Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm các giá trị dương của tham số m để Cm cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến của Cm tại giao đi[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa : Giả sử K là khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định trên K gọi là : Đồng biến trên K với x1 ,x2 K , x1 x2 f x1 f x Nghịch biến trên K với x1 , x K, x1 x f x1 f x Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x với x I Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ' x với x I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sử I là khoảng nửa khoảng đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm điểm I ( tức là điểm thuộc I không phải đầu mút I ) Khi đó : Nếu f ' x với x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I Nếu f ' x với x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I Nếu f ' x với x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I Chú ý : Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm f ' x trên khoảng a; b thì hàm số f đồng biến trên a; b Nếu hàm số f liên tục trên a; b và có đạo hàm f ' x trên khoảng a; b thì hàm số f nghịch biến trên a; b Ta có thể mở rộng định lí trên sau Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f '(x) với x I ( f '(x) với x I ) và f '(x) số hữu hạn điểm I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I Chú ý Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp chương trình P(x) *Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) f(x) = (trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc Q(x) và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K x K,f '(x) (f '(x) 0) *Nếu hàm số f là hàm biến , f(x) ax b với a,b,c,d là các số thực và ad – bc thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên cx d K x K,f '(x) 0(f '(x) 0) B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số Bài toán 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: (2) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 x2 2x y x 1 x1 2x 3x y y x1 4x Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y y x 4x x 1 y 4x 5x x 1 x2 x x 2x y x 1 x2 Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y y x 3x2 y x 2x x 3 y x 3x 2x 4 y x 6x 9x y x 3x 24x 26 Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y 2x 4x 2 y x 6x 8x 1 3 y x x 4 y x x 4x Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến trên : y x x6 2x 3x 6x Bài toán 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x2 2x y x3 2x y x x2 y 3x x Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x 2x x 2 y 2x 1 x 2 y x x 3x 3 y x x 20 Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: x x3 y y x 1 x2 Bài 4: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x y x 2x Bài 5: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x 2x y x 4x 2x Bài toán 03: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ KHÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: (3) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y 4x y 4x 12x 12x y 3x2 x x2 x Bài toán 04: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y sin x cos 2x với x 0; y sin 2x cos x 2x với x ; 2 Bài Chứng minh hàm số y sin 2x 2x luôn nghịch biến trên Chứng minh hàm số y sin x cos x 2x luôn đồng biến trên Tìm m để hàm số y 2x m sin x đồng biến trên Tìm m để hàm số y cos 2x mx đồng biến trên 1 Bài Tìm tham số m để hàm số: y mx sin x sin 2x sin 3x đồng biến trên Dạng 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập xác định Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm a để hàm số y x ax 4x đồng biến trên Bài 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên khoảng xác định mx 2m 2x2 m x 3m 1 y y xm x 1 Bài 3: Tìm m để hàm số: y (m 2) x3 (m 2)x (3m 1)x m đồng biến trên y (m 1)x 3(m 1)x 3(2m 3)x m nghịch biến trên m x m 1 x 3x luôn nghịch biến trên 3 2 y mx x2 x đồng biến trên tập xác định nó 3 y y x m x2 đồng biến trên Bài 4: Tìm m để hàm số: y 3x mx nghịch biến trên khoảng xác định 2x Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Dạng 3: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng xác định (4) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài toán 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K ; , ; , ; , ; CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : 2x 1 y nghịch biến trên (2; ) xm mx y nghịch biến trên khoảng ;1 xm y 2x 3x m đồng biến trên khoảng (; 1) x 1 y x 2mx 3m nghịch biến trên khoảng (;1) 2m x y x 5x m đồng biến trên khoảng 1; x3 mx 6x nghịch biến trên nửa khoảng 1; x2 Bài 2: Định m để hàm số : y y x (1 2m)x (2 m)x m đồng biến trên khoảng (0; ) y x 3x mx đồng biến trên khoảng (; 0) y x3 mx (1 2m)x đồng biến trên 1; y x (m 1)x (2m 3m 2)x m(2m 1) đồng biến trên 2; y mx m 1 x m 1 x 2013 đồng biến trên khoảng 2; y x m 1 x 2m 3m x 2013m 2m 1 đồng biến trên nửa 2; Bài 3: Định m để hàm số : y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x đồng biến trên khoảng (2; ) y x (m 1)x (2m 3m 2)x nghịch biến trên (2; ) y (m 1)x (m 1)x 2x (m 1) nghịch biến trên khoảng (; 2) y mx (m 1)x 3(m 2)x đồng biến trên (2; ) y x 3x mx nghịch biến trên khoảng 0; y 2x 2x mx đồng biến trên khoảng 1; Bài toán 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y x 2mx 3m đồng biến trên khoảng (1; 2) ; , ; (5) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y x (m 2)x (3m 2)x đồng biến trên đoạn 3; Bài 2: Tìm m để hàm số: 1 y x 2m 1 x mx nghịch biến trên khoảng 0;1 y x3 (m 1)x (2m 1)x m nghịch biến trên (0; 3) 3 y x 3x 3(m 1)x đồng biến trên (1; 2) y x – 3x 2m 1 x – biến trên [2; 1] y x3 3x2 m 1 x 4m nghịch biến trên khoảng 1;1 y mx x 3x m đồng biến trên khoảng 3; Dạng 4: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng có độ dài k cho trước CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y x 3x mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn y 2x 3mx đồng biến trên đoạn có độ dài lớn m 1 x x m m x nghịch biến trên khoảng có độ dài là 3 Bài 2: Định m để hàm số : y y x 3x (m 1)x 2m đồng biến trên khoảng có độ dài nhỏ Bài 3: Tìm m để hàm số: y m 1 x m 1 x 2mx đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ y x3 mx2 m 36 x nghịch biến trên khoảng có độ dài y x 3x mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ 2 Dạng 5: Ứng dụng đơn điệu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình Trong khuôn khổ chương trình, tác giả đề cập bài tập thường gặp Bạn đọc muốn nghiên cứu kĩ ứng dụng đơn điệu việc giải phương trình…, vui lòng tìm đọc tập sách: Đại số - lượng giác CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình: 7x 7x 13 7x 7x 13 x 3x2 4x 3x 3x x 3x x 4x 27x 27x 13x 2x x3 3x 8x 40 4x Bài 2: Giải phương trình: (x 1)3 (5x x2 )3 5x x2 3(x 1) Bài 3: Giải phương trình: 24x 60x 36 5x x1 0 x9 9x 2x (6) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 3 x 8x 60x 151x 128 7x 9x x 4x 5x x 9x 19x 11 x 6x 12x Bài 4: Giải hệ phương trình: x 3x y y 2x x y 2x xy 6x 20xy + 6y 351 x + y x 14xy + y 378 Bài 5:Giải hệ phương trình: x y 2 x 2y x 4y x3 y 91 2 4x 3y 16x 9y x4 y 240 3 2 x 2y x 4y x 8y x3 y 3y 3x x2 x 2y y 2 2 x x y y x 6x 2xy 4xy 6x 2x 4x 3x 2x y 2y x 14 x 2y Bài 6:Giải hệ phương trình: x2 3x y y 1 2 y 3y x x x y3 x3 x3 x y 9y xy x y 9x y y x 3x 4x x y y 8x y 3y 5y 4x 2x y 2x x 2x 22 y y y 2y 22 x x 1 x3 3y 55 64 xy y 3y 12 51x Dạng 6: Chứng minh phương trình có n nghiệm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh phương trình: x5 5x có nghiệm x5 x2 2x có nghiệm 2x x 11 có nghiệm x x5 2012 có đúng hai nghiệm dương phân biệt x2 2 3 x x x2 2x có nghiệm và nghiệm đó thuộc 1;1 2 x x x 2x có ba nghiệm phân biệt (7) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 x5 5x 15x x 3x có nghiệm thực x2012 2x3 x6 có đúng nghiệm thực dương Bài 2: Chứng minh phương trình : x x 2x x có đúng nghiệm Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán 01: ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh với x 0; ta luôn có: 2 sin x sin x 1 cos x x x 1 3 1 x1 2 sin x x 2 22.sin x 2t a n x 2 Bài 2: Chứng minh : 3x x , x 2; Bài 3: Chứng minh rằng: sin a sin b với a b a b x2 cos x với x tan x sin x 3x x 0; 2 3sin x tan x tan x 9x x 0; 2 Bài 4: Chứng minh rằng: x2 x4 x 0; cos x x 0; 24 2 2 Bài 5: Chứng minh rằng: tan x với x 0; 2cos x x cos x(4 cos x) 2 sin x x x3 3! sin(cos x) cos(sin x) x 0; 2 a b c (a b c) với a b c 0, 4(sin a sin b) 6(tana tan b) 10(a b) , biết a, b là hai số thực thuộc 0; , a b 2 Cho a, b,c là ba số thực thỏa điều kiện a , b 8 , c Chứng minh x 1,x ax bx c Bài 6: Cho các số thực x, y,z 0; Chứng minh : 2 1 1 1 12 3 2 2 2 sin x sin y sin z x y z 2 Bài 7: Chứng minh : tam giác ABC thoả mãn hệ thức cos A cos B cosC giác ABC 13 thì tam cos A cos B cos C (8) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho tam giác ABC có A B C Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M x sin A x sin B x sin C x sin C Bài 8: Cho ABC Chứng minh : r p 28 S r 3 2R a 2R b 2R c 8R 3e 3 cos A cos B cos C 125 16 Bài toán 02: ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho a, b,c,d là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A abcd 4 abcd Bài Cho x, y, z là số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z Chứng minh rằng: abcd abcd xyz xy yz zx Bài Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 1, y và x y 4xy Tìm giá trị lớn và nhỏ 1 biểu thức P x y x2 y2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D D và x0 D x0 gọi là điểm cực đại hàm số f tồn khoảng a; b chứa điểm x0 cho: a; b D f f(x) f(x ) x a; b \x Khi đó f x0 gọi là giá trị cực đại hàm số f x0 gọi là điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng a; b chứa điểm x0 cho: a; b D f(x) f(x0 ) x a; b \x0 Khi đó f x0 gọi là giá trị cực tiểu hàm số f Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị Nếu x0 là điểm cực trị hàm số f thì người ta nói hàm số f đạt cực trị điểm x0 Như : Điểm cực trị phải là điểm tập hợp D (9) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y Điểm cực đại Điểm cực tiểu Điểm cực tiểu x O Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) hàm số Chú ý a)Giá trị cực đại (cực tiểu ) f(x0) hàm số f chưa hẳn đã là GTLN (GTNN) hàm số f trên tập xác định D mà f(x0) là GTLN (GTNN) hàm số f trên khoảng (a,b) D và (a;b) chứa x0 b)Nếu f’(x) không đổi dấu trên tập xác định D hàm số f thì hàm số f không có cực trị Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó , f có đạo hàm điểm x0 thì f ' x0 Chú ý : Đạo hàm f ' có thể triệt tiêu điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 Hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đó hàm số không có đạo hàm Hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đó đạo hàm hàm số , đó hàm số không có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x0 và x0 ; b Khi đó : f ' x0 0,x a; x0 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu điểm f ' x0 0, x x0 ; b x f '(x) x0 a x0 b f(a) f(b) f(x) f(x0 ) f ' x0 0, x a; x Nếu thì hàm số đạt cực đại điểm x0 f ' x0 0,x x0 ; b a x0 x f '(x) b (10) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 f(x0 ) f(x) f(a) f(b) Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp trên khoảng a; b chứa điểm x0 , f ' x0 và f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Nếu f '' x thì hàm số f đạt cực đại điểm x0 Nếu f '' x thì hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Chú ý : Nếu x0 là điểm cực trị hàm số f thì điểm (x0 ; f(x0 )) gọi là điểm cực trị đồ thị hàm số f f '( x ) thì định lý không dùng f ''(x ) Trong trường hợp f '(x ) không tồn B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: y x2 x x 1 Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y x 1,5x 6x y x 3x 3x x3 x2 2x Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y y x 2x y x 2x y 0, 25.x x 4x y x 6x 8x Bài toán 02: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y x y x x Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: x2 x2 20 y y x2 4x x1 Bài 3: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y x x2 y 2x x2 Bài 4: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y x x 3 y x 2x x Bài 5: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: 3 y x x2 4x 2 Bài toán 03: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP y x2 x x2 x 10 (11) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài 1: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y sin 2x y sin x x cos6 4 Bài 2: Tìm cực trị (nếu có) các hàm số sau: y cos x sin x 3sin 2x y cosx sin x trên đoạn 0; Bài toán 04: TÌM ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA SỐ HÀM SỐ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 3x Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số đã cho cắt đường tròn (T) : x y 4x 2y m dây cung có độ dài 30 Bài 2: Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị C Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị C điểm M,N cho tứ giác AMBN là hình thoi Bài toán 06: TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ KHÁC Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số: y mx 3mx (m 1)x có cực trị Tìm m để hàm số: y mx4 m 1 x 2m có điểm cực trị x mx Xác định m để đồ thị hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại 2 Bài 3: Tìm m để hàm số sau có cực trị: Bài 2: Cho hàm số y y x 3(m 1)x 3(2m 4)x m y x (m 1)x mx y x (2m 1)x