Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi tr ờng hợp sau: a Tổng KA 2+ KB2 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.. Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức:.[r]
(1)§Ò sè (N¨m häc 1992-1993) Bµi 1: Cho a, b, c, d nguyªn, tho¶ m·n hÖ thøc: ¿ a+b=c +d ab+1=cd ¿{ ¿ Chøng minh r»ng: c = d Bµi 2: Chøng minh: ( x 2+ ax+ b )2 + ( x 2+ cx+ d )2 ≤ ( x2 +1 )2 Víi mäi a, b, c, d tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a2 +b 2+ c 2+ d2 =1 Bµi 3: Cho a1 , a2 , a10 lµ c¸c sè thùc d¬ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P= a21 +a22 + + a210 a10 ( a1 +a 2+ .+ a9 ) Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4) a) T×m ®iÓm C trªn Ox cho c¸c vÐc t¬ ⃗ OA , ⃗ CB cïng ph¬ng? b) Tìm trên đờng thẳng x = điểm M cho ∠ MBA=450 §Ò sè (N¨m häc 1993-1994) Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh: √ − x+ √ x +5=k a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi k = b) Tìm các giá trị k để phơng trình có nghiệm Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau: i) Hai ph¬ng tr×nh x 2+ ax+1=0 vµ x 2+ bx +2=0 cã mét nghiÖm chung ii) Tæng |a|+|b| nhá nhÊt Bµi 3: T×m nghiÖm h÷u tû cña ph¬ng tr×nh: y − x −2 x+5=0 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3) a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: 2⃗ MA+3 ⃗ MB − ⃗ MC=0⃗ b) T×m tËp hîp ®iÓm N cho: NA 2+ NB2=2NC §Ò sè (N¨m häc 1994 – 1995) 1930 1945 1890 Bµi 1: a) Chøng minh: ( 32 + 29 −195 ) ⋮7 b) §¬n gi¶n biÓu thøc: A= sin x cos x 1+cos x √ 1+cos x 1+sin x − cos x 1− sin x √ (víi 00 < x <1800 ) Bµi 2: Cho hµm sè f (x)= √ x − √ x −1+ √ x+ 8− √ x −1 a) Tìm tập xác định D hàm số b) T×m c¸c gi¸ trÞ xD cho f(x) lµ h»ng sè Bµi 3: a) cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh a, b, c T×m ph¬ng tÝch cña träng t©m G cña tam gi¸c đờng tròn ngoại tiếp tam giác b) Giả sử đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lợt M, N, P tho¶ m·n ⃗ AN+ ⃗ BP+ ⃗ CM=0⃗ Chứng minh tam giác ABC §Ò sè (N¨m häc 1995-1996) (2) Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau víi c¸c Èn sè x, y, z: ¿ x + y + z=2 x 2+ y 2+ z 2=6 x 3+ y3 + z 3=8 ¿{{ ¿ Bµi 2: a) Cho +¿ vµ a+b+c=1 Chøng minh r»ng: a , b , c ∈ R¿ √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √6 b) Gäi x , x lµ nghiÖm cña hÖ: ¿ αx − βx 2=0 x + x 2=1 α , β >0 ¿ {{ ¿ Chøng minh r»ng: x x2 ≤ Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC a) T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I tho¶ m·n hÖ thøc: ⃗ IA − ⃗ IB+ ⃗ IC=0⃗ b) Cho điểm E và F di động mặt phẳng thoả mãn điều kiện: ⃗ EF= ⃗ EA − ⃗ EB+ ⃗ EC Tìm bao hình đờng thẳng EF Bài 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính R và điểm K cố định nằm đờng tròn với OK = k Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó Hãy xác định vị trí dây cung AB tr ờng hợp sau: a) Tổng KA 2+ KB2 đạt giá trị nhỏ và tính giá trị đó b) Tổng KA 2+ KB2 đạt giá trị lớn