A B thuộc K , A B B H - liên hợp A  H  G  (tức A B tồn h  H cho h1.A.h  B ) Khi đó, quan hệ tương đương K Chứng minh:  1G  H , 1G 1 A.1G  A Suy A A Do có tính phản xạ  A B Khi đó, B H - liên hợp A , tồn h  H cho h1 A.h  B Suy A  h.B.h1   h1  B.h1 , h1  H Do đó, A H - liên 1 hợp B hay B A , nghĩa có tính đối xứng  Với A , B , C  K , A B B C : Vì A B nên B H - liên hợp A Suy tồn h1  H cho h11 A.h1  B Vì B C nên C H - liên hợp B Suy tồn h2  H cho h2 B.h2  C 1 Ta có: C  h2 1.B.h2  h2 1. h11 A.h1 .h2   h1.h2  A. h1.h2  , h1.h2  H 1 Suy C H - liên hợp A , nghĩa A C Do đó, Vậy, có tính bắc cầu quan hệ tương đương K  Chú ý: [1]  Nếu A  K , A = X / X  K, X A  lớp tương đương chứa A Các lớp tương đương rời hợp chúng K   tập đại diện lớp tương đương (  chứa phần tử lớp tương đương rời nhau) Khi đó: K   R R Bổ đề 1.1 [1] Cho G nhóm hữu hạn, A tập khác rỗng G , H nhóm G Khi đó, số lượng tập H - liên hợp A số N H ( A) H , tức  H : N H ( A) Chứng minh:  H : N H ( A) số lớp kề phải N H ( A) H Gọi P tập hợp lớp kề phải N H ( A) H , Q tập hợp tập H - liên hợp A Đặt f : P  Q , với f  N H ( A).h   h1 A.h , h  H  Giả sử N H ( A).h1  N H ( A).h2 (với h1 , h2  H ) Khi x.h1  N H ( A).h2 với x  N H ( A) Vì 1G  N H ( A) nên 1G.h1  N H ( A).h2 , tức tồn n  N H ( A) cho h1  n.h2 Khi đó: h11 A.h1  (n.h2 )1 A.(n.h2 )  h21.n1 A.n.h2  h21 A.h2 (vì n  N H ( A) ) Do đó, f ánh xạ  Giả sử h11 A.h1  h21 A.h2 , ta có: A  h1.h2 1 A.h2 h11   h2 h11  A. h2 h11  Suy h2 h11  N H ( A) hay 1 h2  N H ( A).h1 Vì hai lớp kề phải nhau, phân biệt với nên N H ( A).h1  N H ( A).h2 Do đó, f đơn cấu  Với B  h1 A.h thuộc Q , ta có N H ( A).h thuộc P Do đó, f tồn cấu Vậy, f đẳng cấu Do đó, Q  P   H : N H ( A) Bổ đề 1.2 [1] Giả sử K tập hợp khác rỗng tập nhóm G , H  G Giả sử với A  K với h  H , h1 A.h  K Kí hiệu quan hệ tương đương K , định nghĩa sau: A , B  K , A B B H - liên hợp A ,  tập hợp tất đại diện lớp tương đương Khi đó: K    H : N H ( R) R Chứng minh: Ta có: K   R Mà R R = X / X R   X / X  h1.R.h , h  H  Khi đó, R tập hợp H - liên hợp R Theo Bổ đề 1.1, số lượng H - liên hợp R  H : N H ( R) Do đó, R   H : N H ( R) Vậy, K    H : N H ( R) R Hệ 1.1 [1]   Cho P tập khác rỗng nhóm G , K  g 1.P.g / g  G Định nghĩa  , H , Bổ đề 1.2 Khi đó: K    H : N H ( R)  G : NG ( P) R Chứng minh: K tập G - liên hợp P Khi đó, K  G : NG ( P) (theo Bổ đề 1.1) Kết hợp với kết Bổ đề 1.2, suy điều phải chứng minh Hệ 1.2 [1] Cho K = A / A  G , A  1 quan hệ tương đương K (quan hệ tương đương định nghĩa tương tự Bổ đề 1.2, với H = G ),  tập hợp phần tử đại diện lớp tương đương,  * = R / R  Z (G)   , R  Khi đó: G = Z (G) +  G : N R* G ( R)  Chứng minh: Với cách xác định K  G   G : N R G ( R)  Nếu z  Z (G)  z  K Mà zg  gz nên g 1 zg  z với g  G Vì vậy, có tập G - liên hợp  z ,  z Khi đó: z  với NG  z  G   z  Z (G) NG  z  g / gzg 1 z , g  G Suy z  Z (G) Do đó, z  Z (G) G : NG  z  Vậy, G = Z (G) +  G : N R* G ( R)  Đặc biệt, R  r NG ( R)  g / g 1.r.g  R, g  G  g / g 1.r.g  r , g  G  CG ( R) Khi đó: G = Z (G) +  G : C G R* ( R) (*) (*) gọi phương trình lớp G Định lý 1.1 [4] (Định lý Lagrange) Giả sử G nhóm hữu hạn S nhóm G Khi đó, G bội S Mệnh đề 1.3 [1] Nếu G nhóm abel hữu hạn p số nguyên tố chia hết cấp G G có phần tử cấp p Chứng minh: Ta chứng minh phương pháp quy nạp  Nếu G  G nhóm xyclic (vì có cấp số nguyên tố) Khi đó, tồn phần tử x  G cho x  1G , nghĩa G có phần tử cấp Vậy, mệnh đề với G  - Nếu G có p nhóm cấp 2, tương tự, G có nhóm K  a với ord  a   p phần tử b có cấp cho: G  1, a , a ,…, a p 1 , b , ba ,…, ba p 1 Với i 0 , 1, 2,…, p  1 , ta có:  ba i   ba i  a pib Xét  : G  G xác định bởi:     a i ,   b   b ,   bai   ba i  Nếu  a j ai j  Suy  i  j  p hay i  j  kp với k  Khi a i  j   a p   , nghĩa a i  a j hay       a j  k  Nếu bai  ba j  a j Suy a i  a j , ba i  ba j hay   bai     ba j  Vậy,  ánh xạ  Với g1 , g  G cho g1  b j g  b s at , j , s 0 , 1 i , t 0 , 1, 2,…, p  1 Khi s  , ta có:   g1g2     b j  at     b j ait   b j a i t  b j a i a t    b j   at     g1   g  Khi s  , ta có:   g1g2     b j  bat     b j 1a pi t   b j 1a pi t  b j 1a pi a t  b jba pi a t  b j a iba t    b j  bat     g1   g  Do đó,  đồng cấu, song ánh nên  đẳng cấu Vậy, nhóm cấp p (với p số nguyên tố lẻ) có p nhóm cấp đẳng cấu với 32 Hơn phép chứng minh cho thấy sai khác đẳng cấu có nhiều nhóm cấp p (với p số nguyên tố lẻ) Đồng thời theo Định lý 1.2, số n nguyên dương tồn nhóm xyclic cấp n Mặt khác, nhóm nhị diện Dn có cấp 2n Dn xyclic với n  Do đó, kết luận sai khác đẳng cấu có nhóm cấp p (với p số nguyên tố lẻ), nhóm xyclic cấp p nhóm nhị diện Dp 2.2 Khảo sát số tính chất nhóm hữu hạn 2.2.1 Nhóm có cấp pq với p, q hai số nguyên tố, p  q Mệnh đề 2.3 [2] Nếu G  pq , với p , q hai số nguyên tố p  q G có nhóm Sylow cấp q , nhóm đồng thời nhóm chuẩn tắc G Hơn nữa, q   kp với k  G nhóm xyclic có cấp pq Chứng minh:  Gọi sq số q - nhóm Sylow G Vì G  pq , với p , q hai số nguyên tố nên q - nhóm Sylow G có cấp q Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có sq   kq , k sq | G Hơn nữa, p q hai số nguyên tố nên sq 1 , p , pq - Nếu sq  p kq  p  Suy k  , p  (vô lý p số nguyên tố) 33 - Nếu sq  pq  kq  pq hay q.