m m xm y x mx mx 3 Bài 4: Tìm a để các hàm số f x x x ax ; g x x x 3ax a có các điểm cực trị nằm xen kẽ 3 Bài 5: Cho hàm số y x 4mx 3(m 1)x Tìm m để: Hàm số có ba cực trị Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Bài 6: Cho hàm số y ax bx ab ( a, b là hai tham số , a Tìm các giá trị a, b cho hàm số đạt cực trị ax b x và x Tìm các hệ số a, b,c,d hàm số y ax bx cx d cho các điểm A 0; và B 2; 2 là các điểm cực tiểu và cực đại đồ thị hàm số Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM 11 (12) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 3(m 1)x 3m(m 2)x m 3m m Chứng minh với giá trị tham số m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách hai điểm này không đổi Gọi (C m ) là đồ thị hàm số y x m 1 x m x 1 cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó , chứng minh với m , đồ thị (C m ) luôn có cực đại, 20 Chứng minh với tham số m hàm số y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x luôn có cực đại và cực tiểu đông thời khoảng cách các điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số không đổi Bài 2: Tìm m để hàm số: y x3 (2m 1)x (m 9)x đạt cực tiểu x y mx 2(m 1)x (m 2)x m đạt cực tiểu x y x mx đạt cực tiểu x xm y x (m 1)x 2m đạt cực đại x 1 xm Bài 3: Cho hàm số y x 2(m m 1)x m Tìm m để đồ thị hàm số có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn Tìm m để đồ thị hàm số: y x 3x tiếp xúc với đường tròn: (x m)2 (y m 1)2 y x 3x 3(m 1)x 3m (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số: có cực trị, đồng thời khoảng cách cực trị 15 Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: y x2 m 1 x m 4m x 1 có cực trị đồng thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số: y mx có hai điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn x Dạng 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ CÙNG DẤU, TRÁI DẤU CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số : y mx mx x có hai điểm cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu y x3 6x2 m x m đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu y x 3mx 3(m 1)x 6m có hai cực trị trái dấu 12 (13) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài 2: Tìm m để hàm số : y x3 (m 1)x (6 2m)x m đạt cực trị hai điểm trái dấu y (m 1)x 3(m 1)x 2mx m có các điểm cực đại, cực tiểu Chứng minh đó hai điểm cực trị luôn cách đường thẳng d : x y x (2m 1)x 3mx m có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu hàm số trái dấu Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 2mx Tìm các giá trị m để tất các điểm cực trị đồ thị nằm trên các trục toạ độ Bài 2: Tìm m để hàm số : y 2x mx 12x 13 có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách trục tung y mx 3mx 2m có hai điểm cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm hai phía với trục Ox x 1 Bài Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số y mx m x 4m m tương ứng có điểm cực xm trị thuộc góc phần tư thứ II và điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Bài toán 03: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU NẰM VỀ MỘT PHÍA, HAI PHÍA CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 3x mx Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số cho có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x 2y Bài 2: Cho hàm số y x 3(m 1)x 9x m Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x 2y Bài 3: Cho hàm số y x mx x Tìm m để đồ thị các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y 3x x mx 5m x có cực đại , cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị đồ thị hàm số song song với đường thẳng d : 8x 3y Tìm m để hàm số: y Bài 4: Tìm m để hàm số : y x 3mx 3m (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đường thẳng có phương trình x y x3 (m 1)x 4mx có điểm cực đại và điểm cực tiểu cho trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm này thuộc đường thẳng d : 2x – 3y y x 2mx có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng : x y x1 y 13 (14) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số: y 2x 3(m 1)x 6m(1 2m)x Các điểm cực trị đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y 4x Đường thẳng qua các điểm cực trị đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y x Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx m có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng qua đường thẳng : x 2y x 1 y x 3x m x m có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng qua đường thẳng : d : x 2y Bài toán 04: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y 4x mx 3x Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x thỏa x1 4x Tìm các giá trị m để hàm số: y m3 m 1 x3 x2 m x m có cực trị và số nằm hai điểm cực trị hàm số Tìm các giá trị m để hàm số: y x m 1 x 3m 7m x m có điểm cực tiểu điểm có hoành độ nhỏ Tìm các giá trị m để hàm số: y mx (2m 1)x mx có điểm cực đại và điểm cực tiểu ,đồng thời điểm cực đại đồ thị hàm số có hoành độ lớn 1 Cho hàm số y x mx mx , với m là tham số thực Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x cho x1 x x mx (m 3)x Tìm các giá trị m để hàm số cho có các điểm cực trị x1 ,x2 với x1 0,x và x12 x 22 2 x m x 1 Cho hàm số y có hai cực trị x1 ;x2 thỏa mãn x12 x22 6 x x2 x2 Cho hàm số y Tìm tham số m để hàm số: y x m x 2m 5m đạt cực tiểu x 0; 2m , m x Tìm m để hàm số : y (x m)(x 3x m 1) có cực đại và cực tiểu x1 , x thoả x1 x 10 Tìm m để đồ thị hàm số: y 2x 3x m có điểm cực đại và cực tiểu các điểm có hoành độ x1 ,x2 thỏa mãn xm y(x1 ) y(x ) Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số: y mx x m có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1 , x và y x2 y x1 xm 2x 3x m có điểm cực đại và cực tiểu các điểm có hoành độ x1 , x thỏa mãn y x2 y x1 x2 y mx 3mx 3m 1 x có cực đại x 3; y 14 (15) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y x mx 2m 1 x có điểm cực trị dương y x 3x mx có điểm cực đại và cực tiểu các điểm có hoành độ x1 , x thỏa mãn: x13 4x1 x Bài 3: Cho hàm số y x (1 – 2m)x (2 – m)x m ( m là tham số) có đồ thị là Cm Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ m Cho hàm số y x (m 2)x (m 1)x Tìm m để hàm số có cực đại x1 , cực tiểu x2 thỏa mãn x1 x2 Cho hàm số y x3 mx 2(5m 8)x Xác định tham số m để hàm số đạt cực trị hai điểm có hoành độ bé Tìm m để đồ thị hàm số: y x m 1 x 3m 7m x m đạt cực tiểu điểm có hoành độ nhỏ Tìm m để đồ thị hàm số: y x3 – 3x2 6m x – 3m đạt cực trị hai điểm có hoành độ lớn 2 Tìm m để đồ thị hàm số: y x 6x 3mx m số có điểm cực đại M( x1 ; y1 ) và điểm cực tiểu M (x ; y ) thỏa mãn điều kiện y1 y (x1 x2 )(x1x2 2) 0 3 m 4 x2 2m 5 x Có hai cực trị nhỏ ; Có cực trị khoảng 3;5 ; Bài : Tìm các giá trị m để hàm số y x Có hai cực trị lớn 1 ; Có đúng cực trị lớn 1 ; Có ít cực trị lớn ; Không có cực trị x mx (m m 1)x Tìm m để hàm số có cực trị : Trong khoảng (;1) Bài 5: Cho hàm số : y = Trong khoảng (1; ) x1 ,x2 thoả mãn x1 x2 x1 ,x2 thoả mãn x1 x2 Bài 6: Cho hàm số y x ax 3ax Tìm a để hàm số cho đạt cực trị x1 , x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện: x12 2ax 9a a2 a2 x 22 2ax1 9a 2 Bài 7: Cho hàm số y x 3x Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y 3x tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Cho hàm số y x (m 1)x 2(m 2)x Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 ,x2 cho biểu thức: P x1 x2 đạt giá trị nhỏ x1x 15 (16) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 mx 4x m 1 x2 1.Với giá trị nào m thì hàm số 1 có hai cực trị cùng dấu; Bài 8: Cho hàm số: y Tìm giá trị m để đường thẳng d : y 3 x 10 cắt đồ thị hàm số 1 hai điểm phân biệt A x1 ; y1 , B x ; y Trong trường hợp này, tìm hệ thức y1 và y độc lập m Bài 9: Tìm tham số m để hàm số: y 2x mx 2m có hai điểm cực trị x1 ,x2 thỏa mãn 2 x1 1 x x 1 y x3 m 1 x2 3m m x 12m có hai điểm cực trị A và B cho AM BM nhỏ nhất, với M 3; y x3 2m x2 m x m có hai điểm cực trị, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ y x m x 2m 5m đạt cực tiểu x 0; 2m , m x Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CÙNG ĐIỂM K TẠO THÀNH TAM GIÁC THỎA MÃN TÍNH CHẤT NÀO ĐÓ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Cho hàm số y x (3m 1)x Tìm tất các giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy lần độ dài cạnh bên Cho hàm số y x4 2mx2 2m 1 Định m để hàm số 1 có ba cực trị và các điểm cực trị đồ thị hàm số 1 tạo thành tam giác có chu vi 65 Cho hàm số y x a 1 x a b x 1 Tìm giá trị tham số thực a, b cho hàm số đạt cực tiểu x và đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác có chu vi Bài Cho hàm số y x 3mx 3(m 1)x m 4m Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A, B cho OAB vuông O Cho hàm số y x 2(m 2)x m 5m Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Bài Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số: y x 3mx 3(m 1)x m có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích ( O là gốc tọa độ ) y x 2m x có điểm cực trị là đỉnh tam giác vuông cân y x 2m(m 1)x m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 16 (17) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y x3 3x2 m2 x 3m2 có cực trị cùng điểm O tạo thành tam giác vuông O Bài Cho hàm số y x 3x m Xác định m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A, B cho 1200 AOB Cho hàm số y x 2mx m m Với giá trị nào m thì đồ thị có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có góc 1200 Bài Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx m có điểm cực trị và tam giác mà đỉnh là điểm cực trị đồ thị có diện tích Cho hàm số y x 3x m m Tìm m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B để diện tích tam giác ABC 7, với điểm C(–2; ) Cho hàm số y x 3x 4mx Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt trục Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác OAB , đó O là gốc tọa độ 20 Bài Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số y x 4mx 4m có cực trị là đỉnh tam giác nhận 31 điểm H 0; làm trực tâm Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm Cho hàm số y x 3(m 1)x 12mx 3m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị là A và B cho hai điểm 9 này cùng với điểm C 1, lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm 2 Tìm m để đồ thị hàm số: y x mx 4x m có ba điểm cực trị Sao cho tam giác có đỉnh là ba điểm cực trị đó nhận gốc toạ độ làm trọng tâm Bài Tìm tham số thực m để hàm số: y 2x3 m 1 x2 6mx m có cực đại A và cực tiểu B cho: Khoảng cách A và B 2 Hai điểm A và B tạo với điểm C 4; tam giác vuông C m2 có cực trị A Oy , B , C cho: 2 Diện tích tam giác ABC 32 Bài Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số y x mx Tam giác ABC vuông A Diện tích tứ giác OABC 52 Tứ giác ABOC là hình bình hành Bài Cho hàm số: y x 2mx m 1 Tìm tham số m để đồ thị hàm số 1 có điểm cực đại và điểm xm cực tiểu đồng thời: Đường thẳng qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích ; 17 (18) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN, HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI… CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các giá trị m để hàm số: Cho hàm số y x4 2mx2 2m 1 Định m để hàm số 1 có ba cực trị và các điểm cực trị đồ thị hàm số 1 tạo thành tam giác có chu vi 65 y x 2mx m có cực trị là đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp Xác định giá trị tham số m để hàm số: y x 2mx có cực trị tạo tam giác có đường tròn ngoại 3 9 tiếp qua điểm D ; 5 5 Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2(m 1)x 2m có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp x4 2mx2 m có ba điểm cực trị đó là ba đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp y x 2mx m có cực trị là đỉnh tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp 4 y x 2mx 2m hàm số có cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành tứ giác nội tiếp Bài Tìm m để đồ thị hàm số: y x 2mx m có điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 Bài Cho hàm số y x (m 1)x m 1 Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho nằm 3 hai phía ( phía và phía ngoài ) đường tròn (K): x y 4x m2 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại là A, các điểm cực tiểu là B,C cho tứ giác ABOC là hình thoi.