(Sáng kiến kinh nghiệm) một số phương pháp xét chiều biến thiên của hàn số dành cho học sinh lớp 10

Mục lục Số tt Nội dung A Mở đầu Trang 2 I Lý chọn đề tài II Mục đích B Nội dung I Cơ sở lý luận Các giai đoạn của việc hình thành kỹ giải bài tập toán Các kỹ giải bài tập toán II kỹ thuật xét chiều biến thiên hàm số Đa thức hoá 10 Dùng điểm rơi bất đẳng thức để tìm khoảng đơn điệu 11 Sử dụng phương pháp  tiếp cận  giới hạn đạo hàm  12 Một số tập tham khảo 12 13 Chú giải 13 14 Tài liệu tham khảo  13 15 C Kết luận 14 A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Toán học có vị trí cực kỳ quan trọng đời sống, các trường học vì nó có khả to lớn, góp phần thực hiện mục tiêu đào tạo người “làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư sáng tạo, có kỹ thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức và kỹ thuật Toán học ở trường trung học phổ thông còn là môn học tương đối khó đối với học sinh Để các em tiếp cận được với kiến thức thường phải thông qua các bài tập, các dạng bài tập cụ thể là một những nguồn để hình thành kiến thức cho học sinh Giải bài tập toán cũng giúp học sinh tìm kiếm những kiến thức và kỹ mới Thông qua các bài tập toán, các dạng toán học sinh sẽ được hình thành củng cố kiến thức, kỹ giải toán, rèn luyện phát triển tư sáng tạo Do vai trò của toán học đời sống, khoa học và công nghệ hiện đại, các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả mọi lĩnh vực Tuy nhiên với thời gian lớp không nhiều mà các em lại phải làm quen với nhiều dạng bài tập toán học khác thì là vấn đề không đơn giản Là một giáo viên hiện dạy toán ở trường trung học phổ thông thấy học sinh thường gặp những vấn đề sau: Không nắm được các dạng bài tập, chưa định hướng được cách giải, lúng túng trình bày lời giải, học xong quên các dạng bài tập Nhìn chung kỹ giải bài tập toán ở các em còn non yếu Trong chương trình toán lớp 10, phương pháp hàm số để giải toán cực trị - toán chứa tham số…là công cụ hiệu Tuy nhiên, học sinh biết tính biến thiên vài hàm đa thức phân thức đơn giản: bậc nhất, bậc hai, … ; toán liên quan đòi hỏi việc khảo sát số dạng hàm phức tạp mà công cụ đạo hàm lại vượt tầm tay học sinh lớp 10 Vì khuôn khổ của đề tài mà chỉ sâu phần “một số phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số dành cho học sinh lớp 10” II.MỤC ĐÍCH : Toán học là môn học rất phong phú và đa dạng mà trình độ còn hạn chế, tuổi nghề còn ít nên nghiên cứu với đề tài này với mục đích đơn giản là góp phần vào công tác giảng dạy và học tập được tốt Giúp các em biết nhận dạng bài tập để làm tốt, nâng cao chất lượng dạy – học môn toán Qua số toán đặc trưng, với kĩ thuật sơ cấp “biến khó thành dễ”, giúp học sinh dần hoàn thiện kiến thức hàm số tự tin vận dụng phương pháp hàm số B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Sự hình thành kỹ giải bài tập toán là một quá trình diễn suốt thời gian học tập toán học Quá trình này gồm các giai đoạn sau Các giai đoạn của việc hình thành kỹ giải bài tập toán: - Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để