Để bước thứ hai được thực hiện tốt, cần thiết phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải các bài toán trong nội bộ vectơ như là: phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương, phân tích[r]
(1)Tham luận: CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG VECTƠ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Trong chương trình hình học hành Vectơ có vai trò khá quan trọng Nó vừa là đối tượng nghiên cứu, vừa là công cụ để xây dựng số nội dung khác (hệ thức lượng tam giác, phương pháp tọa độ mặt phẳng, quan hệ vuông góc không gian,…) Hơn thế, vectơ có nhiều ưu điểm việc giải số dạng toán là: Chứng minh thẳng hàng, đồng phẳng, song song, vuông góc, tính độ dài,… Tuy nhiên đứng trước bài toán hình học có thể giải vectơ, học sinh thường lúng túng “không biết đâu” Vì cần thiết hình thành cho học sinh phương pháp giải các bài toán hình học vectơ Trong tham luận này tôi điển hình dạng toán là Chứng minh ba điểm thẳng hàng I Các bước giải bài toán hình học vectơ Các bước giải bài toán hình học vecto Dịch các tính chất bài toán sang ngôn ngữ vectơ Giải bài toán nội vectơ Kết luận (dịch lại ý ngĩa hình học từ kết thu được) Ví dụ : Cho tam giác ABC, có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp là O Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng Giải Dịch bài toán sang ngôn ngữ vectơ Ngôn ngữ hình học H là trực tâm tam giác ABC và Ngôn ngữ vectơ ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=⃗ OH O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam GT giác ABC G là trọng tâm tam giác ABC ⃗ ⃗ GA+ ⃗ GB+ ⃗ GC=O ⃗ MA+ ⃗ MB+ ⃗ MC=3 ⃗ MG thể chọn M KL Ba điểm O, G, H thẳng hàng (M là tùy ý) ta có O Việc lựa chọn này là dựa vào phân tích KL bài toán Có số m: ⃗ OH=m ⃗ OG (2) Chọn các vectơ ⃗ OA , ⃗ OB , ⃗ OC ta tạm gọi đây là các vectơ sở, ta phân OH , ⃗ OG theo ba vectơ ⃗ OA , ⃗ OB , ⃗ OC tích hai vectơ ⃗ Lời giải sau: Vì H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có (1) ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=⃗ OH (H1) G là trọng tâm tam giác ABC nên ⃗ OA+ ⃗ OB+ ⃗ OC=3 ⃗ OG (Ta chọn M O) (2) OH=3 ⃗ OG Từ (1) và (2) ta suy ⃗ Kết luận OH=3 ⃗ OG suy hai vectơ ⃗ OH , ⃗ OG cùng phương suy ba điểm O, G, H Từ ⃗ thẳng hàng Một số chú ý a Trong các bước trên, việc chuyển đổi ngôn ngữ bước đầu tiên là khâu quan trọng Có thể từ bước này ta định hướng cách giải bài toán Chẳng hạn bài toán trên, sau phân tích ta có thể thấy việc chọn điểm M O là giải bài toán Để giúp học sinh chuyển đổi ngôn ngữ tốt dạy giáo viên nên kết hợp dạy các biểu thức vectơ với việc nắm ý nghĩa hình học chúng đồng thời cố gắng mô tả chúng các hình ảnh trực quan Đây là việc kết hợp cái trừu tượng với cái cụ thể Điều này giúp học sinh khắc sâu kiến thức Ví dụ: Ý nghĩa hình học