( p  k )  (vơ lý p q hai số nguyên tố) Vậy, sq  hay G có nhóm Sylow cấp q , nhóm nhóm chuẩn tắc G  Nếu q   kp với k  : Tương tự, gọi s p số p - nhóm Sylow G , có cấp p Dễ dàng chứng minh s p  , tức G có nhóm Sylow cấp p Gọi H nhóm cấp q , K nhóm cấp p Vì p q hai số nguyên tố nên H K nhóm xyclic Đặt H  1 , h , h ,…, h q 1 , K  1 , k , k ,…, k p 1 với h  k  Suy H  K  1 Mặt khác, hk  G , áp dụng Định lý Lagrange, hk có cấp , p , q pq - Nếu ord (hk )  p nhóm xyclic sinh hk trùng với K Khi đó, hk  k i với i  0, p  , suy h  k i 1 Vì vậy, h  K Khi đó, h  K  H hay h  (mâu thuẫn) - Nếu ord  hk   q nhóm xyclic sinh hk trùng với H Khi đó, hk  hi với i  0, q  , suy k  hi 1 Vì vậy, k  H Khi đó, k  K  H hay k  1(mâu thuẫn) - Nếu ord (hk )  hk  1G Suy h  k 1 Vì vậy, h  K Khi đó, h  K  H hay h  (mâu thuẫn) Vậy, ord (hk )  pq , nghĩa G nhóm xyclic có cấp pq Chú ý: Nếu q   kp G khơng phải nhóm xyclic Xét nhóm S3 , ta có: S3  3!   2.3   1.2 Và S3 khơng phải nhóm xyclic 34 2.2.2 Nhóm cấp 30 Mệnh đề 2.4 [2] với (i) G nhóm cấp 30 Khi đó, G có nhóm chuẩn tắc đẳng cấu 15 (ii) G nhóm cấp 30, P - nhóm Sylow Q - nhóm Sylow G Nếu hai nhóm P , Q nhóm chuẩn tắc nhóm cịn lại nhóm chuẩn tắc Chứng minh: (i) Vì | G nên G có phần tử cấp Gọi H nhóm xyclic sinh phần tử cấp G : H   G / H Khi đó: H 2 H G Suy  G : H  30 :  15 hay CG ( H ) có cấp 15, CG ( H )  G Mà theo Định lý 2.1, nhóm cấp 15 nhóm xyclic nên CG ( H ) xyclic Do CG ( H ) H Ta có: CG ( H )  15 Suy CG ( H )  15 Vậy, G có nhóm chuẩn tắc đẳng cấu với 15 (ii) P – nhóm Sylow, Q – nhóm Sylow G Nếu P G Q G PQ  G P - nhóm Sylow nên P nhóm xyclic cấp Q - nhóm Sylow nên Q nhóm xyclic cấp Suy PQ  G PQ  15 Theo (i), suy PQ nhóm chuẩn tắc G Do đó, P G Q G (đpcm) 35 2.2.3 Nhóm có cấp p q , với p , q hai số nguyên tố phân biệt Mệnh đề 2.5 [2] Nếu G  p q (với p , q hai số nguyên tố phân biệt) G có nhóm Sylow nhóm chuẩn tắc Chứng minh: Gọi P p – nhóm Sylow, Q q – nhóm Sylow G  Trường hợp 1: p  q Vì s p  (mod p) s p | p 2q nên s p | q hay (1  kp) | q Mà p  q nên k  Suy s p  , tức G có nhóm P p - nhóm Sylow Do đó, P nhóm chuẩn tắc (vì P p - nhóm Sylow nhất) Vậy, P G  Trường hợp 2: p  q - Nếu sq  Q G (vì Q q - nhóm Sylow nhất) - Nếu sq  : sq   tq với t  Mặt khác: sq | G nên sq | p , suy sq  p (vì p  q ) Do đó,  tq  p hay tq  ( p  1).