Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẻ các bạn cũng đã nhận thấy được phần nào về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức.. Không dừn[r]
(1)vn MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Bài p Giải phương trình: (x + 3) 2x + = x + x + (1) Lời giải: ath Nguyễn Đức Tuấn Ở đây tôi xin trình bày phương pháp mà theo tôi nó là phương pháp mới, sáng tạo và là công cụ hữu hiệu để giải đa số phương trình chứa thức mà chúng ta thường bắt gặp đề thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi Trong bài viết này chúng ta đề cập đến đẳng thức có nhiều ứng dụng giải toán sau: (a − b)(a + b) = a − b Điều kiện x ≥ −3 Nhận thấy x = −3 không là nghiệm phương trình, viết lại phương trình dạng: ox m p p x2 + x + x2 2x + = ⇔ 2x + − = (10 ) x + x + p p Vì 2x + + > Nhân 2x + + vào hai vế phương trình (10 ) ta được: ´³p ´ ´ ³p x ³p x2 p 2 2 2x + − 2x + + = 2x + + ⇔ 2x = ( 2x + + 1) x +3 x +3 Nhận thấy x = là nghiệm phương trình (1), xét x 6= 0, chia hai vế phương trình cho x ta được: p p 2x + + ⇔ 2x + = 2x + p p Giải phương trình này ta tìm hai nghiệm x = −5 + 13 và x = −5 − 13 (loại) p Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = và x = −5 + 13 2(x + 3) = Bài p x2 + = 3x + 2x + 3x + (2) /b Giải phương trình: Lời giải: p:/ Điều kiện x > − Phương trình (2) tương đương với: p p 3x + 2x + −3x + x + − 2x = − 2x ⇔ x + − 2x = (20 ) 3x + 3x + p p Vì x > − ⇒ x + + 2x > Nhân x + + 2x vào hai vế phương trình (20 ) ta thu được: ´ −3x + ³p −3x + = x + + 2x 3x + Nếu −3x + = ⇔ x = x = −1(loại) Nếu −3x + 6= 0, chia hai vế phương trình cho −3x + ta được: 3x + = p x + + 2x htt Giải phương trình này ta x = Vậy phương trình (2) có nghiệm x = Bài Giải phương trình: p x +3 = x − +5 2x (3) Lời giải: Điều kiện x ≥ −3và x 6= editor latex ChauNgocHung (2) p Vì p x + + > 0, nhân p µ ¶ x + − = (x − 1) + x (30 ) Phương trình (3) tương đương với: x + + vào hai vế củaµphương ¶³ trình (3 ´) ta thu được: p x − = (x − 1) + x +3+2 x ath + Nếu x − = ⇔ x = + Nếu x − 6= 0, chia cảµhai vế¶ phương trình cho x − ta được: ´ p ³p x + + ⇔ −14 = (x + 7) x + > x Vậy phương trình (3) có nghiệm x = = 1+ Bài p Giải phương trình: (x + 3) x + x + = x + 3x + Lời giải: (vì x ≥ −3) (4) ox m Điều kiện x ≥ −3 Nhận thấy x = −3 không phải là nghiệm phương trình (4), viết lại phương trình dạng: p x + 3x + x2 + x − ⇔ x2 + x + − = (40 ) x2 + x + = x + x + p p Vì x + x + + > 0, nhân x + x + + vào hai vế phương trình (40 ) ta thu được: ´ x + x − ³p x2 + x − = x +x +2+2 x +3 +Nếu x + x − = ⇔ x = x = −2 p +Nếu