NW359 360 DẠNG 10 đạo hàm của hàm số mũ GV

DẠNG TOÁN 10: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Hàm số mũ a Định nghĩa: y = ax •Hàm số mũ hàm số cho cơng thức a Trong : số cho trước (gọi số) D=¡ +) Tập xác định : M = ( 0; +∞ ) +) Tập giá trị : b Định lý Định lý: Hàm số thức y = ax liên tục có đạo hàm điểm tập xác định tính theo cơng ( a ) ′ = a ln a x x • Công thức đạo hàm hàm hợp : Nếu hàm số thức : u = u ( x) có đạo hàm D hàm số y=a u( x) có đạo hàm D tính theo cơng ( a ( ) ) ′ = u′ ( x ) a ( ) ln a u x u x Hàm số logarit a Định nghĩa: y = log a x ( a > 0, a ≠ 1) • Hàm số logarit hàm số cho công thức , a Trong : số cho trước (gọi số) D = ¡ *+ +) Tập xác định : M =¡ +) Tập giá trị : b Định lý y = log a x ( a > 0, a ≠ 1)  Định lý: Hàm số , liên tục có đạo hàm điểm tập xác định tính theo cơng thức ( log a x ) ′ = x ln a • Cơng thức đạo hàm hàm hợp : u = u ( x) Nếu hàm số theo cơng thức : có đạo hàm D hàm số TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA y = log a ( u ( x ) ) có đạo hàm D tính Trang1 u′ ( x ) log a ( u ( x ) ) ′ = u ( x ) ln a II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Đạo hàm hàm số mũ – hàm số logarit  Đạo hàm hàm số hợp (của hàm số mũ – hàm số logarit)  Đạo hàm hàm số phải sử dụng số phép biến đổi mũ logarit  Đạo hàm cấp cao BÀI TẬP MẪU y = 2x (ĐỀ MINH HỌA LẦN 01-BDG 2020-2021) Đạo hàm hàm số A y′ = x ln B y′ = y′ = x 2x ln C Phân tích hướng dẫn giải y = ax DẠNG TOÁN:Đây dạng tốn tính đạo hàm hàm số mũ HƯỚNG GIẢI: a x ′ = a x ln a D y′ = x x −1 ( ) Ta áp dụng cơng thức Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lờigiải Chọn A Tập xác định Ta có D=¡ y′ = ( x ) ′ = x.ln Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Đạo hàm hàm số y′ = A −3 ln y = 3x x y′ = ln y′ = x B C Lờigiải 3x ln D y′ = −3x ln Chọn B Câu D=¡ Tập xác định y = 3x ⇒ y′ = 3x ln x∈¡ Ta có , với x −1 y=2 Tính đạo hàm hàm số x −1 x −1 y′ = ln y′ = ln A B y′ = 22 x.ln C Lời giải D y′ = 22 x ln Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang2 ( a ) ′ = u′.a ln a u u Áp dụng công thức đạo hàm y′ = 22 x −1 ′ = x − ′ 22 x −1.ln = 22 x.ln ( Ta có ) ( ) 1+ x Câu Đạo hàm hàm số y′ = 2e1+ x A y=e B y′ = e1+ x C y′ = 2e1+ x D y′ = 2e x Lờigiải Chọn A Xét hàm số Câu Ta có: π x +1 f ( x) = e Tính đạo hàm hàm số π x +1 π x +1 f ′( x) = π e f ′( x) = e ln π f ′ ( x ) = π eπ x A B C Lời giải Chọn A f ′ x = eπ x +1 ′ = π x + ′ eπ x +1 = π eπ x +1 ( ( ) Ta có Câu y′ = ( + x ) ′ e1+ x = 2e1+ x y = e1+ x ) ( ) Tính đạo hàm hàm số y′ = A 20 − x ln 20 y = 20 B D f ′ ( x ) = eπ x ln ( π ) −x y′ = −20− x −1 C Lời giải y′ = −20− x D y′ = −20 − x ln 20 Chọn D ( a ) ′ = u′.a u Áp dụng công thức: u ln a ta có: y′ = ( 20− x ) ′ = −20− x.ln 20 1− x Câu Tính đạo hàm