( p  1) Vì thế, q | ( p  1) q | ( p  1) Mà p  q nên q | ( p  1) Từ suy q  p  1, hay p  , q  Vậy, G  12 Ta dễ dàng chứng minh G có nhóm Sylow chuẩn tắc cấp Mệnh đề 2.6 [4] Mọi nhóm cấp p q (với p , q hai số nguyên tố phân biệt), p  q q  (mod p) nhóm abel Chứng minh: Gọi sq số q - nhóm Sylow G Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có: sq   kq sq | p 2q Vì q  (mod p) nên sq  , tức G có q - nhóm Sylow Q , Q  q nguyên tố nên Q G 36 Tương tự, gọi s p số p - nhóm Sylow G Ta chứng minh s p  P  p , P G Hơn nữa, P  p , p số nguyên tố nên P nhóm abel Đặt PQ  ab / a  P, b  Q Vì Q G nên PQ  G , PQ  p 2q  G Suy G  PQ   Mặt khác, với a  P , b  Q , ta có: aba 1b1  aba 1 b1  Q , aba 1b 1  a ba 1b 1   P Suy aba 1b1  P  Q  1G  , nghĩa ab  ba Với x  ab , y  a ' b '  G , ta có: xy   ab  a ' b '  aba ' b '  aa ' bb ' (vì ba '  a ' b )  a ' ab ' b (vì P Q nhóm abel)  a ' b ' ab (vì ab '  b ' a ) = yx Vậy, G nhóm abel Ví dụ: Mọi nhóm cấp 45 nhóm abel G  45  32.5  1(mod3) Theo chứng minh trên, suy G nhóm abel 2.2.4 Nhóm cấp p r , với p số nguyên tố, r  Mệnh đề 2.7 [1] G p - nhóm hữu hạn phần tử G có cấp lũy thừa p Chứng minh:  Nếu G p - nhóm, đặt G  p r Khi đó, với g  G , ta có: ord ( g ) | G hay ord ( g ) | p r Vì p số nguyên tố nên suy ord ( g )  p s với s  s  r 37 Vậy, phần tử G có cấp lũy thừa p  Ngược lại, phần tử G có cấp lũy thừa p ta giả sử cấp G lũy thừa p Khi đó, tồn số nguyên tố q (với q  p ) cho q | G Theo Định lý Sylow thứ nhất, G có nhóm H với cấp H lũy thừa q Do đó, H chứa phần tử g  Áp dụng Định lý Lagrange, ta có cấp g lũy thừa q lũy thừa p (mâu thuẫn với giả thiết phần tử G có cấp lũy thừa p ) Do đó, G  p r với r  Suy điều phải chứng minh 2.3 Xét tính đơn số nhóm Mệnh đề 2.8 [2] Nhóm cấp 24, 36 khơng phải nhóm đơn Chứng minh: Gọi G nhóm cấp 24; s2 s3 số – nhóm Sylow – nhóm Sylow G Giả sử G nhóm đơn, suy s2  , s3  (vì s2  s3  G có – nhóm Sylow – nhóm Sylow nhóm chuẩn tắc, mâu thuẫn với điều vừa giả sử) Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có: s2  1(mod 2) s2 | 24 , suy s2  Gọi H – nhóm Sylow G : NG ( H )  s2  , suy G | 3! (vơ lý) G Khi đó, Vậy, G khơng phải nhóm đơn Chứng minh tương tự với trường hợp G có cấp 36 Mệnh đề 2.9 [2] Nếu G  60 G có nhiều – nhóm Sylow G nhóm đơn 38 Chứng minh: Giả sử G  60 , s5  1, tồn H G , H  1G , H  G Theo Định lý Sylow thứ 3, ta có: s5  1(mod5) s5 | 60 , suy s5  Gọi P – nhóm Sylow Khi đó, G : NG ( P)  s5  , suy G : NG ( P)  Vì vậy, NG ( P)  10 Ta có: H  G , H  1G , H  G , suy H 2 , 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30  Nếu | H theo Định lý Sylow thứ nhất, tồn – nhóm Sylow Q chứa H Khi đó, Q đồng thời – nhóm Sylow G Mặt khác, H G nên theo Định lý Sylow thứ hai, – nhóm Sylow G chứa H Theo giả sử trên, suy s5  Mà – nhóm Sylow có phần tử cấp nên H   6.4  25 Suy H  30 Theo Mệnh đề 2.4, nhóm cấp 30 chứa nhóm Sylow cấp (mâu thuẫn)  Nếu H 2 , , 4,  G  G / H 30 , 20, 15,10 Khi | G