Phương pháp minimax nghiên cứu điểm tới hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đỗ Khánh Giang PHƯƠNG PHÁP MINIMAX NGHIÊN CỨU ĐIỂM TỚI HẠN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh − 2006 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU……………………………………………………………………….…………………….….……2 Chương 1: Nguyên lý biến phân Ekeland tồn điểm gần tới hạn …………………………………………………………………………….………………………4 1.1 Các định nghóa………………………………………………….………………………….4 1.2 Các định lý tồn điểm gần tới hạn……….….……….4 Chương 2: Phương pháp minimax cho phiếm hàm trơn……………………… 13 2.1 Sự tồn điểm tới hạn………………………………………………………………13 2.2 Ứng dụng cho lớp phương trình vi phân…………………………….16 Chương 3: Phương pháp minimax cho phiếm hàm Lipschitz…………………20 3.1 Phiếm hàm Lipschitz địa phương………… ……………… ……………….20 3.2 Các định lý………… …… ….………………………………………… ………… 21 Chương 4: Phương pháp minimax toán giá trị riêng…………….27 4.1 Nguyên lý maximum−minimum Ljusternik & điểm tới hạn…… 27 4.1.1 Nguyên lý yếu……………………… ………….………………………27 4.1.2 Nguyên lý mạnh………………… ……….……….… …………………28 4.1.3 Số đặc trưng………………… ……………….…….……….………………31 4.1.4 Điều kiện (PS)……………………….…………………………………… 32 4.2 Bài toán giá trị riêng không gian Banach vô hạn chiều….33 KẾT LUẬN…………………………………………………………………………………………………44 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………… 45 MỞ ĐẦU Phương pháp biến phân phương pháp điểm bất động hai công cụ sử dụng rộng rãi để chứng minh tồn nghiệm phương trình toán tử Nhiều toán Toán học, Vật lý, Kỹ thuật,… dẫn đến việc giải phương trình A(x) = 0, (1) A ánh xạ từ không gian Banach X vào không gian liên hợp X* Phương pháp biến phân để giải phương trình (1) tìm phiếm hàm f: X → R khaû vi cho f/(x) = A(x), x∈X Khi nghiệm (1) điểm tới hạn phiếm hàm f Các điểm tới hạn dễ thấy f điểm cực trị Phương pháp biến phân giải phương trình (1) cách tìm điểm cực trị f gọi phương pháp trực tiếp Tuy nhiên, điểm cực trị, f điểm tới hạn dạng khác, chẳng hạn điểm yên ngựa Ví dụ, ta xét hàm f: R2 → R, f(x, y) = x2 − y2, điểm (0, 0) không điểm cực trị f điểm tới hạn f Điểm thỏa mãn điều kiện f(0, 0) = max f (x, y) = max f (x, y) x∈R y∈R y∈R x∈R Phương pháp minimax tìm điểm tới hạn phương pháp tìm điểm tới hạn xo thỏa mãn điều kiện max f (x) f(xo) = A∈Γ x∈A Γ họ thích hợp tập X Phương pháp biến phân giải phương trình toán tử nghiên cứu phát triển tận ngày có nhiều ứng dụng để giải phương trình vi phân xuất phát từ Vật lý, Cơ học Luận văn giới thiệu phương pháp minimax để nghiên cứu số lớp phương trình toán tử Luận