Biết M N tạo với mặt phẳng SB D một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S ABC D và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M ANC.. Lời giải manlonely838:.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TOÁN PHỔ THÔNG http://toanphothong.vn Môn: TOÁN NGÀY 22.12.2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) n o h t o n v g Câu (2 điểm) Cho hàm số (C m ) : y = x − 2(m + 2)x + 8m có đồ thị là (C m ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có chu vi gấp lần diện tích Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: p p sin 5x + cos 3x = (1 + cos x) sin x + p p p x4 − x2 + b) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 2( + x + − x) + − x ≤ 32 Z π (1 + cos x)(cos2 x − cos x − 2x sin x) Câu (1 điểm) Tính tích phân: I = π dx (x + sin x)2 h p n a o /t p Câu (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABC D có cạnh đáy AB = 2a Gọi M , N là trung điểm S A, C D Biết M N tạo với mặt phẳng (SB D) góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABC D và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M ANC / : Câu (1 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + x y z = và z = min{x, y, z} Tìm giá trị lớn biểu thức: P = (x − z)(y − z)(x + y − z) + 2z(x + y ) t h PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) và đường thẳng (d ) : (m − 1)x + 3y + 2m − = Tìm m để trên đường thẳng (d ) tồn điểm M qua đó kẻ hai tiếp tuyến M A, M B đến đường µ tròn ¶ (C ) với A, B là các tiếp điểm Khi đó hãy xác định tọa độ điểm M biết trọng tâm tam giác M AB 7 là G ; 9 x y z −2 b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox y z cho đường thẳng (∆) : = = và đường thẳng −1 x = −t a) Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho đường tròn (C ) : x + y = htt p:/ /to a (d ) : y = 1−t (t ∈ R) Gọi (P ) là mặt phẳng vuông góc với (∆) đồng thời cắt (∆) và (d ) M , N cho M N có z = −2 độ dài nhỏ Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyến là đường tròn có đường p kính M N và tan I MN = · Câu 7A (1 điểm) Giải bất phương trình: ln B Theo chương trình nâng cao log2 (x + 3x − 2) ¸ np ho tho ng log4 (3x + 1) >0 Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho tam giác ABC vuông A (AB < AC ) có tọa độ đỉnh B (2; 1) Đường cao AH : x + 2y − 10 = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AB = C D Kẻ D M vuông góc với AH (M ∈ AH ) Đường phân giác góc C B M cắt AH N Hãy tìm tọa độ điểm N b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox y z cho tam giác ABC vuông cân A , biết điểm A thuộc mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = 0, B (3; −1; 3) và C (3; −1; −1) Lập phương trình mặt phẳng p (α) qua A hợp với mặt phẳng (Q) : x − y + = góc 600 đồng thời cách điểm I (3; 3; 1) khoảng 2 biết điểm A có tung độ âm Câu 7B (1 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: ( 3x.6x+1 + y.3x+y+3 = 58.3x+2 x.2 x+y+4 + 2y.6 y+2 = 85.2 y+4 ———————————————–Hết————————————————— .vn (2) TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN n v g Câu Cho hàm số (C m ) : y = x − 2(m + 2)x + 8m có đồ thị là (C m ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C ) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) có điểm cực trị tạo thành tam giác có chu vi gấp lần diện tích a) Lời giải (hungchng): m = hàm số là y = x − 8x + 16 có tập xác định D = R; · x = =⇒ y = 16 Đạo hàm y = 4x − 16x; y = ⇐⇒ x = ±2 =⇒ y = lim y = +∞; lim y = +∞; x→−∞ x→+∞ Bảng biến thiên x y −∞ 0 −2 − + +∞ − 0 15 10 + +∞ 16 y / : 20 h p n a o /t +∞ n o h t o Đồ thị −5 Hàm số nghịch biến trên (−∞; −2), (0; 2) ; Hàm số đồng biến trên (−2; 0), (2; +∞) Điểm cực đại (0; 16) Điểm cực tiểu (−2; 0), (2; 0) t h b) Lời giải (Một giấc