và tính giá trị đó §Ò sè (N¨m häc 1996-1997) Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x+ y x + 2 =3 x +y y −3 x y − 2 =0 x +y ¿{ ¿ Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: √ n n √ n n n n 1+ √ + − √ < 2; n∈ Z , n>1 n n Bµi 3: Chøng minh r»ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC cã thÓ tÝnh theo c«ng thøc: S= ( x − x B ) ( y C − y B ) − ( xC − x B )( y A − y B )| 2| A Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) M là điểm chuyển động trên O Tìm vị trí điểm M để biểu thức: T =MA 2+2 MB2 −3 MC2 đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn Tính các giá trị đó (3) §Ò sè (N¨m häc 1997 – 1998) Bµi 1: a) Cho A= { x ∈ R /| x+2|< } ; B={ x ∈ R/|x − 3|≥ } T×m A ∪B ; A ∩ B ? b) Cho tËp hîp ®iÓm trªn mÆt ph¼ng { A1 ; A ; A ; A ; A ; A6 } đó không có điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn A i A j nối điểm đó đợc tô màu đỏ xanh Chứng minh tồn ít tam giác A i A j A k có cạnh đồng màu Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x 2+ x +m+ 1=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1< x thoả mãn: 2 x1 x2 + ≥7 x2 x1 c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè − x ¿5 trªn [0; 2] f ( x)=x ¿ Bµi 3: a) Cho ABC Chøng minh: cot g3 A +cot g B+cot g3 C ≥ cos3 A cos B cos3 C + + 3 sin B sin C sin A b) Cho ®o¹n th¼ng AB vµ ®iÓm M n»m gi÷a A, B Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB dùng h×nh vu«ng AMNP vµ MBQR Chøng minh: AR ⊥ BN §Ò sè (N¨m häc 1998 –1999) B¶ng A Bài 1: Chứng minh phơng trình: ( x+ y )2+ ( x +a )2+ ( y+ b )2=c2 có nghiệm thì bất đẳng thức sau đúng: c ≥ ( a+b )2 Bµi 2: Cho hµm sè: +¿❑ f : N ❑ →Q¿ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a) f (1)=2 , vµ b) f (1)+ f (2)+ .+f (n)=n2 f (n) ∀ n>1 Hãy tìm công thức đơn giản f (n) ? Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x +14 x +9=5 √ x +1+ √ x2 − x − 20 a1 , ⃗ a2 , ., ⃗ a n đôi không cộng tuyến Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất Bµi 4: a) Cho n vÐc t¬ ⃗ n vÐc t¬ céng tuyÕn víi vÐc t¬ cßn l¹i Chøng minh r»ng: a⃗ =⃗ a1 +⃗ a 2+ .+ ⃗ an= ⃗0 (Hai véc tơ cộng tuyến là véc tơ nằm trên hai đờng thẳng song song trùng nhau) b) Cho ABC, AM vµ BN lµ hai trung tuyÕn Chøng minh r»ng: AM ⊥ BN ⇔ 1 = + tgC tgA tgB §Ò sè (N¨m häc 1998-1999) B¶ng B Bµi 1: Cho x, y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: x, y > 0; x+y (4) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P= + + xy x + y xy Bµi 2: (Bµi b¶ng A) Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 √ x − √ x − 1+ √ x +√ x −1=2 Bµi 4: a) Cho O lµ ®iÓm bÊt kú ABC Chøng minh: S BOC ⃗ OA +S AOC ⃗ OB+ S AOB ⃗ OC=⃗0 b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c) Chøng minh r»ng: NÕu a+b <3c th×: tg A B tg < 2 §Ò sè (N¨m häc 1999-2000) Bµi 1: Cho , bi ∈ R ,(i=1,2,3) ( a21+ a22 +a23 )( b21 +b 22+b 23 ) ≥ ( a1 b1 +a2 b2 +a b 3) a) Chøng minh r»ng: b) Gi¶ sö a1 a2 +a a 3+ a3 a1=4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P=a41 +a 42 +a 43 Bµi 2: a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ xy =1 x+y xz =2 x+z yz =3 y+z ¿{{ ¿ b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x, y, z tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: x −3 y −9 z 3=0 Bµi 3: a) Cho ⃗a ≠ ⃗0 , ⃗b ≠ 0⃗ Chøng minh r»ng: a⃗ ⃗b=|⃗a|.