hàm số A Câu Câu y′ = −2.21−2 x y=2 B y′ = 21− x ln y ′ = −2 2− x ln C Lời giải Chọn C y′ = −2.21−2 x ln = −2 2− x ln Ta có x y = x.3 Đạo hàm hàm số x y′ = ( + x ln 3) y′ = 3x ( − x ln 3) y′ = x.3x.ln A B C Lời giải Chọn A x y′ = 3x + x.3x.ln = ( + x ln 3) x y = e + ln 3x Tính đạo hàm hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D D y′ = ( − x ) 2−2 x = 3x ( + x ) Trang3 y′ = e x + A 3x y′ = e x + B x y′ = e x + C Lờigiải x y′ = e x ln x + e x D x Chọn B y = e + ln x = e + ln + ln x x Ta có x ⇒ y′ = e x + x −x Câu Tính đạo hàm hàm số A y ′ = −e 1 y= ÷ e 1 y′ = e x ln  ÷ e B −x y′ = e x C Lời giải D y′ = e − x Chọn C −x Ta có 1 y =  ÷ = ex ⇒ y′ = e x e y = x Câu 10 Đạo hàm hàm số y′ = x.ln A B x y′ = x.ln + 3x.ln C Lời giải y′ = x.3x.ln 3.ln D = x ln Chọn D y = 3x.2 x = ( 2.3) = x ⇒ y′ = x ln x Câu  Mức độ f ( x ) = 2.3log81 x + f ′ ( 1) Cho Tính −1 f ′ ( 1) = f ′ ( 1) = 2 A B C Lời giải f ′ ( 1) = D f ′ ( 1) = Chọn A D = ( 0; +∞ ) TXĐ: log81 x f ′ ( x ) = 2.3log81 x.ln ( log 81 x ) ′ = 2.3 ln x ln 81 f ′ ( 1) = 2.30.ln Câu 1 = 2.1.ln = ln 81 ln Tính đạo hàm hàm số y′ = ( x + ) e A y = ( x2 − 2x + 2) e x x B y′ = x e x C Lời giải y′ = ( x − ) e x D y ′ = − xe x Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang4 ′ y′ =  x − x + e x  = x − x + ′ ex + x − x + ex ′ ( Ta có: ) ( ) ( )( ) = ( x − ) ex + ( x − x + ) ex = x ex y = − log ( x ) 2x Câu Tính đạo hàm hàm số 2.7 x ln 7− ln 5x y′ = A C x ln y′ = 2.7 x.ln − x ln y′ = 2.7 x.ln − B y′ = D Lờigiải 2x 2.7 ln − ln 5x ChọnC y = − log − log x 2x Ta có Câu x ln ⇒ y′ = 2.7 x.ln − y=e sin x Tính đạo hàm hàm số sin x cos x ′ ′ y = cos x.e y =e A B C Lời giải y′ = sin x.esin x −1 y′ = cos x.esin x D Chọn A y′ = ( sin x ) ′ esin x = cos x.esin x Ta có: Câu Tính đạo hàm hàm số A C y′ = x.8 x y = 8x +1 y′ = x ( x + 1) x ln 2 y′ = ( x + 1) x B D Lời giải y′ = x.8 x +1.ln Chọn D ( ) ′ = x.8 x +1 Vì x2 +1 ln 2 = x.8 x +1.3.ln = x.8x +1.ln y = log ( e + ) x Câu Tính đạo hàm hàm số A ex ′ y = x e +2 y′ = B ex ( e x + 2) ln10 y′ = C Lời giải x e +2 y′ = D ( e + ) ln10 x Chọn B y′ = (e (e x x + 2) ′ + ) ln10 = ex ( e x + ) ln10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang5 Câu Đạo hàm hàm số A (x + x ) e x +1 y = ex B +x ( x + 1) e2 x +1 ( x + 1) e x + x C Lời giải D ( x + 1) e x Chọn C Ta có Câu y′ = ( x + x ) ′ e x ⇔ y′ = ( x + 1) e x +x y = log ( x + 1) Tính đạo hàm hàm số 1 y′ = y′ = ( x + 1) ln 2x +1 A B +x y′ = C Lời giải ( x + 1) ln D y ′ = ( x + 1) ln Chọn C y = log ( x + 1) Câu y′ = ( x + 1) ln Đạo hàm hàm số y = ln x +1 Cho hàm số Xác định mệnh đề y xy′ − = e xy′ + = −e y xy′ − = −e y A B C Lời giải Chọn D x y′ = ( − ln ( x + 1) ) ′ = − ⇒ xy ′ + = − +1 = = ey x +1 x +1 x +1 Ta có: D xy′ + = e y y = e −2 x cos x