văn gồm chương Chương Nguyên lý biến phân Ekeland tồn điểm gần tới hạn Chương Phương pháp minimax cho phiếm hàm trơn Chương Phương pháp minimax cho phiếm hàm Lipschitz Chương Phương pháp minimax toán giá trị riêng Cuối tài liệu tham khảo Trong trình thực hoàn thành luận văn này, nhận giúp đỡ, hướng dẫn khoa học nhiệt tình PGS TS Nguyễn Bích Huy Nhân dịp này, xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn chân thành PGS TS Nguyễn Bích Huy, Thầy tổ Giải tích − Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy cho Khóa 14 − Chuyên ngành Giải tích Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2006 Tác giả Chương 1: NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GẦN TỚI HẠN 1.1 Các định nghóa: Định nghóa 1.1: Cho X không gian tôpô Phiếm hàm ϕ:X→]−∞;+∞] gọi nửa liên tục với λ∈R, Aλ ={x∈X / ϕ(x)≤ λ} tập đóng X Định nghóa 1.2: Cho X không gian Banach Xét phiếm hàm ϕ :X→ R gọi a = inf ϕ, X (εk) dãy số dương hội tụ Khi theo định nghóa inf ϕ , với X k∈N*, có uk∈X thỏa a ≤ ϕ (uk) < a+ εk Ta gọi (uk) dãy cực tiểu hóa ϕ 1.2 Các định lý tồn điểm gần tới hạn: Định lý 1.2.1: (Nguyên lý biến phân Ekeland) Giả sử: i ) (M, d) không gian metric đầy đủ, ii) Φ: M→]−∞;+∞] phiếm hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Φ ≠ +∞, iii) Với ε>0 cho trước, xét u∈M thoûa Φ ( u ) ≤ inf Φ + ε M Khi tồn phần tử v∈M cho: ( ) ( ) ( ) ⎧Φ v ≤ Φ u 1) ⎪⎨ ⎪d u ; v ≤ ⎩ 2) Với w ≠ v M, Φ(w) > Φ(v)−ε.d(v, w) Chứng minh Chứng minh 1) ∗ Trên M ta xét quan hệ thứ tự nhö sau: w ≤ v ⇔ ε.d(v, w) ≤ Φ(v) − Φ(w) (1.2.1) Khi (1.2.1) hợp lý vì: • w ≤ w (hiển nhiên) • (w ≤ v ∧ v ≤ w) ⇒ ε.d(v, w) ≤ Φ(v) − Φ(w) ≤ − ε.d(v, w) ⇒ d(v, w) = ⇒ v = w • (w ≤ v ∧ v ≤ t) ⇒ ε.d(w, t) ≤ ε[d(w, v)+ d(v, t)] ≤ Φ(v) − Φ(w) + Φ(t) − Φ(v) ⇒ ε.d(w, t) ≤ Φ(t) − Φ(w) ⇒ w ≤ t ∗ Tieáp theo, ta xây dựng dãy (un) qui nạp • Chọn uo = u • Giả sử có un Đặt Sn ={w∈M: w≤ un} ≠ ∅ chọn un+1∈Sn thỏa Φ ( un +1 ) ≤ inf Φ+ S n n +1 (un+1 tồn định nghóa inf) Khi đó: a) Sn+1 ⊂ Sn ( un+1∈Sn nên un+1≤ un ) b) Sn đóng ( Φ nửa liên tục ) c) Với w∈Sn+1, w ≤ un+1≤ un nên (1.2.1) định nghóa un+1 , ta coù: εd(w, un+1) ≤ Φ(un+1) − Φ(w) ≤ inf Φ + Sn 1 − inf Φ = n + Sn n +1 ⇒ d(w1, w2) ≤ d(w1, u) + d(w2, u) ≤ ⇒ diamSn +1 ≤ (∀w1, w2∈Sn+1) ε ( n + 1) n→∞ Vậy diamSn ⎯⎯⎯→ ε ( n + 1) Mà M không gian đầy đủ nên ∩ Sn = {v} với v∈M n∈N (1.2.2) * Từ (1.2.2) ta có v∈So nên v ≤ uo= u Do (1.2.1) dẫn đến Φ(v)≤ Φ(u)−ε.d(u, v)≤ Φ(u) ( ) Vaø d(u, v)≤ ε−1[Φ(u)− Φ(v)]≤ ε−1 inf Φ + ε − inf Φ = M M Vậy v thỏa 1) Chứng minh 2) ∗ Nhận xét: Chứng minh 2) ⇔ Chứng minh “ Nếu w ≤ v w = v “ ∗ Giả sử w ≤ v Khi với n∈N, w ≤ un (do v ≤ un) neân w ∈ ∩ Sn ={v} n∈N Suy ra: w = v Nghóa v thỏa 2) Hệ 1.2.1: Trong định lý trên, dùng khoảng cách tương đương λd (λ >0), kết luận 1) 2) thay bởi: 3) d ( u ; v ) ≤ λ 4) Φ(w) > Φ(v) − ελd(v, w) Định lý 1.2.2: Giả sử : i) X không gian Banach, ii) ϕ: X→ R phiếm hàm bị chặn khả vi X, iii) Với ε > cho trước, xét u∈X / ϕ ( u ) ≤ inf ϕ+ε X Khi tồn phần tử v∈X thoûa: 1) ϕ ( v ) ≤ ϕ ( u ) 2) |u − v| < ε1/2 3) ⏐ϕ /(v)⏐≤ ε Chứng minh ∗ Lấy M = X, Φ = ϕ với ε > cho trước, chọn λ = ε−1/2 Theo định lý 1.2.1 , có v∈X thỏa 1), 2) với w∈X, w ≠ v ϕ(w) > ϕ(v) − ε1/2⏐v − w⏐ (1.2.3) ∗ Đặt w = v + t.h với t >0, h∈X,⏐h⏐=1 (1.2.3) thành: ϕ(v+ th) − ϕ(v) > ε−1/2t Chia vế cho t cho t→0, ta được: −ε−1/2≤ 〈ϕ /(v), h〉, ∀h∈X thoûa⏐h⏐=1 Suy ra: − ε−1/2≤ 〈ϕ /(v), −h〉 hay 〈ϕ /(v), h〉 ≤ ε−1/2 Vaäy 3) Hệ 1.2.2: Giả sử i) X không gian Banach, ii) ϕ : X→ R phiếm hàm bị chặn dưới, khả vi X Khi với dãy cực tiểu hóa (uk) ϕ, tồn dãy cực tiểu hóa (vk) ϕ cho: ( ) 1) ϕ v k ≤ ϕ ( uk ) 2) ⏐uk −vk⏐ k → ∞ 3) ⏐ϕ /(vk)⏐ k→∞ Chứng minh ∗ Cho trước dãy cực tiểu hóa (uk) ϕ Với k, đặt εk = ϕ(uk) − inf ϕ ϕ(uk) − inf ϕ > X = 1/ k X neáu ϕ(uk) − inf ϕ = X Khi đó: εk > 0, εk k→∞ 0, ϕ ( uk ) ≤ inf ϕ + εk X ∗ Áp dụng định lý 1.2.2 cho εk uk, ta có vk tương öùng cho: ϕ ( vk ) ≤ ϕ ( uk ) , |uk − vk| < εk1/2 , ⏐ϕ /(vk)⏐≤ εk Vậy 1) thỏa ∗ Cho k →∞ ta 2) 3) thỏa Định lý 1.2.3: Giả sử i) K không gian metric compact, Ko tập đóng K, ii) X không gian Banach, χ∈C(Ko, X), iii) Xét không gian metric đủ (M, d) với M ={g∈C(K, X): g(s)=χ(s) s∈Ko} d khoảng cách thông thường Lấy ϕ∈C1(X, R), ta định nghóa: c = ginf max ϕ ( g ( s ) ) , c1 = max ϕ ∈M s∈K Neáu c > c1 với ε > cho trước f∈M cho: χ( K o ) (1.2.4) max ϕ ( f ( s ) ) ≤ c + ε s∈K (1.2.5) có phần tử v∈X thỏa: 1) c − ε ≤ ϕ ( v ) ≤ max ϕ ( f ( s ) ) s∈K 2) dist (v, f(K)) ≤ ε1/2 3) ⏐ϕ /(v)⏐≤ ε1/2 Chứng minh ∗ Không tính tổng quát, giả sử < ε < c − c1 (1.2.6) ∗ Lấy f∈M thỏa điều kiện (1.2.5) Ta định nghóa hàm Φ: M→ R Φ ( g ) = max ϕ ( g ( s ) ) s∈K Khi c = inf Φ >c1 (do (1.2.4)) Vậy Φ bị chặn M Vì K compact nên ϕ liên tục g(K), suy Φ liên tục ∗ Áp dụng định lý 1.2.1 cho Φ; ε f ta có tồn phần tử h∈M cho: Φ(h) ≤ Φ(f) ≤ c + ε max h ( s ) − f ( s ) ≤ ε1/ s∈K Φ(g) > Φ(h) − ε1/2d(h, g) ∀g∈M g ≠ h (1.2.7) ∗ Định lý chứng minh ta tồn s∈K saocho: c − ε ≤ ϕ (h(s)) ⏐ϕ /(h(s))⏐≤ ε1/2 nghóa 〈ϕ /(h(s)) , v〉 ≥ −ε−1/2 ∀v∈X ;⏐v⏐= Ta có kết tương tự mệnh đề cho cm = inf sup F ( u ) thay điều K∈Km u∈K kiện (4.1.2) (B3) (4.1.5) với c = cm 4.1.3 Số đặc trưng tập hợp đối xứng: Cho f: K → Rn \{ } với f lẻ liên tục (4.1.9) Định nghóa: Cho X không gian Banach thực.Với K∈symX, ta cho tương ứng số tự nhiên n = genK (gọi số đặc trưng K) sau: i) gen∅ = ii) Nếu K ≠ ∅ genK số tự nhiên bé n ≥ cho ánh xạ f có dạng (4.1.9) tồn iii) Nếu với K ≠ ∅ mà không tồn số n ii), ta qui ước genK = +∞ Mệnh đề: Số đặc trưng genK thỏa điều kiện (Ao)−(A5) mục 4.1.2 Do đó, ta dùng genK số tôpô mục 4.1.2 Hệ quả: Với K, K1, K2∈symX , ta có kết sau đây: 1) Nếu gen K1 = gen K2 K1, K2 đồng phôi qua phép đồng phôi lẻ 2) Nếu genK1 < +∞ gen K \ K1 ≥ gen K2 − gen K1 3) genK ≤ dimX 4) Nếu genK>m (1≤ m < ∞) K∩(I − P)(X) ≠ ∅ , P: X→X1 phép chiếu tuyến tính liên tục lên không gian m chiều X1 X 5) gen S = dimX với S mặt cầu đơn vị X 4.1.4 Điều kiện (PS): • Ta khảo sát điều kiện mấu chốt sau đây: ( ) “ Mỗi dãy (un) M thoûa TF u n) → 0,F ( u n ) → c n → ∞ có dãy hội tụ “ (4.1.10) Định nghóa: Cho tập M⊂ không gian Banach thực X phiếm hàm F: D(F)⊆X→R cho với u∈M, tồn ánh xạ tiếp tuyến TF(u) M Ta nói: a) F thỏa điều kiện (PS)c địa phương (4.1.10) thỏa với c∈R cố định b) F thỏa điều kiện (PS) (hoặc (PS)+; (PS)− ) F thỏa điều kiện (PS)c , ∀c∈R (hoặc c>0, c< 0) Mệnh đề: Giả sử có điều kiện sau đây: i) Phiếm hàm F: D(F)⊆X → R thỏa (PS)c tập đóng M không gian Banach thực X ( ) ii) Nếu (un) dãy M thỏa un→ u TF u n) → n → ∞ TF(u) = Khi đó: 1) critM, c F tập compact 2) Với tập mở U X mà U⊇ critM,c F; tồn số γ, δ > thoûa: ( ) TF u n) ≥ γ ; ∀u ∈ ( M \ U ) cho F ( u ) − c < δ Chứng minh: 1) Sử dụng (4.1.10) ý rằng: u∈critM, c F ⇔ TF(u) = 0, F(u) = c Do tồn đạo hàm F M (suy từ điều kiện (PS)c), F liên tục M Từ suy đpcm 2) Giả sử ngược lại, ta có dãy (un) (M \ U) cho ( ) F ( u n ) → c , TF u n) → Vaäy un → u (do điều kiện (PS)c ) TF(u) = 0, F(u) = c Suy ra: u∈critM, c F Điều mâu thuẫn với u∈(M \ U) 4.2 Bài toán giá trị riêng không gian Banach vô hạn chiều: Với α > cố định cho trước, xét toán giá trị riêng F/(u) = λG/(u), u∈Nα , λ∈R với Nα đ/n {u∈X: G(u) = α} (4.2.1) với giả thiết sau đây: (H1) F, G: X → R (X không gian Banach thực tách, phản xạ, dimX = +∞) phiếm hàm chẵn cho F, G∈C1(X, R) F(0) = G(0) = Vậy F/, G/ toán tử vị lẻ (H2) Toán tử F/ liên tục(theo chuẩn) F(u)≠ 0, u∈ co Nα F/(u) ≠ (H3) Toán tử G/ liên tục tập bị chặn thỏa (S)1, nghóa là: un yếu u; G/(un)→ v dẫn đến un→ u n→ ∞ (H4) Tập hợp mức Nα bị chặn.Và u ≠ 〈G/(u), u〉 > 0, lim G ( tu ) = +∞ , t →+∞ inf G / ( u ) ,u > u∈Nα Nhận xét: a) F liên tục (theo chuẩn) Hơn