|⃗b| cos ( a⃗ , b⃗ ) b) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC cã c¸c trung tuyÕn øng víi c¸c c¹nh AB vµ BC vu«ng gãc th× cos B ≥ c) Cho ABC không cân, đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các c¹nh BC, CA, AB t¬ng øng ë A1, B1, C1 Gäi M lµ giao ®iÓm cña BC vµ B1C1 Chøng minh r»ng: MO vu«ng gãc víi AA1 §Ò sè 10 (N¨m häc 2000-2001) Bài 1: a) Tìm giá trị m để phơng trình: x 2+ mx+1− m2=0 cã nghiÖm x ∈[ −1 ; 1] b) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (5) ¿ ax 21+ bx 1+ c=x ax 22+ bx +c=x ax 2n −1 + bxn − 1+ c=x n ax 2n+ bx n +c=x ¿{{{{ ¿ Tìm điều kiện a, b, c để hệ trên: - v« nghiÖm - cã nghiÖm nhÊt Bài 2: Tìm tất các cặp số nguyên không âm (a;b) để phơng trình x − abx+ a+b=0 cã nghiÖm nguyªn Bµi 3: a) Cho ABC vµ ®iÓm A’, B’, C’ lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA, AB TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc S=⃗ BC ⃗ AA ' + ⃗ CA ⃗ BB '+ ⃗ AB ⃗ CC' b) Cho ABC cã AB = 3, BC = 5, AC = vµ AD, CE lµ ph©n gi¸c c¾t t¹i P TÝnh AP Bài 4: a) Tìm điểm M ABC để MA+MB+MC nhỏ b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đờng chéo AC, BD cho trớc và góc hai đờng chéo đó có độ lớn đã cho Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ §Ò sè 11 (N¨m häc 2001-2002) B¶ng A Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác có đờng tròn ngoại tiếp nó” b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x −4 x2 + √ x −3=0 Bµi 2: a) Cho x, y, z kh«ng ©m tho¶ m·n: xy + yz+zx +xyz=4 Chøng minh r»ng: x+ y+ z ≥ xy + yz+zx b)T×m tÊt c¶ c¸c ®a thøc P(x) tho¶ m·n: xP (x −1)=(x − 2002)P ( x) Bµi 3: a) Cho ABC, O lµ ®iÓm cho ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=0⃗ Đờng thẳng () cắt các đờng th¼ng OA, OB, OC lÇn lît t¹i A’, B’, C’ Chøng minh r»ng: OA OB OC + + =0 OA ' OB' OC ' b) Cho ABC, ta vẽ các đờng phân giác Giao điểm A’, B’, C’ chúng với các cạnh đối diện tạo thành A’B’C’ Chøng minh r»ng: S(A ' B ' C ') abc = S (ABC) ( a+ b ) ( b+c ) ( c+a ) (S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh) §Ò sè 12 (N¨m häc 2001-2002) B¶ng B Bµi 1: (Bµi cña b¶ng A) Bµi 2: a) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× hÖ sau cã nghiÖm: ¿ x −5 x +6<0 kx +4 <0 ¿{ ¿ (6) b) Bµi 2a) b¶ng A Bµi 3: Cho ABC, O lµ ®iÓm cho ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=0⃗ a) Chøng minh O lµ träng t©m ABC b) Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài c¹nh Chøng minh r»ng: 2⃗ MA ⃗ MA '+⃗ MB ⃗ MC=3 MO2 − a2 +b2 +c §Ò sè 13 (N¨m häc 2002-2003) B¶ng A Bµi 1: a) Chøng minh r»ng mét tam gi¸c bÊt kú