mơ): £ Ta có : y = 4x − 4(m + 2)x = ta x = 0; x = m + Để hàm số có ba điểm cực trị thì ta có :m > −2 p p Ta gọi A, B,C có toạ độ là A(0; 8m) ; B ( m + 2; −(m − 2)2 ) ; (− m + 2; −(m − 2)2 ) Thêm I là trung điểm BC ta có I (0; −(m −p 2)2 ) Ta tính độ dài các cạnh tam giác ABC là : AB = AC = p m + + (m + 2)4 ; BC = m + ; AI = (m + 2)2 Theo điều kiện giả thiết bài toán thì ta có : p p p 2S ∆ABC = C ∆ABC ⇐⇒ AI BC = 2AB + BC ⇐⇒ 2t(2 t = t + t + t p t − 2t + = + t Với t = m + > Vậy ta có phương trình: t2 = 1+ t3 +1 ⇒ t ≥1 · t = Vậy ta có : t − 2t = t ⇒ t − + t = ⇐⇒ t = −1loại htt p:/ /to a Vậy ta có thể suy giá trị m là m = Câu 2.a Giải phương trình: p p sin 5x + cos 3x = (1 + cos x) sin x + Lời giải (Mai Tuan Long): Câu 2.b Giải bất phương trình sau trên tập số thực: Lời giải (): Câu np ho tho ng p P T ⇐⇒ cos p 3x(2 sin 2x + 1) = 3(2 sin 2x + 1) ⇐⇒ (cos 3x − 3)(2 sin 2x + 1) = ⇐⇒ sin 2x + = π 7π ⇐⇒ x = − + kπ x = + kπ, (k ∈ Z) 12 12 Tính tích phân: Z I= π π p p p x4 2( + x + − x) + − x ≤ − x2 + 32 (1 + cos x)(cos2 x − cos x − 2x sin x) dx (x + sin x)2 .vn Lời giải (h.u.n): http://toanphothong.vn (3) Z I =− π¡ π µ x + sin x π ¡ ¢ d cos2 x − cos x − 2x sin x x + sin x ¢ cos2 x − cos x − 2x sin x d ¯ cos2 x − cos x − 2x sin x ¯¯π =− ¯π x + sin x ¯ cos2 x − cos x − 2x sin x ¯¯π =− ¯π x + sin x ¯ cos2 x − cos x − 2x sin x ¯¯π =− ¯π x + sin x ¯ cos2 x − cos x − 2x sin x ¯¯π =− ¯π x + sin x Z + π Z + π π Z π cos x dx ¯π ¯ − sin x ¯¯ π h p n a o /t n v g −2 cos x sin x + sin x − sin x − 2x cos x dx x + sin x π −2 ¶ p n o h t o Câu Cho hình chóp tứ giác S ABC D có cạnh đáy AB = 2a Gọi M , N là trung điểm S A, C D Biết M N tạo với mặt phẳng (SB D) góc 600 Tính thể tích khối chóp S ABC D và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M ANC Lời giải (manlonely838): t h / : S M A K D H B I O N C + Xác định góc (M N , (SB D)): Gọi I = AN ∩ B D, K = SI ∩ M N Ta có (SB D) ∩ (ABC D) = B D, (SB D) ⊥ (ABC D) Kẻ N H ⊥ B D H , suy N H ⊥ (SB D) và H là trung điểm đoạn DO Suy H K N = (M N , (SB D)) = 600 htt p:/ /to a 4 a + Tính đường cao SO hình chóp S.ABC D : Dễ dàng tính H N = OC = AC = (2a) = p HN a Tam giác H K N vuông H ta có H K = = tan 600 Trong hình vuông ABC D có HI HN 1 = = ⇒ H I = I O = H D (1) IO AO 2 Kẻ I J ∥ S A (J ∈ M N ) Khi đó ta có IK IJ IJ NI = = = = (2) K S SM M A N A p p H K ∥ SD p 2a a 2 Từ (1) và (2) suy Suy SD = 4H K = ⇒ SO = SD − DO = H K = SD 3 + Tính thể tích khối chóp S.ABC D : p p 1 a p 2a 3 VS.ABC D = SO.S ABC D = (a 2) = 3 np ho tho ng + Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M ANC (Khá dài và tính toán nhiều nên trình bày sơ lược): Dựng trục các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ANC và AMC Hai trục này cắt tâm O mặt cầu ngoại tiếp M ANC s p 2(SC + AC ) − S A a 21 SO Tính bán kính mặt cầu đó sau: MC = = sin M AC = = p SA MC a 21 = Suy bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆M AC là R ∆M AC = sin M AC p q 2a Gọi h1 là khoảng cách từ O đến (ANC ) Ta có h1 = R ∆M − OC = AC p p a Gọi P là trung điểm OB , suy O P = h1 và ta có PC = OC + OP = p q a 93 Cuối cùng, R (khối cầu) = h12 + PC = http://toanphothong.vn .vn (4) Câu Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + x y z = và z = min{x, y, z} Tìm giá trị lớn biểu thức: P = (x − z)(y − z)(x + y − z) + 2z(x + y ) Lời giải (manlonely838): Ta có − P = 2z(z − x)(z − y) + (x + y − z)(x − y)2 Vì z = min{x, y, z} nên 2z(z − x)(z − y) ≥ ∀z ≥ và (x + y − z)(x − y)2 ≥ ∀z ≥ Suy P ≤ 2z(z − x)(z − y) = Do đó, max P = ⇐⇒ (x + y − z)(x − y)2 = x + y + z3 + x y z = Câu 6A.a r ⇐⇒ x = y = z = n o h t o x = y = r 3 , z = n v g Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho đường tròn (C ) : x + y = , đường