x + x − 6= 0, chia hai vế phương trình cho x + x − ta được: x +3 = p x2 + x + + /b Giải phương trình này ta x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = −2 Sau đây là số bài toán dành cho bạn đọc: Giải các phương trình sau: p + x + x = x + + x x2 − x + p p p x +3 + ?) x − + x − + x + + x = x −6 r 2 x +9 x +1 = ?) + p x2 + x + x2 − p 5x + x − ?) x + x + = x +1 p:/ ?) p htt Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng phương pháp này để giải số bài toán phương trình có phần "nhỉnh" chút Ở đây trình bày dạng các ví dụ minh họa cho dạng Bài Giải phương trình: p (Phương trình chứa mẫu) x −1 + + = x 2x (5) Lời giải: Điều kiện: x > Phương trình (5) tương đương với: editor latex ChauNgocHung (3) x −1 x −1 + − =0 x 2x −1+ (50 ) + > Ta có: µ p (5 ) ⇔ ¶µ x −1 −1 p p x −1 ¶ x −1 +1 + +1 + − =0 x 2x ath Vì p p µ ¶µ ¶ −1 x − ⇔ + −1 + =0 x x +1 p x −1 µ ¶ (2 − x) + 2−x x ⇔ =0 ¶+ µ x +1 (x − 1) p x −1 Nhận thấy x = là nghiệm phương trình, xét x 6= 2, chia hai vế phương trình cho (2 − x) ta được: + x =0 ¶+ x ox m ⇔ µ (x − 1) p x −1 +1 Dễ thấy V T > 0∀x > Vậy phương trình (5) có nghiệm x = Bài (Phương trình chứa nhiều loại thức) Giải phương trình: p p p x + + x2 + + x + x2 = +2 x +1 (6) /b Lời giải: Điều kiện: x ≥ p p − (60 ) x + − + x2 + − + x + x2 = x + p p p Vì (x + 8)³2 + x + 8´³+p > 0, x + + > Ta ´ có: ³p ´³p ´ p p 3 x +8−2 (x + 8) + x + + x2 + − x2 + + p ³ p ´ −x (60 ) ⇔ + + x + x x = p p p 3 x +1 x2 + + (x + 8)2 + x + + p p x −x x ⇔p + + x(1 + x x) = p p 3 x +1 x2 + + (x + 8)2 + x + + Nhận thấy x = là nghiệm phương trình, p xét x 6= 0, chia hai vế phương p trình cho x ta pđược: p p x x x x ⇔p + + + x x + = p p 3 x +1 x2 + + (x + 8)2 + x + + Dễ thấy V T > 0∀x > p p:/ (6) ⇔ htt Vậy phương trình (6) có nghiệm x = Bài s Giải phương trình: (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ ) x2 + x + x2 +2 + =p x +4 x2 + (7) Lời giải: Điều kiện x ≥ −4 editor latex ChauNgocHung (4) x2 + x + x2 1 −1+ − =p − x +4 2 x2 + − x2 x2 − x2 − = ⇔s + 1 2 x +x +1 + p +1 x2 + x +4 p p Nhận thấy x = và x = − là các nghiệm phương trình (7) ⇔ ⇔s x2 + x + +1 x +4 + + ath Xét x − 6= Chia hai vế phương trình cho (x − 3) ta được: s p x2 + + =0 Dễ thấy V T > 0∀x ≥ −4 p p Vậy phương trình (7) có hai nghiệm x = và x = − p Chú ý: Mấu chốt bài toán này là nhận x = là nghiệm Bài (Tìm nhân tử chung !) p x2 − 2x − 3x + = 2x − (8) ox m Giải phương trình: Lời giải: /b x2 − Điều kiện: 2x − 3x + ≥ 0, ≥, 2x − 6= 2x − p −x + 3x − x − 3x + −x + 3x − (8) ⇒ 2x − 3x + − x = ⇒p = 2x 2x − 2x − 3x + + x p −3 p 3− 