b Tìm tất cả các nghiệm thực của hệ phương trình sau:.. Tính tích phân:.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TOÁN PHỔ THÔNG http://toanphothong.vn Môn: TOÁN NGÀY 02.12.2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) n o h t o n v g Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − 3(m + 2)x + (m + 1)x + m + 2, có đồ thị là (C m ) và m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C −1 ) m = −1 b) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C m ) và trục tung, biết giao điểm này cùng với hai điểm B (2; −3),C (4; 1)tạo thành tam giác cân B Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: h p n a o /t cos 3x − sin 3x − = cos x − cos x + b) Tìm tất các nghiệm thực hệ phương trình sau: Câu (1 điểm) Tính tích phân: Z I= x (1 + e x ) + ln x + (x ln x + e x )2 ( ¡ ¢ 9x y − 24y + 27x + 40 y + 3x − 16 = y + (9x − 10) y + (x + 3) = dx p a Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D là hình bình hành, AB = , BC = 2a và tam giác AB D cân B Gọi G là trọng tâm tam giác AB D , M , N là trung điểm SB, SC và SG = SB = SC Biết góc tạo hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC D) là 60◦ Tính theo a thể tích khối chóp G.M N D và khoảng cách hai đường thẳng D M , SN t h / : Câu (1 điểm) biểu thức: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện a + 18b = a + 16b Tìm giá trị nhỏ P = a +b + 16 ab PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y,cho hình thang ABC D vuông Aµ và D , biết C D = 2AB Gọi H là ¶ htt p:/ /to a hình chiếu vuông góc D lên AC , M là trung điểm HC Biết B (8; 4), M 82 ; và phương trình cạnh 13 13 AD là x − y + = Tìm tọa độ các đỉnh A, C , D hình thang b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox y z, cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P ) : x + 2y + 2z − = Hãy lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là A , biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn x y z (C ) tiếp xúc với đường thẳng (d ) : = = −1 µ Câu 7A (1 điểm) Cho khai triển P (x) = p x 2n n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện B Theo chương trình nâng cao −2 ¶4n với x 6= Tìm số hạng không chứa x khai triển biết x 2n ¡ ¢ 2nC n0 + 5(n − 1)C n1 + 13(n − 2)C n2 + · · · + 2n−1 + 3n−1 C nn−1 = 1685 +p np ho tho ng Câu 6B (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y, cho hai đường tròn (C ) : (x −4)2 +(y −6)2 = 13 và (C ) : (x −6)2 + y = 25 cắt A, B với điểm A có hoành độ dương Một đường thẳng qua A cắt (C ), (C ) M , N Gọi d1 là tiếp tuyến M (C ), d2 là tiếp tuyến N (C ) Biết d1 và d2 cắt I Tìm tọa độ điểm I bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác I M N lớn b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox y z, cho đường thẳng (d1 ) : x −1 y −2 z −3 = = và đường thẳng −5 .vn x +3 y z −2 = = cắt A Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A , song song với mặt phẳng 6m − p 462 (P ) : x + 2y − = đồng thời cách điểm B (3; 2; 6) đoạn (d ) : Câu 7B (1 điểm) Tìm tất các nghiệm¡p thực phương trình: p 4x · · 6x − 4x + ¢ · 24x − · 16x = 27x − 12x + · 8x ———————————————–Hết————————————————— (2) TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu Cho hàm số y = x − 3(m + 2)x + (m + 1)x + m + 2, có đồ thị là (C m ) và m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C −1 ) m = −1 b) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C m ) và trục tung, biết giao điểm này cùng với hai điểm B (2; −3),C (4; 1)tạo thành tam giác cân B a) Lời giải (hungchng): m = −1 hàm số là y = x − 3x + có tập xác định D = R; · x = =⇒ y = đạo hàm y = 3x − 6x; y = ⇐⇒ x = =⇒ y = −3 lim y = −∞; lim y = +∞; x→−∞ x→+∞ Bảng biến thiên x −∞ y0 + − + +∞ y −∞ h p n a o /t +∞ n o h t o Đồ thị n v g / : −3 Hàm số đồng biến trên (−∞; 0); (2; +∞) ; nghịch biến trên (0; 2) Điểm cực đại (0; 1) Điểm cực tiểu (2; −3) b) Lời giải (hokiuthui200): Ta có: y = 3x − 6x(m + 2) + m + ½1 Gọi A là tiếp điểm Tọa độ A thỏa hệ phương trình: t h y = x − 3(m + 2)x + (m + 1)x + m + ⇐⇒ A(0; m + 2) x =0 · p p m = −1 4ABC cân B suy AB = BC ⇐⇒ + (5 + m)2 = 20 ⇐⇒ m = −9 +) Với m = −1 suy A(0; −1), y = 3x − 6x =⇒ y (0) = =⇒ P T T T ∆ : y = +) Với m = −9 suy A(0; −7), y = 3x + 42x − =⇒ y (0) = −8 =⇒ P T T T ∆ : y = −8x − Câu 2.a Giải phương trình: cos 3x − sin 3x − = cos x − cos x + htt p:/ /to a Lời giải (thiencuong_96): Điều kiện cos x 6= −1 ±2π ⇐⇒ x 6= + k2π Quy đồng lên ta : cos3 x − cos x + sin3 x − sin x = cos2 x − cos x − ⇐⇒ cos3 x − cos2 x − cos x + = sin x − sin3 x ⇐⇒ (cos x − 1)(4 cos2 x − 1) = sin x(4 cos2 x − 1) ¡ ¢ ⇐⇒ cos2 x − (cos x − sin x − 1) = ±2π ±π cos2 x − = ⇐⇒ x = + k2π ∨ x = + k2π 3 ⇐⇒ −π cos x − sin x − = ⇐⇒ x = k2π ∨ x = + k2π −π ±π Kết hợp điều kiện : x = k2π ∨ x = + k2π ∨ x = + k2π (k ∈ Z ) Câu 2.b np ho tho ng Tìm tất các nghiệm thực hệ phương trình sau: Lời giải (maxmin): y + (9x − 10) y + (x + 3) = ¢ ¡ ¢ ½ ¡ 9x y¡+ + ¢y + 3x = 10y 9x y y + 3x + 3x + y = 25y − 40y + 16 ½ a + b = 10y ¡ ¢2 (a − 9) b + b = 5y − Hệ PT ⇐⇒ Đặt a = 9x y + và b = y + 3x Ta có hệ: ( ¡ ¢ 9x y − 24y + 27x + 40 y + 3x − 16 = Từ phương trình đầu ta có: a = 10y − b vào phương trình thứ hai ta được: .vn ¡ ¢2 ¡ ¢ ¡ ¢2 £ ¡ đô2 10y − b − b + b = 5y − ⇐⇒ b − 2b 5y − + 5y − = ⇐⇒ b − 5y − = ⇐⇒ b = 5y − =⇒ a = 5y + ½ ½ ½ 5y + = 9x y + 5y + = 3y(−y + 5y − 4) + 3y − 15y + 17y − = Nên ⇐⇒ ⇐⇒ 2 5y − = y + 3x 3x = −y + 5y − 3x = −y + 5y − q q ½ y = 1∨ y = 2− ∨y = + (y − 1)(3y − 12y + 5) = 3q 3q ⇐⇒ ⇐⇒ x = ∨ x = − − ∨x = − + 3x = −y + 5y − 3 3 ¡ ¢ http://toanphothong.vn (3) ³ Vậy hệ PT có nghiệm (x, y) = (0, 1); − 13 − Câu Tính tích phân: Z I= q ´ ³ q q ´ 7 ; −3 +3 3,2+ (x ln x + e x )2 Lời giải (dzitxiem): Để ý x (1 + e x ) + ln x + = = I= dx (−x − 1)0 · (x ln x + e x ) − (−x − 1)(1 + ln x + e x ) n o h t o (x ln x + e x )2 (−x − 1)0 · (x ln x + e x ) − (−x − 1) (x ln x + e x )0 Z Do đó 3,2− x (1 + e x ) + ln x + 1 (x ln x + e x )2 q −x − x x ln x + e x (x ln x + e ) ¯ x −x − ¯ x (1 + e ) + ln x + dx = ¯ = − x ln x + e x e ln + e (x ln x + e x )2 h p n a o /t µ = ¶0 n v g p a , BC = 2a và tam giác AB D cân B Gọi G là trọng tâm tam giác AB D , M , N là trung điểm SB, SC và SG = SB = SC Biết góc tạo hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC D) là 60◦ Tính theo a thể tích khối chóp G.M N D và khoảng cách hai đường thẳng D M , SN Câu Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D là hình bình hành, AB = Lời giải (khanhtoanlihoa): t h / : S N K M D Q T H A G htt p:/ /to a O C P I B +) Tính thể tích: p a q a a Gọi H là trung điểm AD =⇒ B H ⊥ AD =⇒ B H = 54 a − a = =⇒ BG = Ta có ∆GBC vuông B Gọi O là hình chiếu S trên mp(ABC D) =⇒ O là trung điểm CG Từ O dựng OI ⊥ BC I =⇒ I là trung điểm BC o d Ta có SI ⊥ BC ,OI ⊥ BC =⇒ góc tạo hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC D) là pSI O = 60 p BG a =⇒ SO = OI tan 60o = 3= Gọi K là giao điểm SI và M N , P là hình chiếu K trên OI =⇒ P là trung điểm OI 1 Ta có M N kH D và M N = BC = H D =⇒ M N H D là hình bình hành =⇒ d¡G/(M N D)¢ = d¡G/(M N D H )¢ = d¡O/(M N D H )¢ 2 Dựng OQ ⊥ DK Q Ta có D H ⊥ D I , D H ⊥ SO =⇒ D H ⊥ mp(SD I ) =⇒ D H ⊥ OQ =⇒ OQ ⊥ mp(M N D H ) =⇒ d ¡O/(M N D H )¢ = OQ Theo đề bài 4AB D cân B =⇒ B D = AB = np ho tho ng OQ OD = KP KD p p p q p a a a OD.K P a 21 25 2 2 Ta có K P = SO = ,OD = BG = , K D = P D + K P = 36 D I + SO = =⇒ OQ = = 12 KD 42 p p 1 a a Ta có D H ⊥ mp(SD I ) =⇒ D H ⊥ DK ⇒ S ∆M N D = S M N D H = D H DK = =⇒ VG M N D = OQ.S M N D = 2 12 216 Xét hai tam giác đồng dạng 4K P D và 4OQD (g-g-g) =⇒ +) Tính khoảng cách: Ta có mp(M D I )kSC =⇒ d(SN /M D) = d¡SN /(M D I )¢ = d¡N /(M D I )¢ .vn Dựng N T ⊥ M P Ta có D I ⊥ K P, D I ⊥ M N =⇒ D I ⊥ mp(M N P ) =⇒ D I ⊥ N T =⇒ N T ⊥ mp(M D I ) =⇒ d¡N /(M D I )¢ = N T Ta có M P = p MK +K P2 p a 13 Vậy d(SN /M D) = 13 http://toanphothong.vn p p a 39 K P.M N a 13 =⇒ M P = Xét ∆M N P , ta có: K P.M N = N T.M P =⇒ N T = = 12 MP 13 (4) Câu Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện a +18b = a +16b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a +b + 16 ab Lời giải (khanhtoanlihoa): Từ giả thiết ta có: a + 18b = a + + 8b + 8b + − 12 ≥ 4a + 24b − 12 =⇒ 3a + 6b ≤ 12 ⇐⇒ 18 ≥ 3a + 6(b + 1) ¶ µ ¶ µ ≥ 3a + 12b 3a + 12b 12 18 + 3b + ≥ 18 ≥ 3a + 3b + = 3a + Ta có 3P = 3a + 3b + ab ab a b =⇒ P ≥ Vậy Mi nP = a = 2, b = Câu 6A.a n o h t o Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y,cho hình thang ABC D vuông µ A ¶và D , biết C D = 2AB Gọi H h p n a o /t là hình chiếu vuông góc D lên AC , M là trung điểm HC Biết B (8; 4), M là x − y + = Tìm