MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Sau khi xem xong tạp chí Toán Tuổi thơ 2 số 5 tháng 7 năm 2003, tôi rất tâm đắc với các bài toán phân tích đa thức thành nhâ[r]
(1)GIẢI TOÁN THẾ NÀO ? MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Sau xem xong tạp chí Toán Tuổi thơ số (tháng năm 2003), tôi tâm đắc với các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử Do đó tôi mạnh dạn trao đổi với bạn đọc vấn đề vận dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử vào giải số dạng toán bậc THCS Rút gọn các biểu thức đại số Bài toán : Rút gọn : với ab ≠ Lời giải : Bài toán : Rút gọn : Lời giải : Chứng minh bất đẳng thức Bài toán : Cho ΔABC với góc A ≥ góc B ≥ góc C Chứng minh : (2) Lời giải : Hạ AH vuông góc với BC ; BI vuông góc với AC Ta có AH = ha, BI = hb Dễ thấy tam giác vuông AHC và BIC đồng dạng và chung góc C => ha/hb = AH/BI = b/a áp dụng điều tương tự ta có : Vì góc A ≥ góc B ≥ góc C tương đương với a ≥ b ≥ c nên (**) đúng, tức là (*) chứng minh Giải phương trình và bất phương trình Bài toán : Giải phương trình : 4x3 - 10x2 + 6x - = (1) Lời giải : (1) 4x3 - 2x2 - 8x2 + 4x + 2x - = tương đương 2x2(2x - 1) - 4x(2x 1) + (2x - 1) = hay (2x - 1)(2x2 - 4x + 1) = Bài toán : Giải phương trình : (3) Lời giải : Ta có : Vậy phương trình (2) có nghiệm là x = Bài toán : Giải bất phương trình : 7x3 - 12x2 - < (3) Lời giải : (3) 7x3 - 14x2 + 2x2 - < tương đương với 7x2(x - 2) + 2(x2 - 4) < hay (x - 2)(7x2 + 2x + 4) < tương đương với (x - 2)[6x2 + + (x + 1)2] < hay x - < => x < Vậy bất phương trình (3) có nghiệm là x < Một số bài toán khác Bài toán : CMR : với a, b ≠ ; a ≠ b ; a, b ≠ 1/2 thì a + b + 3/2 = 1/a + 1/b Lời giải : (*) tương đương : a2b - 2a3b - 2b2 + 4ab2 = b2a - 2ab3 - 2a2 + 4a2b hay : 3ab2 - 3a2b - 2a3b + 2b3a - 2b2 + 2a2 = 3ab(b - a) + 2ab(b2 - a2) - 2(b2 - a2) = (b - a)[3ab + 2ab(b + a) - 2(a + b)] = Vì a ≠ b => b - a ≠ nên hệ thức trên tương đương với : 3ab + 2ab(b + a) - 2(a + b) = Do a.b ≠ => 3/2 + a + b - (a + b)/ab = => : a + b + 3/2 = 1/a + 1/b (đpcm) Bài toán : Chứng minh : n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 với "n thuộc N (4) Lời giải : Xét M = n2 + 11n + 39 = n2 + 2n + 9n + 18 + 21 = (n + 2)(n + 9) + 21 Có (n + 9) - (n + 2) = => n + và n + cùng chia hết cho không cùng chia hết cho - Nếu n + và n + cùng chia hết cho thì (n + 9)(n + 2) chia hết cho 49 mà 21 không chia hết cho 49 nên M không chia hết cho 49 - Nếu n + và n + không cùng chia hết cho thì (n + 9)(n + 2) không chia hết cho mà 21 chia hết cho nên M không chia hết cho 49 Vậy n22 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Sau đây là số bài tập để các bạn thử vận dụng : Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : x6 - x4 + 2x3 + 2x2 = y2 Cho ab ≥ Chứng minh : 1/(1 + a2) + 1/(1 + b2) ≥ 2/(1 + ab) Chứng minh với số nguyên lẻ n thì (n86 - n4 + n2) chia hết cho 1152 Phạm Văn Chiến (GV trường THCS Xuân Phong, Xuân Trường, Nam Định) (5)