I là trung điểm đoạn thẳng AB Biểu thức vectơ Hình biểu diễn A I B ⃗ IA=− ⃗ IB; ⃗ AI=⃗ IB= ⃗ AB ; ⃗ IA + ⃗ IB=⃗ O ; ⃗ ⃗ ⃗ MA+ MB=2 MI (M là tùy ý) G là trọng tâm A ⃗ AG= ⃗ AA '=2⃗ GA ' (AA’ là trung tam giác ABC tuyến) G ⃗ GA+ ⃗ GB+ ⃗ GC=0⃗ B A’ ⃗ MA+ ⃗ MB+ ⃗ NC=3⃗ MG (M là tùy ý) ⃗ Bốn điểm O, A, B, C (Ba vecto OC=x ⃗ OA + y ⃗ OB ⃗ đồng phẳng OA , ⃗ OB , ⃗ OC đồng phẳng) … … … C (3) Bảng 1: Bảng tra cứu Biểu thức vectơ ↔ Ý nghĩa hình học b Để bước thứ hai thực tốt, cần thiết phải rèn luyện cho học sinh kỹ giải các bài toán nội vectơ là: phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương, phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, các bài toán tính tổng, hiệu các vectơ,… Cũng bước này, ta thường chọn hệ các vectơ sở, phân tích các vectơ khác theo hệ vectơ sở đó Sau đó tiến hành giải toán nội vectơ Khi chọn các vectơ sở ta nên chọn cho các vectơ khác phân tích theo chúng thuận lợi Kỹ thuật này có thể tích góp qua kinh nghiệm giải toán Chẳng hạn, hình tam giác ABC ta chọn hệ các vectơ sở là ⃗ AB , ⃗ AC (xuất phát từ đỉnh), hình tứ diện ABCD ta AB , ⃗ AC , ⃗ AD , hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ ta chọn ⃗ AB , ⃗ AC , ⃗ AA ' , hình chọn ⃗ AB , ⃗ AC , ⃗ AA ' , … hộp ABCD.A’B’C’D’ ta chọn ⃗ II Chứng minh ba điểm thẳng hàng vectơ Phương pháp chứng minh ba điểm A, B, M thẳng hàng PP 1: Chứng minh hai vectơ ⃗ AB , ⃗ AM cùng phương PP 2: Chứng minh ⃗ OM=k ⃗ OA +l ⃗ OB với k + l = 1, O là điểm tùy ý Một số bài toán áp dụng Bài toán 1: Cho tam giác ABO Các điểm C, D, E nằm trên đường thẳng AB, BO, OA cho AC = 2AB, OD = OE= OA OB, (H2) Chứng minh ba điểm C, D, E thẳng hàng (H2) Giải Dịch bài toán sang ngôn ngữ vectơ Ngôn ngữ hình học Các điểm C, D, E nằm trên đường GT thẳng AB, BO, OA cho AC = 2AB, Ngôn ngữ vectơ 1 ⃗ OD= ⃗ OB , ⃗ OE= ⃗ OA AC=2 ⃗ AB , ⃗ 1 OB, OE= OA KL ba điểm C, D, E thẳng hàng Có số m: ⃗ DE=m ⃗ DC OA , ⃗ OB Lời giải sau: Chọn các vectơ sở là ⃗ OD = Đặt ⃗ OA=⃗a , ⃗ OB= ⃗b (4) ⃗ CD=⃗ OD − ⃗ OC Vì ⃗ AC=2 ⃗ AB nên ⃗ OC − ⃗ OA=2 (⃗ OB −⃗ OA ) ⇔⃗ OC=− ⃗ OA +2 ⃗ OB ¿ − a⃗ + b⃗ Vậy ⃗ CD=⃗ OD − ⃗ OC= ⃗ OB −2 b⃗ + ⃗a=⃗a − ⃗b 2 (1) 1 ⃗ DE=⃗ OE − ⃗ OD= ⃗a − ⃗b (2) DE= ⃗ CD Từ (1) và (2) suy ⃗ Vậy ba điểm C, D, E thẳng hàng Bình luận: Bài toán này có thể giải cách qua B kẻ đường thẳng d qua trung điểm EA và chứng minh d // ED và d// EC Cách này không quá khó HS đôi HS không nhìn phải vẽ thêm đường phụ d Vã lại việc phải vẽ thêm đường phụ để chứng minh bài toán hình học là không đơn giản, HSG Bài toán 2: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh DC chọn điểm E cho DE= DC n và trên cạnh DB chọn điểm F cho DF= DB n+1 với n > Chứng minh ba điểm A, F, E thẳng hàng Giải Ngôn ngữ hình học GT ABCD là hình bình hành E thuộc DC: DE= DC F thuộc DB: DF= DB KL A, E, F thẳng