Tới đây theo bài ta có hai điếm A, B thuộc hai đường thẳng nên ta hoàn toàn có thể biểu diễn tọa độ của hai điểm A, B theo tham số hóa đối với hai phương trình hai đường thẳng đã cho.. V[r]
(1)THỬ SỨC TRƯỚC KỲ THI ĐẠI HỌC NĂM 2013 SỐ 426 - T12.2012 Đề số : 03 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) : ne t TẠP CHÍ TOÁN HỌC TUỔI TRẺ Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2x (C ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C ), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C ) hai điểm phân biệt Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình : ww w k2 pi cos 2x + cos 3x– sin x − cos 4x = sin 6x p Giải bất phương trình : 4x + 2x + ≥ 8x + Z l n2 exd x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = p (e x − 9) 3e x − Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a , tam giác S AB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N , P, K là trung điểm BC ,C D, SD, SB Tính thể tích khối chóp S.AB M N và khoảng cách hai đường thẳng M K và AP theo a Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : x y − y = x y + 2x y + y = II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho đường tròn (C ) : x + y − 2x + 2y − = 0và đường thẳng ∆ : 2x + y + 10 = Từ điểm M bất kì trên ∆ kẻ các tiếp tuyến M A và M B đến (C ) ( A và B là các tiếp điểm) Xác định tọa độ điểm M cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn x −1 y −2 z x −1 y +1 z = = , d2 : = = và 1 mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + = Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P ) cắt d1 , d2 A p và B cho AB = 29 Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z , cho hai đường thẳng d1 : Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn |z| − 2z̄ = 3(−1 + 2i ) Tính |z| + |z|2 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC vuông A có G là trọng tâm, B (−10; 1),C (10; 1) Xác định tọa độ đỉnh A biết diện tích tam giác ABG 20 x −1 y +2 z +1 = = và mặt phẳng (P ) : −1 x + y + z + = Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P ) cho ∆ vuông góc với d và khoảng cách p 21 hai đường thẳng d và ∆ 3x + 6.2 y = 11 + y Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 2 y + 4.3x = + 9x Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z , cho đường thẳng d : ———————Hết—————- Xem lời giải tham khảo từ DIỄN ĐÀN TOÁN THPT : www.k2pi.net (2) LỜI GIẢI THAM KHẢO TỪ CÁC THÀNH VIÊN DIỄN ĐÀN TOÁN THPT Câu I.1 Học sinh tự giải ne t www.k2pi.net Câu I.2 Lời giải : (giangmanh) ¢ ¡ Gọi A a; a − 2a là tiếp điểm tiếp tuyến ∆ cần tìm ¡ ¢ Khi đó ta có phương trình ∆ là : y = 4a − 4a (x − a) + a − 2a PT hoành độ giao điểm : ¡ ¢ ¡ ¢ 4a − 4a (x − a)+ a −2a = x −2x ⇔ (x − a) x + 2ax + 3a − = ⇔ " x=a x + 2ax + 3a − = (1) ∆0 = − 2a = ⇔ 6a 6= k2 pi Để(∆) tiếp xúc với (C ) diếm phân biệt thì PT (1) phải có nghiệm kép x 6= a ⇔ a = ⇒ (∆) : y = −1 Câu II.1 Lời giải : (LeNhatDuy09) Phân tích : Ta quan sát thấy si n6x = 2si n3xcos3x , thường người ta cho để phân tích thôi :), quan sát các đại lượng giác thấy cos2x với cos4x là ta liên tưởng đến công thức cộng đề cos3x si n3x để nhóm nhân