Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C, biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của C một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.. Giải phương trình:.[r]
(1)SỞ GDĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG ĐỢT II MÔN TOÁN KHỐI A-A1, NĂM HỌC 2012-2013 (Thời gian làm bài 180 phút) (Đề gồm 01 trang) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) x y x , có đồ thị (C) Câu I (2.0 điểm) ) Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận (C) tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Câu II (2.0 điểm) 5x x sin x cos x 2cos cos sin 2x 3cos x 2 0 2sin x Giải phương trình: Giải hệ phương trình: 3x 3y 6.3y2 4x 35y 3x 2.3 y 1 1 x y 3 3y 2x 1x e x x tan x dx cos2 x 3 x Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân: Câu IV (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a , BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng a (SAB) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1.0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng Chứng minh rằng: 1 10 a b c b c a PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) (Thí sinh làm hai phần A B ) A.Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), phương trình NQ là x y 0 Tìm toạ độ các đỉnh còn lại hình thoi, biết NQ = 2MP và N có tung độ âm Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho điểm I 1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng P qua I cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2x CâuVII.a (1.0 điểm) Cho khai triển: 10 x 2 x 1 a o a1x a x a14 x14 Hãy tìm giá trị a6 B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD tâm I, biết A(0; 1) và P : y x 2x 1, điểm I nằm trên cung AB (P) cho tam giác IAB có diện B(3; 4) thuộc parabol tich lớn Tìm tọa độ C và D Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với o mặt phẳng (Q): 5x 2y 5z 0 và tạo với mặt phẳng (R): x 4y 8z 0 góc 45 CâuVII.b (1.0 điểm) Cho khai triển đa thức: S a a1 a 2014 a 2013 2x 2013 a o a1x a x a 2013 x 2013 Tính tổng: (2) .HẾT SỞ GDĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN Câu Ý HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KHỐI A+A1 NĂM HỌC 2012-2013 (Thời gian làm bài 180 phút) (Đáp án gồm 05 trang) Nội dung x x , có đồ thị (C) Cho hàm số Khảo sát biến thiên hàm số và vẽ đồ thị (C) y 0, x D R \ 1 x 1 * Tập xác định: D , * Sự biến thiên: lim y lim y 1, lim y , lim y x x x + Giới hạn: x Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y=1, tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1 y Điểm 2,0 1,0 0,25 0,25 + Bảng biến thiên: x y’ - + -1 + + + 0,25 y - I + Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 và 1; * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung điểm (0;-2), cắt trục hoành điểm (0; 2) y I 0,25 -1 O x -2 Đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận I(-1; 1) làm tâm đối xứng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C…… x y x xo x 1 x o 1 PT tiếp tuyến d có dạng , (với x o là hoành độ tiếp điểm) x 5 A 1; o ; x o B 2x o 1;1 Giao điểm d với tc đứng, tc ngang là: IA ; IB 2x o IA.IB 12 x o 1 1,0 0,25 0,25 (3) r Bán kính IA.IB IA.IB IA.IB 2 IA IB AB IA IB IA IB IA.IB 2IA.IB Dấu “=” xảy và IA IB x o 3 x o Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x y x 0,25 0,25 I 5x x cos sin 2x 3cos x 2 0 2sin x sin x cos x cos Giải phương trình : sin x Điều kiện : Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 1,0 0,25 sin 2x cos x cos 3x cos 2x sin 2x 3cos x 0 II sin 2x cos x 1 cos 3x cos x cos 2x 1 cos x 0 sin 2x cos x 1 cos x.sin x 2sin x 2cos x 0 sin 2x cos x 1 2sin x cos x 1 cos x 1 0 cos x 1 cos x 1 0,25 sin 2x cos 2x 0 sin 2x 2sin x 0 1 2 cos x x 2k cos x 0 k sin 2x cos 2x x k; x k cos 2x 3 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình là: 2 x k; x k2; x k2(k Z) 3 Giải hệ phương trình : Đk: x y 0 (*) 3x 3y 6.3y2 4x 35y 3x 2.3 y 1 1 x y 3 3y 2x 1 0,25 0,25 1,0 2 1 34x 23y 3x 6.3y 4x 32y3y 3x 2.3y 12y 0 34x 32y 27 y x 6.3y Thay vào (2) ta có: 2 0 34x 32 