hàng Chọn các vectơ sở là Ngôn ngữ vectơ ⃗ AD=⃗ BC ; ⃗ AB=⃗ DC ⃗ DE= ⃗ DC ⃗ D F= ⃗ DB Có số k cho ⃗ AF=k ⃗ AE ⃗ ⃗ AB , AD Ta có lời giải sau: a Đặt ⃗ AB=⃗a , ⃗ AD=⃗b DE= ⃗ DC Từ ⃗ n ⇔⃗ DA+ ⃗ AE= ⃗ DC n ⇔⃗ AE=⃗ AD+ ⃗ DC n b ⇔⃗ AE= a⃗ + b⃗ n (H3) (1) (5) ⃗ DF= DB Từ ⃗ n+1 ⇔⃗ AF= ⇔ ⃗ ⃗ ⇔⃗ DA+ ⃗ AF= ( AB − AD ) n+1 ⃗ ⃗ ⃗ ( AB− AD ) + AD n+1 n ⃗ = ⃗ AF= a⃗ + b n+1 n+1 ⃗ ⃗ ⃗ AB − AD+ AD n+1 n+ ¿ n ⃗a + b⃗ n+1 n ( n ⃗ ⃗ AF= AE n+1 Từ (1) và (2) suy ) (2) hay ba điểm A, E, F thẳng hàng Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, CB và G là trung điểm đoạn MN Gọi A’ đường thẳng AG và mp(BCD) Chứng tỏ GA = 3GA’ Giải AB , ⃗ AC , ⃗ AD Lời giải bài toán sau: Chọn các vectơ sở là ⃗ Đặt ⃗ AB=⃗a , ⃗ AC=⃗b , ⃗ AD=⃗c Vì A '=AG ∩(BCD) nên A ' ∈(ABN) và A ' ∈( BCD) Ta có ba điểm B, A’, N thuộc hai mặt phẳng phân biệt là (ABN) và (BCD) nên B, A’, N cùng nằm trên đường thẳng Giả sử ⃗ BA ' =k ⃗ BN 1 AG=⃗ AM+ ⃗ AN= ⃗ AB+ ( ⃗ AC+ ⃗ AD ) Ta có ⃗ 2 1 ⇔⃗ AG= ( ⃗ AB+ ⃗ AC+⃗ AD )= ( ⃗a + b⃗ + ⃗c ) 4 ⃗ AA '=⃗ AB+⃗ BA '=⃗ AB+ k ⃗ BN=⃗ AB+k (⃗ AN −⃗ AB ) (H4) = 1 1 ⃗ AB+ k (⃗ AN − ⃗ AB )=⃗a +k ⃗ AC+ ⃗ AD − ⃗ AB =⃗a +k ⃗b + c⃗ − a⃗ 2 2 ( ) ( ) k k ⃗ AA '=( 1− k ) ⃗a + b⃗ + ⃗c 2 AA ' =m ⃗ AG Vì ba điểm A, A’, G thẳng hàng nên có số m cho ⃗ (6) ⇔ m k m = ⇔ ¿k= m= ¿{ 1− k = ( ⃗a + b⃗ +⃗c ) = ( 1− k ) ⃗a + k b⃗ + k ⃗c 2 AA ' = ⃗ AG suy ⃗ GA=−3 ⃗ GA ' hay GA = 3GA’ Vậy ⃗ Bình luận: Đây là bài toán chương quan hệ song song (Bài tập 3, trang 60, SGK HH 11CB) Vì HS đã có cánh giải (không dùng vectơ) Với cách giải đã biết đó ta dễ dàng xác định A’ chính là giao điểm AG và BN Tuy nhiên bài toán này, yêu cầu chứng tỏ GA = 3GA’ nằm sau câu b) (Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) M’ Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N) Câu b) là gợi ý để ta có thể chứng tỏ GA = 3GA’ Bằng PPVT ta xác định chính xác vị trí các điểm A’, G mà không cần qua câu b Đây là minh chứng cho mạnh vectơ giải toán hình học Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm thuộc các đoạn AB và CD cho MA=2 MB , MN, BC cho ND=2 NC ; Các điểm I, J, K thuộc các đoạn AD, IA=k ID , JM=k JN , KB=k KC Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng Giải OA+2 OB OM= Vì ⃗ MA=−2 ⃗ MB nên với điểm O thì ⃗ ⃗ ⃗ Tương tự ⃗ OD+2 ⃗ OC ⃗ ON= ; ⃗ OA −k ⃗ OD ⃗ OI= ; 1− k ⃗ ⃗ OB − k ⃗ OC OM − k ⃗ ON ⃗ OK= OJ= ; ⃗ 1−k −k (H5) (7) Từ đó, ta có 1 ⃗ ⃗ ⃗ OJ= ( OA +2 OB −k ⃗ OD −2 k ⃗ OC ) 1−k = 1 [ ( 1− k ) ⃗ OI+2 (1 − k ) ⃗ OK ] 1−k = ⃗ ⃗ 1⃗ 2⃗ ( OI+2 OK )= OI+ OK 3 Mặt khác + =1 3 Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng Trên đây là số kinh nghiệm than, mong quý đồng nghiệp đóng góp thêm! Thực Nguyễn Phúc Đan Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Tam, Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm, 2007 (8) (9) (10)