ABC cã c¹nh lµ a, b, c th×: a b c + + ≥3 b c a b) Gi¶ sö ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i Y, ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC t¹i Z, ph©n gi¸c cña gãc C c¾t AB t¹i X Chøng minh r»ng: AX BY CZ + + ≥3 XB YC ZA Bµi 2: a) Cho a, b, c, x, y, z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: ax+ by +cz=30 H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: P= 2 2 2 a +b + c =25 ; x + y +z =36 ; a+b+ c x+ y+ z b) Cho hai ph¬ng tr×nh x 2+3 x +2 a=0 vµ x 2+6 x +5 a=0 Tìm tất các giá trị a để phơng trình có nghiệm phân biệt và nghiệm phơng trình này có đúng nghiệm phơng trình Câu 3: a) Cho điểm A, B cố định với AB = a Tìm tập hợp điểm P thoả mãn 2 (k lµ sè thùc kh«ng ©m) b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC Phân giác góc DAM cắt BC N Hãy PA − PB =k xác định vị trí M để AN MN đạt giá trị nhỏ §Ò sè 14 (N¨m häc 2002-2003) B¶ng B: Bµi 1: a) Bµi 1a - B¶ng A b) Cho a, b, c >0 vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √6 Bµi 2: Bµi – B¶ng A Bµi 3: a) Bµi 3a – B¶ng A b) Cho tam gi¸c ABC vµ P lµ mét ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng tam gi¸c Gäi K, L, M lÇn lît lµ h×nh chiếu vuông góc P lên các đờng thẳng BC, CA, AB Hãy xác định vị trí P cho tổng 2 BK +CL + AM nhá nhÊt §Ò sè 15 (N¨m häc 2003-2004) B¶ng A: Bµi 1: a Gi¶i ph¬ng tr×nh x − x + √ x −12 x+7=0 b Gi¶ sö ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn vµ c¸c gi¸ trÞ f(0); f(1) lµ nh÷ng sè lÎ Chøng minh r»ng f(x) kh«ng thÓ cã nghiÖm nguyªn (7) Bài 2: a Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1) y=√ x − m+ √ x − m− b Cho a, b, x, y tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: 0<b ≤ a ≤ a+b ≤ 2≤ x ≤ ≤ y T×m gi¸ ttrÞ nhá nhÊt cña 2 x+ + y + x y s= 2 a +b Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB tam giác, lấy các điểm M, a N, P cho BM= ; CN= 2a ; AP=x , 0< x <a a Tính x theo a AM vuông góc PN b Cho H lµ mét ®iÓm thuéc miÒn cña tam gi¸c ABC nãi trªn Gäi H 1H2H3 lÇn lît lµ c¸c điểm đối xứng H qua các cạnh tam giác Chứng minh trọng tâm tam gi¸c H1H2H3 kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm H §Ò sè 16 (N¨m häc 2003-2004) Bµi 1: Bµi cña B¶ng A Bµi 2: a) Bµi 2a B¶ng A ¿ a + b +c 2=2 b) Cho a, b, c tho¶ m·n: ab+ bc+ ca=1 Chøng minh r»ng: a , b , c ∈ − ; 3 ¿{ ¿ 2 [ ] Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB tam giác, lấy các điểm M, a N, P cho BM= ; CN= 2a ; AP=x , 0< x <a 3x ⃗ a Chøng minh ⃗ PN= ( ⃗ AC − AB) a b Tính x theo a AM vuông góc PN §¸p ¸n vµ híng dÉn gi¶i §Ò sè Bµi 1: Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n, c − d ¿2 +4>0 ∀ c , d c +d ¿2 − (cd − 1)=¿ ¿ nên theo định lý viét ta có a và b là các nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x −(c +d )x +(cd −1)=0 XÐt ph¬ng tr×nh trªn, a vµ b lµ c¸c nghiÖm cña nã nªn ta ph¶i cã: c − d ¿ +4 ≥ 0(∗) cd − 1¿ ≥ ⇔ ¿ c+ d ¿ − ¿ Δ=¿ §Æt c – d = t t nguyªn vµ tõ (*) ta