y 0 y 2x 1 3x 3 4x 3, x 0,25 1 2a 3b 3 4a 3b3 1 a 3x 0; b 4x Đặt ta có hệ 1 b 0 a 3b3 9b 6b 0 b 1 a 1 3b 1 b 2 a 3 a thay vào pt (4) ta Từ 0,25 (4) 11 x a 2 b 2 y 9 +) a 1 x 1 +) +) b 1 y 1 11 1;1 , ; 2 Kết hợp đk (*) suy hệ có nghiệm (x; y) là b 0;a 1 không thõa mãn 0,25 1x e x x tan x dx cos2 x 3 x III 1,0 Tính tích phân: x e x2 x x I x tan x dx e dx dx x2 2x tan xdx cos x 3 x 3 3 cos x 3 4 Ta có: (1) 1 1 x x e dx e d e x x 3 3 +) x 4 x2 J dx cos x +) 92 J 16 0,25 0,25 0,25 e e 3 3 u x dv dx cos x : Đặt du 2xdx J x t anx 3 v t anx 2x tan xdx 0,25 3 2x tan xdx 3 4 I e e Thay vào (1) ta có Tính thể tích…… 0,25 92 16 1,0 S 0,25 I D A IV H O a C K B Từ giả thiết AC = 2a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với trung điểm O đường chéo Ta có tam giác ABO vuông O và AO = a ; BO = a , đó ABD 60 Hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến chúng là SO (ABCD) Do tam giác ABD nên với H là trung điểm AB, K là trung điểm HB ta có (5) 0,25 a OK DH a 2 OK AB AB (SOK) DH AB và DH = ; OK // DH và Gọi I là hình chiếu O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1 a SO 2 OK SO Tam giác SOK vuông O, OI là đường cao OI Diện tích đáy S ABC D 4S ABO 2.OA.OB 2 3a SO 0,25 ; a đường cao hình chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: 3a VS ABC D S ABC D SO 3 (đvtt) 0,25 1 10 a b c b c a Chứng minh rằng: 1,0 1 1 1 1 M a b c abc 1 b c a abc a b c a b c Vì nên a bc abc abc 27 27 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có abc Lại có: Mặt khác: 0,25 27 1 272 730 abc abc abc 27 abc 27 abc 27 abc 27 27 0,25 1 1 1 730 1000 9 9 M 1 a b c a b c 27 27 Suy a b c 0.25 1 10 a b c b c a (đpcm) Vậy a b c Dấu xảy V 0,25 1,0 Tìm toạ độ các đỉnh còn lại hình thoi Phương trình MP là: x y 0 x y 0 I MP NQ tọa độ I là nghiệm hệ phương trình x y 0 P 3; I là trung điểm MP nên suy phương trình NQ là x y 0 nên tọa độ N, Q có dạng (m; m-1) Do x 2 I 2;1 y 1 0,25 0,25 NQ 2MP IN 4IM m m 4 12 12 0,25 m 4 m 4 m 0 Vì N có tung độ âm nên N(0; -1) Q(4; 3) Vậy VIa 0,25 P 3; , N(0; -1) , Q(4; 3) làcác đỉnh cần tìm P Viết phương trình mặt phẳng Giả sử A(a; 0; 0), B(b; 0; 0), C(c; 0; 0), abc 0 x y z 1 1 1 Phương trình mặt phẳng (P) là: a b c (P) qua I nên a b c a 1 Mà IA=IB=IC nên 2 2 1.,0 0,25 (1) 1 b 1 1 c 1 a 1 b 1 c 1 (6) 0,25 b a c 2 a c a a b c b a b c 2 a Với a=b=c thay vào (1) ta a=b=c=3 Khi đó pt (P): x+y+z=3 b a c 2 a 1 a 3a 0 c a b a Với thay vào (1) ta a a (VN) 1 a a 0 Với b c 2 a thay vào (1) ta a a (VN) Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: x+y+z=3 • Ta có nên x + x +1= ¿ 10 1+2 x ¿ 1+2 x ¿12 + ¿ 16 1+2 x ¿14 + ¿ x 2+ x +1 ¿2= ¿ 16 10 ( 1+2 x ) ¿ • Trong khai triển ( 1+2 x )14 hệ số x Trong khai triển ( 1+2 x )12 hệ số x 0,25 0,25 1,0 x+1 ¿2 + VII.a 0,25 là: 26 C 614 là: 26 C 612 0,5 Trong khai triển ( 1+2 x )10 hệ số x là: 26 C 610 6 6 6 Vậy hệ số a6 = C 14 + C12 + C10=41748 16 16 Tìm tọa độ C và D Pt đường thẳng AB: x y 0 I nằm trên cung AB (P) 0,25 1,0 0,25 I m; m 2m 1 , m 0;3 d I; AB Diện tích tam giác IAB lớn f m m 3m 0;3 ta có: Xét hàm số trên m VIIb f(m) 0,5 m 3m 0 lớn 0,25 9 9 m 0;3 , m 4m d I; AB m 4 Dấu “=” xảy Suy 1 I ; 4 1 7 C 3; D 0; I là trung điểm AC và BD nên và là hai điểm cần tìm 0,25 Viết phương trình mặt phẳng (P) 1,0 2 Mặt phẳng (P) qua O(0; 0; 0) nên có pt dạng : Ax + By + Cz = với A B C 0,25 (7) P Q 5A 2B 5C 0 B A C o (P) tạo với (R) góc 45 nên 1 , cos45o (1) A 4B 8C 2 A B C A 10 A C 8C 9 A 16 64 A 4B 8C A B2 C (2) 25 A C C2 21A 18AC 3C 0 A C 1 A 1 Chọn 0,25 *) A 1, C 1 B 0 Phương trình mặt phẳng (P) là x-z=0 20 A , C 1 B 7 *) Phương trình mặt phẳng (P) là x+20z+7z=0 Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là x-z=0 x+20z+7z=0 VIIb Cho khai triển đa thức: 0,25 2x 2013 a o a1x a x a 2013 x 0,25 2013 Tính tổng: 1,0 S a a1 a 2014 a 2013 x(1 x) a Ta có: 2013 (1 x)2013 4026 x(1 x)1012 a0 2a1 x 3a2 x 2014a2013 x 2013 k 0,5 2a1 x 3a2 x 2014a2014 x 2013 (*) k a x ak ( x ) Nhận thấy: k đó thay x vào hai vế (*) ta có: S a0 a1 a2 2014 a2013 1343.32213 0,5 (8)