tọa độ các đỉnh A, C , D hình thang 82 và phương trình cạnh AD ; 13 13 Lời giải (thiencuong_96): Gọi N là trung điểm DC suy D N = AB Do có M , N là trung điểm HC , DC nên suy M N kD H Ta có từ phương trình (AD) : x − y + = ta suy ( (AB ) : x + y − 12 = (A) : n v g / : x − y +2 = x + y − 12 = t h =⇒ A(5; 7) A B H D Viết phương trình (AC ) : 5x + y − 32 = Theo trên có M N ⊥ AC =⇒ (M N ) : x − 5y − = Viết (B N ) : x − y − = (do B N kD A và qua B ) p p |8 − + 2| = 2, B N = Suy N (4; 0), d (B ; (AD)) = p Gọi D(a; a + 2) mà AD = B N Suy D(9; 11) =⇒ C (−1; −11) hay D(1; 3) =⇒ C (7; −3) Thử lại suy A(5; 7); D(1; 3); C (7; −3) M N C Câu 6A.b Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox y z, cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P ) : x + 2y + 2z − = Hãy lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là A , biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn x y z (C ) tiếp xúc với đường thẳng (d ) : = = htt p:/ /to a −1 −2 Lời giải (khanhtoanlihoa): Gọi I là tâm đường tròn (C ) =⇒ I là hình chiếu A trên mp(P ) Gọi (∆) là đường thẳng qua A và vuông góc với x = + t mp(P ) nên (∆) có phương trình tham số là: (∆) : y = + 2t =⇒ I là giao điểm (∆) và mp(P ) z = + 2t I ∈ (∆) =⇒ I (1 + 2t ; + 2t ; + 2t ), I ∈ mp(P ) =⇒ + t + 2(2 + 2t ) + 2(3 ¡ + 2t ) − = =⇒ t = −1 =⇒ I¢(0; 0; 1) Đường thẳng (d ) tiếp xúc với đường tròn (C ) ⇐⇒ d(I /d ) = R (C ) R (C ) : bán kính đường tròn (C ) − Đường thẳng (d ) có VTCP → a = (1; −1; −2) và qua O(0; 0; 0)¯ ¯ ¯£−→ → ¤¯ ¯ I O; − ¯ p a ¯ ¯ £−→ → ¤ −→ − =p =p Ta có: I O = (0; 0; −1) ⇒ I O; a = (−1; −1; 0) ⇒ R (C ) = d(I /d ) = → − |a| r q ¢ 28 ¡ −→ 2 Ta lại có: I A = (1; 2; 2) ⇒ I A = ⇒ R (S) = I A + R (C ) = R (S) : bán kính mặt cầu (S) ¡ ¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 28 Vậy mặt cầu (S) cần tìm là: (S) : x − + y − + z − = µ Câu 7A Cho khai triển P (x) = p nguyên dương thỏa mãn điều kiện Lời giải (khanhtoanlihoa): Ta có: Lấy đạo hàm hai vế ta được: n−1 = nC n0 x 2n np ho tho ng ¶4n với x 6= Tìm số hạng không chứa x khai triển biết n là số x 2n ¡ ¢ 2nC n0 + 5(n − 1)C n1 + 13(n − 2)C n2 + · · · + 2n−1 + 3n−1 C nn−1 = 1685 +p (x + 2)n = C n0 x n + 2C n1 x n−1 + + 2n C nn n(x + 2)n−1 = nC n0 x n−1 + 2(n − 1)C n1 x n−2 + + 2n−1C nn−1 + 2(n − 1)C n1 + + 2n−1C nn−1 (1) (x + 3)n = C n0 x n + 3C n1 x n−1 + + 3n C nn .vn Chọn x = =⇒ n.3 Ta lại có: Lấy đạo hàm hai vế ta được: n(x + 3)n−1 = nC n0 x n−1 + 3(n − 1)C n1 x n−2 + + 3n−1C nn−1 http://toanphothong.vn (5) Chọn x = =⇒ n.4n−1 = nC n0 + 3(n − 1)C n1 +¡ + 3n−1C nn−1 (2) ¢ n−1 n−1 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: n + = 1685 ¡ ¢ ¡ (∗) ¢ ¡ ¢ Xét hàm số F (n) = n 3n−1 + 4n−1 − 1685, (n > 1) Có F (n) = 3n−1 + 4n−1 + n 3n−1 ln + 4n−1 ln > với n > =⇒ hàm số F (n) đồng biến trên miền n > =⇒ phương trình (∗) có nhiều nghiệm Dễ thấy n = là nghiệm phương trình (∗) =⇒ n = là nghiệm phương trình (∗) µ Ta có: P (x) = p x 10 + p x 10 ¶20 Gọi số hạng không chứa x là Vì số hạng không chứa x nên k T = C 20 x 200−10k .x − 10k =x 200−20k 200 − 20k 10 = =⇒ k = 10 Vậy số hạng không chứa x là T = C 20 n o h t o n v g Câu 6B.