suy tån t¹i sè nguyªn s tho¶ m·n: (8) 2 t + 4=s ≥ , từ đó ta có: (s −t)( s+ t)=4 Do s, t nguyên s-t và s+t nguyên hay (s-t) và (s+t) là c¸c íc sè cña vµ ta suy ra: ¿ s − t=2 s+t=2 (1);hoÆc s − t=−2 s − t=−2 (2) ;hoÆc s − t=1 s+t=4 ( 3); hoÆc s − t=−1 s −t=− ( 4) ¿{ { { { ¿ Từ (1) và (2) ta có: t = c = d Từ (3) ta nhận đợc 2t = t= ∉ Z (loại) HÖ (4) v« nghiÖm ¿ a+b=c +d Tãm l¹i nÕu a, b, c, d nguyªn tháa m·n ®iÒu kiÖn ab+1=cd th× ta cã c = d. ¿{ ¿ Bµi 2: ¸p dông B§T Bunhiacopski cho cÆp sè: (x, x, 1) vµ (x, a, b) ta cã: 2 2 2 2 2 x + ax+b ¿ ≤( x + x +1)( x + a +b )=(2 x +1)( x + a + b ) (1) Còng ¸p dông B§T Bunhiacopski cho cÆp sè: (x, x, 1) vµ (x, c, d) ta cã: x 2+ cx+d ¿2 ≤(x 2+ x +1)( x 2+ c2 +d )=(2 x +1)( x +c +d ) (2) ¿ Tõ (1) vµ (2) suy ra: 2 2 2 x + cx+d ¿ ≤(2 x +1)( x + a +b )+ ¿ x +ax +b ¿2 +¿ ¿ +(2 x +1)( x +c +d 2)=¿ 2 2 2 ¿(2 x +1)(2 x + a +b +c +d ) x +1 ¿2 (V× a2 + b2 + c2 + d2 = 1) ¿(2 x 2+1)(2 x 2+1)=¿ x +1 ¿2 2 VËy: x + cx+d ¿ ≤¿ x 2+ ax+b ¿ 2+ ¿ ¿ x a b c d §¼ng thøc x¶y ⇔ = = = = ⇒a=c=bx=dx x x 1 1 Bµi 3: Ta cã: a21 +a 22+ .+ a210=a21+ a210 +a 22+ a210 + +a29+ a210 9 ¸p dông B§T C«-si ta cã: a21 + a210 ≥ a1 a10 (9) 2 a2 + a10 ≥ a2 a10 a29 + a210 ≥ a a 10 a21 +a 22+ .+ a210 ≥ a 10 ( a 1+ a2 + +a ) Suy ra: 2 a +a + + a10 a (a +a + .+ a9 ) P= ≥ 10 = a10 ( a1 +a 2+ .+ a9 ) a10 (a1 +a 2+ .+ a9 ) a1=a2= =a 9= a10 Bài 4: a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, ta có: O(0;0); A(-2;-1); B(2; -4) Do C là điểm trên trục Ox nên C có toạ độ (x; 0) Khi đó ta có: ⃗ OA=( x A − x O ; y A − y O )=(−2 ; −1) ⃗ BC=(xC − x B ; y C − y B)=(x −2 ; 4) §¼ng thøc x¶y Ta cã: ⃗ OA // ⃗ BC ⇔ ∃k ∈ R : ⃗ OA=k ⃗ BC ⇔ −2=k ( x −2) − 1=4 k ⇔ ¿ k =− x =10 ¿{ Vậy toạ độ điểm C là: (10; 0) b) Điểm M thuộc đờng thẳng x=1 có toạ độ: M(1; y) Do đó ta có: y +4 ¿ ¿ ¿ √ y +8 y +17 ¿ − ¿2 +3 ¿ +¿ ¿ ⃗ BM=(−1 ; y +4 )⇒|⃗ BM|=√ ¿ Do đó ta có: ⃗ BM ⃗ BA=(− 1)(− )+3 ( y +4)=3 y+ 16 Ta cã: ∠ MBA=450 ⇔ (⃗ BM , ⃗ BA )=45 ⇔ cos( ⃗ BM , ⃗ BA)= √ Từ đó suy ra: 2 y+ 16=⃗ BM ⃗ BA =|⃗ BM|.|⃗ BA| cos( ⃗ BM , ⃗ BA)=5 √ y 2+ y+17 √ (10) ⇔ 16 y + y − 87=0 ⇔ 29 y =− ¿ ¿ y=3 ¿ ¿{ ¿ ¿¿ y≥− ( VËy cã ®iÓm tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ C1 = ; − §Ò sè 2: Bµi 1: a) Víi k =3, ta cã ph¬ng tr×nh: 29 ; C2= ( 1; ) ) √ − x+ √ x +5=3 §iÒu kiÖn: -5 x √ − x+ √ x +5=3 Ta cã: ⇔ − x +5+ x=3 −2 √ (4 − x )( x+ 5) ⇔ √ ( x − 4)(x +5)=0 ⇔ x =4 ¿ x=−5 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b) §iÒu kiÖn cña tham sè: k>0 Khi đó phơng trình đã cho tơng đơng với: 9+2 √ (4 − x )( x+5)=k ¿k ≥3 − x − x +k − 18 k + 1=0 ¿ ⇔ √(4 − x)( x +5)=k − { ⇔ §Ò sè Bµi 1: §iÒu kiÖn: x +y 0 (*) Nhận xét x= thì từ hệ đã cho ta suy y = không thoả mãn điều kiện (*) Nh (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ th× ta ph¶i cã: x0 ; y0 ¿ ¿ xy+3 y x+ y xy + 2 =3 y (1) x + 2 =3 x +y x +y Khi đó hệ (I): y −3 x xy −3 x y − 2 =0 xy − 2 =0(2) x +y x +y ¿{ ¿{ ¿ ¿ 3( y −1) Lấy (1) cộng (2) theo vế với vế ta đợc: xy +3=3 y ⇔ x= (a) 2y 2 (11) ¿ x +3 y =3 − x (3) x2 + y2 MÆt kh¸c ta còng cã: HÖ (I) (II) y −3 x = y (4) 2 x +y ¿{ ¿ y XÐt hÖ (II) NÕu y − x=0 ⇒ y=3 x ⇔ x= kết hợp với (a) ta đợc: y 3( y −1) = ⇔ y −9 y +9=0 ⇔ 2y y= ⇒ x= 2 ¿ y=3 ⇒ x=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Thay các kết trên vào hệ đã cho ta thấy chúng không thoả mãn Vậy ta có (x; y) là nghiệm hệ thì ta có x – 3x Do đó lấy (3) chia (4) theo vế ta có: x+ y 3− x = ⇔ xy+3 y 2=3 y − x − xy+3 x y −3 x y ⇔2 y2 +2 xy −3 y +9 x − x2 =0(b) 12 y +15 y −27=0 ⇔ y 2=− ( lo¹i) ¿ Thay (a) vào (b) ta đợc: y =1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Tõ y = y = 1, thay vµo (a) ta cã: y = x =0; y = -1 x = Vậy hệ đã cho có cặp nghiệm là (0; 1) và (3; -1) n n n n √ √ Bµi 2: Tõ ®iÒu kiÖn nZ vµ n>1 ta cã: √ n<n ⇒ <1 ⇔ − > n n n n áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số dơng: 1− √ n ; 1; ; ;1 ta có: n √ n n n √( n n n n n n n n n 1− √ = − √ 1 ≤ 1− √ +1+ +1 = n − √ =1− √ n n n n n n n (( ) ) ( ) ) (1) n áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số dơng: 1+ √ n ; 1; ; ;1 n ta cã: n n n n n n n n n n n 1+ √ = 1+ √ 1 ≤ 1+ √ +1+ .+1 = n+ √ =1+ √ n n n n n n n Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: √ n √( (( ) ) √ n n √ n n ) ( ) n n n n n n 1+ √ + 1+ √ ≤ 1+ √ +1 − √ =2 n n n n n n n n √ √ §¼ng thøc kh«ng thÓ x¶y v× n>1, nZ ta cã: 1− ≠1 ≠ 1+ n n (2) (12) VËy: √ n n √ n n n n 1+ √ + 1+ √ <2 n n Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ giả sử ABC có A (x a ; y A ); B(x B ; y B) ; C( xC ; y C ) Ta cã: y C − y B ¿2 x C − x B ¿ 2+ ¿ và đờng thẳng BC có phơng trình: ¿ BC=√ ¿ x − xB y − yB = ⇔( y C − y B )x −(x C − x B ) y − x B ( y C − y B )+ y B (xC − x B )=0 xC − xB yC − yB Gọi AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A ABC thì ta có AH khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC Do đó: AH= |( y C − y B ) x A −( x C − x B) y A − x B ( y C − y B )+ y B ( x C − x B )| √( y − y c ¿ C =¿ 2 ) +( x C − x B ) |(x A − x B )( y C − y B) −(xC − x B)( y A − y B )| √( y − y c C 2 ) +( x C − xB ) =¿ Từ đó ta có diện tích ABC là: 1 S Δ ABC= AH BC= |(x A − x B)( yC − y B )−( y A − y B )(xC − x B )| 2 VËy cã thÓ tÝnh diÖn tÝch ABC b»ng c«ng thøc: S Δ ABC= |(x A − x B)( y C − y B )−( y A − y B )( xC − x B )| §Ò sè Bµi 1: §Ò sè Bµi 1: a) §Æt f (x)=x +mx +1 −m Ta xÐt c¸c trêng hîp: Ph¬ng tr×nh 2 x + mx +1− m =0 cã mét nghiÖm ⇔ ( − m−m2 ) ( 2+m− m2 ) ≤ ⇔ − 2≤ m≤ −1 ¿ 1≤ m≤ ¿ (1) ¿ ¿ ¿ Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm thuéc [-1; 1]: x ∈ [ − 1; ] ⇔ f (−1) f (1) ≤ (13) Δ≥0 ¿ f (−1)>0 f (1)> S −1< <1 ⇔ ¿ m − ( 1− m2 ) ≥ − m − m+2> − m +m+2>0 m − 1< − <1 ⇔ 2 ¿ m≤ − ∨m ≥ √5 √5 −2< m<1 −1< m<2 −2< m<2 ¿ ⇔ ¿ {{ { ¿ ¿¿ ¿ −2 ≤ m≤ − Kết hợp (1) và (2) ta đợc các giá trị m thoả mãn là: 2√ 5 ¿ √5 ≤m ≤2 ¿ ¿ ¿ ¿ b) §Æt: x − x 1=t x − x 2=t x − x n=t n Thì ta có: t +t + +t n=0(∗) và đó