( O là gốc tọa độ ) Bài 6: Bài Cho hàm số y x mx Cho hàm số y x (3m 1)x 2m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cùng với điểm D(7; 3) nội tiếp đường tròn 7 x m 1 x m x có cực trị A, B cùng D 3; và gốc 2 tọa độ tạo thành hình bình hành OADB theo thứ tự đó Xác định tham số thực m để hàm số : y Bài 7: Cho hàm số y x – 3mx 3(m – 1)x – m ( m là tham số) có đồ thị là Cm Chứng minh Cm luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu chạy trên đường thẳng cố định Bài 8: Chứng tỏ có điểm A trên mặt phẳng toạ độ cho nó là điểm cực đại đồ thị f x x m m 1 x m ứng với giá trị thích hợp m và là điểm cực tiểu đồ thị ứng với xm giá trị m thích hợp khác Tìm toạ độ A 18 (19) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D f(x) M x D i) Số M gọi là giá trị lớn (GTLN) hàm số y f x trên D , ta kí hiệu x0 D : f(x0 ) M M max f(x) xD f(x) M x D ii) Số m gọi là giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y f x trên D , ta kí hiệu x0 D : f(x0 ) m m f(x) xD Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN hàm số y f x trên D ta tính y' , tìm các điểm mà đó đạo hàm triệt tiêu không tồn và lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy GTLN, GTNN Chú ý: * Nếu hàm số y f x luôn tăng luôn giảm trên a; b thì maxf(x) max{f(a),f(b)}; f(x) min{f(a),f(b)} [a;b] [a;b] * Nếu hàm số y f x liên tục trên a; b thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm sau B1: Tính y' và tìm các điểm x1 , x , ,x n mà đó y' triệt tiêu hàm số không có đạo hàm B2: Tính các giá trị f(x1 ),f(x ), ,f(x n ),f(a),f(b) Khi đó max f(x) max{f(x1 ), ,f(x n ),f(a),f(b)} x[a;b] f(x) {f(x1 ), ,f(x n ),f(a),f(b)} x[a;b] * Nếu hàm số y f x là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN nó trên D ta cần tìm GTLN, GTNN trên đoạn nằm D có độ dài T * Cho hàm số y f x xác định trên D Khi đặt ẩn phụ t u(x) , ta tìm t E với x D , ta có y g t thì Max, Min hàm f trên D chính là Max, Min hàm g trên E * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định hàm số * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min Chú ý: Nếu hàm số y f x là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN nó trên D ta cần tìm GTLN, GTNN trên đoạn thuộc D có độ dài T * Cho hàm số y f x xác định trên D Khi đặt ẩn phụ t u x , ta tìm t E với x D , ta có y g t thì Max, Min hàm f trên D chính là Max, Min hàm g trên E * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định hàm số 19 (20) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min * Ta cần phân biệt hai khái niệm : + Giá trị lớn hàm số y f x trên D với cực đại hàm số + Giá trị nhỏ hàm số y f x trên D với cực tiểu hàm số Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y f x trên D mang tính toàn cục , còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu hàm số mang tính địa phương B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y x x 4x y x x Bài 2: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y x x 2 y x x2 y x 2x x2 y x x , x 0; 3 Bài 3: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y x2 y 20x 10x 2x x 3x 2x Bài 4: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y x x x x 1,x 2; 3 y x2 4x 21 x2 3x 10 Bài 5: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau: 1 y x x 6x , x [0; 4] y x6 x trên đoạn 1;1 x 9x trên khoảng 0; 8x Bài 6: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau: y y (x 3) x 2x 2 y 45 20x 2x Dạng 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT LIÊN QUAN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y 2sinx sin x trên đoạn 0; y x s in2x trên đoạn ; 2 Bài 2: Tìm GTLN và GTNN các hàm số sau y sin x cos x 4 sin x cos x y sin 2x 1 x cos 20 4x x2 1 (21) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài 3: Tìm GTLN và GTNN hàm số sau g(x) f(sin x)f cos x đó hàm f thỏa mãn: f(cot x) sin 2x cos 2x x [0; ] Bài 4: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: x y cos sin x trên đoạn 0; y 2 y sin x cos x y x sin 2x trên đoạn ; sin x y sin x sin x 1 y sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x y cos x cos 2x y sin x cos x y sin x cos x Dạng 3: Phương pháp đưa biến CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho x; y là số thực thỏa mãn : x y xy Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A x y 4x y x y 3x y x x y Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức B x 2y 3x y x y Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : x 6xy C D 2xy 2y 2xy y 2x 2xy E x xy y 2x xy y Cho x, y là hai số thực dương và thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x y xy xy Bài 2: Cho số thực dương x, y thỏa mãn x y xy Tìm giá trị lớn biểu thức : F xy xy3 1 1 K x y y x Bài 3: Cho số thực x, y thỏa mãn: x, y và x y 4xy Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức F x y xy Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn x y 2 4xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x4 y4 x2 y2 x2 y2 Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q Bài 4: 21 x y xy x y xy xy (22) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho x 0, y thỏa mãn x y 3xy Tìm giá trị lớn biểu thức : M 3y 3x 1 y x 1 x y x y x y 2 Cho số thực x, y thỏa mãn y x x y Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: P x6 y6 x y xy Cho số thực x, y thỏa mãn x y xy Chứng minh rằng: 16 x y 12x y 17 3a 3b ab a2 b2 b1 a1 ab 3a 3b ab Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab a b Chứng minh: a b2 b1 a 1 a b Cho a, b là các số dương thoả mãn ab a b Tìm GTLN biểu thức: P Bài 5: Cho x, y là số thực thay đổi thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn của: Q x y Cho x, y là số thực thay đổi thỏa mãn : a y 0, x x y 12 Tìm giá trị lớn T xy x 2y 17 b x y x y Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức M x y x y xy c x, y và xy x y x2 y x y Tìm giá trị lớn biểu thức N 1 x y Dạng Xác định tham số để hàm số có giá trị lớn ,giá trị nhỏ thỏa điều kiện cho trước CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Xác định tham số a để giá trị nhỏ hàm số y 4ax x 4x lớn 2 Tìm các giá trị tham số để giá trị nhỏ hàm số y m sin x nhỏ 1 cos x Tìm các giá trị tham số m để giá trị nhỏ hàm số y 4x – 4mx m 2m trên 2; ax b Tìm các giá trị các tham số a,b cho hàm số y có giá trị lớn và giá trị nhỏ – x2 1 Bài 2: Xác định tham số m để giá trị lớn hàm số y x 3x m trên đoạn 0; là nhỏ Xác định tham số m để giá trị lớn hàm số y x (m 1)x 2m trên 1;1 là nhỏ x2 Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC , hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB tam giác Xác định vị trí điểm M cho hình chữ nhật có diện tích lớn và tìm giá trị lớn đó 22 (23) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ, PHÉP TỊNH TIẾN A CHUẨN KIẾN THỨC I.TÍNH LỒI , LÕM, ĐIỂM UỐN CỦA ĐƯỜNG CONG Định nghĩa Gọi (C) là đồ thị hàm số y f x trên a; b và f có đạo hàm cấp hai trên a; b Ta nói : C lồi trên a; b điểm C , tiếp tuyến luôn phía trên C C lõm trên a; b điểm C , tiếp tuyến luôn phía C Điểm I thuộc C ngăn cách phần lồi , phần lõm C gọi là điểm uốn C Định lí Cho hàm số y f x có đạo hàm câp hai trên a; b và gọi C là đồ thị hàm số a) Nếu f ''(x) với x thuộc a; b thi C là đồ thị lồi trên khoảng đó b) Nếu f ''(x) với x thuộc a; b thì C là đồ thị lõm trên khoảng đó c) Nếu f ''(x) đổi dâu x qua x0 thuộc a; b thì điểm I x0 ; f x0 là điểm uốn C II.TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Giả sử I x0 ; f x0 là điểm mặt phẳng tọa độ Oxy Phép tịnh tiến theo vectơ OI biến hệ tọa độ Oxy thành hệ tọa độ IXY M y Y Giả sử M là điểm mặt phẳng y0 * (x;y) là tọa độ M hệ tọa độ Oxy X I X * (X;Y) là tọa độ M hệ tọa độ IXY x X x Ta có công thức chuyển hệ tọa độ : x0 O x x y Y y0 III ĐỐI XỨNG CỦA HÀM SỐ Lập phương trình ảnh đường x h(x') Trên mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình F có công thức tọa độ là (nghĩa là F biến M(x; y) thành y g(y') y Y M'(x'; y') và x, y,x', y' thỏa hệ này) Gọi (C') là ảnh (C) : y f(x) qua phép biến hình F Hãy lập phương trình (C) Cho phép biến hình F và hai đường (C1 ),(C2 ) Dựng các điểm M,N thuộc (C1 ),(C2 ) cho N là ảnh M qua phép biến hình F Cách giải: Vì (C') là ảnh (C) : y f(x) qua phép biến hình F nên với M'(x'; y') tùy ý thuộc (C') tồn M(x; y) thuộc x h(x') (C) cho F(M) M' Do đó, ta có y g(y') Vì M(x; y) (C) nên y f(x) Vì ta g(y') f(h(x')) Vậy, phương trình (C') là g(y) f(h(x)) 23 (24) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Gọi (C1/ ) là ảnh (C1 ) qua phép biến hình F Ta có N F(M) F((C1 )) (C1/ ) nên N là giao điểm (C ) và (C1/ ) Dựa vào tính chất F ta tìm M Chú ý 1: Cho hàm số y f x , có đồ thị C 1.Nếu f x là hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - có nghĩa là , trục Oy là trục đối xứng nó Nếu f x là hàm số lẻ : Đồ thị nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Cho hai điểm A x1 ; y1 , B x ; y và đường thẳng d : mx ny p Nếu A và B đối xứng qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau : k AB kd 1 , trung điểm I AB thuộc đường thẳng d , đó k AB y y1 x2 x1 Cho điểm I x ; y0 , chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương véc tơ OI thì công thức chuyển trục là : x x0 X y y y Khi đó phương trình đồ thị C hệ : Y F X; y0 ; x Chú ý : - Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng - Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng đồ thị hàm số B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để (C) : y x 3x và d m : y x m cắt ba điểm mà đó có hai điểm M,N cho MN Bài 2: Tìm trên (C) : y x 3x hai điểm M,N cho MN song song với trục hoành và MN lớn Bài 3: Cho hàm số y x 4x 7x 6x 4, có đồ thị C Chứng minh đường thẳng x là trục đối xứng đồ thị C ( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng đó ? ) Bài 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y x 4x mx , có đồ thị là Cm , có trục đối xứng song song với trục Oy Dạng 2: Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Công thức tọa độ phép đối xứng tâm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng đồ thị y 24 x x 1 (25) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Chứng minh y x2 có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng x 1 Bài 2: Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Xác định điểm I thuộc đồ thị C hàm số đã cho , biết hoành độ điểm I nghiệm đúng phương trình y'' Viết công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tuyến theo vectơ OI và viết phương trình đường cong C hệ IXY Từ đó suy I là tâm đối xứng đường cong C Viết phương trình tiếp tuyến đường cong C điểm I hệ tọa độ Oxy Chứng minh trên khoảng ;1 đường cong C nằm phía tiếp tuyến điểm I C và trên khoảng 1; đường cong C nằm phía trên tiếp tuyến đó Bài 3: Cho hàm số y x3 m x 3m x 2m có đồ thị là Cm , m là tham số thực Gọi I là điểm có hoành độ là nghiệm đúng phương trình y'' Tìm tham số m để đồ thị hàm số có cực trị và điểm I nằm trên trục Ox Dạng 3: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối xứng CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm m để hàm số y x 3x 3mx 3m có tâm đối xứng I 1; Tìm m để hàm số y 2x2 m x 2m x2 Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số y có tâm đối xứng I 2;1 x3 3mx m m 0 có tâm đối xứng I 1; Bài 3: Cho hàm số y x (3m 1)x 2mx m có đồ thị là (C m ) Tìm trên đồ thị (C ) cặp điểm đối xứng qua O Tìm m để trên (C m ) tồn cặp điểm đối xứng qua Oy Dạng 4: Lập phương trình đường cong đối xứng với đường cong qua điểm qua đường thẳng CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y x2 x qua điểm I 1;1 x2 Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y x4 3x qua điểm I 0; 2 Bài 2: Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y 25 x2 x qua đường thẳng d : x 2y x2 (26) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Lập phương trình đường cong C' đối xứng với C : y x2 x qua đường thẳng d : y x2 phương trình đường cong C' đối xứng với C : y 2x(4 x) qua Ox Chứng minh C cắt C' theo E-líp, viết phương trình E-Líp đó ? Bài 3: Gọi (C) là đồ thị hàm số y x 3x Viết phương trình (C’) với (C’) là ảnh (C) qua phép tịnh tiến vectơ u (1; 2) (C’) là ảnh (C) qua phép đối xứng tâm I(-1;1) (C’) là ành qua phép đối xứng trục (d) với (d) là đường thẳng phương trình x = Bài 4: Cho hàm số y x 3ax bx Tìm a, b để hàm số đạt cực trị điểm x và điểm có hoành độ thỏa mãn phương trình y'' nằm trên đường cong y 2x 11x 6x Cho hàm số y x 3ax 2a x a b và hai điểm A 2;1 , B 0; 2 Tìm a, b để đồ thị hàm số có điểm I có hoành độ thỏa mãn phương trình y'' cho tứ giác ABOI là hình bình hành ( O là gốc tọa độ ) ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên khoảng vô hạn ( là khoảng dạng (a; ) ,( ; b) (; ) Đường thẳng y y là đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) ít các điều kiện sau thỏa mãn: lim f x y0 lim f x y0 x x II ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Định nghĩa Đường thẳng x x0 gọi là đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x ít các điều kiện sau thỏa mãn: lim f x lim f x lim f x lim f x xx0 xx0 xx0 xx0 III ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Định nghĩa Đường thẳng y ax b,a ,được gọi là đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f x ít các điều kiện sau thỏa mãn: lim f x f x ax b lim f x f x ax b Trong đó x a lim x f x x x , b lim f x ax x 26 (27) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 a lim x f x x , b lim f x ax x B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Vấn đề Tìm các đường tiệm cận đồ thị hàm số CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các đường tiệm cận đồ thị các hàm số sau : 3x 2x y y x2 3x Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đồ thị các hàm số sau : 2x 6x 1 y x y x5 3x Bài 3: Tìm các đường tiệm cận đồ thị các hàm số sau : 2x 4x y y 2 x 4 x 8 Bài 4: Tìm các đường tiệm cận đồ thị các hàm số sau : 2x x3 y 2x y x3 x2 2x Bài 5: Tìm các đường tiệm cận đồ thị các hàm số sau : y 2x x y x2 x x2 x2 2x Bài 6: Tìm các đường tiệm cận đồ thị các hàm số sau : 2x y x x2 3x y x2 y 3x x2 Vấn đề Một số dạng toán khác CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4x 3x 1.Chứng minh rẳng tích các khoảng cách từ điểm M tùy ý trên C đến hai đường tiệm cận nó là Bài 1: Gọi C là đồ thị hàm số y số Tìm các điểm thuộc C cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai đường tiệm cận C nhỏ Bài 2: Gọi C là đồ thị hàm số y mx (3 m)x m ,m là tham số Khi C có tiệm cận xiên , gọi đường x1 tiệm cận xiên này là d Tìm m để d qua điểm A(1; 4) d tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d