Biết vận dụng linh hoạt các hệ thức trong tam giác vuông để tính một số yếu tố hoặc để giải tam giác vuông Dựng một góc nhọn - Chứng minh các đẳng thức - Rút gọn biểu thức - Tính khoảng [r]
(1)Chuyên đề 30: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN I Mục tiêu: 1/Kiến thức bản: Hình thành các công thức định nghĩa các tỉ số lượng giác góc nhọn Quan hệ các tỉ số này hai góc phụ Sử dụng bảng số máy tính bỏ túi để tính các tỉ số lượng giác biết góc ngược lại tìm góc biết các tỉ số lượng giác nó Từ định nghĩa các tỉ số lượng giác góc nhọn, xây dựng các hệ thức các cạnh và góc tam giác vuông Bên cạnh các hệ thức này, đầu chương còn xây dựng các hệ thức lượng cạnh và đường cao, cạnh và hình chiếu cạnh,… tam giác vuông Aùp dụng các nội dung trên để tính chiều cao và khoảng cách vật thể thực tế Nắm vững các công thức định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn Hiểu và nắm vững các hệ thức liên hệ cạnh, góc, đường cao, hình chiếu tam giác vuông Hiểu cấu trúc bảng lượng giác Nắm vững cách sử dụng bảng lượng giác máy tính bỏ túi để tính “xuôi” và tính “ngược” Hiểu cách giải thích kết các hoạt động thực tế Cụ thể : 1/ Định nghĩa TSLG góc nhọn 2/ Hệ thức các tỉ số LG hai góc phụ 3/ Chú ý: a/ sin2α + cos2α = sin α cos α tg α d/ sin α = 1+ tg α cos α sin α e/ cos α = 1+ tg α =1+cot g α k/ sin α b/ tgα = c/ f/ tgα cotgα = l/ =1+ tg α , cos α cot gα= ( C/M các hệ thức nầy) 4/ Hệ thức các cạnh và góc tam giác vuông ( từ định nghĩa suy ra) 5/ Giải tam giác vuông 6/ Ứng dụng thực tế tỉ số LG góc nhọn ( Đo chiều cao, đo khoảng cách, đo diện tích) 7/ Viết tỉ số LG các góc đặc biệt ( 0o 30o, 45o, 60o, 90o… ) 8/ Sử dụng thạo máy tính bỏ túi tìm tỉ số LG góc nhọn, tìm góc nhọn biết tỉ số LG nó… 9/ Khái niệm đường tròn lượng giác để liên hệ, nhận biết sâu sắc tỉ số LG góc nhọn ( giới hạn phần tư thứ nhất) 2.Kỹ cần rèn: Biết cách lập các tỉ số lượng giác góc nhọn cách thành thạo Sử dụng thành thạo bảng lượng giác máy tính bỏ túi để tính các tỉ số lượng giác tính góc Biết vận dụng linh hoạt các hệ thức tam giác vuông để tính số yếu tố để giải tam giác vuông Dựng góc nhọn - Chứng minh các đẳng thức - Rút gọn biểu thức - Tính khoảng cách Tính chiều cao - Tính diện tích tam giác -Tính độ dài đoạn thẳng … (2) II.Các dạng bài toán nâng cao:(Trắc nghiệm & tự luận) Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức: a) (sinx + cosx)2 = + 2sinx.cosx b) (sinx – cosx)2 = – 2sinx.cosx c) sin4x + cos4x = – 2sin2x cos2x d) sinxcosx(1 + tgx)(1 + cotgx) = + 2sinx cosx e) Cho là góc nhọn tam giác vuông Chứng minh các hệ thức: tg α ; i) sin α = 1+ tg α ii) cos2 α = 1+ tg α Dạng 2: Dựng góc nhọn biết tỉ số LG nó Dựng góc nhọn α, biết rằng: sinα = ; cosα = 0,8 ; tgα = Dạng 3: Đổi các tỉ số LG góc nhọn thành tỉ số LG góc nhỏ 45o Đổi các tỉ số lượng giác các góc nhọn sau đây thành tỉ số lượng giác góc nhỏ o 45 sin82o; cos47o; sin48o; cos55o Dạng 4: Xếp thứ tự từ nhỏ đến lớn các tỉ số LG đã cho a) Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Hãy tính các tỉ số lượng giác góc B, C b) Xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn các tỉ số lượng giác sau: sin78o; cos14o; sin47o; cos87o Dạng 5: Biết sinα Tính cosα 1) Biết sinα = 0,6 Tính cosα và tgα 2) Biết cosα = 0,7 Tính sinα và tgα 3) Biết tgα = 0,8 Tính sinα và cosα , tính P = 3sin2x + 4cos2x 5) a) Cho góc nhọn mà sin = Tính cos và tg b) Cho góc α mà cosα = Tính sinα, tgα và cotgα c) Cho tgx = √ Tính sinx và cosx 4) Biết cosx = 6) Hãy tính sinα, tgα nếu: a) 7) cos α = 12 13 Biết sin 15o = b) cos α = √6 − √ Tính tỉ số lượng giác góc 15o Dạng 6: Các biểu thức dạng chứng minh biết số điều kiện bài toán ( áp dụng các hệ thức đểõ chứng minh các đẳng thức khác) Ví dụ: 1/ Cho các góc α, nhọn, α < Chứng minh rằng: a) cos( -α) = coscosα + sinsinα b) sin( - α) = sincosα - sinsinα 2) Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng: (3) sin a) A B C sin sin ≤ 2 cos A+cos B+ cos C ≤ b) 3) Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh là a, b, c Chứng minh rằng: c = a2 + b2 – 2ab.cosC (AB = c, BC = a, CA = b) Gợi ý: Ta có: AHC có H = 90o đó x2 + h2 = b2 ( định lý Pytago) Mặt khác: BH2 = AB2 – AH2 Hay (a – x)2 = c2 – h2 a2 + x2 -2ax = c2 – (b2 – x2) Hay a2 – 2ax = c2 – b2 c2 = a2 + b2 – 2ax Vậy c2 = a2 + b2 – 2abcosC 4) a/ Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 10cm, AC = 8cm Tính sinB, cosB, tgB b/ Cho tam giác ABC có AD, BE, CF là đường cao Chứng minh rằng: AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC Dạng 7: Chứng minh các đẳng thức sau: a) Chứng minh sin2α + cos2α = 1, tgα = b) sin α cos α 1 + =1 1+ tg α 1+ cot gα c) sin4x – cos4x = 2sin2x – d) e) 1 + =¿ tg2x + cotg2x + 2 sin x cos x 1+sin α =1+2 tg α , −sin α f) Cho α, là hai góc nhọn Chứng minh rằng: cos2α – cos2 = sin2 - sin2α = 1 2 1+ tg α 1+ tg β Gợi ý: cos2α + sin2α = cos2 + sin2 = 1 = 1+ tg α sin α 1+ cos α sin α , a) tgα = cos α ( ) =cos α cos α+ sin α cos2 α cos α cotgα = sin α = b) a2 – b2 = (a + b)(a – b) c) Chứng minh rằng: và sin2x + cos2x = 1 =1+cot g2 α sin α và =1+ tg α cos α Dạng 8: Rút gọn biểu thức: 1) sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o Gợi ý : b) sin80o = cos10o; sin70o = cos20o; sin60o = cos30o Mà sin2α + cos2α = Do đó: sin210o + sin220o + sin230o + sin280o + sin270o + sin260o = … = 2) sin6x + 3sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + cos6x (4) 3) (1 + cosα)(1 – cosα) – sin2α 4) Đơn giản các biểu thức: A = cosy + siny tgy B = √ 1+ cos b √ 1− cos b C = sin a √ 1+ tg a 5) Tính: a) cos2 12o + cos2 78o + cos2 1o + cos2 89o b) sin2 3o + sin2 15o + sin2 75o + sin2 87o 6) Đơn giản biểu thức: A = sin(90o – x)sin(180o – x) B = cos(90o – x)cos(180o – x) Dạng 9: Bài toán cực trị Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc Tìm giá trị nhỏ tổng 1 + tgB tgC Dạng 10: Giải các tam giác vuông C, biết rằng: a) b = 10cm, A = 30o ; b) c = 20cm, B = 35o ; c) a = 21cm, b = 18cm; d) a = 82cm, A = 42o Dạng 11: Tính khoảng cách - Tính chiều cao - Tính diện tích tam giác - Tính độ dài đoạn thẳng - C /m các hệ thức tam giác… :Bằng cách áp dụng tỉ số LG góc nhọn BT 1: Cho tam giác ABC có AB = 26cm, AC = 25cm, đường cao AH = 24cm Tính cạnh BC BT 2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) và đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB và AC B và C Từ điểm M trên cung nhỏ BC (M khác B và C) kẻ MD, ME, MF vuông góc với các đường thẳng BC, CA, AB 1/ Chứng minh các tứ giác MDBF, MBCE nội tiếp 2/ Chứng minh các tam giác DBM và ECM đồng dạng 3/ Cho góc BAC = 60o và AB = 2, tính bán kính đường tròn tâm O BT 3: Một sông rộng 250m Một đò chèo vuông góc với dòng nước, vì nước chảy nên bơi 320m sang tới bờ bên Hỏi dòng nước đã giạt đò lệch góc bao nhiêu BT 4: a) Cho tam giác ABC có A nhọn Chứng minh rằng: b) SABC = AB AC sin A Gợi ý : Vẽ BH là đường cao tam giác ABC BH = ABsinBAH; S ABC = BH.AC c) Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD O và AOB nhọn Chứng minh rằng: SABCD = AC.BD.sin AOB BT 5: Cho điểm A nằm bên dãy tạo hai đường thẳng song song d và m B và C Xác định vị trí B và C Xác định vị trí B và C để diện tích tam giác ABC nhỏ (5) BT 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Chứng minh rằng: a) 1 + =√ AB AC AD b) 1 + 2≤ AB AC AD BT 7: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a a) Tính sin B+ cos B sin B − cos B b) Tính chiều cao hình thang ABCD BT 8: Cho tam giác ABC Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm a) Chứng minh tam giác ABC vuông; b) Tính sinB, sinC BT 9: Cho hình thang ABCD Biết đáy AB = a và CD = 2a ; cạnh bên AD = a, góc A = 90o a) Chứng minh tgC = ; b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD ; c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC BT 10: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao tam giác ABC a) Chứng minh: ANL ~ ABC ; b) Chứng minh: AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosAcosBcosC III.Tài liệu tham khảo: 1/ Giúp em giỏi Hình học lớp Nguyễn Đức Tấn – Võ Tất Lộc 2/ Sách giáo khoa Hình học Lớp 10 – Xuất năm 2000 3/ Hình học lớp nâng cao Vũ Hữu Bình (6)