hệ PT đã cho tơng đơng với hệ: ¿ ax +(b −1) x1 +c =t ax +(b −1) x2 +c =t ax n+(b − 1) x n+ c=t n ¿{{{ ¿ 2 b −1 ¿2 −4 ac< th× ti (i=1, 2,…n) cïng dÊu víi hÖ sè a kh«ng tho¶ m·n hÖ thøc (*) HÖ ¿ v« nghiÖm NÕu ( −b ) NÕu b −1 ¿ −4 ac=0 th× hÖ cã nghiÖm nhÊt: x 1=x 2= =x n= ¿ 2a cña xi sÏ lµm cho ti cïng dÊu víi a nªn kh«ng tho¶ m·n (*) §Ò sè 10 Bµi 1: a) Ta ký hiÖu: A={xx lµ h×nh tø gi¸c} B={yy là đờng tròn} cßn c¸c gi¸ trÞ kh¸c (14) Nhận định bài toán đợc phát biểu: ∀ x ∈ A , ∃ y ∈ B : Đờng tròn y ngoại tiếp tứ giác x Để chứng tỏ nhận định đó là sai, ta mệnh đề phủ định nó là đúng: ∀ x ∈ A , ∃ x ∈ B : đờng tròn y ngoại tiếp tứ giác x ∃ x ∈ A , ∀ y ∈ B : đờng tròn y không ngoại tiếp tứ giác x Rõ ràng ta chọn tứ giác x là hình thoi không có góc nào vuông thì đờng tròn không ngoại tiếp nã b) Cã: x −4 x + √ x −3=0 ⇔ x −2 x 2+1 −2 ( x − √ x+ )=0 x − √ ¿2=0 ¿ ( x − √ x+ )( x2 + √ x −3 ) =0 ¿ x − √2 x +1=0 (1) ¿ x + √ x − 3=0 (2) ¿ ¿ x −1 ¿2 − 2¿ ¿ ⇔¿ Ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm, ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm x 1,2= − √ 2± √ 14 Bµi 2: Ta cã: xy + yz+zx + xyz=4 ⇔ xy+ yz+ zx=4 − xyz (1) x+ y+ z ≥ xy + yz+zx Do đó: ⇔ x + y + z ≥ − xyz(2) Rõ ràng số x, y, z không đồng thời không, có tối đa số không Không mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö r»ng: x, y > z= Tõ (1) ta cã: − xy − xy − xy , đó: (2)⇔ x + y + ≥ − xy x+ y + xy x+ y+ xy x + y + xy ⇔ ( x + y )2 +xy ( x+ y )+ − xy ≥ ( x+ y )+ xy − xy+ x y ⇔ ( x+ y − )2 ≥ xy ( 1− x ) ( 1− y ) (3) i) NÕu ( 1− x )( − y ) ≤0 thì (3) hiển nhiên đúng đẳng thức xảy ⇔ ( x + y −2 )2=xy (1− x)(1 − y )=0 ⇒ x= y =1 KÕt hîp víi (2) ta cã: x = y = z = ii) (1− x)(1 − y )>0 Ta cã: 1− y ¿ + 2(1− x)(1 − y )≥ (1 − x)(1 − y) − x ¿2 +¿ (theo bất đẳng thức Cô-si) 2 ( x + y −2 ) =( − x +1− y ) =¿ ⇒ ( x + y − ) ≥ (1 − x)(1 − y ) (4) − xy ≥ vµ x, y – xy xy (5) x+ y + xy Từ (4) và (5) ta suy (3) đợc chứng minh Nhng z= b) Cho x = thay vào đẳng thức: xP (x −1)=( x − 2002)P ( x) ta đợc: = -2002.P(0) P(0) =0 (1) (15) Cho x = 1, ta cã: 1.P(0) = -2001.P(1) P(1) = Tõ (1) ta suy : P(2) = P(3) = 0,…, P(2001) = VËy P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2001)Q(x) Suy P(x-1) = (x-1)(x-2)…(x-2002)Q(x-1) KÕt hîp víi gi¶ thiÕt: xP(x-1)=(x-2002)P(x) Q(x-1) = Q(x) Q(x) = a (a lµ h»ng sè kh«ng phô thuéc x) Suy ®a thøc ph¶i t×m lµ P(x) = ax(x-1)(x-2)…(x-2002) Bài 3: a) Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh đợc O là trọng tâm cña ABC Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC; trªn OA lÇn A lît lÊy c¸c ®iÓm B1, C1 cho BB1//CC1// OB OB1 BB1 // Δ⇒ = OB ' OA ' OC OC CC1 // Δ⇒ = OC ' OA ' } ⇒ B C OA OB OC OA 1+ OB1 +OC1 (1) + + = OA ' OB ' OC ' OA ' MÆt kh¸c, ta cã: ⃗ OA+⃗ OB 1+⃗ OC1=⃗ OA +⃗ OB+ ⃗ OC+⃗ BB1 +⃗ CC1 Δ BIB 1= Δ CIC1 nªn suy Nhng dÔ thÊy r»ng Do đó từ ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=0⃗ OA+ OB1 +OC1=0 ta suy B’ B1 A’ I