tử Ta có phương trình đã cho tương đương: (cos2x − cos4x) + cos3x − si nx − si n6x = ⇔ 2si n3xsi nx + cos3x − si nx − 2si n3xcos3x = ⇔ (si nx − 17π k2π π k2π + x = + (k ∈ Z ) cos3x)(2si n3x − 1) = Xét 2si n3x − = ⇔ x = 18 18 π π π kπ −π Xét : si nx − cos3x = ⇔ cos( − x) − cos3x = ⇔ cos( − x) = cos3x ⇔ x = + x = + kπ 2 (k ∈ Z ) π k2π π k2π π kπ −π Vậy phương trình có nghiệm x = + ;x = + ;x = + ;x = + kπ (k ∈ Z ) 18 18 Lời giải : (thiencuong96) w Câu II.2 −3 Điều kiện :x ≥ +) Hướng : Khi nhìn vào đề thấy có p và x chênh lệch khá nhiều hướng đầu là nhẩm nghiệm và dùng liên hợp, thấy có 2x + thử x = −1, x = = kết hoạch bất thành ±1 để làm thoát và cho biểu thức trên ww +) Hướng : Ta đặt p để đưa biến hết p 4x − 8x + 2x + ≥ p ⇔ (2x + 3)2 − 10(2x + 3) + 2x + + 20 ≥ p Đặt a = 2x + Trên trở thành : a − 10a + a + 20 ≥ ⇔ (a − a − 4)(a + a − 5) ≥ Sau đó có thể giải bình thường Vấn đề là để có thể tách ta dùng đồng thức để làm, mình nghĩ với dạng ax + bx + c x + d = làm cách sau nhanh £ ¤ Phương trình đã cho trở thành : a − 10a + a + 20 = (a + m)2 − (2m + 10)a − a − 20 + m Ta chọn m để dấu [ ] phân tích là đẳng thức ∆0 = − 4(2m + 10)(m − 20) = Giải m = −9 Lắp vào trên cái trên : Lời giải tham khảo từ các thành viên: www.k2pi.net (3) p p ¢ −3 1¡ ≤ x ≤ − 21 Câu III Lời giải : (giangmanh) p Đặt : t = 3.e x − ⇒ t = 3.e x − ⇒ 2t d t = 3.e x d x Đổi cận: với x = ⇒ t = ; x = l n2 ⇒ t = R2 dt 1R2 1 1 = ( − )d t = l n|t − 5| − l n|t + 5| = l n − l n = l n t − 25 t −5 t +5 5 5 14 Câu IV Lời giải : (nhatqny) k2 pi ⇒I = ne t Sau giải đáp án sau : x ≥ (3 + 17) ∨ Kẻ SH vuông góc với AB ,(H là trung điểm AB) T (S AB ) ⊥ (ABC p D), (S AB ) (ABC D) = AB ⇒ SH ⊥ (ABC D) p a2 a3 a S AB M N = S ABC D − S AD N − S MC N = VSB M N = SH S AB M N = [*] Ta có: SH = 24 Ta có: K M ∥ SC , P N ∥ SC ⇒ K M ∥ P N Do đó:d (K M ; P N ) = d (K M ; (AP N )) Trong (SH D) kẻ P F ∥ SH ,(F là trung điểm HD) Mà: SH ⊥ (ABC D) ⇒ P F ⊥ (ABC D) Kẻ M E ⊥ AN mặc khác P F ⊥ p M E ⇒ M E ⊥ (AN B ) p a AD 2a Xét tam giác AD N : AE = =p AN p p 5a 2 Xét tam giác AE M : M E = AM − AE = 10 Câu V AB + B M = Lời ( giải : (minhdat881439) w Ta có: AM = y(x − y ) = ⇒x = p −y y y(x + y) = ⇒ x > y > !3 # "à p Thay vào phương trình đầu ta được: y p − y − y = y ·µ ¶3 ¸ ¡ ¢3 p 2 Đặt t = y > ta có phương trình : t −t − t = ⇔ t − − t + 7t = t 3 Xét hàm số f(t)=t − (3 − t ) + 7t = ww Hệ đã cho ⇔ Đạo hàm : f’(t)=9t + 9t (3 − t )2 + > 0; ∀t > Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0; +∞) , nên nghiệm hệ phương trình là Dễ thấy hệ có nghiệm (2; 1) Câu VI.a.1 Lời giải : (giangmanh) Đường tròn có tâm I (1; −2);R = Gọi M (a; a − 1) ⊂ d ; I M = 2(a + 2)2 + T Gọi H = AB M I Ta có AB = 2AH = 2H B Trong tam giác vuông M AH : Lời giải tham khảo từ các thành viên: www.k2pi.net (4) 1 AI + M A 2 4 = = ⇒ AH = ≥ ≥ = 2 2 2 BH Ip A MA AI M A I A.M A AI + M A I M2 p ⇒ AH ≥ hay AB ≥ 2 ne t Dấu xảy và a + = 0=>a = −2 Vậy M (−2; −1) k2 pi Câu VI.a.2 Lời giải : (Con phố quen) Phân tích và hướng giải : Với yêu cầu bài toán là viết phương trình đường thẳng nên việc ưu tiên hàng đầu chúng ta chính là điểm thuộc đường