nữa; F, F/ G/ bị chặn liên tục tập bị chặn b) Tính bị chặn Nα có ta giả thiết G(u)→ +∞ u → +∞ c) Từ (H4) suy 0∉Nα d) Từ (H2) suy vectơ riêng u (4.2.1) thỏa F(u) ≠ tương ứng với giá trị riêng λ ≠ e) Từ (H4) suy G/(u) ≠ Nα Do đó, G phép nhúng,∀u∈Nα f) Ta có kết sau: u nghiệm (4.2.1) ⇔ u điểm tới hạn F Nα g) Ta xây dựng giá trị sau đây: ±cm ± đ/n = ( ⎧ sup inf ± F ( u ) ⎪ K∈K ± u∈K m ⎨ ⎪0 K ± = ∅ m ⎩ ) m = 1, 2, 3…… (4.2.2) ta định nghóa K ± m = {K⊆Nα / Κ đối xứng, compact, genK≥ m, ± F(u)> K} đ/n ⎧sup {m / ± c m > 0} χ± = ⎪⎨ ± 0 neá u c = ⎪⎩ Thí dụ: Các giả thiết (H1)−(H4) thỏa trường hợp có điều kiện sau đây: i) X không gian Hilbert tách với dimX = +∞ Ta đồng X với X∗ ii)A: X → X toán tử tuyến tính, compact đối xứng Ta đặt F(u) = 2−1(Au/u) G(u) = 2−1(u/u) Vaäy F/ = A, G/ = I, Nα mặt cầu Khi (4.2.1) thành Au = λu, λ∈R với điều kiện G(u)=α, nghóa u∈Nα Định lý: Với giả thiết (H1) − (H4) ta có kết sau đây: (1) Sự tồn giá trị riêng: Nếu ± cm ± >0 ( + − ) (4.2.1) có cặp vectơ riêng ( u m ± ; −u m ± ) ứng với giá trị riêng λ m ± ≠ F( u m ± )= cm ± Nếu F/ G/ dương (Nghóa F/(tu) = t.F/(u) G/(tu) = t.G/(u), ∀u∈X,∀t > 0) cm ± = a.λ m ± (2) Sự vô hạn: (4.2.1) có (χ+ + χ− ) cặp vectơ riêng (u; −u) với giá trị riêng khác không Nếu ± cm ± = ± cm+1± = ……… = ± cm+ p ± > với p ≥ 1(+ −) tập hợp tất vectơ riêng (4.2.1) thỏa F(u) = cm ± có số đặc trưng ≥ p + Đặc biệt, tập hợp vô hạn (3) Các giá trị tới hạn: ±∞ ≥ ± c1± ≥ ± c2± ≥ …≥ vaø cm ± → m → ∞ (4) Caùc giá trị riêng nhiều vô hạn: Nếu χ+ = ∞ χ− = ∞ ( F(u) = 0, u∈ co Nα dẫn đến 〈F/(u),u〉 = ) có dãy vô hạn (λm) giá trị riêng phân biệt (4.2.1) cho λm→ m → ∞ (5) Các vectơ riêng hội tụ yếu: Giả sử (F(u) = 0, u∈ co Nα dẫn đến u =0) Khi max(χ+ , χ− ) = ∞ có dãy nghiệm riêng (um, λm) cho um → 0, λm→ m → ∞ vaø λm ≠ 0, ∀m Ta giải bước sau đây: Bước 1: Xây dựng ánh xạ đối ngẫu J Theo định lý Kadec−Troyanski, không gian Banach phản xạ X có chuẩn tương đương cho X X∗ lồi địa phương Vì chứng minh không đổi chuẩn tương đương, nên ta giả sử từ đầu X & X∗ lồi địa phương Vì X∗∗ = X nên có ánh xạ lẻ liên tuïc J : X∗→ X cho: w,Jw = w ; Jw = w , ∀w ∈ X * (4.2.3) J ánh xạ đối ngẫu X∗ vào X∗∗ Bước 2: Nghiên cứu mặt mức Nα với α > cố định cho trước 1) Tồn số < Ro < R1 cho < Ro ≤ v ≤ R1 ; ∀v∈Nα 2) Với u ≠ X, tồn r(u)> cho G(r(u)u) = α Do đó, r(u) = Nα 3) Ánh xạ r: X\{0}→ R chẵn F− khả vi liên tục; r (u) = / ( −r ( u ) ) G r ( u ) u ;r ( u ) u / ( ) G / r ( u ) u ∀u ≠ (4.2.4) (Vì r(u)∈Nα , ∀u≠0 & (H4) thỏa nên mẫu số ≠ ) 4) r, r/ liên tục bị