O C’ C1 BB1 //=C1 C ⇒ ⃗ BB 1=⃗ C C Hay ⃗ OA+⃗ OB 1+⃗ OC1=⃗0 ⃗ BB1 +⃗ CC 1=⃗0 mµ A, B1, C1 th¼ng hµng nªn ta cã: (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) Theo tính chất đờng phân giác tam giác, ta có: AB ' = bc bc ; AC ' = (a+c) (a+ b) S Suy S AB 'C ' = AB' AC' sin A= bc bc ABC (a+ b)(a+c ) bc ⇒ T¬ng tù ⇒ S AB' C ' bc = (1) S ABC (a+b)(a+c ) S BC ' A ' ca = (2) S ABC ( b+c)( b+a) S CA' B ' ab = (3) S ABC (c+ a)(c+ b) Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã: ⇒ S A ' B ' C ' S ABC −( S AB'C ' + SBC ' A ' + S CA' B ' ) = S ABC S ABC bc ca ab ¿ 1− + + ( a+b)(a+ c) (b+ c)(b+ a) ( c+ a)(c +b) abc ¿ (a+ b)(b+c )(c +a) ( ) §Ò sè 11 (N¨m häc 2002 – 2003) Bài 1: a) Vì a, b, c là độ dài các cạnh tam giác nên a, b, c là các số thực d ơng, áp dụng bất đẳng thøc C«si ta cã: (16) a b c a b c + + ≥3 =3 b c a b c a √ a b c Đẳng thức xảy ⇔ = = ⇔ a=b=c , hay ABC b c a b) Theo tính chất đờng phân giác, ta có: AX b BY c CZ a = ; = ; = XB c YC a ZA b Nh vËy B§T cÇn chøng minh trë thµnh A X a b c + + ≥3 b c a ¸p dông c©u a) ta cã ®pcm Bµi 2: a) ¸p dông B§T Bunhiac«pski ta cã: BY C ax+by+cz ¿ (a2 +b 2+ c 2)( x 2+ y 2+z )=¿ (1) a b c §¼ng thøc x¶y ⇔ = = x y z (2) Mµ theo gi¶ thiÕt ta cã: 2 Z 2 (a +b + c )=25 ; (x + y + z )=36 vµ ax+ by +cz=30 nên (1) có đẳng thøc, tøc lµ ta cã (2) Gi¶ P= sö a b c = = =k x y z thÕ th× 36=( x 2+ y 2+ z )=k 2(a2 +b2 +c )=25 ⇒ k =± Suy a+b+ c =k=± x+ y+ z b) Yêu cầu bài toán Tìm a để phơng trình f ( x1 ) f (x 2)< víi f ( x)=x +6 x+ a ¿ ⇔ Δ=9 −8 a ≥ 2 (x 1+ x +5 a)(x 2+ x2 +5 a)<0 ⇔ ¿a≤ 9( x +a)( x 2+ a)< ¿ ⇔ ¿a≤ [ x x +a (x1 + x 2)+ a2 ]<0(∗) ¿ { ¿ Nhng x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2+3 x +2 a=0 x 2+3 x +2 a=0 cã nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n nên theo định lý Viét ta có: ¿ x 1+ x 2=− x1 x 2=2 a thay vµo (*) ta cã: (∗)⇔ a(a −1)<0 ⇔ <a<1 ¿{ ¿ Vậy với 0< a <1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm phơng trình này có đúng nghiệm phơng trình Bµi 3: (17) a) Gäi O lµ trung ®iÓm ®o¹n AB Víi P lµ ®iÓm tuú ý, gäi H lµ h×nh chiÕu cña P trªn AB, ta cã: PA − PB2 =⃗ PA − ⃗ PB2=( ⃗ PA − ⃗ PB )(⃗ PA+ ⃗ PB)=⃗ BA ⃗ PO=⃗ AB ⃗ OP áp dụng định lý hình chiếu ta có: 2⃗ AB ⃗ OP=2 ⃗ AB ⃗ OH Suy P lµ ®iÓm thuéc quü tÝch vµ chØ AB OH=k 2 hay OH= k Từ đó điểm H xác AB định Vậy quỹ tích điểm P là đờng thẳng vuông góc với AB H trên AB đợc xác định hệ thức k Tức là đờng thẳng vuông góc với AB điểm H xác định AB gi÷a O vµ B b) §Æt AB = a; AD = b; AM = m>0 A B AN = n > m; AMN = Theo gi¶ thiÕt ta cã: AN lµ ph©n gi¸c gãc MAD MAD ANB(cïng b»ng NAD) M VËy ANM c©n t¹i M MN = AM =m D C Theo định lý cosin ANM có: OH= OH= k2 AB n2=m2 +m − m m cos α =2 m 2(1− cos α ) n=m √ 2(1 −cos α ) Theo bµi ta cã: AN = n = m √ 2(1 −cos α ) =√ 2(1− cos α) MN m m N AN Ta có: > 900 (vì M di động trên đoạn BC) cos 0 =√ 2(1− cos α ) ≥ √ MN AN MN đạt giá trị nhỏ AN =√ , x¶y cos = =900 M B MN vµ H n»m (18)