Bài 3: Gọi C là đồ thị hàm số y (m 1)x (2m 1)x x 1 27 (28) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm m để tích các khoảng cách từ điểm bất kì trên C đến hai đường tiệm cận nó 2 Chứng minh giao điểm hai đường tiệm cận C luôn thuộc parabol (P) : y x Khi C có tiệm cận xiên , tìm m để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn ( ) : x y 3x có đồ thị là (C) x2 Tìm điểm nằm trên (C) cách hai trục tọa độ Tìm điểm M nằm trên (C), cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Tìm hai điểm A, B nằm hai nhánh (C) cho AB nhỏ 2 Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : 3x 4y Bài 5: Bài 4: Cho hàm số y Tìm giá trị tham số m cho y 2x 3mx m có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ tam giác có x1 diện tích Tìm giá trị tham số m cho y 2mx m 17 m2 có tiệm cận xiên cách gốc tọa độ O khoảng x 1 2x m Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với mx hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích là Bài 6: Cho hàm số y Bài 7: 1.Cho đường cong Cm : y x và đường thẳng dm : y mx m Tìm tham số m để Cm mx có điểm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên nó tạo với đường thẳng dm góc 450 Cho hàm số y mx x Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên, tiệm cận đứng đồ x1 thị hàm số cùng với trục hoành tạo thành tam giác vuông có góc 600 Bài 8:Tìm tham số m để đồ thị hàm số y đường tròn tâm I 1; , bán kính mx2 3m 1 x m x 1 có tiệm cận xiên là d và d tiếp xúc với KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ Tập xác định Tìm tập xác định hàm số Sự biến thiên 28 (29) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 * Xét chiều biến thiên hàm số : + Tính đạo hàm y’; + Tìm các điểm đó đạo hàm y’ không xác định ; + Xét dấu đạo hàm y’ và suy chiều biến thiên hàm số * Tìm cực trị * Tìm các giới hạn vô cực ,các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có ) * Lập bảng biến thiên (Ghi các kết tìm vào bảng biến thiên ) Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn đồ thị hàm (bước này thực với hàm bậc ba ) + Tính y’’ + Giải phương trình y’’=0 + Lập bảng xét dấu y’’ Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định trên để vẽ CHÚ Ý Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì cần khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị trên chu kì ,sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox Nên tính thêm toạ độ số điểm ,đặc biệt là giao điểm đồ thị với các trục toạ độ Nên lưu ý đến tính đối xứng đồ thị để vẽ cho chính xác B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số bậc ba và vấn đề liên quan CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 3x 9x có đồ thị là C Tìm m để đường thẳng d m : y 2m 1 x cắt đồ thị Cm ba điểm phân biệt A 0; 1 , B,C cho BC 82 Tìm điểm nằm trên C mà qua đó vẽ tiếp tuyến đến C Bài Cho hàm số y x 3x mx , đó m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, với m Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Bài 3: Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị Cm hàm số y x3 3x2 4m 1 x 2m cắt Ox ba điểm A, B,C cho AB BC Bài Tìm m để đồ thị Cm : y x3 m 1 x2 3mx m cắt Ox ba điểm phân biệt đó có ít điểm có hoành độ âm Bài Tìm m để đồ thị Cm : y x3 2x2 3m 1 x m cắt đường thẳng d : y 1 m x m ba điểm phân biệt có hoành độ x1 x2 x3 Bài Cho hàm số C y x 5x 6x Tìm trên đồ thị C2 cặp điểm đối xứng qua O Tìm m để trên O tồn cặp điểm đối xứng qua Oy Bài Cho hàm số y x3 2m 1 x2 mx 3m có đồ thị Cm Tìm trên C1 cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ 29 (30) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm m để trên Cm tồn ít cặp điểm đối xứng qua trục tung Tìm tất các điểm cố định họ đường cong Cm luôn qua 4.Tìm điểm cố định mà không có đồ thị nào họ Cm qua có đồ thị C Trên đồ thị C có bao nhiêu bốn điểm A, B,C, D cho tứ giác x ABCD là hình vuông tâm I 1; 1 Bài Cho hàm số C : y Bài Trên mp Oxy cho đồ thị C : y x 2x Chứng minh hình bình hành có tất các đỉnh nằm trên C thì tâm hình bình hành đó là gốc tọa độ O Bài 10 Biết đồ thị hàm số y x ax bx c cắt Ox ba điểm phân biệt Chứng minh 27c 2a 9ab a 3b x 3x 9x có đồ thị là C Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C Bài 11: Cho hàm số : y Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C , biết tiếp tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài 12: Cho hàm số y f(x) x x , có đồ thị là C Khảo sát biến thiên và vẽ C Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x x m (1) Bài 13: Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C Tìm m để phương trình x 3x m (1) có ba nghiệm phân biệt 3 Từ đồ thị C hãy suy đồ thị C' : y g(x) x 3x Biện luận số nghiệm phương trình : x 3x m (2) Bài 14: Cho hàm số y 2x 3x có đồ thị là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 36x 3 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : x x m m Biện luận theo m số nghiệm phương trình : 2x2 x x1 Bài 15: Cho hàm số y x 3mx (C m ) , với tham số thực m Giả sử tiếp tuyến (C) A, B song song với Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m Chứng minh trung điểm I AB nằm trên (C m ) Tìm giá trị m để phương trình đường thẳng AB là y x Khi đó viết phương trình tiếp tuyến (C m ) A Bài 16: Cho hàm số y x – 3x có đồ thị là (C) 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 30 (31) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 2.Tìm phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = 3 Tìm phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ x3 2(m 1)x 3(m 1)x (1) ( m là tham số ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số (1) m = Tìm các giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên Tìm các giá trị tham số m để trên đồ thị hàm số (1) tồn cặp điểm M , N ( M khác N) đối xứng với qua gốc tọa độ O Bài 17: Cho hàm số y Bài 18: Cho hàm số y x 3x mx , đó m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, với m Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Bài 19: Cho hàm số y = 2x (m 1)x (m 2)x (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x – 3 Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu có hoành độ lớn Bài 20: Cho hàm số y x 3x 9x có đồ thị là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn Tìm m để đường thẳng d m : y (2m 1)x cắt đồ thị (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 1), B,C cho BC 82 Tìm điểm nằm trên (C) mà qua đó vẽ tiếp tuyến đến (C) Bài 21: Cho hàm số y x 3x có đồ thị C Tìm m để phương trình x3 3x m 3m có ba nghiệm phân biệt Bài 22: Cho hàm số y x 3x mx , đó m là tham số thực a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, với m b Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0; 2.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số y x x 6x Chứng minh phương trình x x 6x có ba nghiệm phân biệt , đó có nghiệm dương nhỏ 2 17 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số y x 2x Chứng minh phương trình y có 3 nghiệm phân biệt Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số y x 3x 9x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C điểm có hoành độ x0 , biết y '' x 6 Giải bất phương trình y ' x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x 6x 9x Tìm tất các đường thẳng qua điểm M 4; và cắt đồ thị C điểm phân biệt 31 (32) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm hệ số a, b,c cho đồ thị hàm số y x ax bx c cắt trục tung điểm có tung độ và tiếp xúc với đường thẳng y điểm có hoành độ là 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với giá trị a, b,c vừa tìm Tìm các hệ số m, n,p cho hàm số y x mx nx p đạt cực đại điểm x và đồ thị C tiếp xúc với đường thẳng d : y 3x giao điểm C với trục tung Dạng 2: Hàm số bậc trùng phương và vấn đề liên quan CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x 3(m 1)x 3m , có đồ thị là Cm Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C1 m Tìm các giá trị m để Cm có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác vuông Bài 2: Cho hàm số y x 2x có đồ thị là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 24y Tìm a để Parabol (P): y 2x a tiếp xúc với (C) Bài 3: Cho hàm số y x 6x có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) các điểm uốn Tìm m để phương trình (x 5) x m có nghiệm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y x 2(m 1)x 2m có đồ thị là (C m ) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (3) hàm số Tìm giá trị m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B,C, D cho AB BC CD Tìm m để (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Bài 5: Cho hàm số y x 2mx 2m (1) ( m là tham số ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và ba đỉểm này là ba đỉnh tam giác có diện tích 32 Bài 6: Cho hàm số y x 2(m 1)x 4m (1) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị hàm số (1) luôn qua dù m lấy giá trị nào (các điểm này gọi là các điểm cố định đồ thị hàm số (1) Xác định các giá trị tham số m để hàm số có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Cho hai điểm A 0; 16 và B 1; 8 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Bài 7: Cho hàm số: y x 2x có đồ thị C Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 2x log m Cho hàm số y 8x 9x có đồ thị C Dựa vào đồ thị C hãy biện luận theo m số nghiệm phương trình: cos x cos x m với x [0; ] 32 (33) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho hàm số y 3x có đồ thị C Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn x2 2 0; : sin x cos6 x m ( sin x cos4 x) Bài 8: Chứng minh phương trình: x m x m luôn có nghiệm phân biệt x1 ,x2 ,x3 , x4 với giá trị m Tìm giá trị m cho x12 x 22 x 32 x 42 x1 x x x 11 Bài 9: Tìm m để đường thẳng y 1 cắt Cm : y x4 – 3m x2 3m điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Bài 10: Cho hàm số y x4 m 1 x2 2m có đồ thị Cm Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số m Tìm giá trị m để đồ thị Cm cắt trục hoành điểm phân biệt A, B,C, D cho AB BC CD Tìm m để Cm có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Dạng 3: Hàm số hữu tỷ và vấn đề liên quan CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x Bài Cho hàm số y có đồ thị là C x1 Chứng minh đồ thị C có ít hai trục đối xứng Tìm tất cặp điểm M,N nằm hai nhánh C cho MN có độ dài nhỏ Tìm tất điểm K thuộc C cho tiếp tuyến C A tạo với hai trục tọa độ tam giác có chu vi nhỏ 2x có đồ thị là C Tìm trên đồ thị C hai điểm phân biệt A, B cho AB đối xứng x 1 qua đường thẳng d : 2x y Bài Cho hàm số y Bài Chứng minh với m 1;1 đồ thị Cm : y mx luôn cắt đường tròn C : x2 y 12 bốn xm điểm phân biệt 3x có đồ thị là C x2 Tìm a, b để đường thẳng : y ax 2b cắt Bài Cho hàm số y C hai điểm phân biệt M, N cho M, N đối xứng qua O Đường thẳng y x cắt C hai điểm A, B Tìm m để đường thẳng y x m cắt C C, D cho ABCD là hình bình hành x2 Bài Cho hàm số y có đồ thị C x1 Tìm điểm M thuộc C , cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : 2x y Bằng Nhỏ Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh C cho AB nhỏ Tìm N C cho khoảng cách từ N đến Oy gấp đôi khoảng cách từ N đến Ox Tìm A C cho tổng khoảng cách từ A đến hai trục tọa độ nhỏ 33 (34) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài Chứng minh với các điểm A, B,C phân biệt thuộc đồ thị C : y thì tam giác ABC có trực x tâm H thuộc đồ thị C 3x có đồ thị là C x2 Tìm điểm nằm trên C cách hai trục tọa độ Bài Cho hàm số y Tìm điểm M nằm trên C , cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Tìm hai điểm A, B nằm hai nhánh C cho AB nhỏ Tìm M thuộc C cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 : 3x 4y Bài Cho hàm số y x2 có đồ thị là C Tìm điểm M trên đồ thị C cho khoảng cách từ M : x1 Đến đường thẳng d : 2x y Đến Oy gấp đôi khoảng cách từ M đến Ox Bài Chứng minh A, B,C thuộc C : y x 1 thì trực tâm H tam giác ABC thuộc C x2 mx có đồ thị là Cm 2x m Tìm điểm cố định mà họ đồ thị Cm luôn qua Bài 10 Cho hàm số y Tìm tập hợp điểm mà không có đường cong nào họ Cm qua x1 có đồ thị là (C) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm các điểm trên (C) có các tọa độ x, y là số nguyên Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M tùy ý trên (C) đến hai đường tiệm cận (C) là số không đổi Tìm các điểm trên (C) cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai đường tiệm cận (C) nhỏ Bài 11: Cho hàm số y = mx (3m 2)x (1), với m là số thực x 3m Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m Bài 12: Cho hàm số y Tìm m để góc hai tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450 mx Bài 13: Cho hàm số y có đồ thị là Cm ,m là tham số 2x m Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m Xác định tham số m để tiệm cận đứng đồ thị qua điểm A 1; Chứng minh với giá trị tham số m , hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định nó x 3x , có đồ thị (C) x1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Bài 14: Cho hàm số f x 34 (35) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho M là điểm bất kì nằm trên (C) , tiếp tuyến (C) M cắt hai đường tiệm cận (C) hai điểm A, B Chứng minh diện tích tam giác IAB ( I là giao hai tiệm cận) không phụ thuộc vào M và M là trung điểm đoạn AB Bài 15: Cho hàm số y x có đồ thị là (C) x1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số Tìm trên (C) điểm có tọa độ là các số nguyên Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) qua I Chứng minh tích khoảng cách từ điểm bất kì thuộc (C) đến hai tiệm cận không đổi Bài 16: Cho hàm số y 2x có đồ thị là C x1 Khảo sát và vẽ đồ thị C hàm số Chứng minh đồ thị C nhận giao điểm I hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm thuộc C đến hai tiệm cận C là số không đổi 2x có đồ thị là (C) x1 Khảo sát biến thiên và vẽ (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân Chứng minh tiếp tuyến (C) tạo với hai tiệm cận tam giác có diện tích không đổi Bài 17: Cho hàm số y x mx m 2m (1) x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị cách đường thẳng : 2x y Bài 18: Cho hàm số y 2x có đồ thị (C) x1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Chứng minh đồ thị (C) có ít hai trục đối xứng Tìm tất cặp điểm M,N nằm hai nhánh (C) cho MN có độ dài nhỏ Tìm tất điểm K thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) K tạo với hai trục tọa độ tam giác có chu vi nhỏ 4x Bài 20: Cho hàm số y có đồ thị (C) 1 x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số Gọi M là điểm (C) , d là tiếp tuyến (C) M , d cắt hai đường tiệm cận (C) hai điểm A, B và gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (C) a) Chứng minh M là trung điểm đoạn AB b) Chứng minh tam giác IAB có diện tích không đổi c) Tìm điểm M cho tam giác IAB có chu vi nhỏ 2x Bài 21: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số Tìm các điểm thuộc (C) cách hai trục tọa độ Tìm các điểm thuộc hai nhánh khác (C) cho khoảng cách hai điểm đó ngắn Bài 22: Bài 19: Cho hàm số y 35 (36) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 mx2 2m 1 x có đồ thị là Cm ,m x2 a Chứng minh với m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu Cho hàm số y b .Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số với m c Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C hàm số biết tiếp tuyến qua A 1; x2 1 x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 Cho hàm số y b Tìm trên đường thẳng y các điểm mà từ đó kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số Bài 23 Tìm m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị hàm số y x2 x hai điểm A, B cho trung điểm x đoạn AB thuộc Oy Bài 24 Tìm tất các giá trị m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số y x2 hai điểm phân biệt x A, B cho AB Bài 25 Tìm k để đường thẳng d : y kx cắt đồ thị C : y x 4x điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích x2 trung điểm I A, B x 2x có đồ thị là C x1 Tìm hai điểm thuộc hai nhánh C cho khoảng cách chúng nhỏ Bài 26 Cho hàm số y 2x y A m Tìm m để trên đồ thị C tồn hai điểm A x A ; y A , B x B ; y B thỏa mãn: A 2x B y B m x2 x có đồ thị là C Gọi C' là đồ thị đối xứng với C qua điểm A 3; Tìm x 1 phương trình đồ thị C' Bài 27 Cho hàm số : y Bài 28 Tìm trên đồ thị C : y x 4x điểm M có khoảng cách đến đường thẳng 3x y nhỏ x2 Bài 29 Tìm trên đồ thị C : y x 3x tất các cặp điểm đối xứng qua điểm x2 1 I ;1 2 TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y f(x) điểm x0 là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M x0 ; f(x0 ) Khi đó phương trình tiếp tuyến (C) điểm M x0 ; f(x0 ) là: 36 (37) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 y – y f (x ).(x – x ) Điều kiện cần và đủ để hai đường C1 : y f(x) y0 f(x0 ) và C2 : y g(x ) tiếp xúc f( x ) g( x0 ) điểm có hoành độ x0 là hệ phương trình có nghiệm x0 f '( x ) g '( x0 ) Nghiệm hệ là hoành độ tiếp điểm hai đường đó Nếu (C1 ) : y px q và C2 : y ax2 bx c thì (C1 ) và C2 iếp xúc phương trình ax bx c px q có nghiệm kép Các dạng tiếp tuyến đồ thị hàm số thường gặp - Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M x0 ; y , hoành độ x0 , tung độ y - Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A x A ; y A cho trước - Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc nó Phương pháp: Cho hàm số y f x có đồ thị C và M x0 ; y là điểm trên C Tiếp tuyến với đồ thị C M x0 ; y có: - Hệ số góc: k f ' x - Phương trình: y y k x x0 , hay y y f ' x0 x x Vậy, để viết phương trình tiếp tuyến M x0 ; y chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y (Nếu đề chưa cho, ta phải tính cách thay x0 vào hàm số y f x ) - Hệ số góc k f ' x B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm x0 ;y0 Phương pháp Hai đồ thị tiếp xúc 1.1 Định nghĩa: Hai đồ thị hai hàm số y f x và y g x gọi là tiếp xúc điểm M M chúng có cùng tiếp tuyến 2.1 Định lí 1: Hai đồ thị hai hàm số y f x và y g x tiếp xúc và hệ phương trình: f(x) g(x) có nghiệm và nghiệm hệ là tọa độ tiếp điểm f '(x) g '(x) Tiếp tuyến đồ thị hàm số 1.2 Định nghĩa: Cho hàm số y f x Một cát tuyến MM giới hạn đường thẳng M T M dần tới M thì M T gọi là tiếp tuyến đồ thị M gọi là tiếp điểm Định lí 2: Đạo hàm f x x x0 là hệ số góc tiếp tuyến M x0 ; f x0 Nhận xét: Hệ số góc tiếp tuyến có dạng f ' x0 2.2 Các bài toán phương trình tiếp tuyến: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M(x0 ; f(x )) Phương pháp: 37 (38) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f(x) M(x0 ; y ) là: y f '(x )(x x ) y0 với y f(x0 ) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k Phương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y kx b f(x) kx b (1) * Điều kiện tiếp xúc là hệ phương trình: (2) f '(x) k Từ (2) ta tìm x , vào (1) ta có b Ta có tiếp tuyến cần tìm Cách 2: * Giải phương trình f '(x) k giải phương trình này ta tìm các nghiệm x1 ,x2 , ,x n * Phương trình tiếp tuyến: y f '(x i )(x x i ) f(xi ) (i 1, 2, ,n) Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý số vấn đề sau: * Số tiếp tuyến đồ thị chính là số nghiệm phương trình : f '(x) k *Cho hai đường thẳng d1 : y k1x b1 và d : y k x b Khi đó i) tan k1 k k1 k , đó (d1 ,d2 ) k k ii) d1 / /d2 b1 b2 iii) d1 d2 k1 k 1 Bài toán 01: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm Phương pháp Bài toán : Hai đường cong C : y f x và C' : y g x tiếp xúc M x0 ; y Khi điểm M C C' và tiếp tuyến f x0 g x0 M C trùng với tiếp tuyến M C' hệ phương trình sau: có nghiệm x0 f ' x0 g ' x0 Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho trường hợp: C : y f x tiếp xúc f x ax b có nghiệm kép d : y ax b Hàm f x nhận x0 làm nghiệm bội k f x0 f ' x0 f k 1 x0 và f k x0 Nghiệm bội lớn không phải nghiệm kép Phép biến đổi tương đương phương trình nói chung không bảo toàn số bội nghiệm Ví dụ Đường cong y x không tiếp xúc với trục hoành , tức là phương trình x không nhận làm nghiệm bội lớn Khi đó đồ thị C : y x hàm số tiếp xúc với trục hoành x phương trình x3 nhận làm nghiệm bội Ví dụ Đồ thị C : y sin x hàm số tiếp xúc với đường thẳng d : y x x phương trình sin x x thì không thể có nghiệm kép Như vậy, biến đổi tương đương phương trình bảo toàn tập nghiệm, không bảo toàn số bội các nghiệm Đây là sai lầm dễ mắc phải giải bài toán tiếp tuyến Bài toán : 38 (39) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 * Đường cong C : y f x có tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 và hàm số y f x khả vi x0 Trong trường hợp C có tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ' x0 * Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y f x điểm M x0 ; f x0 có dạng : y f ' x0 x x f x0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm trên (C) : y 2x 3x điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 6x 11x điểm có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x 2x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường 3 thẳng x 4y Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị C : y 2x biết d cách điểm A 2; và B 4; 2 x1 Tìm m để từ điểm M 1; kẻ tiếp tuyến đến đồ thị Cm : y x3 2x2 m 1 x 2m 3m 1 x m m Cho hàm số y có đồ thị là Cm , m và m Với giá trị nào m thì giao điểm xm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến đồ thị song song với đường thẳng x y 10 Viết phương trình tiếp tuyến đó Chứng minh các tiếp tuyến d , t đồ thị C : y x 6x 9x song song với thì hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M 2; Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Cm : y x3 2x2 m 1 x 2m vuông góc với đường thẳng y x Tìm m để đồ thị : y mx m 1 x 3m x có điểm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x y 2013 10 Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Giả sử d là tiếp tuyến C điểm có hoành độ x , đồng thời d cắt đồ thị C N, tìm tọa độ N Bài 2: Cho hàm số y x 2x 8x có đồ thị là C Chứng minh không có hai tiếp tuyến nào đồ thị hàm số lại vuông góc với Cho hàm số y 2x Tìm 0; cho điểm M sin ; nằm trên đồ thị C Chứng minh rằng, tiếp x 1 2 tuyến C điểm M cắt hai tiệm cận C hai điểm A, B đối xứng qua điểm M Cho hàm số y x 2x Tìm phương trình tiếp tuyến hàm số có khoảng cách đến điểm M 0; 3 65 Tìm m để đồ thị y x 3mx có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x y góc cho cos 26 39 (40) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Xác định m để hai tiếp tuyến đồ thị y x 2mx 2m A 1; và B 1; hợp với góc cho cos 15 17 2x có đồ thị C x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) a Tiếp tuyến có hệ số góc 1 b Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x Cho hàm số: y c Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân d Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y 2x , biết: x 1 a Hệ số góc tiếp tuyến 2 b Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x 2y c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 9x 2y d Tạo với đường thẳng d' : 4x 3y 2012 góc 450 e Tạo với chiều dương trục hoành góc cho cos f Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm tiệm cận ) x4 x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng : y 2x Bài 3: Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) Bài 4: ax b , có đồ thị là C Tìm a, b biết tiếp tuyến đồ thị C giao điểm C và trục Ox x2 có phương trình là y x 2 Cho hàm số y Cho hàm số y ax bx c (a 0) , có đồ thị là C Tìm a, b,c biết C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu C có tọa độ là 0; và tiếp tuyến d C giao điểm C với trục Ox có phương trình là Bài 5: Cho hàm số y 2x 4x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(1; 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) hai điểm phân biệt x3 x 2x Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung x Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng y Bài 6: Gọi (C) là đồ thị hàm số y 40 y 8 3x 24 (41) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 3.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung A, B cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ) Bài 7: Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (C m ) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C m ) điểm có hoành độ x song song với đường thẳng y 3x 10 Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị (C m ) vuông góc với đường thẳng : y 2x Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (C m ) đúng hai tiếp tuyến Bài 8: Tìm m để đồ thị : 1 y mx m 1 x 3m x tồn đúng điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x 2y x 2mx 2m cắt trục hoành hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với x 1 góc với y Cm hai điểm này vuông 2x cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : x 3y đạt x1 giá trị nhỏ Trong trường hợp này, chứng minh song song với tiếp tuyến C M Bài 9: Tìm điểm M trên đồ thị C : y Bài toán 02: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH Phương pháp Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy A, B thì tan OAB định y ' x tan OAB OB , đó hệ số góc d xác OA CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x Bài tập: Cho hàm số y có đồ thị là C Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị C cho tiếp tuyến x1 này cắt các trục Ox, Oy các điểm A,B thoả mãn OA 4OB Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI ĐIỂM PHÂN BIỆT A,B MÀ TIẾP TUYẾN TẠI A,B THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 2x Cho hàm số y có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc C biết tiếp tuyến đó x2 cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A,B cho côsin góc ABI , với I là giao tiệm cận 17 2x Cho hàm số y Tìm trên hai nhánh đồ thị (C), các điểm M, N cho các tiếp tuyến M và N cắt hai x1 đường tiệm cận điểm lập thành hình thang Bài 2: x 3x , tiếp tuyến M cắt C hai điểm x2 A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) tam giác có diện tích không đổi ,không phụ thuộc vào vị trí M Chứng minh với điểm M tùy ý thuộc C : y 41 (42) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho hàm số y x3 , có đồ thị là (C).Tìm trên đường thẳng d : y 2x các điểm từ đó kẻ x 1 tiếp tuyến tới (C) Bài 3: Cho hàm số y x 3x có đồ thị là (C) Chứng minh (C) tiếp xúc với trục hoành 2.Viết phương trình tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) với trục hoành Tìm điểm trên trục hoành cho từ đó kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và đó có hai tiếp tuyến vuông góc với Bài Cho hàm số y x 2x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 24x y Tìm M Oy cho từ M vẽ đến (C) đúng ba tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) hai điểm phân biệt Bài toán 04: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập Cho hàm số y x 3x 9x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : y x góc thỏa 41 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm A( 1; 6) cos Bài toán 05: TIẾP TUYẾN SONG SONG, VUÔNG GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập : Cho hàm số y x 2x x Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến khác đồ thị Cho hàm số y x 3x có đồ thị là (C) Tìm toạ độ điểm M thuộc d : y 3x cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với Bài toán 06: TIẾP TUYẾN ĐỒ THỊ VÀ MỐI LIÊN HỆ TÍNH CHẤT TAM GIÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 2x m Gọi (C) là đồ thị hàm số y = ,m là tham số khác – và (d) là tiếp tuyến (C) Tìm m để (d) tạo x2 với hai đường tiệm cận (C) tam giác có diện tích 2 Cho hàm số y x m(x 1) có đồ thị là (C m ) Tìm m để tiếp tuyến (C m ) giao điểm nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài 2: x1 Cho hàm số y Tìm giá trị nhỏ m cho tồn ít điểm M (C) mà tiếp tuyến (C) 2x M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : y 2m Cho hàm số y 2mx Gọi I là giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp tuyến diểm bất kì xm 42 (43) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 (C) cắt hai tiệm cận A và B cho IAB có diện tích S 22 2x 3 Gọi d là tiếp tuyến đồ thị C : y M cắt các đường tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa x2 độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ , với I là giao điểm hai tiệm cận Bài 3: 2x Cho hàm số y , có đồ thị là C Tìm điểm M thuộc C cho tiếp tuyến M C cắt Ox, Oy x 1 A, B cho diện tích tam giác OAB , O là gốc tọa độ Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C , để: d cắt trục tọa độ các điểm A, B thỏa mãn trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x 4y , O là gốc tọa độ Giao điểm d và t : y x là trọng tâm tam giác ABC biết C : y x x x , A 1;1 , 22 27 B 0; và C ; 5 d cắt trục hoành, trục tung điểm phân biệt cùng với điểm O tạo thành tam giác cân O , biết C : a y x2 2x b y x x2 2x có đồ thị là (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x Bài 5: Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) qua tâm đối xứng 2x Bài Cho hàm số y có đồ thị (C) x2 Trên đồ thị (C) tồn bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến (C) đó song song với đường thẳng y 4x Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 18 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn Bài 7: Cho hàm số y x ax bx c , c có đồ thị (C) cắt Oy A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N Tiếp tuyển với đồ thị M qua A Tìm a; b; c để S AMN Bài 8: Cho hàm số y 2x có đồ thị là (C) x1 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với IM Bài 9: Gọi (C) là đồ thị hàm số y x và (d) là tiếp tuyến (C) , (d) cắt hai trục tọa độ A và B Viết phương trình tiếp tuyến (d) tam giác OAB có diện tích nhỏ ( O là gốc tọa độ ) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y x4 m 1 x2 3m , m là tham số 43 (44) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm các giá trị dương tham số m để (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến (Cm) giao điểm có hoành độ lớn hợp với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 24 Bài 10: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C , để: d tạo với đường tiệm cận cùng với I 1;1 tạo thành tam giác có chu vi 2 , biết C : y d cắt tiệm cận A, B cho IA IB2 40 với I 1; , biết C : y x x 1 2x x1 2x có đồ thị C ,giao điểm hai tiệm cận là I Lập phương x2 trình tiếp tuyến đồ thị C cho tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị C lần Cho hàm số y lượt E, F và chu vi IEF 17 Cho hàm số : y 2x có đồ thị là C Tìm điểm M thuộc x1 C cho tiếp tuyến C M cùng với đường tiệm cận C tạo thành tam giác có chu vi 10 Bài 11: 2x có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C , để khoảng cách từ tâm đối x2 xứng đồ thị C đến tiếp tuyến là lớn Cho hàm số y 2x có đồ thị C Tìm trên C điểm M cho tiếp tuyến M C cắt hai x2 tiệm cận C A,B cho AB ngắn Cho hàm số y Bài toán 07: TIẾP TUYẾN ĐỒ THỊ VÀ MỐI LIÊN HỆ ĐƯỞNG TRÒN CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập : Tìm m để tiếp tuyến đồ thị y x mx m điểm M có hoành độ x 1 cắt đường tròn (C) có phương trình (x 2)2 (y 3)2 theo dây cung có độ dài nhỏ Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị qua điểm cho trước Phương pháp Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; y A ) Phương pháp: Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng: y k(x x A ) y A f(x) k(x x A ) y A (1) Điều kiện tiếp xúc: hệ pt có nghiệm (2) f '(x) k Thay (2) vào (1), ta được: f(x) f '(x)(x x A ) y A , giải pt này ta tìm các nghiệm x1 ,x2 , ,x n Thay vào (2) ta tìm k từ đó suy phương trình tiếp tuyến Cách 2: 44 (45) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Gọi M(x0 ; y ) là tiếp điểm Khi đó tiếp tuyến có dạng: y f '(x )(x x ) y0 Vì tiếp tuyến qua A nên ta có: y A f '(x0 )(x A x ) y , giải phương trình này ta tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Chú ý: * Nếu giải theo cách thì số tiếp tuyến đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm phương trình: f(x) f '(x)(x x A ) y A * Nếu giải theo cách thì số tiếp tuyến phụ thuộc vào số nghiệm phương trình y A f '(x0 )(x A x ) f(x ) (với ẩn là x0 ) Bài toán 01: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC Phương pháp Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y f x qua điểm M x1 ; y1 Cách : Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : y k x x1 y1 d tiếp xúc với đồ thị C N x0 ; y0 f x0 k x0 x1 y1 hệ: có nghiệm x0 f ' x0 k Cách : Gọi N x ; y là tọa độ tiếp điểm đồ thị C và tiếp tuyến d qua điểm M , nên d có dạng y y '0 x x0 y0 d qua điểm M nên có phương trình : y1 y'0 x1 x0 y0 * Từ phương trình * ta tìm tọa độ điểm N x ; y , từ đây ta tìm phương trình đường thẳng d CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4 4 x 2x 3x có đồ thị là (C) Tìm phương trình các đường thẳng qua điểm A ; và 9 3 tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số 3 Bài 2: Cho hàm số y x 3x (C) Tìm phương trình tiếp tuyến qua điểm A 0; và tiếp xúc với đồ thị 2 2 Bài 1: Cho hàm số y (C) Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến C : y x3 1 x 3x qua điểm A 0; 3 y x 4x qua điểm cực tiểu đồ thị 23 y x 3x qua điểm A ; 2 y x 2x x qua điểm M 4; 24 Bài 4: x 2x , biết tiếp tuyến qua điểm M(6; 4) x2 x2 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : y , biết d qua điểm A 6; x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 45 (46) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho hàm số y x 3x 9x 11 có đồ thị là C Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến 29 qua điểm I ;184 Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số y x 3x Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 9x – Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(- 2;7) Bài 6: Cho hàm số y (2 x)2 x , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) với Parabol y x Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(2; 0) Bài toán 02: TÌM ĐIỂM M ĐỂ QUA ĐÓ KẺ ĐƯỢC n TIẾP TUYẾN CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x3 (m 2)x 2mx tiếp xúc với đường thẳng y = x2 Gọi (C) là đồ thị hàm số y = (0;m) là điểm thuộc trục Oy , m Chứng minh luôn tồn ít 2x tiếp tuyến (C) qua M và tiếp điểm tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương Bài 2: Tìm m để (Cm): y Cho hàm số y x 3x Tìm trên đường thẳng d : y các điểm mà từ đó kẻ đúng tiếp tuyến với (C) Cho hàm số y x 3x Tìm trên đường thẳng (d): y = các điểm mà từ đó kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Chứng minh từ điểm thuộc đường thẳng x luôn kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x 6x 9x Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị H : y x hàm số đúng điểm phân biệt Cho hàm số y x 2x , có đồ thị là C a Tìm trên đồ thị C điểm B mà tiếp tuyến với C điểm đó song song với tiếp tuyến với C điểm A 1; b Tìm trên đường thẳng y điểm mà qua đó ta kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị C Cho hàm số : y x 2x có đồ thị là C a Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ b Tìm điểm M trên trục Oy để từ M kẻ tiếp tuyến đến C c Tìm điểm N trên đường thẳng d : y để từ N kẻ tiếp tuyến đến C Bài 3: 1 Cho hàm số y mx (m 1)x (4 3m)x có đồ thị là Cm Tìm các giá trị m cho trên đồ thị Cm tồn điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 46 (47) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho hàm số y mx (m 1)x (4 3m)x có đồ thị là Cm Tìm các giá trị m cho trên đồ thị Cm tồn đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y x2 có đồ thị là C Cho điểm A(0;a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị C x1 cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành x 1 Cho hàm số y có đồ thị là C Tìm trên Oy tất các điểm từ đó kẻ tiếp tuyến tới x 1 C Cho hàm số: y 2x x 4x , gọi đồ thị hàm số là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2;9) Gọi M, N là hai điểm thuộc (C) có hoành độ là x1 , x ( x1 x2 ) , tìm hệ thức x1 , x cho hai tiếp Bài 4: Cho hàm số y tuyến (C) M,N song song với nhau, đó chứng minh đường thẳng M1M qua điểm cố định Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số y x2 2x Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng y x1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2; - 2) Gọi M là điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến (C) M Bài 6: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = 2x 3(m 1)x mx m và (d) là tiếp tuyến (Cm) điểm có hoành độ x = - Tìm m để (d) qua điểm A(0;8) (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài 7: Cho hàm số y x4 2x , có đồ thị là ( C ) Tìm tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol P : y x2 m Gọi (d) là tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x = a Tìm a để (d) cắt lại (C) hai điểm E, F khác M và trung điểm I đoạn E, F nằm trên parabol (P’): y x Bài 8: x2 x tiếp xúc với Parabol y x m x 1 Tìm m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc với Tìm m để đồ thị hàm số y (C1 ) : y mx (1 2m)x 2mx và (C ) : y 3mx 3(1 2m)x 4m Tìm tham số m để đồ thị (Cm) hàm số y x 4mx 7mx 3m tiếp xúc với parabol P : y x2 – x x2 x có đồ thị (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3x 4y Bài 9: Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ M(1; 3) 47 (48) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) Biện luận theo m số tiếp tuyến (C) mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng m : x my m Bài 10: x2 có đồ thị là (C) và điểm A 0; m Xác định m để từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) x1 cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Cho hàm số: y Tìm tham số m để đồ thị (C) : y x 2(m 1)x 5mx 2m hàm số tiếp xúc với trục hoành Gọi Cm là đồ thị hàm số y = x (m 1)x 4m Tìm tham số m để Cm tiếp xúc với đường thẳng (d): y = hai điểm phân biệt 2x Bài 11: Cho hàm số y (1) x1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Gọi (d) là tiếp tuyến (C) , A, B là giao điểm (d) với trục hoành và trục tung Viết phương trình (d) cho i) HB = 4.HA với H là hình chiếu vuông góc gốc tọa độ O lên (d) ii) Diện tích tam giác OAB x 3x (1) 1x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Bài 12: Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cắt trục tung điểm A cho OA = 3.Cho hai điểm M(1;0) , N(0;3) a) Chứng tỏ đường thẳng MN và (C) không có điểm chung b) Viết phương trình tiếp tuyến (D)của (C) song song với đường thẳng MN và tìm E trên (C) cho tam giác EMN có diện tích nhỏ Bài 13: Tìm tất các điểm trên Oy cho từ đó ta có thể vẽ ít tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x 4x2 2x có đồ thị là ( C ) x1 Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) Gọi M1M là hai điểm thuộc (C) có hoành độ là x1 ,x2 (x1 x ) Tìm hệ thức liên hệ x1 ,x2 cho Bài 14: Cho hàm số y 2x hai tiếp tuyến (C) M1M song song với Chứng minh đó giao điểm I hai đường tiệm cận (C) là trung điểm đoạn M1M Bài 15: Cho hàm số: y 4x 3x , có đồ thị là C Tìm a để phương trình 4x 3x 2a 3a có hai nghiệm âm và nghiệm dương; Tìm điểm trên đường thẳng y để từ đó có thể vẽ ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị C Bài 16: x2 x m với m cắt trục hoành điểm phân biệt A, B x 1 cho tiếp tuyến điểm A, B vuông góc với Tìm tham số m để đồ thị hàm số Cm : y 48 (49) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 2x có đồ thị là C Tìm trên đường thẳng y x điểm mà từ đó có thể kẻ tiếp x2 tuyến đến C , đồng thời tiếp tuyến đó vuông góc với Cho hàm số y Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C a Viết phương trình tiếp tuyến C kẻ từ điểm 1; b Tìm trên đường thẳng y 9x , điểm có thể kẻ đến C ba tiếp tuyến Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị Phương pháp Cho hai đường cong C : y f x và C' : y g x Hãy tìm tất các tiếp tuyến chung C và C' Giả sử T là tiếp tuyến chung C và C' T tiếp xúc với C và C' các điểm có hoành độ x1 ,x2 Khi đó: T : y f ' x1 x x1 f x1 T : y f ' x2 x x2 f x2 f ' x1 f ' x Ta có hệ * f x1 x1f ' x1 f x x f ' x Giả sử xi là nghiệm hệ * với i 1,2,3, , n thì các tiếp tuyến cần tìm là Ti : y f ' xi x xi f x i và CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập Tìm tham số m để đồ thị y x 4mx 7mx 3m tiếp xúc với parabol: y x x TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Định lí : Cho hai đồ thị (C) : y f(x) và (C') : y g(x) Số giao điểm hai đồ thị (C) và (C’) chính là số nghiệm phương trình: f(x) g(x) Từ định lí này dẫn tới hai bài toán giao điểm sau : Bài toán 1: Biện luận số