thẳng và véc tơ phương đường thẳng Nhưng quan sát đề bài ta biết đường thẳng cần tìm thực chất chính là đường thẳng qua hai điểm A và B Vậy ta chuyển bài toán ban đầu việc tìm hai điểm A và B Tới đây theo bài ta có hai điếm A, B thuộc hai đường thẳng nên ta hoàn toàn có thể biểu diễn tọa độ hai điểm A, B theo tham số hóa hai phương trình hai đường thẳng đã cho Vậy chúng ta có hai ẩn nên ta cần hai phương trình để giải Dựa vào yếu tố giả thiết đã cho ta có hai phương trình cần tìm dựa vào hai điều kiện : AB ∥ (P ) AB = p29 Bây ta vào giải cụ thể bài toán : Ta có phương trình tham số hai đường thẳng : x = + 2t d : y = −1 + t z = t x = 1+u ; d : y = + 2u z = u , t,u ∈ R Vì A ∈ d1 , B ∈ d2 ⇒ A(1 + 2t , −1 + t , t ) , B (1 + u, + 2u, u) Theo bài ta có : AB ∥ (P ) AB = p29 → − − AB · → nP =0 ⇒ (2t − u)2 + (−3 + t − 2u)2 + (t − u)2 = 29 w (2t − u) · + (−3 + t − 2u) · + (t − u) · (−2) = ⇔ ⇔ t − u = [2(t − u) + u]2 + (−3 + t − u − u)2 + (t − u)2 = 29 t − u = (6 + u)2 + (−3 + − u)2 + 32 = 29 ww ⇔ (2t − u)2 + (−3 + t − 2u)2 + (t − u)2 = 29 ⇔ t − u = 3u + 12u + = ⇔ t − u = 36 + 12u + u + u = 20 t = u = −2 ⇔ t = −1 u = −4 x −3 y z −1 = = x +1 y +2 z +1 −→ Với t = −1 ; u = −4 ⇒ A(−1; −2; −1) , AB = (2; 4; 3) nên ta có phương trình AB : = = −→ Với t = ; u = −2 ⇒ A(3; 0; 1) ; AB = (4; 2; 3) nên ta có phương trình AB : Câu VII.a Lời giải : (giangmanh) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Lời giải tham khảo từ các thành viên: www.k2pi.net (5) p Giả thiết : ⇔ a + b − (a − bi ) = −3 + 6i ⇒ b = ´ a + b − 2a + 2b = −3 + 6i ⇒ ⇒ z = + 3i p a + b − 2a = −3 b = ne t ⇒ a = ³p Vậy |z| + |z|2 = 30 Câu VI.b.1 Lời giải : (thiencuong96) Do làm tam giác vuông nên đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì cạnh huyền BC = 10( Với M là trung điểm BC Gọi A(a; b) và G(x; y), M (0; 1) Nên AM = Mà có a + (b − 1)2 = 100 k2 pi −→ −−→ AG = AM ¢ −−→ −→ ¡ ⇔ AG x − a; y − b = AM (−a; − b) b a ⇒x= , y = + 3¶ µ a b ⇒G ; + 3 Có : µ ¶ b −→ −−→ a ⇔ BG + 10; − ; B A (a + 10; b − 1) ¯3 ´ ¯ µ ¶ ¯ ¯¯³ a b ⇒ S ∆ABG = ¯ + 10 (b − 1) − − (a + 10)¯¯ = 20 3 " b=7 ⇔ ⇒ a = ±8 b = −5 Vậy A(±8; 7) y A(±8; −5) w Câu VI.b.2 Lời giải : (Lữa Cưa) Hướng dẫn giải : + Trước tiên, ∆ nằm mặt phẳng (P ) và vuông góc với đường thẳng d nên u~∆ = [n~P , u~d ] + Công việc còn lại là tìm điểm M0 thuộc ∆ Gọi d là hình chiếu d trên mặt phẳng (P) Viết phương trình d T Giả sử d ∆ = M0 Kẻ M0 M ⊥ d , với M ∈ d Khi đó, M0 M là đường vuông góc chung p d và ∆ Tham số hóa điểm M0 ∈ d và M ∈ d Sử dụng hai điều kiện M~0 M u~d = và M0 M = ww các tham số Câu VII.b Lời giải : (thiencuong96) Đặt 3x = a; y = b(a; b > 0) Hệ trở thành : a + 6.b = 11 + b b + 4.a = + a ⇔ 21 thì tìm a − = (b − 3)2 (1) b − = (a − 2)2 (2) Lấy (1) − (2) ta : (b − a − 1)(a + b − 4) = Với b − a − = ta b = a + thay vào ta : Lời giải tham khảo từ các thành viên: www.k2pi.net (6) ( ne t x = l og a =2⇒b=3⇒ y = l og ( ⇔ x =1 a =3⇒b=4⇒ y =2 Với a + b − = vô nghiệm ( từ (1), (2) tarút a ≥ 2, b ≥ x = l og x = Vậy nghiệm hệ là : y y = l og y = 2 ww w k2 pi ———————Hết—————- Lời giải tham khảo từ các thành viên: www.k2pi.net (7)