Câu 10 Cho hàm số y′′ − y ′ + y = A Mệnh đề đúng? y′ + y′′ + y = y′′ + y′ + y = B C Lờigiải D ChọnC y′ = −2e −2 x cos x − e −2 x sin x = e−2 x ( −2 cos x − sin x ) Ta có −2 x −2 x −2 x ′′ y = −2e ( −2 cos x − sin x ) − e ( 2sin x − cos x ) = e ( 3cos x + 4sin x ) y′′ + y′ + y = e ( 3cos x + 4sin x ) − 8e cos x − 4e sin x + 5e −2 x Ta có  Mức độ y = ln Câu Hàm số A cos 2x cos x + sin x cos x − sin x B −2 x có y′ sin 2x −2 x −2 x y′ − y′′ + y = cos x = C Lời giải sin 2x D cos 2x Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang6 cos x + sin x = ln cos x + sin x − ln cos x − sin x cos x − sin x y = ln Ta có: cos x − sin x cos x + sin x ( cos x − sin x ) + ( cos x + sin x ) y′ = + = = 2 cos x + sin x cos x − sin x cos x cos x − sin x Do đó: f ( x ) = log ( 1− x ) ( x − x ) , x ∈ ( 0;1) Câu Tính đạo hàm hàm số 2x −1 f ′( x) = ( x − x ) ln ( − x ) A −2 x + f ′( x) = ( x − x ) ln ( − x ) C f ′( x) = B f ′( x) = D ( − x ) ln ( − x ) + x ln x ( x − x ) ln ( − x ) ( − x ) ln ( − x ) − x ln x ( x − x ) ln ( − x ) Lời giải ChọnB f ( x) = Câu ln ( x − x ) ln ( − x ) ⇒ ( − x ) ln ( − x ) + ln ( x − x ) x − x2 ) ( 1− x) ( f '( x) = ln ( − x ) y = f ( x ) = xπ Cho hàm số f ′ ( 1) = π ln π A = ( − x ) ln ( − x ) + x ln x ( x − x2 ) ln ( − x ) f ′ ( 1) x Tính f ′ ( 1) = π ln π B C Lời giải f ′ ( 1) = π π D f ′ ( 1) = π Chọn D x Ta có: Câu y = xπ ⇔ ln y = π x ln x x  1 y′ πx ⇔ y′ = π x xπ  ln π ln x + ÷ = π x ln π ln x + x y x  Lấy đạo hàm hai vế ta được: f ′ ( 1) = π Suy ra: y = f ( x ) = log x2 + 2 Tính đạo hàm số 2x y′ = − x + ln 2.log 22 x + A 2x y′ = − ln x + C ( ) ( ( ) ) y′ = − B y′ = − D Lời giải log 22 ( x + ) x ( x + ) ln ( x2 + ) Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang7 ( log ( x + ) y = log x2 + 2 = ⇒ y′ = − log ( x + ) log 22 ( x + ) Ta có: Câu Tính đạo hàm số ( y = f ( x) = 2 log x + A ( log x + C y′ = B ) ln y′ = ( x + ) ln10 2x ( x + 2) ln 2.log22 ( x2 + ) ) ) x.2 y′ = ( x + ) ln10 ( log x + )′ = − ( log 10 x + 20 (x ) ln x + ) ln10 ( log x + D Lời giải ) x.2 y′ = ( x + ) ln Chọn B ( ) ′ y′ = log ( x + ) 2 Ta có: ( log x + ) ( ( log 10 x + 20 y = ln x + x + Câu Tính đạo hàm số y′ = A y′ = C 1+ x +1 x2 + ) 2x y′ = x2 + B + x2 + x + x2 + ) log ( x + ) 2x ln x ln = 2 ln = ( x + ) ln10 ( x + ) ln10 y′ = x2 + D Lời giải Chọn D ) ( Có giá trị nguyên dương [ 0;1] ) ′ = 1+ ′ y′ = ln x + x +  =   x + x2 + Ta có: Câu ( x + x2 + m x x +1 = x + x2 + để hàm số y = 7x x2 + + x + ( −3 m ) x +1 đồng biến đoạn ? A B C Vô số Lời giải D Chọn D Ta có y′ = ( 3x + x + ( − 3m ) ) y=7 x3 + x + ( −3 m ) x +1 x + x +( 9−3 m ) x +1 ln [ 0;1] ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] Hàm số đồng biến 2 ⇔ x + x + ( − 3m ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ m ≤ x + x + 3, ∀x ∈ [ 0;1] TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang8 ⇔ Do Câu m ≤ ( x + x + 3) , ∀x ∈ [ 0;1] [ 0;1] m nguyên dương nên m ∈ { 1; 2;3} f ( x ) = ln ( x − x ) Cho hàm số x −1 y′ = x2 − 2x A ( y′ = C ⇔ m≤3 y= f Tính đạo hàm hàm số y′ = ) B − 4x ( x − x ) ln ( x2 − x ) y′ = D Lời giải ( x) −4 x + ( x − x ) ln ( x − x ) 2x − (x − 2x) Chọn C y= f ( x) = Ta có: ln ( x − x ) ln ( x − x ) ′ ( x − ) ln ( x − x ) 4x −   ⇒ f ′( x) = − =− =− 4 ln ( x − x ) ( x − x ) ln ( x − x ) ( x − x ) ln ( x − x ) Câu y = ln ( x + 1) − mx + Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1] A ( −∞; +∞ ) B ( −∞; −1) [ −1;1] C Lời giải D B ( 5; 6; ) Chọn A Ta có y′ = x −m x +1 x ⇔ y′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ x + , ∀x ∈ ¡ −2 x + f ′( x) = x 2 f ( x) = x + ( ) x + có Xét hàm số Bảng biến thiên : ( −∞; + ∞ ) Để hàm số đồng biến Dựa vào BBT m≤ x , ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ −1 x +1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang9 Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m ≤ −2 m =1 A m < −2 C Chọn C D = ( 0; +∞ ) \ { em +1} Tập xác định ( e ; +∞ ) để hàm số nghịch biến m < −2 m =1 B m < −2 m >1 D Lời giải −m − m + x ( ln x − m − 1) Cách 1: Vậy yêu cầu toán tương đương Xét hàm số m ln x − ln x − m − y′ = Cách 2: Đặt m y= t = ln x m > − m − m + <  ⇔   m < −2 ⇔ m < −2  m +1 m + ≤ e ∉ ( e ; +∞ )  f ( x ) = ln x , ta biết hàm số mt − g ( t) = t − m −1 với t ∈ ( 2; +∞ ) đồng biến g′( t ) = , ta có ( e ; +∞ ) ⇔ Vậy hàm số ban đầu nghịch biến ( e ; +∞ ) hàm số −m2 − m + ( t − m − 1) g nghịch biến m > m >  − m − m + <     g ′ ( t ) < ⇔ ⇔   m < −2 ⇔   m < −2  m + ≤ m + ≤ m ≤ m + ∉ ( 2; +∞ ) ⇔ m < −2   ( 2; +∞ ) ⇔  Mức độ Câu Hàm số y=e x −3 x x +1 [ 0;3] có giá trị lớn đoạn A e B e C Lời giải D e Chọn C Tập xác định D = ¡ \ { −1}  x − x ′ x x−+31x x + x − x x−+31x y′ =  = e ÷ e x +1  x +1  Ta có  x = 1∈ [ 0;3] y′ = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 ∉ [ 0;3] y ( 1) = Mà e y ( ) = y ( 3) = ; TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang10 [ 0;3] có giá trị lớn đoạn  x  f ( x ) = ln 2018 + ln  ÷ S = f ' ( 1) + f ' ( ) + f ' ( ) + L + f ' ( 2017 )  x +1 Cho hàm số Tính 4035 2017 2016 S= S= S= S = 2017 2018 2018 2017 A B C D Lờigiải ChọnB 1  x  ⇒ f ′( x) = = − f ( x ) = ln 2018 + ln  ÷ x ( x + 1) x x +  x +1  Ta có 1 1 1 2017 S = − + − + + − = 1− = 2 2017 2018 2018 2018 Do Vậy hàm số Câu Câu x −3 x x +1 y=e m Tìm tất giá trị trị A x thuộc m>9 để hàm số   x2 x y = log 2018  2018 − x − − m÷   xác định với giá [ 0; +∞ ) < m 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) Khi f ′( x) đồng biến x ∈ [ 0; +∞ ) f ′ ( ) = ln ( 2018 ) − > x ∈ [ 0; +∞ ) f ( x) f ( 0) = Suy đồng biến m