nghiệm phương trình: F(x, m) (m là tham số) Phương pháp giải: * Ta biến đổi phương trình F x,m dạng f x g m , đó ta đã biết đồ thị (C) hàm số y f x có thể dễ dàng vẽ * Để biện luận số nghiệm phương trình, ta chuyển biện luận số giao điểm (C) và đường thẳng song song với Ox: y g m Bài toán 2: Biện luận số giao điểm hai đồ thị (C) : y f(x) và (C') : y g(x) Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) và (C’): f(x) g(x) () B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT TRỤC HOÀNH Bài toán 01: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 1,2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 49 (50) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho hàm số y x mx Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Cho hàm số y 2x 3(m 1)x 6mx Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Bài 2: Định m để đồ thị hàm số y x 3x (2m 1)x 4m tiếp xúc trục Ox hai điểm phân biệt Cho hàm số y x 2m x m 2m Chứng minh đồ thị hàm số luôn cắt trục Ox ít hai điểm phân biệt, với m Bài 3: Tìm m để: Hàm số y x 3m x 2m có đồ thị là Cm tiếp xúc Ox đúng điểm phân biệt Bài 4: Gọi Cm là đồ thị hàm số y x 2(m 1)x m 3m Tìm m để Cm và trục hoành: Có điểm chung phân biệt Có hai điểm chung Có điểm chung Không có điểm chung Bài toán 02: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho hàm số y x4 m 1 x2 2m có đồ thị là Cm , m là tham số Tìm m để đồ thị Cm cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Bài Cho hàm số y x 2mx m ,xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x1 x2 x3 x Bài 3: Cho hàm số y = x 3x (m 2)x m ( m là tham số ) (1).Gọi Cm là đồ thị hàm số (1) Tìm m để Cm cắt trục hoành ba điểm phân biệt Cm cắt trục hoành ba điểm phân biệt đó có hai điểm có hoành độ dương Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số : y x (4m 3)x (m 2)x 3m có hai cực trị trái dấu y x 3(m 1)x 3mx m cắt Ox ba điểm phân biệt đó có ít điểm có hoành độ âm y x4 – 3m x2 3m điểm phân biệt có hoành độ nhỏ y x 2mx m (Cm) cắt Ox bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số : y x 3mx (3m 1)x 6m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 thỏa x12 x 22 x 32 x1 x x 20 y x 2x (3m 1)x m cắt đường thẳng d : y (1 m)x m ba điểm phân biệt có hoành độ x1 x2 x3 y x (3m 2)x 3m (Cm) cắt đường thẳng y 1 bốn điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 , x3 , x4 thỏa : x12 x 22 x 32 x 42 x1 x2 x x Bài 5: Tìm m để đồ thị (C m ) y x (2m 3)x (2m m 9)x 2m 3m cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớn và khoảng cách hai điểm này là lớn Bài 6: 50 (51) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm m để đồ thị Cm : y x 3mx 3x 3m cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x , x thỏa mãn : x12 x 22 x 23 15 Tìm m để hàm số y x 4mx 4m cắt trục Ox điểm phân biệt M, N, P, Q ( xM x N x P x Q ) cho MQ 2NP Bài 7: Gọi (C m ) là đồ thị hàm số y x (3m 1)x 2m 2m 12 , m là tham số 1.Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt đó có ba điểm có hoành độ nhỏ và điểm có hoành độ lớn 2 Tìm m để (C m ) và trục Ox có hai điểm chung B,C cho tam giác ABC với A(0;2) Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ HOÀNH ĐỘ LẬP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Phương pháp giải Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax bx2 cx d ( a 0) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ tạo thành cấp số cộng (C) cắt trục hoành nên có: ax bx cx d () x1 ,x2 ,x3 lập thành cấp số cộng phương trình () có nghiệm x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn x1 x 2x (1) Khi đó: ax bx cx d a(x x1 )(x x )(x x ) a x3 (x1 x x )x2 (x1x x x x x1 )x x1x x (2) Từ (1) và (2) suy x b 3a b vào () để suy điều kiện cần tìm 3a Chú ý: Đây là điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Thế x Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ tạo thành cấp số nhân Giả sử () có nghiệm x1 ,x2 ,x3 lập thành cấp số nhân phương trình () có nghiệm x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn x1 x x 22 (3) Từ (3) và (2) suy x 32 d là nghiệm () a d vào () để suy điều kiện cần tìm a Chú ý: Đây là điều kiện cần nên phải thử lại kết tìm Thế x Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax bx c (a 0) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ax4 bx2 c (1) có nghiệm phân biệt at bt c (t x ) (2) có nghiệm dương phân biệt t1 , t (giả sử t1 t ) 1 Khi đó các nghiệm (1) là: t ; t1 ; t1 ; t Vì t ; t1 ; t1 ; t lập thành cấp số cộng nên t t1 t1 t1 t 9t1 51 (52) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Giải điều kiện: 1 , CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x4 m 1 x2 2m có đồ thị là Cm Định m để đồ thị Cm cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Bài 2: Gọi Cm là đồ thị hàm số y x (3m 2)x 2m 5m , m là tham số Tìm m để Cm cắt đường thẳng (d) : y - = điểm phân biệt Có hoành độ lập thành cấp số cộng Có hoành độ lớn – Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số : y x 3x (4m 1)x 2m cắt Ox ba điểm A, B,C cho AB BC y x 2mx 2m cắt trục hoành bốn điểm A, B,C, D cho AB BC CD Cho hàm số y x px pqx q có đồ thị là (C) , với p,q là các số thực cho trước thỏa mãn p 3q Chứng minh (C) cắt trục hoành ba điểm có hoành độ lập thành cấp số nhân y x – 10mx 6m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Dạng 2: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Phương pháp Lập phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị C : y f x và C' : y g x là : f x g x * Biện luận số nghiệm phương trình * , số nghiệm phương trình * là số giao điểm C và C' Bài toán 01: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho hàm số y x – 3x có đồ thị là C Tìm m để đường thẳng : y (2m 1)x – 4m – cắt đồ thị C đúng hai điểm phân biệt Bài Cho hàm số y x3 3mx2 m 1 x Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng () : y 6x điểm phân biệt A(0,2), B, C cho: AB.AC 1221 444BC Bài Cho hàm số y x 2m x Chứng minh đường thẳng y x luôn cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt với giá trị m Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số : y x 3x 9x m cắt Ox ba điểm phân biệt y x 3x và d là đường thẳng qua điểm I 1; C và có hệ số góc là m cắt C ba điểm phân biệt I, M, N cho tam giác AMN vuông cân A 2; 1 y x 3mx 3m(m 2)x m 3m m cắt parabol y – 3x ba điểm phân biệt Tìm tham số m cho đồ thị C : y x 3x và Hm : y m 1 x m 35 x1 cắt điểm phân biệt Bài toán 02: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC 52 (53) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Cho hàm số y x m m x m 3m 1 , đó m là tham số Tìm tất các giá trị thực m cho đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y ba điểm phân biệt có hoành độ là x1 ,x2 ,x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức x12 x 22 x 32 18 Bài Tìm m để đường thẳng y 2mx cắt đồ thị y x3 2m 1 x2 điểm phân biệt A, B, C cho OA OB2 OC2 nhỏ Bài Tìm m để đồ thị Cm hàm số y x4 3m x2 3m cắt đường thẳng y 1 bốn điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2 ,x3 , x4 thỏa mãn hệ thức : x12 x 22 x 32 x 42 x1 x2 x x Bài toán 03: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x Bài tập Giả sử đường thẳng y x m cắt đồ thị C hàm số y điểm phân biệt A, B I là giao x1 điểm đường tiệm cận Tìm tham số m để tam giác IAB Gọi d' là đường thẳng qua I và cắt đồ thị C hàm số điểm phân biệt C, D Lập phương trình đường thẳng d' để có CD CI Bài toán 04: ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI ĐIỂM THUỘC HOẶC NHÁNH CỦA ĐỒ THỊ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Gọi dm là đường thẳng qua điểm A 2; và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng dm cắt đồ thị 1 C : y 2x x1 hàm số Tại hai điểm phân biệt? Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị ? x2 Bài Tìm tham số thực m để d qua A 1; và có hệ số góc là m cắt C : y hai điểm M,N thuộc x1 hai nhánh C ( M thuộc nhánh trái , N thuộc nhánh phải )sao cho AN 2AM Bài 3: 2x x m cắt đồ thị (C) : y hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm x1 AB nằm trên đường thẳng 2x y Tìm m để đường thẳng : y Cho hàm số y x 3x 6x (C) và d là đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt O, A, B cho AB 17 Chứng minh đồ thị (C) : y 2x x cắt đường thẳng d : y x 2m hai điểm phân biệt thì hai x 1 điểm đó nằm nhánh (C) Bài toán 05: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ ĐỘ DÀI CHO TRƯỚC 53 (54) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 2x Cho hàm số y có đồ thị là C Tìm m để đường thẳng d : y 2x m cắt C hai điểm phân biệt x1 A, B cho AB x1 Cho hàm số y có đồ thị là Cm Tìm các giá trị tham số m cho đường thẳng d : y x cắt xm đồ thị hàm số hai điểm A, B cho AB 2 x2 Bài 2: Cho hàm số y có đồ thị là C 2x Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng 37 Bài toán 06: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ ĐỘ DÀI NHỎ NHẤT CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x3 Cho hàm số : y có đồ thị H Giả sử đường thẳng d : y 2x m luôn cắt đồ thị H hai điểm phân x 1 biệt M,N Tìm m để độ dài MN ngắn 2x Chứng minh đường thẳng d : y x m luôn cắt (C): y hai điểm phân biệt A,B Tìm m để đoạn x2 AB ngắn 3x Tìm m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị y điểm phân biệt M, N thuộc nhánh khác 2x cho MN ngắn d : y x m cắt đồ thị C điểm phân biệt A, B cho OA OB2 2x 3x , (d) là đường thẳng x 1 y 4x m , m là tham số Tìm tham số m để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho : Bài 2: Gọi (C) là đồ thị hàm số y Độ dài AB nhỏ Tam giác IAB có diện tích với I(1;0) và m > Bài toán 07: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 2x 1 Cho hàm số y có đồ thị là C Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt C hai điểm phân biệt x1 A, B cho tam giác OAB vuông O Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Gọi d k là đường thẳng qua điểm A( 1; 0) với hệ số góc k (k ) Tìm k để đường thẳng d k cắt đồ thị C ba điểm phân biệt A, B, C và giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Gọi E là tâm đối xứng đồ thị C Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt C ba điểm E,A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB Cho hàm số y x mx (1) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số (1) cắt đường thẳng (d) y = 2x+1 ba điểm phân biệt A,B,C đó A là điểm có hoành độ x = và thỏa mãn điều kiện tam giác OBC vuông O 54 (55) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 1 x có đồ thị là C Tìm tham số m để đường thẳng d m : y x 2m cắt đồ thị C hai 2x 1 điểm phân biệt A và B cùng điểm I tạo thành tam giác có diện tích 1, với I ; 2 2 Cho hàm số y Giả sử A, B là giao điểm đường thẳng d : y 2x 2m và đồ thị C : y 2x m Tìm m để đường thẳng mx d cắt trục tọa độ M, N cho SOAB 3SOMN Cho hàm số y x 3x , có đồ thị C Tìm m để đường thẳng y mx m luôn cắt C điểm phân biệt A, B, C cho tam giác OBC có diện tích , với O là gốc tọa độ 2x Cho hàm số y , có đồ thị là C Từ điểm A 1; , B 3;1 hãy lập phương trình đường thẳng có hệ số x2 góc 1,5 Tính diện tích hình thang giới hạn AB, đường thẳng này và trục Ox Bài 2: 2x có đồ thị là (C) Tìm các giá trị m để đường thẳng y 3x m cắt (C) A và B cho x1 trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng d : x 2y (O là gốc tọa độ) Cho hàm số y 2x có đồ thị là C Tìm các giá trị m cho đường thẳng (d): y x m cắt (C) x1 điểm phân biệt M, N cho diện tích tam giác IMN , với I(1; 2) Giả sử d là đường thẳng qua A 0;1 và có hệ số góc m Tìm tất tham số thực m để đường thẳng d cắt Cho hàm số y đồ thị C : y a AB 10 x3 hàm số điểm phân biệt A, B cho: x2 2 b G ; là trọng tâm tam giác OAB 3 Cm : y x 2mx2 m x cho tam giác KBC có diện tích (đvdt), biết K 1; Tìm các giá trị tham số m cho: d : y x cắt đồ thị phân biệt A 0; , B,C Tìm hai tọa độ P và Q thuộc đồ thị C : y x ba điểm cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại C đến đường thẳng PQ Bài 3: Xác định đường thẳng d cho d cắt C : y 2x hai điểm phân biệt B, C cho tam giác ABC đều, x 1 với A 2; 3x hai điểm A, B phân biệt Tìm m để đường thẳng y x m cắt x2 C hai điểm C, D phân biệt cho ABCD là hình bình hành Đường thẳng y x cắt C : y x m , tìm các giá trị m để đường thẳng 2x 2y cắt đồ thị hàm số hai điểm A x2 và B cho tam giác OAB có diện tích (O là gốc tọa độ) Cho hàm số y 55 (56) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm tham số m để đường thẳng y mx m cắt đồ thị y x 2x hai điểm phân biệt A, B cho tam x1 giác ABC vuông C 1; mx có đồ thị là Cm Tìm m để trên đồ thị Cm có điểm P, Q cách điểm x 1 A 3; , B 3; 2 và diện tích tứ giác APBQ 24 Bài 4: Cho hàm số y x2 x có đồ thị là (C) và đường thẳng (d) : y x m Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm x2 phân biệt M,N cho: Bài Cho hàm số y = Tam giác AMN vuông A với A 4; MN 39 Bài Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O cắt đồ thị C y hình chữ nhật có diện tích điểm phân biệt là đỉnh x 32 2x có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (C) Viết phương trình x1 hai đường thẳng qua I và cắt (C) bốn điểm phân biệt là bốn đỉnh hình chữ nhật có diện tích 32 Bài Gọi d là đường thẳng qua gốc tọa độ O và có hệ số góc là m , m > và d' là đường thẳng qua O và vuông góc với d Tìm m để d cắt (C) : y x hai điểm phân biệt M,N ; d' cắt (C) hai điểm phân biệt P,Q x cho tứ giác MPNQ có diện tích nhỏ Cho hàm số y = Bài Cho hàm số y x3 x 3x (1) 