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Ox y, cho hai đường tròn (C ) : (x − 4)2 + (y − 6)2 = 13 và (C ) : (x − 6)2 + y = 25 cắt A, B với điểm A có hoành độ dương Một đường thẳng qua A cắt (C ), (C ) M , N Gọi d là tiếp tuyến M (C ), d là tiếp tuyến N (C ) Biết d và d cắt I Tìm tọa độ điểm I bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác I M N lớn Lời giải (): h p n a o /t xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx / : p t t h Câu 6B.b d1 c M c0 B A d2 I Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox y z, cho đường thẳng (d1 ) : N x −1 y −2 z −3 = = và đường thẳng −5 x +3 y z −2 = = cắt A Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A , song song với mặt phẳng 6m − p 462 (P ) : x + 2y − = đồng thời cách điểm B (3; 2; 6) đoạn (d ) : htt p:/ /to a Lời giải (khanhtoanlihoa): x = + 2t (d ) có phương trình tham số: y = + 3t z = − 5t x = −3 + 4t (d2 ) có phương trình tham số: y = 2t z = + (6m − 5)t 1 + 2t = −3 + 4t t = A ∈ (d ) =⇒ A(1 + 2t ; + 3t ; − 5t ) A ∈ (d ) =⇒ + 3t = 2t =⇒ t = =⇒ A(1; 2; 3) − 5t = + (6m − 5)t m=1 → − → − Gọi u = (a; b; c) là VTCP đường thẳng (∆) Mặt phẳng (P ) có PVT n = (1; 2; 0) £− −→¤ −→ − − Đường thẳng (∆)kmp(P ) =⇒ → u → n = =⇒ a + 2b = Ta có: AB = (2; 0; 3) =⇒ → u ; AB = (3b; 2c − 3a; −2b) " ¯£→ −→¤¯¯ p b=1 =⇒ a = −2 ¯ − u ; AB 462 ¯→ ¯ 53 106 Ta có: d(B /∆) = = ⇐⇒ 91b − 144bc + 53c = Chọn c = =⇒ − ¯u ¯ b= =⇒ a = − 91 91 106 t x = − x = − 2t 91 53 Vậy đường thẳng (∆) cần tìm là: (∆) : y = + t (∆) : y = + t 91 z = 3+t z = 3+t Câu 7B np ho tho ng Tìm tất các nghiệm thực p trình: ¡p phương 4x · · 6x − 4x + ¢ · 24x − · 16x = 27x − 12x + · 8x Lời giải (dzitxiem): Điều kiện để phương trình đã cho có(nghĩa là .vn · 6x − 4x > Với điều kiện trên, ta có http://toanphothong.vn ⇐⇒ x > log 34 (∗) · 24x − · 16x > p p 4x · 6x − 4x = 2x · 2x · · 6x − 4x ≤ · 2x (4x + · 6x − 4x ) = 12x (6) Và p p 4 4x · 24x − · 16x = 4x 4x · (4 · 6x − · 4x ) ´ ³ p ≤ · 4x · 2x + · 6x − · 4x x x xp = · + · · · 6x − · 4x 2 ¢ x x¡ x ≤ · + · + · 6x − · 4x = 12x p ¡p ¢ 4x · · 6x − 4x + · 24x − · 16x ≤ · 12x (1) (Để ý đẳng thức xảy (1) ⇐⇒ x = 0) Do đó, ta có Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM, ta p có n o h t o n v g 27x − 12x + · 8x = 27x + 8x + 8x − 12x ≥ 27x · 8x · 8x − 12x = · 12x (2) (Để ý đẳng thức xảy (2) ⇐⇒ x = 0) Vậy thì từ (1), (2) và (∗) ta suy để xảy đẳng thức, tức là có phương trình đã cho thì phương trình này phải có nghiệm x = t h / : h p n a o /t htt p:/ /to a np ho tho ng .vn http://toanphothong.vn (7)