giải bài tập toán Khi học sinh giải những bài tập sơ đẳng này sẽ tạo nên những thao tác cần thiết để giải các bài toán đơn giản - Giai đoạn : Học sinh vận dụng kiến thức, thao tác đã có được để giải các bài toán bản - Giai đoạn : Học sinh vận dụng kiến thức, kỹ thao tác giải bài tập bản để giải các bài tập ở mức độ cao đó là các bài phân hoá với sự đa dạng phức tạp Các kỹ giải bài tập toán Trong quá trình phát triển tri thức ở học sinh thì các kỹ cũng mở rộng và phát triển theo II Kĩ thuật xét chiều biến thiên của hàm số Đa thức hố: Bài tốn 1 Tìm min, max biểu thức: P  | 2a  b |  | a  b | a b 2 Giải: Nếu a  0, b  : P = 2 Nếu a  : P  b b  1 a a b 1   a a Trong (; 1) : P  1 2x 1 x    x  1 x 1 x 2t t  2t  , với x b R a , với t   x  (3; ) ;( a  b  0) P  1 t2 t  1 5u  2u  , với u   (0; ) t Hàm số f (u )  5u  2u  (0;1/3) có tập giá trị [4/5;1) Vậy  P  5, x  1 b Trong  1; 2 : P   x2 Hàm số g ( x)   x  1; 2 có tập giá trị [1;5] Vậy  P  3, x   1; 2 c Trong (2; ) : P  2x 1 1 x  2t t  2t  , với t  x  1 (3; ) Thực tương tự trường hợp a/ ta có:  P  2, x  Tổng hợp kết quả, ta có: MaxP = 3, b  0, a  MinP = , b  2a Bài toán  2 Cho bất phương trình ( ẩn x ): mx  x    x  x Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm Giải: 0  x  2 * mx  x    x  x   (m  1) x  3 x  (1) 0  x   * x  không nghiệm (1) với m, (1)   m  x  x  1 1  t * Đặt t  , t  [ ; ) ; (1) trở thành:  x  m  2t  3t   * Xét hàm số f (t )  2t  3t  [ ; ) ; có tập giá trị [ 17 ; ) Kết luận: bất phương trình có nghiệm m   17 * Nhận xét: Việc “sáng tác” toán dạng đơn giản, cần lưu ý đến vị trí tham số kết biến đổi cuối  x  y  xy  m Bài tốn  3 Cho hệ phương trình :  2 x  y  m  (1) Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) thoả mãn: x  1, y  Giải :  x  y  xy  m * Hệ (1)   ( x  y )  xy  m S  P  m Đặt S  x  y; P  xy ta có hệ :  S  2P  m (2) ( x  1)( y  1)  P  S   x  1, y     x 1 y 1  S   S  P  m  S  2P  m  * Vậy yêu cầu tốn trở thành : Tìm m để hệ  S  P  có nghiệm (S,P) P  S     S   S  P  m P  S  m P  S  m     S  P  m S  2( S  m )  m S  S  m P  S  m        2  S  P   S  4( S  m)    S  4( S  S  S )   2S  S  m P  S 1  ( S  m)  S    S  2S       0  S  ; S    S   S    S   * Xét hàm số f (S )  2S  S [0 ;4/3]\{1} ; suy kết quả :  m  * Nhận xét : + Kỹ thuật toán phép biến tham số, đưa đa thức biến + Còn cách thể lời giải tương tự : đặt x   X ; y   Y với X > 0,Y > Dùng điểm rơi bất đẳng thức để tìm khoảng đơn điệu: Bài tốn  4 Xét chiều biến thiên hàm số: f ( x)  x   x2 Giải: * Tập xác định: D  (; 2)  (2; ) * Trong khoảng (2; ) : f ( x)  x       ,(bất đẳng thức Cô-si) x2 f ( x )   x  Xét chiều biến thiên khoảng (2;3) (3; ) : f (b)  f ( a)  ba ba a b (b  2)( a  2)  a  b <  1  ba (b  2)(a  2) 2 a b 3 Vậy f nghịch biến (2;3) đồng biến (3; )  * Tương tự, (; 2) : f ( x)     x         , f ( x )  1  x  2 x  Xét chiều biến thiên khoảng (1;2) (;1) , ta có f nghịch biến (1;2) đồng biến (;1) Nhận xét: Bài toán tổng quát: f ( x)  Ax  B  f1 ( x)  Ax  B f ( x)  C ; AC  xD C tính đơn điệu AC < 0, cụ thể: xD Nếu