1.Tìm tham số a để phương trình x 3x x a (2) có đúng hai nghiệm 3 5 2.Cho điểm I ,4 và gọi (d) là đường thẳng y = mx+4 , m là tham số thực Tìm tham số m để (d) cắt đồ 2 thị (C) ba điểm phân biệt A(0;4) , B, C cho IB2 IC2 4SIBC (SIBC là diện tích tam giác IBC) x 2x có đồ thị là (C) x1 Tìm các điểm thuộc (C) cách hai trục tọa độ Gọi I là giao điểm hai tiệm cận (C) Viết phương trình hai đường thẳng qua I , có hệ số góc là số nguyên và cắt (C) bốn điểm phân biệt là bốn đỉnh hình chữ nhật 2x Bài 10: Cho hàm số y (C) và đường thẳng (d) :y = x+m , m là tham số Tìm m để (d) cắt (C) hai x 1 điểm phân biệt M,N cho : M , N cách trục hoành độ Diện tích tam giác IMN = với I(1;2) 3x Bài 11: Cho hàm số y có đồ thị là (C) x2 Bài Cho hàm số y 56 (57) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm a, b để đường thẳng : y ax 2b cắt (C) hai điểm phân biệt M, N cho M, N đối xứng qua O Đường thẳng y x cắt (C) hai điểm A, B Tìm m để đường thẳng y x m cắt (C) C, D cho ABCD là hình bình hành Bài 12: x 2x , có đồ thị là C và đường thẳng d : y 2x m Tìm m cho C cắt d A, x2 4 B phân biệt thỏa mãn I 2; là trọng tâm tam giác OAB với O là gốc tọa độ 3 Cho hàm số y Cho hàm số y x4 m 1 x2 2m có đồ thị là Cm Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành điểm phân biệt A, B,C, D có hoành độ x1 ,x2 ,x3 , x4 x1 x x x cho tam giác ACK có diện tích , biết K 3; 2 Xác định đường thẳng d cho d cắt C : y 2x hai điểm phân biệt B, C cho tam giác ABC đều, x 1 với A 2; Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị C : y 2x x1 hai điểm phân biệt B và C cho tứ giác OABC là hình bình hành ( O là gốc toạ độ, A 5;5 ) Dạng 3: ĐƯỜNG THẲNG CẮT ĐỒ THỊ CỦA CỦA HÀM SỐ TẠI 2,3 ĐIỂM MÀ TIẾP TUYẾN TẠI ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x4 3x có đồ thị là (C) Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a Viết phương trình tiếp 2 tuyến (C) M, với giá trị nào a thì tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M 2x Cho hàm số y , có đồ thị C Tìm tất các tham số thực m để đường thẳng t : y 2x m cắt C x2 hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến đó song song với Cho hàm số y x4 3x có tiếp tuyến M thuộc C có hoành độ m cắt C điểm phân biệt E, F 2 khác M cho MF 3ME , E nằm M và F Bài 2: Cho hàm số y Cho hàm số : y x mx có đồ thị (Cm ) Tìm tham số m để đường thẳng d : y x cắt (Cm ) ba điểm phân biết A 0;1 , B, C cho các tiếp tuyến (Cm ) B, C vuông góc với Cho hàm số : y x 3x mx có đồ thị (Cm ) Tìm tham số m để đường thẳng d : y cắt (Cm ) ba điểm phân biết A 0;1 , B, C cho các tiếp tuyến B,C có tổng hệ số góc không nhỏ 17 Bài 3: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = x 5x (m 4)x m , m là tham số 57 (58) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Tìm tham số m để trên (Cm) tồn ít điểm mà tiếp tuyến điểm đó vuông góc với đường thẳng y x3 2 Tìm m để (Cm) cắt trục Ox ba điểm phân biệt A(1;0), B, C Khi đó gọi k1 , k là hai tiếp tuyến (Cm) B và C Tìm m để k12 k 22 160 Cho hàm số y x 3x (m 4)x m, tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm A, B, C phân biệt cho k A 1 0, đó k A ,k B , kC là hệ số góc tiếp kB kC tuyến đồ thị A, B, C ax b Bài 4: Cho hàm số y x 1 Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục tung A 0; 1 và tiếp tuyến đồ thị A có hệ số góc 3 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số với a, b vừa tìm Cho đường thẳng d có hệ số góc m và qua điểm B 2; Tìm m để d cắt C hai điểm phân biệt M1 ,M Các đường thẳng qua M1 ,M song song với các trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật Tính các cạnh hình chữ nhật đó theo m , nào hình chữ nhật này trở thành hình vuông Dạng 4: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ ĐỒNG THỜI ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm k để đường thẳng y kx cắt đồ thị (C): y x 4x điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trung x2 điểm I AB Chứng minh với m (1;1) đồ thị (C m ) : y mx luôn cắt đường tròn (C) : x y 12 bốn điểm xm phân biệt Bài 2: Gọi (C) là đồ thị hàm số y x – 3x và (d) là đường thẳng qua điểm A(3;4) có hệ số góc là m Tìm m để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M,N Khi đó tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN 2x Tìm m để (d): y = m(x – 1)+2 cắt (C) : y hai điểm phân biệt M, N trên hai nhánh (C) Khi đó tìm x 1 tập hợp trung điểm I đoạn MN Cho hai đồ thị C1 : y x3 2x2 , C2 : y x3 x2 mx , m là tham số thực Tìm m để C1 cắt C2 hai điểm phân biệt A,B Khi đó chứng minh trung điểm I đoạn AB thuộc đồ thị hàm số y = 4x 4x 3x và viết phương trình đường thẳng AB ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ 58 (59) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 A CHUẨN KIẾN THỨC B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm các điểm đối xứng trên đồ thị Bài toán: Cho đồ thị C : y f x , tìm trên đồ thị cặp điểm M,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d : ax by c ( cho sẵn ) Cách giải: - Giả sử M x ; y (C) y0 f x0 1 - Tìm tọa độ điểm N theo x0 , y cho N là điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : yN f xN 2 - Từ 1 và ta tìm tọa độ điểm M,N Bài toán Cho hàm số C : y f x Tìm các cặp điểm trên C đối xứng với qua điểm I x I ; y I Cách giải: Gọi cặp điểm cần tìm là M(x1 ; y1 ) và N(x2 ; y ) ,thế thì ta có: M và N đối xứng qua I I là trung điểm đoạn MN M và N thuộc (C) nên tọa độ chúng nghiệm đúng phương trình y = f(x) Do đó tọa độ M , N là nghiệm hệ sau y1 f(x1 ) y f(x ) Giải hệ này tìm tọa độ M , N x1 x 2xI y y 2y I Đặc biệt: Nếu M , N là hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ O , đó M x0 ; y thì N( x0 ; y ) suy (x0 ; y ) là nghiệm hệ y f(x0 ) Giải hệ tìm tọa độ M , N y f( x ) Công thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a; b) Gọi SI là phép đối xứng tâm I x' 2a x x 2a x' Ta có M'(x'; y') là ảnh M(x; y) qua SI và y' 2b y y 2b y' Đường (C) : y f(x) có ảnh qua đối xứng tâm SI là (C) : 2b y f(2a x) y f(2a x) 2b CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x2 x có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm x1 5 I 0; 2 Cho hàm số y x3 x 3x có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua 59 (60) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 7 điểm E ; 6 Cho hàm số y 2x có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm x E 1; 1 Cho hàm số y x 3x có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua điểm I 2;18 Cho hàm số y 3x 3x có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua 2x 1 điểm I ;1 2 Bài 2: x2 có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua đường x 1 thẳng d : y x 1 Cho hàm số y x 2x có đồ thị C Tìm m để đường thẳng d cắt x 1 xứng qua đường thẳng d' : y x Cho hàm số y cho chúng đối x2 m x m có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị Cm có hai điểm nằm trên đường thẳng x1 5x y , đồng thời chúng đối xứng qua đường thẳng d' : x 5y Cho hàm số y d C hai điểm x2 x có đồ thị C Tìm cặp điểm trên C đối xứng qua đường thẳng x 1 : 16x 17y 33 Cho hàm số y Cho hàm số y x 3x có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua 2x Cho hàm số y có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua đường x2 thẳng x – 3y đường thẳng x x2 x có đồ thị C Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua x1 đường thẳng y x 3 Bài 3: 1 Cho hàm số y x mx m có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị Cm có cực đại, cực tiểu đối xứng qua 2 đường thẳng d : y x Cho hàm số y x mx 2m có đồ thị Cm Chứng minh hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với m x2 Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x 2y Cho hàm số y 60 (61) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Bài 4: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) Trên đồ thị (C) có bao nhiêu bốn điểm A, B,C, D cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm I(1; 1) Trên mp(Oxy) cho đồ thị (C): y x 2x Chứng minh hình bình hành có tất các đỉnh nằm trên (C) thì tâm hình bình hành đó là gốc tọa độ O Bài 5: Chứng minh với các điểm A, B,C phân biệt thuộc đồ thị (C) : y thì tam giác ABC có trực tâm H x thuộc đồ thị (C) Chứng minh A, B,C thuộc (C) : y x1 thì trực tâm H tam giác ABC thuộc (C) x2 Bài 6: Cho hàm số y 2x 3x có đồ thị là P và đường thẳng : y x Tìm các điểm M P , N cho MN nhỏ Tìm các điểm M trên đồ thị C : y x 2x cho tiếp tuyến C M vuông góc với đường thẳng 17 IM, với I 0; Tìm trên đồ thị C : y x 3x , điểm M, N cho MN và tiếp tuyến đó song song với Bài 7: Tìm tọa độ điểm B, C thuộc nhánh khác đồ thị y cho tam giác ABC vuông cân x A 1; 2 Tìm các điểm thuộc nhánh khác C : y 2x cho khoảng cách điểm đó ngắn x1 Bài 8: Tìm tọa độ điểm B, D cho ABCD là hình vuông, biết D là điểm nằm trên đường thẳng d : 1 7 x y ; I 1; là trung điểm AC ; A và C là điểm nằm trên đồ thị y x x2 x 3 Bài 9: x 4x có đồ thị là C Tìm trên đồ thị C điểm M có khoảng cách đến đường thẳng x2 3x y nhỏ Cho hàm số y Tìm trên đồ thị C : y x 3x có bao nhiêu bốn điểm A, B,C, D cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm O 0; 2x lấy điểm A có hoành độ 3 Tìm điểm tọa độ điểm B thuộc C x2 cho tam giác OAB vuông A ( O là gốc tọa độ ) 2x Bài 11: Cho hàm số y có đồ thị là C Tìm trên đồ thị C hai điểm A và B cho A và B đối xứng 1 x qua đường thẳng d : 8x 4y 21 Bài 10: Trên đồ thị C : y Bài 12: 61 (62) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho hàm số y x có đồ thị là P và điểm A 1;1 , B 3; thuộc P Tìm điểm M trên cung AB cho diện tích AMB lớn Cho hàm số y x2 có đồ thị là C Tìm điểm M trên đồ thị C cho khoảng cách từ M : x1 Đến đường thẳng d : 2x y Đến Oy gấp đôi khoảng cách từ M đến Ox Bài 13: Tìm tọa độ điểm B, C thuộc nhánh khác đồ thị y 3x cho tam giác ABC vuông cân x 1 A 2;1 Cho hàm số y 2x có đồ thị là C Tìm hai điểm B,C thuộc hai nhánh C cho tam giác ABC vuông x2 cân A 2; Với O 0; và A 2; là điểm thuộc đồ thị y x 3x , tìm điểm M nằm trên cung OA đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến OA lớn Tìm điểm M thuộc đường thẳng y 3x tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị hàm số y x 3x là nhỏ Tìm điểm M thuộc đồ thị y x 2x cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất, với A 0; 16 , B 1; 8 Tìm điểm M thuộc đồ thị y x 3x 3x cho khoảng cách từ điểm đó đến điểm A 3; nhỏ Bài 14: Cho hàm số y x 5x 10x , có đồ thị C 7 Gọi A là điểm thuộc C , C là điểm thuộc đường thẳng d : x 7y 25 và I ; là trung điểm AC Tìm 2 tọa độ điểm B có hoành độ âm cho tam giác OAB vuông cân A Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OABC với trục hoành, trục tung ( E,F khác O ) Tìm tọa độ điểm M trên đường tròn cho tam giác MEF có diện tích lớn 41 Bài 15: Tìm trên đồ thị C : y x x có bao nhiêu điểm A, B, C, D cho tứ giác ABCD là hình 12 vuông tâm O Bài 16: Tìm tất các điểm trên C có tọa độ là các số nguyên y x 1 x2 y 3x 5x 14 6x Bài 17: Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Tìm trên đồ thị C tất các cặp điểm đối xứng qua điểm x2 1 I ;1 2 62 (63) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 x2 x có đồ thị là C Tìm cặp điểm trên đồ thị C đối xứng qua đường x 1 16x 17y 33 Cho hàm số y thẳng d : Dạng 2: Điểm cố định thuộc đường cong, điểm mà họ đường cong không qua Phương pháp Ta thường gặp bài toán sau Bài toán : Tìm tất các điểm M thuộc đồ thị (C) : y f(x) , biết M thỏa mãn tính chất T cho trước Phương pháp : M (C) M(m; f(m)) Dựa vào tính chất T M ta tìm m Điểm cố định họ đường cong Điểm A(x0 ; y ) gọi là điểm cố định họ đường cong (C m ) : y F(x,m) F(x0 ,m) y m (1) Để giải (1) ta thường biến đổi (1) dạng f(x , y ).m g(x , y ).m h(x0 , y0 ) m f(x0 , y ) g(x , y ) h(x0 , y0 ) Từ đó ta tìm A Điểm mà họ đường cong không qua Điểm A(x0 ; y ) gọi là điểm không có đường cong nào họ đường cong (C m ) : y F(x,m) qua F(x0 ,m) y m Hay phương trình F(x0 ,m) y vô nghiệm với m a Chú ý : Phương trình ax b vô nghiệm b CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y x (2m 1)x mx 3m có đồ thị là Cm Tìm trên C1 cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tìm m để trên tồn ít cặp điểm đối xứng qua trục tung Tìm tất các điểm cố định họ đường cong Cm luôn qua 4.Tìm điểm cố định mà không có đồ thị nào họ Cm qua mx có đồ thị là Cm 2x m Tìm điểm cố định mà họ đồ thị Cm luôn qua Bài 2: Cho hàm số y Tìm tập hợp điểm mà không có đường cong nào họ Cm qua Bài 3: 2x (1 m)x m , m là tham số Chứng minh với m 1 xm Cm luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định Gọi Cm là đồ thị hàm số y , m là tham số khác Chứng minh với m x1 luôn tiếp xúc với parabol cố định Gọi Cm là đồ thị hàm số y = 2mx m đường tiệm cận xiên Cm 63 (64) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học, Chuyên đề hàm số lớp 12 Cho họ đồ thị Cm : y (m 1)x m , m là tham số khác Chứng minh họ Cm luôn tiếp xúc với xm điểm cố định Chứng minh với tham số m khác 0, đồ thị Hm : y (m 2)x 3m luôn tiếp xúc với x 1 m điểm cố định Bài 4: Cho họ đồ thị (Cm) : y = mx (4m 1)x 3m Tìm các điểm trên đường thẳng (d): y = x+1 mà không có đồ thị (Cm) nào qua dù m lấy giá trị nào Cho họ đồ thị (Cm): y (m 3)x (3m 7)x m Chứng minh (Cm) qua ba điểm cố định thẳng hàng Cho họ đồ thị (Cm) : y mx (m 2m)x2 m Chứng minh với điểm A cho trước trên mặt phẳng tọa độ , ta luôn tìm giá trị m thích hợp để (Cm) qua A CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG! 64 (65)