3+ và x = Nếu x − 3x + = ⇔ x = 2 Xét x − 3x + 6= Chia hai vế phương trình cho (x − 3x + 1) ta được: −1 = p 2x − 3x + + x 2x − p ⇒ − 3x = 2x − 3x + ⇒ 7x − 15x + = ⇔ (x − 1)(7x − 8) = ⇔ x = và x = (loại!) p p 3+ 3− Vậy phương trình (8) có ba nghiệm x = ,x= và x = 2 Chú ý: Mấu chốt bài toán này là nhận x − 3x + là nhân tử chung p:/ Sau đây là số bài toán dành cho bạn đọc: Giải các phương trình sau: p + x + x = x + + x x2 − x + p p p x +3 ?) x − + x − + x + + x = + x −6 r x +9 x2 + ?) + = p x2 + x + x2 − p 5x + x − ?) x + x + = x +1 htt ?) p Qua ví dụ và bài tập nêu trên, có lẻ các bạn đã nhận thấy phần nào hiểu công cụ này việc giải các bài toán phương trình chứa thức Không dừng lại đó, hôm mình xin trình bày vấn đề tiếp Theo xung quanh phương pháp này Tin đây là phương pháp thực hiểu để hỗ trợ các bạn việc giải các bài toán phương trình chứa thức Để tăng tính thuyết phục và hết là làm bật cái hay, cái đẹp phương pháp này Mình xin phép lấy các bài toán các kì thi học sinh giỏi và các kì thi olympic để làm ví editor latex ChauNgocHung (5) Bài dụ minh họa Qua đó chúng ta thấy tính ứng dụng rộng rãi và hiệu nó (Đề chính thức Olympic 30 - năm 2006) p Giải phương trình: (x + 1) x − 2x + = x + (9) Lời giải: Vì x = −1 không là nghiệm phương trình (9) ta viết phương trình dạng: p x − 2x + = p x2 + x − 2x − ⇔ x − 2x + − = x +1 x +1 ath p x − 2x + p + > Suy ra: p x − 2x − x − 2x − ( x − 2x + − 2)( x − 2x + + 2) x − 2x − = ⇔p = (90 ) ⇔ p x +1 x +1 x −p2x + + x − 2x + + p Nếu x − 2x − = ⇔ x = + và x = − p Nếu x − 2x − 6= Suy ra: x − 2x + + = x + ( Phương trình này vô nghiệm) p p Vậy phương trình (9) có nghiệm là: x = + và x = − p Mấu chốt lời giải trên là nhận lượng liên hợp ( x − 2x + + 2) để tìm nhân tử chung Vì Xét phương trình: ⇔ p p p ox m là (x − 2x − 1) Vậy làm cách nào để nhận điều này Sau đây, mình xin trình bày phương pháp để tìm lượng nhân tử chung trên x − 2x + = x − 2x + − m = x2 + x +1 (90 ) p x2 + x − mx − m + − m (m > 0) ⇔ x − 2x + − m = x +1 x +1 x −p 2x + + m > Suy pra: ( x − 2x + − m)( x − 2x + + m) x − mx − m + x − 2x + − m x − mx − m + = = (90 ) ⇔ ⇔p p x +1 x +1 x − 2x + + m x − 2x + + m Bây ta cần xác định m cho: Vì x − 2x + − m = ⇔ x − mx − m + = Suy ra: −2 = −m và − m = −m + ⇒ m = Bài 10 /b Từ đó ta suy lời giải toán bài toán đã trình bày p Giải phương trình: 2(x + 2) = x + (Đề đề nghị, Olympic 30 - năm 2007) (10) Lời giải: p:/ Điều kiện: x ≥ −1 (10) ⇔ 2(x + 2) = p (x + 1)(x − x + 1) Vì x = −1 không là nghiệm s phương trình (10) ta viết dạng: s (x + 1)2 (x − x + 1) 2(x + 2) ⇔ = x +1 5(x + 1) Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm m = Vậy: s 2(x + 2) = 2(x + 2) −2 = 5(x + 1) (100 ) x2 − x + −2 x +1 htt (100 ) ⇔ x2 − x + x +1 s x2 − x + + > Suy ra: x +1 s s µ ¶µ ¶ x2 − x + x2 − x + −2 +2 x +1 x +1 2x − 10x − 2x − 10x − x − 5x − (10 ) ⇔ = ⇔ = s s µ ¶ 5(x + 1) 5(x + 1) x −x +1 x2 − x + +2 (x + 1) +2 x +1 x +1 Vì editor latex ChauNgocHung (6) Giải phương trình: p x − 3x − 8x + 40 − 4x + = Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 (Thi HSGQG, năm 1995, bảng A) ath Bài 11 p p + 37 − 37 Nếu x − 5x − = ⇔ x = và x = s 2 x −x +1 Nếu x − 5x − 6= Suy ra: = + ( Phương trình này vô nghiệm) x +1 p p + 37 − 37 Vậy phương trình (10) có nghiệm là: x = và x = 2 (11) Nếu x − = ⇔ x = Nếu x − 6= Suy ra: p ox m x − 3x − 8x + 40 p x − 3x − 8x + 24 p 4 (11) ⇔ = 4x + (11 ) ⇔ = 4x + − 8 p Vì 4x + + > Suy ra: p (x − 3)(x − 8) 4x + − (11 ) ⇔ =p 4x + + p Vì 4x + + > Suy ra: (x − 3)(x − 8) 4x − 12 ´³p ´ (110 ) ⇔ = ³p 4x + + 4x + + x2 − ´³p ´ = ³p 32 4x + + 4x + + (1100 ) Bài 12 p p 2(x + 8) = x + p:/ Giải phương trình: /b Suy ra: x − > hay x > 2 ( vì x ≥ 1) p Dễ thấy vế trái phương trình (1100 ) liên tục và luôn đồng biến trên (2 2; +∞), vế phải p phương trình (1100 ) liên tục và luôn nghịch biến trên (2 2; +∞) Lại có x = là nghiệm x = là nghiệm phương trình (1100 ) Nghiệm này loại vì x 6= Vậy phương trình (11) có nghiệm x = Điều kiện: x ≥ −2 (12) ⇔ (Toán học và tuổi trẻ 365/2007) (12) Lời giải: p p 2(x + 8) = (x + 2)(x − 2x + 4) Vì x = −2 không là nghiệm phương trìnhs (12) ta viết phương trình dạng: htt p 2(x + 8) = s Vì (x + 2)2 (x − 2x + 4) s x +2 ⇔ x2 + = 5(x + 2) x − 2x + 2x + s ⇔ x2 + −2 = 5(x + 2) (120 ) x − 2x + −2 2x + x − 2x + + > Suy ra: 2x + editor latex ChauNgocHung (7) s µ s x − 2x + x − 2x + − +2 2x + 2x + x − 10x − 12 (12 ) ⇔ = s 5(x + 2) x − 2x + +2 2x + x − 10x − 12 x − 10x − 12 ⇔ = s µ ¶ 5(x + 2) x − 2x + (2x + 4) +2 2x + p p Nếu x − 10x − 12 = ⇔ x = + 37 svà x = − 37 ¶µ ¶ ath x − 2x + + ( Phương trình này vô nghiệm) 2x + p p Vậy phương trình (12) có nghiệm là x = + 37 và x = − 37 Nếu x − 10x − 12 6= Suy ra: = htt p:/ /b ox m Sau đây là số bài tập dành cho bạn đọc Giải các phương trình sau: p p ?) x + + = 3x + x + 15 ( Đề đề nghị Olympic 30-4) p p ?) x + (3 − x + 2)x = + x + ( Đề đề nghị Olympic 30-4) p ?) 2(x − 3x + 2) = x + ( Đề đề nghị Olympic 30-4) p ?) 2x + 5x − = x − ( Đề đề nghị Olympic 30-4) p ?) x − 3x + (x + 2)3 − 6x = ( Toán học và tuổi trẻ) p ?) 2x − 11x + 21 − 4x − = ( Thi HSGQG, năm 1995, bảng B) editor latex ChauNgocHung (8)