A   C : f đồng biến khoảng xác định Nếu A   C : f nghịch biến khoảng xác định Nếu AC  : Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có f ( x)  A( x  D)  C  B  AD  AC  B  AD ( f ( x )  2 AC  B  AD xD tuỳ theo A,C dương hay âm tuỳ theo x < -D hay x > -D)) dấu đẳng thức tại: x   D  C hai ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu A Chú ý: nên cho tập dạng f(x) có AC < để học sinh làm quen trước với dạng hàm Bài tốn  5 Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình x  (m  3) x  2m   (1) hệ bất phương trình x  3x  (2) Giải: * (2)   x   3 * (1) hệ (2) khi: x  (m  3) x  2m   thoả x  0;   2  3  3  m; x  0;   x  3x   m( x  2); x  0;   x   x2  2  2 * Áp dụng kết tốn 3, ta có chiều biến thiên f ( x)  x   x2  3 0;  f ( x)   Vậy m   Suy min 0;3/ 2 kết toán Bài toán  6 Xét chiều biến thiên hàm số : f ( x )  x  x   x  x  Giải :     * Áp dụng bất đẳng thức : | a |  | b || a  b | hay a  b  c  d  (a  c)  (b  d ) f ( x)  (1  x)  12  ( x  1)  2  2  32  13  ; f ( x )  13  1 x 1  0 x 1 x f (b)  f (a) ba2 ba2   A 2 ba (1  b)   (1  a)  (b  1)   ( a  1)  * Với a  b  1  : A  Với  a  b : A    Với 1  a  b   :   a  2(1  a) &   b  2(1  b)  ; đặt x   a, y   b, z   a, t   b;0  z  x,  t  y  A z t z 4 t 4 Tương tự với  x y y   x2   nên f nghịch biến (;1/ 3)  a  b  , ta có A > nên f đồng biến (1/ 3; ) 3 Sử dụng phương pháp  tiếp cận  giới hạn đạo hàm : Bài toán (Sử dụng lại toán 4) Xét chiều biến thiên hàm số: f ( x)  x   x2 Giải: * Tập xác định: D  (; 2)  (2; ) Với a, b  D : a  b   a  b , xét * Khi cho b  a f (b)  f (a )  1 ba (b  2)(a  2) f (b)  f (a )  1 ba (a  2) Kết nhận đạo hàm a f, từ dần hình thành khái niệm giới hạn đạo hàm, quan hệ chiều biến thiên dấu đạo hàm cho học sinh chuyên toán Cho 1 0 ( a  2) a  a  ,  ta có hai “điểm rơi” nói phương pháp Bài tốn Xét chiều biến thiên hàm số: f ( x)  x   x 1 Giải: * Tập xác định: D    ;1  1;  Với a, b  D : a  b   a  b , xét * Khi cho b  a f (b )  f ( a )  1 ba (b  1)(a  1) f (b)  f ( a) 1 ba (a  1) Kết nhận đạo hàm a f, từ dần hình thành khái niệm giới hạn đạo hàm, quan hệ chiều biến thiên dấu đạo hàm cho học sinh chuyên toán Cho 1 a  0 , (a  1) a  ta có hai “điểm rơi” nói phương pháp Nhận xét: Bài toán tổng quát: f ( x)  Ax  B  C ; AC  xD Với  D  a  b a  b   D : f (b )  f ( a )  ba A(b  a)  C (a  b) C (b  D)(a  D )  A ba (b  D)(a  D ) Nếu A   C : f đồng biến khoảng xác định Nếu A   C : f nghịch biến khoảng xác định 10 Nếu AC  : cho b  a f (b)  f (a ) C C  A   a  D  : ta có hai ba (a  D ) A ”điểm rơi” để xét khoảng đơn điệu Bài toán   Xét chiều biến thiên hàm số : f ( x)  x3  3x Giải : * Với a  b , xét A  f (b)  f (a )  a  ab  b  3(a  b) Cho b  a , ta có A  3a  6a ba b a Ta có hai “điểm rơi” Biến đổi A  (a  2)(a  )  (b  2)(b  ) * Nếu a  b   : A > Nếu  a  b  : A > Nếu  a  b  : A < * Vậy f đồng biến khoảng (;0);(2; ) nghịch biến khoảng (0;2) Nhận xét: Việc “điểm rơi” khơng khó, quan trọng qua việc xét dấu biểu thức f (b)  f (a ) ba củng cố cho học sinh kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức Có thể dùng bất đẳng thức Cơ – si để tìm điểm rơi: f ( x)  x3  x   x.x.