chặn tập bị chặn bên lân cận 5) Ánh xạ xuyên tâm u → r(u).u từ mặt cầu đơn vị S lên Nα phép đồng phôi lẻ Chứng minh: 1) Do (H4), Nα bị chặn Từ ta có tồn R1 Mặt khác, phiếm hàm G liên tục điểm G(0) = nên suy tồn Ro đ/n 2) Đặt ϕ(t, u) = G(tu) Do (H4) ta coù ϕt ( t,u ) = G / ( tu ) ,u > với u ≠ 0, t >0 Vậy ánh xạ t ϕ(t, u) tăng nghiêm ngặt [0,+∞[ ϕ(t, u) → + ∞ t → + ∞ vaø u ≠ Điều dẫn đến phương trình G(tu) = α có nghiệm t = r(u) > với u ≠ 3) Do kết chương 2, ta có ϕ khả vi liên tục Ngoài ra, ϕ(r(u), u)= α vaø ϕt ( t,u ) > với u ≠ nên theo định lý hàm ẩn, r khả vi liên tục X \ {0} vaø ( ) ( ) = G ( r ( u ) u ) = G / r ( u ) u ;u r / ( u ) + r ( u ) G / r ( u ) u / Từ suy (4.2.4) Mà G chẵn nên r chẵn 4) Từ 1) suy r bị chặn tập hợp bị chặn bên lân cận Do (4.2.4), (H3), (H4) dẫn đến r/ có tính chất ρ Lấy ρ > cố định Với u, v∈X cho u , v > ρ , u − v ≤ ; theo định lý giá trị trung bình, có μ∈(0, 1) cho: r ( u ) − r ( v) ≤ r / ( u + μ ( v − u )) , v − u ≤ r / ( u + μ ( v − u )) v − u Vì u + μ ( v − u ) ≥ ρ nên ta có r liên tục tập bị chặn có daïng {u∈X: u > ρ } Do (4.2.4), (H3), (H4) dẫn đến r/ có tính chất 5) Xét ánh xạ ngược v v −1 v từ Nα vào S , ta có đpcm Bước 3: Xây dựng phép biến dạng L − S Nα Tồn ánh xạ liên tục d: Nα x [0, 1]→ Nα số τ1>0 cho: F(d(u, 1)) ≥ F(u) + τ1 Du , ∀u∈Nα (4.2.5) Hơn nữa, d(u, 0) = u Nα d lẻ theo u Chứng minh: Với u∈Nα , ta đặt: đ/n Du = F/ ( u ) − λ ( u ) G / ( u ) , ñ/n λ(u) = F/ ( u ) ;u G / ( u ) ;u ñ/n Eu = JDu − , G / ( u ) ;JDu G / ( u ) ;u u Từ (4.2.4), đẳng thức sau thỏa Nα: Du,u = G / ( u ) , Eu = , r / ( u ) ,Eu = , F/ ( u ) ,Eu = Du,Eu = Du,JDu = Du Các toán tử D, E: Nα→X liên tục bị chặn Theo 1) bước 2, tồn τo>0 cho: inf u + τEu > u∈Nα , ∀τ∈ ⎡⎣ −τo , τo ⎤⎦ Bây giờ, xem định nghóa quan trọng sau đây: đ/n g ( u, τ ) = r ( u + τEu )( u + τEu ) , ñ/n ( ) ψ ( u, τ ) = F g ( u, τ ) , ñ/n d ( u, τ ) = ψ ( u, τo t ) ∀u ∈ Nα , τ∈ ⎡⎣ −τo , τo ⎤⎦ , t ∈ ⎡⎣0, 1⎤⎦ • Trước tiên, ta thấy g ánh xạ từ Nα x [−τo, τo] vào Nα và: g τ ( u, τ ) = r / ( u + τEu ) ,Eu ( u + τEu ) + r ( u + τEu ) Eu, g(u, 0) = u , gτ(u, 0) = Eu, ( ) ψ τ ( u, τ ) = F/ g ( u, τ ) ,g τ ( u, τ ) , ψ ( u,0 ) = F ( u ) , ψ τ ( u,0 ) = F/ ( u ) ,Eu = Du • Theo bước 2, ta có: i) g, gτ bị chặn ii) F, F/ bị chặn & liên tục tập bị chặn iii) Các ánh xạ τ → ψ(u, τ) τ → ψτ(u, τ) liên tục đồng bậc [−τo, τo], ∀u∈Nα Vậy với τo đủ nhỏ, theo định lý giá trị trung bình: ψ ( u, τo ) ≥ ψ ( u,0 ) + τo ψ τ ( u,0 ) ∀u ∈ Nα Suy kết (4.2.5) Hệ 4.2.1: Với giả thiết (H1) − (H4) ta có kết sau