Vậy khi đường thẳng d vuông góc với IA tại A thì tổng các khoảng cách từ O, O’ đến d đạt giá lớn nhất và bằng 2IA.. Câu 6 2 điểm Giả sử dựng được tam giác đều ABC có các đỉnh tại các đỉn[r]
(1)KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN LỚP - Ngày: 09/01/2013 – Thời gian: 150 phút ĐỀ: Câu (4 điểm) 2012 a) Rút gọn: P = 2 2 b) Cho x + y = Chứng minh x5 + y5 Câu (4 điểm) a) Không cần tính kết trực tiếp, hãy so sánh các tổng sau: A = + + + … + 2013 B = + + + … + 2012 b) Giả sử f(n + 1) = n.(- 1)n + – 2f(n), với n nguyên dương và f(1) = f(2014) Tính tổng f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2013) Câu (4 điểm) a) Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = ab bc ca Hãy định dạng tam giác ABC b) Cho hai dãy số: an = 22n + + 2n + + 1, b n = 22n + – 2n + + Chứng minh với số tự nhiên n, có và hai số an, b n chia hết cho Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh AB lấy điểm N, trên cạnh AC lấy điểm P cho BM = BN, CM = CP Tính số đo góc PMN Câu (3 điểm) Gọi A là hai giao điểm hai đường tròn (O) và (O’) Hãy xác định vị trí đường thẳng d qua A, cho tổng các khoảng cách từ O và O’ đến d đạt giá trị lớn Câu (2 điểm) Chứng minh trên tờ giấy kẻ các ô vuông nhau, không thể dựng tam giác có ba đỉnh là đỉnh các ô vuông ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi (2) GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN LỚP - Ngày: 10/01/2013 – Thời gian: 150 phút Câu (4 điểm) a) Rút gọn: 2012 P= 2012 2 2 2012 2012 1 1 2 1 1 3 b) Chứng minh: x5 + y5 Ta có: (x + y)2 2(x2 + y2) 22 (x2 + y2) x2 + y2 2 (x + y) – 2xy – 2xy xy Biến đổi : (x + y)5 = x + y5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 5 3 2 (x + y) = x + y + 5xy(x + y ) + 10x y (x + y) 5 2 (x + y) = x + y + 5xy[(x + y) – 3xy(x + y)] + 10x y (x + y) 5 2 = x + y + 5xy[2 – 3xy.2] + 10x y (thay x + y = 2) 5 2 2 32 = x + y + 40xy – 30x y + 20x y 5 2 x + y = 32 – 40xy + 10x y 5 2 x + y = 2(5x y – 20xy + 16) Đặt t = xy (t 1) Ta có : x5 + y5 = 2(5t2 – 20t + 16) Ta cần chứng minh : 5t2 – 20t + 16 (1) (với t 1) Thật BĐT (1) 5t2 – 20t + 16 – t2 – 4t + (t – 1)(t – 3) (2) BĐT (2) đúng vì t BĐT (1) đúng Do đó x5 + y5 2.1 = Vậy x5 + y5 Dấu « = » xảy và x = y = Câu (4 điểm) a) So sánh A và B Ta có: A = + + + … + 2013 B = + + + … + 2012 A có 1007 số hạng lẻ, B có 1006 số hạng chẵn Nên: A – B = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + … + (2011 – 2012) + 2013 = (- 1).1006 + 2013 = 1007 > Vậy A > B b) Tính f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2013) Ta có: f(n + 1) = n.(- 1)n + – 2f(n) Thay n 1; 2; 3; …; 2013 vào hai vế đẳng thức, ta có: f(2) = – 2f(1) f(3) = - – 2f(2) f(4) = – 2f(3) …… … … … … … … … f(2013) = - 2012 – 2f(2012) f(2014) = 2013 – 2f(2013) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi (3) Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta được: f(2) + f(3) + f(4) + … + f(2013) + f(2014) = = – + – + … - 2012 + 2013 – 2.[f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2013)] Thay f(2014) = f(1) vào vế trái và biến đổi, ta có: 3[f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2013)] = – + – + … + 2011 – 2012 + 2013 = (- 1).1006 + 2013 = 1007 1007 1007 Vậy (1) + f(2) + f(3) + … + f(2013) = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2013) = Câu (4 diểm) a) Xác định dạng tam giác ABC Ta có: a b c ab bc ca 2(a b c) b b c c a ab bc ca a b ab b c bc c a ca = a 2 0 a b c a = b = c Vậy tam giác ABC là tam giác b) Chứng minh có và hai số an, bn chia hết cho Ta có: an = 22n + + n + + 1, bn = 22n + – 2n + + Xét tích: an.b n = (22n + + n + + 1).( 2n + – 2n + + 1) = (22n + + 1)2 – 22(n + 1) = 22(2n + 1) + + 2.22n + – 22(n + 1) = 24n + + – 22n + + 22n + = 4.24n + Ta có: 24 = 16 (mod 5) 24n = (mod 5) 4.2 4n + (mod 5) Do đó an.bn Mặt khác, xét hiệu: an – bn = (22n + + 2n + + 1) – (22n + – 2n + + 1) = 2.2n + = 4.2 n Ta chứng minh 4.2n với n nguyên dương Xét hai trường hợp: +) n chẵn (n = 2k, k N*) Khi đó: 4.2n = 4.22k = 4k + (-1)k + (mod 5) 4.2n +) n lẻ (n = 2k + 1, k N *) Khi đó: 4.2n = 4.22k + = 8.4k 3.(-1)k + (mod 5) 4.2n Do đó an – bn và an.bn Vậy có và hai số an bn chia hết cho Câu (3 điểm) Tính góc PMN Các tam giác BMN, CMP cân nên: B N 180 B , M P 180 C M 1 2 0 M 180 B 180 C 1800 B C Từ đó: M 2 Tam giác ABC vuông A nên B C = 900 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi N A M 1 P C (4) M 1800 450 = 1350 Vậy PMN 1800 M M = 450 Suy ra: M 2 Câu (3 điểm) Vị trí đường thẳng (d) để tổng khoảng cách từ O và O’ đến (d) lớn Gọi I là trung điểm OO’ d Kẻ OH d, O’K d, IM d H Ta có OHKO’ là hình thang vuông, A M IM là đường trung bình nên OH + O’K = 2IM K Do đó OH + O’K đạt giá trị lớn và IM đạt giá trị lớn Vì IM IA nên IM đạt giá trị lớn O O’ I IA và M A, hay d IA Vậy đường thẳng (d) vuông góc với IA A thì tổng các khoảng cách từ O, O’ đến (d) đạt giá lớn và 2IA Câu (2 điểm) Giả sử dựng tam giác ABC có các đỉnh các đỉnh ô vuông Vẽ hệ trục tọa độ Oxy với O là trung điểm BC, đó A Oy Gọi tọa độ B(a; 0), C(- a; 0), A(0; b) (với a, b Z*) Vì tam giác ABC nên BC = AB = AC, Suy ra: BC2 = AB2 (2a)2 = a2 + b2 b2 = 3a2 b a Vì a là số nguyên khác nên suy b là số vô tỉ: mâu thuẫn Vậy không thể dựng tam giác y có các đỉnh các đỉnh ô vuông lưới ô vuông A b C -a O B a x Quy Nhơn, ngày 10 tháng 01 năm 2013 Bùi Văn Chi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi (5)