nên G chứa nhóm chuẩn tắc P cấp 5, P  P / H Vì P G nên P G , P  G Mặt khác, P  , tức P / H  hay P : H  , suy | P Chứng minh tương tự trường hợp trên, suy mâu thuẫn  Nếu H  12  22.3 H có nhóm Sylow K chuẩn tắc K 2 , , 4 , xem K tương tự H lặp lại chứng minh trên, suy mâu thuẫn Vậy, điều giả sử sai Do đó, G nhóm đơn 39 Mệnh đề 2.10 [4] A5 nhóm đơn Chứng minh: Phép   (1,2,3,4,5)   (1,3,2,5,4) thuộc A5 Suy (1,2,3,4,5) (1,3,2,5,4) nhóm xyclic phân biệt cấp Do đó, chúng đồng thời – nhóm Sylow Hơn nữa, A5  60 nên theo Mệnh đề 2.9, A5 nhóm đơn Mệnh đề 2.11 [3] Nếu G nhóm đơn có cấp nhỏ 60 cấp G số nguyên tố Chứng minh: Giả sử n  G  60 n khơng ngun tố Ta cần chứng minh G có nhóm chuẩn tắc khác khác G  Nếu G  p r , p nguyên tố theo Định lý 1.7, tồn nhóm chuẩn tắc G có cấp p r 1  Nếu G  pq , p  q theo Mệnh đề 2.3, G có q - nhóm Sylow chuẩn tắc  Nếu G  p q , p  q theo Mệnh đề 2.5, G có nhóm Sylow chuẩn tắc  Nếu G  24 G  36 : Theo Mệnh đề 2.8, G nhóm đơn, nên G có nhóm chuẩn tắc khác khác G Xét trường hợp lại, n30 , 40, 42, 48, 54, 56  Với n  30 : Nếu s5  s3  G có nhóm chuẩn tắc khác khác G 40 Nếu s5  s3  1: Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có s5  s3  10 , suy G có 6.4  24 phần tử cấp 10.2  20 phần tử cấp Mà 24  20  44  30 nên trường hợp không xảy  Với n  40 : Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có: s5  1, tức G có – nhóm Sylow P Khi đó, P nhóm chuẩn tắc khác khác G  Với n  42 : Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có: s7  tức G có – nhóm Sylow P Khi đó, P nhóm chuẩn tắc khác khác G Tương tự, chứng minh cho trường hợp cịn lại Vậy, n khơng ngun tố G khơng phải nhóm đơn, suy điều phải chứng minh Mệnh đề 2.12 [2] Mọi nhóm cấp pq r , q  p , r  , r  , với p q hai số nguyên tố, khơng phải nhóm đơn Chứng minh:  Nếu p  q G  p r 1 với r  Vì G p - nhóm nên có tâm Z (G) khơng tầm thường - Trường hợp 1: Z  G   G , suy G nhóm giao hốn Mặt khác, G  p r 1 với r  , p | G , tồn nhóm G có cấp p Vì G nhóm giao hốn nên nhóm G chuẩn tắc Từ suy G khơng phải nhóm đơn - Trường hợp 2: Z  G   G Vì Z  G  G Z  G   nên G khơng phải nhóm đơn  Nếu p  q : Gọi Q q - nhóm Sylow G , suy Q  q r Theo Định lý Sylow thứ ba, ta có: sq  1(mod q) sq | pq r Do sq  , suy Q G , Q không tầm thường, Q  G Vậy, G khơng phải nhóm đơn 41 Mệnh đề 2.13 [2] Mọi nhóm cấp pqr , p  q  r ( p , q , r số ngun tố) khơng phải nhóm đơn Chứng minh:  Nếu r  q  p G  pq Từ Mệnh đề 2.5, G có nhóm Sylow chuẩn tắc Suy G khơng phải nhóm đơn  Nếu r  q  p G  p3 Suy G có tâm Z (G) không tầm thường - Trường hợp 1: Z  G   G Khi đó, G nhóm giao hốn Mặt khác, G  p3 , p | G nên tồn nhóm G có cấp p Vì G nhóm giao hốn nên nhóm G chuẩn tắc Vì vậy, G khơng phải nhóm đơn - Trường hợp 2: Z  G   G Vì Z  G  G Z  G   nên G khơng phải nhóm đơn  Nếu r  p  q G  p q Theo Mệnh đề 2.5, G có nhóm Sylow chuẩn tắc Vì vậy, G khơng phải nhóm đơn  Nếu p  q  r Giả sử G nhóm đơn, suy s p  , sq  , sr  - Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có: sr pqr sr  1(mod r ) Hơn nữa, sr  pqr nên suy sr  pq Khi đó, G có pq(r  1)  pqr  pq phần tử cấp r - Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có: sq pqr sq  1(mod q) Hơn nữa, sq  nên suy sq  r sq  pr Khi đó, G có r. q  1  rq  r phần tử cấp q - Áp dụng Định lý Sylow thứ ba, ta có: s p pqr s p  1(mod p) Hơn nữa, s p  nên suy s p  q s p  r s p  qr Khi đó, G có q.( p  1)  pq  q phần tử cấp p 42 Vậy, G  ( pqr  pq)  (qr  r )  ( pq  q)   pqr  qr  r  q   pqr   r  1 q  1  pqr (mâu thuẫn) Do đó, điều giả sử sai, hay G khơng phải nhóm đơn Từ trường hợp trên, suy điều phải chứng minh 43 KẾT LUẬN Khóa luận: “Các Định lý Sylow ứng dụng” thực mục tiêu đề ra, cụ thể là: 1) Xác định phân loại đẳng cấu nhóm cấp 12, 15 cấp p , với p số nguyên tố lẻ 2) Khảo sát tính chất số nhóm hữu hạn, chẳng hạn tính chuẩn tắc, tính giao hốn q - nhóm Sylow nhóm cấp pq , p q với p , q hai số nguyên tố phân biệt Tính chuẩn tắc số nhóm nhóm cấp 30 3) Xét tính đơn số nhóm hữu hạn Hy vọng nội dung đề tài tiếp tục mở rộng hoàn thiện hơn, nhằm khẳng định tầm quan trọng tính hiệu Định lý Sylow lý thuyết nhóm 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B Baumslag and B Chandler (1968), Theory and problems of group theory, Mc Graw hill book company [2] D S Dummit, R M Foote (Third Edition, 2004), Abstract algebra, John Wiley & Sons, Inc [3] D Gorenstein (Second Edition, 1980), Finite group, Chelsea Publishing Company [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [5] Hồng Xn Sính (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục 45 46 ... thừa số nguyên tố p , Định lý Sylow khẳng định tồn nhóm cấp d Các Định lý Sylow với p - nhóm Sylow có nhiều ứng dụng hiệu lý thuyết nhóm Nhằm tìm hiểu Định lý Sylow ứng dụng chúng, chọn đề tài... MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW Chương nội dung khóa luận, trình bày số ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm 2.1 Xác định phân loại nhóm hữu hạn 2.1.1 Nhóm cấp 15 nhóm cấp 12 Định lý 2.1... trúc nhóm, nhằm làm sở cho chương sau Chƣơng 2: Một số ứng dụng Định lý Sylow Chương nội dung khóa luận, trình bày số ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm MỘT SỐ KÍ HIỆU A B : A B : A nhóm chuẩn