đây: 1) Nếu X1 không gian tuyến tính X cho ± F > Nα∩X1 ( + −) χ± > dim X1 2) Neáu ± F > Nα ( + −) χ± = ∞ Chứng minh: 1) Đặt K đ/n Nα∩X1 Theo bước 2, K đồng phôi với mặt cầu đơn vị S X1 Vì phép đồng phôi ánh xạ lẻ nên theo hệ mục 4.1.3, ta có genK = dimX1 Do ± F > K nên ±cm ± > Suy đpcm 3) Áp dụng 1) với X1 = X ý dimX = +∞ Hệ 4.2.2: Với c ≠ tập mở U⊇ crit Nα ,c F , tồn ε > cho: Nếu F(u) ≥ c − ε, u∈(Nα \ U) F(d(u, 1)) ≥ c + ε Chứng minh: * Việc chứng minh bước cho thấy, với c ≠ 0, F thỏa điều kiện (PS)c Nα Hơn nữa, có số c1>0 cho: TF ( u ) ≤ Du ≤ (1 + c1 ) TF ( u ) Nα * Điều ta cần chứng minh suy trực tiếp từ (4.2.5) mệnh đề mục 4.1.4 Bước 4: Điều kiện (PS)c Với c≠ 0, F thỏa điều kiện (PS)c Nα Chứng minh: (I) Sự liên hệ TF(u) Du: Với u cố định Nα , ñaët ) { ( } ñ/n N G / ( u ) = h ∈ X : G / ( u ) ,h = Khi đó: đ/n / Pu: X→ N(G (u)) với Pu v = v − G/ (u), v G / ( u ) ,u u toán tử chiếu tuyến tính liên tục Từ kết quả: G / ( u ) , u ≥ β > 0, G / ( u ) ≤ γ u ≤ R1 ∀u ∈ Nα ta có: ( ) Pu v ≤ + β−1γR1 v (với β, γ , R1 số thích hợp) Từ ñoù: Pu ≤ const ∀u ∈ Nα Ta coù: TMu = N(G/(u)) Ta chứng minh Du mở rộng TF(u) lên X TF ( u ) ≤ Du ≤ c TF ( u ) (II) (PS)c : Theo (I), ta cần chứng minh: Nếu (un) dãy Nα thỏa Dun→ 0, F(un)→ c ≠ n→ ∞ (un) có dãy hội tụ Thật vậy: • Dun = F/(un) − λ(un)G/(un) → 0, • λ (un ) = F/ ( u n ) ;u n G ( u n ) ;u n / , mà (un) bị chặn nên dãy (F/(un)), (G/(un)), λ(un) bị chặn (H4) & nhận xét a) Vậy có dãy ( u n / ) cho: u n / → u, λ( u n / ) → λo Nghóa laø: F/( u n / )→ F/(u) vaø F( u n / )→ F(u) ( nhận xét a) ) Vì F(u) = c ≠ 0, u∈ co Nα nên (H2): F/(u) ≠ Vaø λo ≠ F/(u) − λoG/(u) = Vaäy: u n / → u, G/( u n / )→ λo−1F/(u) Vaø (S)1 (H3): u n / → u Bước 5: Xây dựng toán tử chiếu trực giao phi tuyến Cho X không gian Banach thực−tách−phản xạ Khi đó, với n∈N, tồn không gian tuyến tính hữu hạn chiều Xn X toán tử lẻ− liên tục Pn: Xn→ X cho: Nếu un yếu u Pnun yếu u n→ ∞ Pn u ≤ u ∀u∈X, n∈N Hệ 4.2.3: Nếu (n/ ) dãy dãy số tự nhiên từ Pn / u n / yếu u n/ → ∞ Chứng minh: Đặt um = u n / với m = n/ u n / yếu u dẫn đến = u trường hợp lại Bước 6: Chứng minh định lý Xét đại diện trường hợp “+ ” đ/n • (1) (2): Dùng nguyên lý mạnh Ljusternik với indK = genK Từ sau, ta dùng giả thiết cho mục 4.1.2 Vì F bị chặn nên ≤ cm+< +∞ Áp dụng điều kiện ( PS)c+ với cm+ >0: crit N m + F α ,cm tập compact (Theo mệnh đề mục 4.1.4) Phép biến dạng L−S xây dựng Hệ 4.2.2 Cuối cùng, từ F(d(u, 1)) ≥ F(u) Nα cho ta: “ K∈Km+ ⇒ d(K,1)∈Km+ ” Nếu F/ G/ dạng dương F ( u ) = ∫ F/ ( tu ) , u dt = F/ ( u ) ,u ; G ( u ) = G / ( u ) ,u Ngoaøi ra, từ F/(u) = λ G/(u), G(u) = α ta có λ = F(u)/ G(u) = α− 1F(u) • (3): Để chứng minh cm+→ m → ∞, ta dùng toán tử Pn bước (I) Với ε > 0, có δ(ε) > no(ε)∈N cho: ( F ( u ) ≥ ε, u ∈ N ) ⇒ ( P α no u ) ≥δ Thật vậy, trái lại: tồn εo>0 daõy (un)⊂ Nα cho: F ( u n ) ≥ εo vaø Pn u n ≤ n −1 , ∀n ∈ N Khi chọn dãy ( u n / ) cho u n / yeáu u hệ 4.2.3: Pn / u n / yếu u Vậy u = Suy F( u n / ) → (Mâu thuẫn với F ( u n ) ≥ εo ) ñ/n (II) Từ giả thiết K ⊆ Nα genK ≥ mo + 1, với mo = dim X n o (ε) , ta coù: inf u∈K F ( u ) < ε Thật vậy, trái lại ta có: (I) Pno ( u ) > K Mà tập hợp Pno ( K ) compact đối xứng nên theo hệ mục 4.1.3 đưa đến kết mâu thuẫn với genPno ( K ) ≤ mo (III) Từ (II) dẫn đến ≤ c+m o ( ε ) +1 ≤ ε ,∀ε > Mà (cm+) giảm nên suy cm+→ m→+∞ • (4): Xét χ+ = ∞ Từ (1), với m∈N, có um cho F/(um)= λmG/(um) với um∈Nα , F(um) = cm+ λm ≠ Vậy (um) bị chặn Chọn dãy ( u m/ ) cho u m/ yếu u Vì cm+→ nên F(u) = Hơn nữa, u∈ co Nα Vậy theo giả thiết F/ ( u ) ,u = Từ đó: λ m/ = ( ) G ( u ) ,u F/ u m/ ,u m/ → / m/ m/ • (5): Nếu F(u) = (u∈ co Nα dẫn đến u = 0) F ≠ Nα Tuy nhiên, Nα liên thông nên có F > F < Nα Hệ 4.2.1 cho ta χ+ = ∞ χ− = ∞ Phần chứng minh thực tương tự chứng minh (4) KẾT LUẬN Trên đây, trình bày ứng dụng phương pháp minimax để nghiên cứu số lớp phương trình toán tử Ngoài nhiều ứng dụng khác mà có điều kiện, tiếp tục nghiên cứu trình bày dịp khác TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Dương Minh Đức (2000), Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Alves C.O., Berfon A.M., Goncalves J.V (2002), “A Variational Approach to Discontinuous Problems with Critical Sobolev Exponents”, Journal of Mathematical Analysis and Applications 265, pp 103 −127 Mawhin J., Willem M (1989), Critical Point Theory and Hamiltonian systems, Springer Verlag, Berlin/ New York Struve M (1996), Variational methods, Springer Verlag, Berlin ... không điểm cực trị f điểm tới hạn f Điểm thỏa mãn điều kiện f(0, 0) = max f (x, y) = max f (x, y) x∈R y∈R y∈R x∈R Phương pháp minimax tìm điểm tới hạn phương pháp tìm điểm tới hạn xo thỏa mãn điều... nghóa 3.1.4: i) Điểm uo∈X gọi điểm tới hạn I 0∈∂I(uo) ii) Số c∈R gọi giá trị tới hạn I có điểm tới hạn uo∈X mà I(uo) = c Mệnh đề 3.1.2: Mỗi điểm cực tiểu địa phương uo∈X I điểm tới hạn Chứng minh:... Chương 2: PHƯƠNG PHÁP MINIMAX CHO PHIẾM HÀM TRƠN 2.1 Sự tồn điểm tới hạn: Trong chương 1, ta thấy làm để có điểm “gần tới hạn? ?? phiếm hàm thuộc lớp C1 không gian Banach X Để đạt tồn điểm tới hạn, cần