thẳng (d ) : (m −1)x +3y +2m −1 = h p n a o /t Tìm m để trên đường thẳng (d ) tồn điểm M qua đó kẻ hai tiếp tuyến M A, M B đến đường ¶ µ 7 tròn (C ) với A, B là các tiếp điểm Khi đó hãy xác định tọa độ điểm M biết trọng tâm tam giác M AB là G ; Lời giải (Mai Tuan Long): 9 p Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = ¶ µ 7 =⇒ OG thuộc đường thẳng d : x − y = =⇒ M ∈ d =⇒ M = (a; a) G ; 9 m2 − T M ∈ d =⇒ {M } = d d Ta có: 6= =⇒ M là Mặt khác: Gọi H là trung điểm AB −1 p p 8a − 8a − OG = ; OM = a =⇒ OH = p =⇒ M H = OM − OH = (1) p =⇒ MG = M H = p 4a 4a 6a p p 9a − MG = OMO G = (2) Từ (1) và (2) =⇒ 12a − 28a + 15 = ⇐⇒ a = a = 3 Với: a = =⇒ 4m + 6m + = PT này vô nghiệm p −3 ± 2 Với: a = =⇒ 2m + 6m + = ⇐⇒ m = p −3 ± Vậy m cần tìm: m = t h Câu 6A.b / : Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox y z cho đường thẳng (∆) : htt p:/ /to a x = −t (d ) : y = − t z = −2 x y z −2 = = và đường thẳng −1 (t ∈ R) Gọi (P ) là mặt phẳng vuông góc với (∆) đồng thời cắt (∆) và (d ) M , N cho M N có độ dài nhỏ Viếtpphương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyến là đường tròn có đường kính M N và tan I MN = Lời giải (): · Câu 7A Giải bất phương trình: ln log2 (x + 3x − 2) ¸ np ho tho ng log4 (3x + 1) >0 Lời giải (dzitxiem): Trước hết, ta thấy bất phương trình đã cho tương đương với log2 (x + 3x − 2) log4 (3x + 1) Điều kiện để bất phương trình (1) xác định là x + 3x − > 3x + > 3x + 6= >1 (1) p −3 + 17 ⇔x> Với điều kiện đó thì bất phương trình (1) tương đuơng với log2 (x + 3x − 2) > log4 (3x + 1) ⇔ x + 3x − > p 3x + Để giải bất phương trình này ta bình phương hai vế nó và thu gọn, ta bất phương trình sau x + 6x + 5x − 15x + > http://toanphothong.vn (5) Bất phương trình này, lại tương đương với (x − 1)(x + 7x + 12x − 3) > Từ đây để giải tiếp ta cần xét dấu biểu thức g (x) = x + 7x + 12x − trên miền D = ³ Ta có g (x) = 3x + 14x + 12 > ∀x ∈ D Do đó, ta suy g (x) là hàm số đồng biến trên D và p ! p −3 + 17 g (x) > g = + 17 > à n o h t o n v g ´ p −3+ 17 , +∞ là Và thì bất phương trình tích trên còn tương đương với x > Từ đó suy ra, tập nghiệm bất phương trình đã cho là S = (1, +∞) h p n a o /t Câu 6B.a Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho tam giác ABC vuông A (AB < AC ) có tọa độ đỉnh B (2; 1) Đường cao AH : x + 2y − 10 = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AB = C D Kẻ D M vuông góc với AH (M ∈ AH ) Đường phân giác góc C B M cắt AH N Hãy tìm tọa độ điểm N Lời giải (): Câu 6B.b Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox y z cho tam giác ABC vuông cân A , biết điểm A thuộc mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = 0, B (3; −1; 3) và C (3; −1; −1) Lập phương trình mặt p phẳng (α) qua A hợp với mặt phẳng (Q) : x − y + = góc 600 đồng thời cách điểm I (3; 3; 1) khoảng 2 biết điểm A có tung độ âm / : Lời giải (): t h Câu 7B Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: ( 3x.6x+1 + y.3x+y+3 = 58.3x+2 x.2x+y+4 + 2y.6 y+2 = 85.2 y+4 Lời giải (dzitxiem): Vì 3x và 2x lớn nên hệ(phương trình đã cho tương đương ( với 18(x · 2x ) + 27(y · y ) = 522 x y 32(x · ) + 72(y · ) = 1360 ⇔ x · 2x = y · y = 18 (1) (2) Từ đây, để tìm x, y ta việc khảo sát biến thiên hai hàm số f (x) = x · 2x − và g (y) = y · y − 18 trên các miền D∞ = D∈ = (0, +∞) Tính đạo hàm hàm f (x) ta f (x) = 2x + x · 2x · ln = 2x (1 + x · ln 2) > ∀x ∈ D∞ Suy hàm số f (x) đồng biến trên D∞ và đó phương trình f (x) = có không quá nghiệm trên D∞ Mặt khác, ta lại có f (1) = · 21 − = nên x = là nghiệm phương trình (1) Tương tự trên, ta tìm y = là nghiệm phương trình (2) Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x, y) = (1, 2) htt p:/ /to a http://toanphothong.vn np ho tho ng .vn (6)