(6  x)  4 , x  (0;3) , dấu = x = 2 f ( x)  x3  3x  x (3  x)  0, x  (0;3) , dấu = x = Tổng quát : f ( x )  ax  bx  cx  d ,(a  0) 11 Theo phương pháp 2 : Đặt x  t  b , biến đổi hàm số dạng 3a g (t )  at  mt  n  t (at  m)  n Dùng bất đẳng thức Cô – si cho 2at , at  m, at  m a < 0, 2at , at  m, at  m a > Suy điểm rơi  t   m b m hay x    ( tồn am < 0) 3a 3a 3a Một số tập tham khảo : BT1 Tìm m cho phương trình x  3x3  mx  3x   a có nghiệm b có nghiệm BT2 Tìm m cho bất phương trình   ( x  1)(5  x)  (mx  x  3)  thoả với x thuộc tập xác định BT3 Xét chiều biến thiên hàm số f ( x)  x(1  x  1) Áp dụng, giải bất phương trình : x +1 + x x + + ( x +1) x + x + < BT4 Tìm a để phương trình sau có nghiệm : 1- x - 2a x + = a 1- x BT5 Tìm m để hàm số f ( x)  BT6 Tìm m để hàm số f ( x)  x  3x  m nghịch 2x  biến (-1;1) x2  x  m đồng biến (-2;1) x 1 Chú giải 1 : Trích từ báo tốn học tuổi trẻ số 254  2 : Trích từ tốn nâng cao 10 Phan Huy Khải  3 : Trích từ tốn sơ cấp Lê Đình Thịnh  4 : Trích từ sách giáo khoa 12 giáo dục 12 x +3 + a  5 : Trích từ tốn sơ cấp Lê Đình Thịnh  6 : Trích từ đề thi tuyển sinh đại học năm 1996 giáo dục   : Trích từ sách giáo khoa 12 giáo dục Tài liệu tham khảo Báo toán học tuổi trẻ Toán nâng cao 10 (Phan Huy Khải) Tốn sơ cấp (Lê Đình Thịnh) Đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 1996 giáo dục C KẾT LUẬN Phương pháp hàm số có hiệu ứng tốt nhiều tốn đại số chương trình phổ thơng, vấn đề tuỳ theo đối tượng học sinh cấp lớp mà giáo viên vận dụng cách hiệu 13 Các phương pháp nêu “ cầu kì”,” lằng nhằng” học sinh lớp 12, lại thú vị học sinh lớp 10 chuyên toán mà người viết giảng dạy thể nghiệm Hầu hết học sinh nắm “ kĩ thuật” trên, biết vận dụng cách sáng tạo hiệu toán đại số mà lời giải phức tạp biết dùng phương pháp truyền thống, tuý đại số Đề tài thân tơi đồng nghiệp đơn vị thí điểm em học sinh có học lực trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt thành tích tốt qua đợt thi học sinh giỏi vừa qua Vì tác dụng tích cực việc bồi dưỡng học sinh giỏi nên kính mong hội đồng khoa học quý thầy góp ý bổ sung để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng q trình dạy học trường THPT Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép người khác Xin chân thành cảm ơn! Xác nhận Thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Người viết Lê Đình Hải 14 ... sát số dạng hàm phức tạp mà công cụ đạo hàm lại vượt tầm tay học sinh lớp 10 Vì khuôn khổ của đề tài mà chỉ sâu phần ? ?một số phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số dành cho học sinh. .. hệ chiều biến thiên dấu đạo hàm cho học sinh chuyên toán Cho 1 0 ( a  2) a  a  ,  ta có hai “điểm rơi” nói phương pháp Bài toán Xét chiều biến thiên hàm số: f ( x)  x   x 1 Giải: *... dạy – học mơn toán Qua số tốn đặc trưng, với kĩ thuật sơ cấp ? ?biến khó thành dễ”, giúp học sinh dần hoàn thiện kiến thức hàm số tự tin vận dụng phương pháp hàm số B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